CEM Centro De Estudos Matemáticos

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1 1. (Udesc ) Sejam A = (a ij ) e B = (b ij ) matrizes quadradas de ordem 3 de tal forma que: a ij = i + j b ij = j e os elementos de cada coluna, de cima para baixo, formam uma progressão geométrica de razão 2. Analise as proposições abaixo: ( ) A = A T ( ) Os elementos de cada uma das linhas da matriz B estão em progressão aritmética. ( ) Os elementos de cada uma das linhas e de cada uma das colunas da matriz AB estão em progressão aritmética. ( ) Existe a matriz inversa da matriz C = A B. O número de proposição(ões) verdadeira(s) é: a) 0 b) 3 c) 1 d) 2 e) 4 2. (Acafe ) Analise as afirmações abaixo, sabendo que: a b c d e f = 2 g h i d e f I. a b c = 2 g h i II. 3a 3b 3c 3d 3e 3f = 6 3g 3h 3i a b c III = 0 g h i a b c IV. d + 2a e + 2b f + 2c = 2 g h i Assinale a alternativa correta. a) Apenas I, III e IV são verdadeiras. b) Apenas a afirmação III é verdadeira. c) Apenas I e II são verdadeiras. d) Todas as afirmações são verdadeiras. Página 1 de 16

2 2 x+ 1 x (Udesc ) Considere as matrizes A = e B =. 2 x 1 1 Se I representa a matriz identidade de ordem dois, então o produto entre todos os valores de x que satisfazem a equação ( ) ( ) ( T det A B + det B + I = det 2B ) é igual a: a) b) c) 3 2 d) e) 3 4. (Udesc ) Classifique cada proposição e assinale (V) para verdadeira ou (F) para falsa. ( ) Se A = (a ij) é uma matriz de ordem 2 3 tal que aij = i 2j, então o elemento que ocupa a posição da segunda linha e primeira coluna da matriz transposta de A é 3. ( ) O determinante da matriz inversa de B = é ( ) Se T 5 1 C = e D = então (C D) = Assinale a alternativa que contém a sequência correta, de cima para baixo. a) V F F b) F V V c) F F F d) V V F e) V F V 5. (Ufsc) Assinale a(s) proposição(ões) correta(s). x + 3y 2z = 0 01) As soluções do sistema homogêneo x 8y + 8z = 0 são ternas ordenadas do tipo 3x 2y + 4z = 0 (a,b,c) com(a+b+c) múltiplo de 11. a b a b 02) Se det A = 8 para A =, então det B = 8 para B =. c d 2a+c 2b+d 04) O valor de x para que os pontos A(3, 5), B(x,9) e C(0,2) sejam colineares é ) Se A,B,C são matrizes inversíveis, então ( AB ) ( AC ).B = C t ) Se A = então (A + A A ) = Página 2 de 16

3 6. (Uem ) Considerando as matrizes de números reais, quadradas e de ordem 3, A = ( a ij ) e B = ( b ij ), definidas, respectivamente, por j 2 se i > j i j aij = 2 se i = j j i 2 se i < j o que for correto. 01) A matriz B é invertível. 02) AB BA. 1 se i > j bij = 0 se i j ( ) i + j e e que t A indica a transposta da matriz A, assinale n 04) Existe um valor inteiro positivo n para o qual B é a matriz quadrada nula de ordem 3. t A A = c ij satisfaz cij = cji para todo i e para todo j. 08) A matriz ( ) t 16) A matriz A A ( d ij ) = satisfaz dij = dji para todo i e para todo j. 7. (Ufsc ) Assinale a(s) proposição(ões) correta(s). x ) Seja S o conjunto solução da equação 1 x 2 = 0 em, então S está contido no 1 x x intervalo [ 2, 1]. 02) Um polinômio p(x), dividido por x 3, dá resto 5 e, dividido por x + 1, dá resto 2. Então o resto da divisão de p(x) por (x 3)(x + 1) é ) O valor de M para que o polinômio 3x 3 + x 2 7x M seja divisível por (x + 2) é 8. 08) Se duas das raízes da equação 2x 4 + 5x 3 35x 2 80x + 48 = 0 são 3 e 4, então o produto entre as outras duas raízes é 4. 16) Se a, b e c são as raízes da equação x 3 7x + 6 = 0, então = 7. a b c 6 8. (Pucpr ) Considere as seguintes desigualdades: I > II < III > É correto afirmar que: a) São verdadeiras apenas as desigualdades I e II. b) São verdadeiras apenas as desigualdades II e III. c) São verdadeiras apenas as desigualdades I e III. d) As três desigualdades são verdadeiras. e) As três desigualdades são falsas. 9. (Udesc ) Dada a matriz A (figura 1). Seja a matriz B tal que A -1 BA=D, onde a matriz D (figura 2), então o determinante de B é igual Página 3 de 16

