. (1) Se S é o espaço vetorial gerado pelos vetores 1 e,0,1

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1 QUESTÕES ANPEC ÁLGEBRA LINEAR QUESTÃO 0 Assinale V (verdadeiro) ou F (falso): (0) Os vetores (,, ) (,,) e (, 0,) formam uma base de,, o espaço vetorial gerado por,, e,, passa pela origem na direção de,, () Os vetores (,,) e (,, ) são ortogonais () O sistema de equações lineares b () Se S é o espaço vetorial gerado pelos vetores e,0, e T, então todo vetor que pertence à S T Ax possui uma infinidade de soluções se, e somente se, a dimensão do subespaço nulo (núcleo) da matriz A, N A, for diferente de 0 ( dim N A 0) () O produto AB dos operadores auto-adjuntos A, B é auto-adjunto se, e somente se, AB BA QUESTÃO 0 Assinale V (verdadeiro) ou F (falso): (0) Seja A uma matriz não-singular com autovalores r, r e r, com r r r r Se r e traço A deta 6, então r r () Uma matriz é singular se, e somente se, possui um autovalor igual a 0 () Seja I uma matriz identidade n n e X uma matriz n k com posto igual a k Então, se A I X X ' X ' X então A é simétrica e deta' A deta () Sejam A e B matrizes quadradas de mesma dimensão Se AB BA então det A B deta detadet B det B () Sejam A e B matrizes triangulares inferiores n n, cujos elementos da diagonal principal são dados por a,, a nn e b,,b nn, respectivamente Então A B a b det n i ii ii QUESTÃO 0 Considerando a matriz A 0 0, assinale V (Verdadeiro) ou (F) Falso: 0

2 (0) A é inversível () Todos os autovalores de A são reais () A é diagonalizável () A tem um autoespaço de dimensão () Se P é uma matriz inversível tal que QUESTÃO 0 PAP a b c, então c 0 Assinale V (verdadeiro) ou F (falso): (0) Se v e v n são vetores linearmente independentes no, então ( v v ) e ( v ) n v são linearmente independentes no n () Dados v, v e a, a, b, b, se av av bv bv implica a b e a b, então v e v são linearmente independentes () As coordenadas do vetor (,,) na base ordenada v (,0,0), v (,,0), v (,,) são x, x, x, em que x i é a coordenada em relação ao vetor v i, i,, n n n () Seja T : uma transformação linear Se x 0, x são tais que T( x 0 ) 0 e T( x ) y 0, então T( ax0 bx ) y quaisquer que sejam os números a, b () Seja T : uma transformação linear Então, existe ( a, a, a tal que ( x, y, a x a y a z ) QUESTÃO 05 Assinale V (Verdadeiro) ou (F) Falso: T (0) Se definimos z( x, y) em torno de ( 0, 0 ) pela equação ( x, y) x z( x, y) y 0 z então ( 0, 0 ) é ponto crítico de z( x, y) () Se f ( x, y, x y z z e z( x, y) é definida em torno de (,, -)como função de ( x, y ), em que z x z y 0, então f ( x, y, z( x, y)) 6 ( x, y) (, x ) c( t) ( x( t), y( t), z( t é uma curva diferenciável para () Se )) que ( 0) (,, ) z ( t) x '(0) y'(0) z'(0) 0 c e x( t) z( t) y( t) 0 t tal, então