4 a: a) 3 b) -5 c) 2 d) 5 e) (Uel ) Se o determinante da matriz é nulo, então: a) x = -3 7 b) x = 4 c) x = -1 d) x = 0 7 e) x = (G1 - cftsc ) Calcule o valor de x para que se tenha Página 4 de 16

5 a) -3. b) 6. c) 0. d) 3. e) (Ufpr ) Sendo I a matriz identidade de ordem 2, considere as afirmativas a seguir: 1. A + A t = 2. I 2. det (A. B) = B 2007 = B Assinale a alternativa correta. a) Somente a afirmativa 1 é verdadeira. b) Somente a afirmativa 2 é verdadeira. c) Somente as afirmativas 1 e 2 são verdadeiras. d) Somente as afirmativas 1 e 3 são verdadeiras. e) Somente as afirmativas 2 e 3 são verdadeiras. 13. (Uel ) Considere as seguintes matrizes Página 5 de 16

6 Assinale a alternativa correta: a) A. B = C b) A. B -1 = C c) det (k. A) = k det(a) para todo k R d) det (A + B) = det(a) + 2 det(b) e) det (A + B + C) = (Ufsc ) Assinale a(s) proposição(ões) CORRETA(S). 01) O par ordenado (x, y) = (5, 2) é a única solução do sistema 02) A matriz A = (a ij ) 1x3, tal que a ij = i -3j é A = [ 2 5 8] x + 2y = 9. 3x + 6y = ) A soma dos elementos da inversa da matriz 0 1 é igual a 2. 08) Uma matriz quadrada A se diz antissimétrica se A t = -A, sendo A t a transposta da matriz A Nessas condições pode-se afirmar que a matriz é antissimétrica ) Se as matrizes P, Q e R são escolhidas entre as listadas a seguir, para que PQ - R seja uma matriz nula, o valor de x deve ser , [ 3x 5 ], 0 2 x 2, ) A e B são matrizes quadradas de ordem 2 tais que A = 5B. Nestas condições pode-se afirmar que det(a) = 5 det(b), sendo que det(a) e det(b) designam, respectivamente, os determinantes das matrizes A e B. 15. (Pucpr ) A soma dos valores de ë para que det (A + ëi) = 0, onde I é matriz identidade e é: Página 6 de 16

7 a) 5 b) -7 c) 2 d) -3 e) (Pucrs ) Se a matriz tem inversa, então det A -1 é a) bc - ad 1 1 b) ad bc c) det A 1 1 d) - c) det A bc det A 1 e) 2 det A ( ) 17. (Ufsc ) Assinale a soma dos números associados à(s) proposição(ões) CORRETA(S). 01) Uma pequena indústria produz três tipos de produto que indicamos por x, y, z. As unidades vendidas de cada produto e o faturamento bruto da empresa em três meses consecutivos são os dados na tabela a seguir. Então, os preços dos produtos x, y e z só podem ser, respectivamente, R$ 1.000,00, R$ 5.000,00 e R$ 3.000,00. (figura 1) 02) Se um sistema de equações é indeterminado, então não se pode encontrar solução para ele. 04) A solução da equação (figura 2) é x = 1. 08) A matriz (figura 3) não possui inversa. Página 7 de 16

8 18. (Ufsc ) Assinale a(s) proposição(ões) CORRETA(S). 01) O número de elementos de uma matriz quadrada de ordem 12 é ) Somente podemos multiplicar matrizes de mesma ordem. x x x 04) A soma das raízes da equação 4 x x = 0é x 08) Uma matriz quadrada pode ter diversas matrizes inversas. 3x 2y = 0 16) O sistema é indeterminado. x + y = (Ufsm ) Sendo então a soma de todos os valores reais x, tal que det (A 2 - xi) = 0, é igual a a) -5 b) 0 c) 5 d) 7 e) 4( 2 ) (Ufsm ) Sejam A e B matrizes reais quadradas de ordem n. Se det A = det B 0, então det [(1/2). A t. B -1 ] é igual a a) 1/(2 n ) b) 1/2 c) (1/2). det A t d) [1/(2 n )]. det A e) 2 n 21. (Ufsm ) Seja A uma matriz 2 2 com determinante não-nulo. Se det A 2 = det (A + A), então det A é a) - 4 b) 1 c) 4 d) 8 e) (Ufpr ) Para cada número x, considere as matrizes A e B mostradas na figura adiante. Então, é correto afirmar: x 1 1 x+ 1 0 A = ; B = 1 x Página 8 de 16

9 0 1 01) Se x = 0, então A + B = ) Se x = 1, então AB = ) Existe número real x tal que det A = det B. 08) Existe número real x tal que A é inversa de B. 16) O número complexo 1 + i é raiz da equação det A = 0. 32) (det A)(det B) é um polinômio cujas raízes têm soma igual a (Pucrs ) Se então det (A 2 B 2 ) é igual a a) -1 b) 1 c) 5 d) e) (Ufsm ) Analise as afirmações a seguir. I. A matriz adiante é invertível se x = 2b. II. Se det(ab) = m, pode-se garantir que existe deta e detb. III. Se deta = m 0 e detb = 1/m, então det(ab)=1. Página 9 de 16

10 Está(ão) correta(s) a) apenas I. b) apenas II. c) apenas III. d) apenas II e III. e) I, II e III. 25. (Ufpr ) Dadas as matrizes A e B mostradas na figura adiante. 0 1 A = 1 0 e 3 4 B = 6 5 É correto afirmar: 01) B. A = B 02) Todos os elementos da matriz A + B são números ímpares. 04) O conjunto formado pelos elementos da matriz A. B é igual ao conjunto formado pelos elementos da matriz B. 08) det(3. A) = det(b) 16) A matriz inversa de A é a própria matriz A. 26. (Ufsm 2000) Sejam A, B e C matrizes reais 3 3, tais que A. B = C -1, B = 2A e det C = 8. Então o valor do det A é a) 1/16 b) 1/8 c) 1 d) 8 e) (Ufsm ) Sejam A e B matrizes reais quadradas de ordem n e 0 a matriz nula de ordem n. Então, a afirmativa correta é a seguinte: a) Se A t é a matriz transposta de A, então deta t det A. b) Se det A 0, existe a matriz inversa A -1 e A -1 = 1/(detA). (cofa) t, onde cof A é a matriz dos co-fatores de A. c) Se A. B = 0, então A = 0 ou B = 0. d) (A - B) 2 = A 2-2AB + B 2. e) Se k R, então det (k A) = k det A, para todo k. 28. (Uel ) Seja o determinante (D) na figura adiante: 29. (Ufsc ) Considere as matrizes A e B a seguir e n=det(ab). Calcule 7 n. Página 10 de 16

11 30. (Ufpr ) Considere a matriz A = [a ij ], de ordem 4 x 4, cujos elementos são mostrados a seguir. a ij = 1, se i j 0, se i = j É correto afirmar que: 01) Na matriz A, o elemento a 23 é igual ao elemento a ) Os elementos da diagonal principal da matriz A são todos nulos. 04) O determinante da matriz A é igual a ) Se a matriz B é [ ], então o produto B. A é a matriz -B. 16) Sendo I a matriz identidade de ordem 4, a matriz A + I possui todos os elementos iguais a 1. Página 11 de 16

12 Gabarito: Resposta da questão 1: [B] Temos que A = e B = Como A é simétrica, segue que t A= A. Os elementos da primeira linha da matriz B estão em progressão aritmética de razão 1; os da segunda linha estão em progressão aritmética de razão 2 e os da terceira linha estão em progressão aritmética de razão Calculando a matriz AB, obtemos AB = Logo, os elementos de cada uma das linhas e de cada uma das colunas dessa matriz estão em progressão aritmética. O determinante da matriz C não admite inversa. Resposta da questão 2: [A] C = A B = é dado por detc = = 0. Portanto, I. Verdadeira. Ao permutarmos duas filas paralelas de uma matriz quadrada A, obtemos uma matriz B, tal que detb = det A. II. Falsa. Como: 3a 3b 3c a b c 3d 3e 3f = 3 d e f, 3g 3h 3i g h i vem 3a 3b 3c a b c 3d 3e 3f 3 = 3 d e f = 27 ( 2) = g 3h 3i g h i III. Verdadeira. Se uma matriz quadrada apresenta uma fila de zeros, então seu determinante é nulo. IV. Verdadeira. Sabendo que uma matriz quadrada com duas filas paralelas proporcionais tem determinante nulo, vem: a b c a b c a b c d + 2a e + 2b f + 2c = d e f + 2a 2b 2c = = 2. g h i g h i g h i Resposta da questão 3: [B] Calculando os determinantes das matrizes A e B, obtemos Página 12 de 16