3 () No sistema de equações x 6x 5x 0x x x x 6x 0 0 é possível definir as variáveis x e x como funções das variáveis x e x x 5x x x 0 () No sistema de equações é possível definir 6x 0x x 6x 0 as variáveis x e x como funções das variáveis x e x QUESTÃO 06 Sejam A, (falso): (0) Se x x x e x b b b b Assinale V (verdadeiro) ou F 0 b 0 0 então a única solução do sistema linear 0 solução () O sistema () Se x 0 ; A x b tem solução se e somente se b b b 0 ; A x b, então x A b ; () Existem duas linhas linearmente dependentes na matriz A ; () O posto da matriz A é A x b é a QUESTÃO 07 Responda V (verdadeiro) ou F (falso): (0) Os vetores (,,,-,5,), (,,-,-,0,0) e (6,,0,,,) são linearmente independentes () Os vetores (,,), (,-,), (,6,-) e (0,,) são linearmente independentes () Os vetores (,,), (,,) e (0,,) são linearmente dependentes () Se u e v são dois autovetores de uma matriz X associados a dois autovalores distintos, então u e v são colineares () Se X é uma matriz inversível e simétrica, então seus autovetores são dois-a-dois ortogonais QUESTÃO 08 Responda V (verdadeiro) ou F (falso): (0) Seja A uma matriz com det(a)= e tr(a)= Se x e y são seus autovalores, então x +y >0

4 () Seja X uma matriz 00 8 com posto igual a 8 e seja I a matriz identidade Então tr( I X ( X ' X ) X ') =6, em que tr denota o traço da matriz () Sejam A e B duas matrizes N N Se AB BA, então tr( AB) tr( BA), em que tr denota o traço da matriz () Seja A uma matriz simétrica não-singular definida positiva Então não necessariamente tr(a)>0, em que tr denota o traço da matriz () Seja A uma matriz simétrica não-singular definida negativa Então tr(a)<0<det(a), em que tr denota o traço da matriz e det seu determinante QUESTÃO 09 Avalie as afirmativas: Dada a matriz A (0) O polinômio característico de A é produto de fatores lineares diferentes são os autovalores de A, então i traço A i () Se,,, () A é diagonalizável () Seja I a matriz identidade de dimensão x Pode-se garantir que det A det I () A dimensão do núcleo da matriz A 5I é maior ou igual a dois QUESTÃO 0 Avalie as afirmativas: (0) Seja T: R R um operador linear auto-adjunto A matriz de T em relação à base canônica de R é simétrica () Se uma matriz nxn A é ortogonal, então A A = I, em que I é a matriz identidade de ordem n () A matriz A () Os vetores,,, dependentes w () Os vetores,, 0, é ortogonal v, v e v são linearmente,,0, w,,,,,0,,0 w e,, 6,7 são ortogonais

5 QUESTÃO Avalie as afirmativas: (0) Seja f: uma função duas vezes continuamente diferenciável Se f atinge um máximo local estrito em x 0, então f (x 0 ) = 0, f (x 0 ) < 0 () Se uma matriz simétrica nxn A é idempotente, então para todo v n, v Av 0 () Se uma matriz nxn A é idempotente, então tr(a) n () A equação diferencial x x x 0 tem solução geral t C C t e x( t), em que C e C são constantes () A equação diferencial x x x 0 tem solução geral x( t) t / C C t e, em que C e C são constantes QUESTÃO Avalie as afirmativas: 0 (0) A soma dos quadrados dos autovalores de A é 6 0 () Se uma função f(x,y) é contínua em um ponto (x 0, y 0 ), então as funções (x) = f(x, y 0 ) e (y) = f(x 0, y) são contínuas em x o e y o, respectivamente () A função x y f ( x, y) é contínua em (0,0) x y () Dada uma matriz nxn simétrica A, se para todo v n, não nulo, com n ímpar, v Av < 0, então o determinante de A é negativo () Seja h(x) = f(x)g(x) Se h(x) é contínua, então f e g também o são QUESTÃO Avalie as afirmativas abaixo Seja: 0 A 0 (0) Os autovalores de A são e - () O vetor (,) é autovetor associado ao autovalor e o vetor (-,) é autovetor associado ao autovalor - () A matriz A não é ortogonal () Seja I a matriz identidade de ordem As matrizes A - I e A + I são inversíveis () Qualquer vetor (x,y) é combinação linear dos autovetores de A QUESTÃO Avalie as opções (0) Seja A uma matriz n n tal que para todo u,vr n tem-se que uav = -vau Então os autovalores de A são todos negativos

6 () Seja A uma matriz n n tal que para todo u,vr n tem-se que uav = -vau Então todo vetor v é ortogonal à sua imagem por A () Toda matriz quadrada positiva semi-definida de posto é simétrica () Toda matriz quadrada simétrica de posto é positiva semi-definida () Seja A uma matriz invertível e A sua inversa, então det( A ) det( A ) QUESTÃO 5 Avalie as opções (0) Seja x 0,5, x₀= 0 Então, lim x 6 t x t t t () Seja x 0,5, x₀= Então, lim x 8 t x t t t lim x t t () Se x t 0 xt xt, então, K, em que K é finito, se e somente se 0 e forem menores do que em módulo () Uma matriz A n n é diagonalizável somente se seus autovalores forem todos distintos * () Considere duas séries de números positivos S n nan e S n nbn * com an bn para todo n > 00 Então se S n converge, S n também converge QUESTÃO 6 Avalie as afirmativas Seja: / / A / / (0) Os autovalores de A são e () Os vetores (-,) e (,) são autovetores da matriz A k () Seja A o produto de A por si mesma k vezes Então lim k / / / / A k () Os vetores (-, ) e (, ) também são autovetores () A matriz A é nilpotente QUESTÃO 7 Avalie as opções (0) A seqüência a n = (-) n não possui limite É, portanto, ilimitada () A função diferenciável f: R R é estritamente crescente se e somente se f (x) > 0 em todo o domínio * () Seja a série de S n nan Se a série S n n an converge, então S n também converge * () Se a serie S n é convergente, a série S n n an também converge () Seja A uma matriz n n que tem n autovalores reais diferentes Se todos os autovalores de A são menores do que (em módulo) então A t t 0

7 QUESTÃO 8 Sejam e os autovalores de 7 Calcule - ( + ) QUESTÃO 9 Seja A a matriz, na base canônica, do operador linear dado por Denote por os autovalores da matriz A Julgue os itens abaixo: (0) O posto de A é () () () () L é diagonalizável QUESTÃO 0 Considere a matriz: em que a, b, c são constantes Julgue os itens abaixo: (0) O traço de A é tr(a) = a + b + c + 6 () O determinante de A é det(a) = 6 () Se a, b, c são constantes negativas, a matriz A A é definida negativa () A matriz A A é simétrica () Se a = b = c = 0, a matriz A A é definida positiva QUESTÃO Julgue as afirmativas: (0) Se uma matriz possui determinante igual a um e traço igual a zero, então seus autovalores são números complexos conjugados () Se uma matriz é simétrica, então seus autovalores são números reais () Transformações lineares dadas por matrizes ortogonais preservam a norma de vetores, mas não necessariamente ângulos entre vetores () Se uma matriz é idempotente, então ela é singular () Se uma matriz é simétrica e não-singular, então autovetores associados a autovalores distintos são colineares QUESTÃO

8 Dados A 9 5 e b, determine o vetor correspondente à 0 5 solução do sistema Ax = b Em cada opção assinale se falsa ou verdadeira (0) 0 T () 5 T () T () 5 0 T () 0 T QUESTÃO Em cada opção abaixo assinale se falsa ou verdadeira: 0 O determinante da matriz A 0 é 0 (0) igual a () menor que zero () menor que 0 () maior que 5 () maior que 0 QUESTÃO Dada a matriz A, determine os valores de ( 0) que satisfazem a equação Ax = x, assinale cada opção como falsa ou verdadeira (0) e - () e () - e () - e 5 () - e QUESTÃO 5 Analise os seguintes pares de retas e assinale se falsa ou verdadeira cada afirmação correspondente (0) x - 5y = e x + y = são perpendiculares () x + 7y = e x - y = 5 não são perpendiculares () x - 5y = e 5x + y = 7 são perpendiculares