13 2 2 2 det A = x x 2x = 3x x e detb = = 1. Pelo Teorema de Binet, temos que 2 2 det(a B) = det A detb = ( 3x x) 1 = 3x x. n Sabendo que det( λm) = λ detm, com λ, real e M sendo uma matriz quadrada de ordem n, e t det(m ) = detm, vem t 2 t det(2b ) = 2 detb = 4 detb = 4 1 = 4. Além disso, B+ I = = Logo, det(b + I) = = 6. Por conseguinte, 2 2 3x x + 6 = 4 3x + x 2 = 0. Segue, pelas relações entre coeficientes e raízes, que o produto de todos os valores reais de x t 2 2 que satisfazem a equação det(a B) + det(b + I) = det(2b ) é igual a =. 3 3 Resposta da questão 4: [A] Verdadeira. Seja b 21 o elemento da segunda linha e primeira coluna da matriz transposta de A. Temos que b21 = a12 = = 3. Falsa. O determinante da matriz B é dado por detb = 1 ( 1) 2 3 = Sabendo que detb =, obtemos detb = = =. detb detb Falsa Temos que C D = = T Logo, (C D) = Resposta da questão 5: 02+16=18 Resposta da questão 6: = 30. Página 13 de 16

14 ) Incorreto. Temos que B = Logo, como B é uma matriz triangular o seu determinante é o produto dos elementos da diagonal principal, ou seja, detb = b11 b22 b33 = 0. Portanto, segue que B não é invertível. 02) Correto. Como A = e B = 1 0 0, vem AB = = BA ) Correto. Para n = 3, temos 08) Correto. Temos que t A A = = = (c ). ij B = Portanto, t A A é antissimétrica. 16) Temos que t A A = = = (d ). ij Por conseguinte, Resposta da questão 7: = 17 t A A é simétrica. 01) (verdadeira) desenvolvendo o determinante temos a equação x 3 +2x 2 x 2 = 0 x 2 ( x + 2) (x + 2) = 0 (x + 2). (x 2 1 ) = 0 logo x = 2 ou x = 1 ou x = ) (falsa) P(x) = (x - 3). (x + 1). Q(x) + ax + b Página 14 de 16

15 P(3) = 5 3a + b = 5 P( 1) = 2 a + b = 2, resolvendo temos a = 3 4 e b = , logo o resto é + 4x 4 04) (falsa) P(-2) = 0 3.(-2) 3 + (-2) 2-7.(-2) + M = 0 M = 6 08)(falsa) -3.(-4).x 3.x 4 = 48 2 = x 3.x 4 = bc + ac + ab 7 16) (verdadeira) + + = = 1 = a b c abc Resposta da questão 8: [B] I) 8 (- 2) > 15-4 (falsa). II) < (verdadeira). III) > (verdadeira). Resposta da questão 9: [D] A 1 1 BA = D det( A BA) = det D 1 det B det A = det D det A det B = det D = 2 2 ( 1) 1 = 5 Resposta da questão 10: [E] Resposta da questão 11: [E] Resposta da questão 12: [D] Resposta da questão 13: [D] Resposta da questão 14: = 18 Resposta da questão 15: [B] Resposta da questão 16: [D] Resposta da questão 17: proposições corretas: 04 e 08 proposições incorretas: 01 e 02 Página 15 de 16

16 Resposta da questão 18: 04 Resposta da questão 19: [D] Resposta da questão 20: [A] Resposta da questão 21: [C] Resposta da questão 22: = 21 Resposta da questão 23: [B] Resposta da questão 24: [C] Resposta da questão 25: = 30 Resposta da questão 26: [B] Resposta da questão 27: [B] Resposta da questão 28: [D] Resposta da questão 29: 01 Resposta da questão 30: = 27 Página 16 de 16