9 () -x + y = e x + y = 9 não são perpendiculares () y - x = e 6x - y = são paralelas QUESTÃO 6 Sabendo-se que A = [ ], B = afirmativas abaixo são verdadeiras ou falsas 5 6 e C =, indique se as (0) O produto ABC tem dimensão x () O produto B t C não está definido () O produto B t A t está definido () Para achar BC somamos a primeira coluna de B a vezes a segunda coluna de B () B tem duas linhas linearmente independentes QUESTÃO 7 Calcule a distância entre os valores A = 8 6 e B = QUESTÃO 8 Determine o posto da matriz 0 7 QUESTÃO 9 Sabendo-se que a = a a, determine a a a a é um vetor do plano x + y + z = 0 e que QUESTÃO 0 Dadas as duas esferas representadas respectivamente por: x y z 6x 8y z 0 0 e x y z 6x 8y 0z 0 Indique as afirmativas verdadeira ou falsas: (0) Ambas se situam inteiramente no primeiro octante () Sua interseção define um círculo situado num plano horizontal (paralelo a OXY) () O segmento de reta definido pelos seus centros é ortogonal ao eixo vertical (OZ)

10 () As esferas não se interceptam () As esferas são concêntricas QUESTÃO Determine a área do triângulo formado pelos pontos a = (,,), b = (,,), c = (,,) QUESTÃO Indique, para o sistema abaixo, quais as afirmativa verdadeiras e quais as falsas: x x x x x x x x x x x x x x x x 5 (0) Duas equações podem ser ignoradas ao mesmo tempo, sem que isso altere o conjunto de soluções do sistema () A quarta equação pode ser ignorada, sem que isso altere o conjunto de soluções do sistema () A primeira equação pode ser ignorada, sem que isso altere o conjunto de soluções do sistema () Há um número finito de soluções () O conjunto de soluções do sistema é vazio QUESTÃO Dada a matriz M = falsas ou verdadeiras: 0, indique se as afirmativas abaixo são (0) M é invertível () Seu posto é três () M é uma matriz anti-simétrica () Há três colunas lineares independentes () As linhas de M são lineares independentes QUESTÃO Dada a matriz, indique as afirmações verdadeiras e as falsas:

11 (0) Os autovalores têm sinais contrários () Os autovetores são ortogonais () A cada autovalor está associado apenas um autovetor unitário () Os autovalores são imaginários puros () Há autovetores formando ângulo de 0 graus QUESTÃO 5 Se uma matriz quadrada A, de ordem n, tem todos os elementos da diagonal principal diferentes de zero e cada a ij 0 se i < j, classifique como falsa ou verdadeira: (0) O posto da matriz não pode ser inferior a n () det(a) = n se cada elemento da diagonal principal for igual a dois () O determinante só pode ser calculado se cada a ij, i > j, for conhecido () A matriz A é triangular () det(a) = se n = e a a, independentemente dos elementos abaixo da diagonal principal QUESTÃO 6 Assinale as afirmações verdadeiras e as falsas: (0) Em quatro vetores quaisquer não nulos são sempre linearmente dependentes () O núcleo de uma transformação linear é um subespaço vetorial de dimensão igual a () Um espaço vetorial possui uma única base () O conjunto das soluções de um sistema de equações lineares é um espaço vetorial () Os vetores u (,, ), u ( 0,, ) e w ( 0, 0, ) são linearmente independentes em QUESTÃO 7 Dados: x 5 A, X y, C 8, z decida se são verdadeiras ou falsas as afirmações abaixo: (0) A matriz inversa de A possui cinco elementos negativos () O sistema AX = C possui a solução única x =, y =, z =

12 () A matriz A é equivalente à matriz B () O posto da matriz A é igual a () O traço da matriz A é igual a 0 QUESTÃO 8 Sejam os seguintes pontos: A = (, ) B = (-, ) C = (, -) D = (, ) E = (, ) Determine de tal modo que a reta contendo os pontos A e B seja perpendicular à reta contendo os pontos C e D Em seguida, determine de forma que a reta contendo E e B seja paralela à reta contendo C e D Qual o valor de ( + )? QUESTÃO 9 Seja a matriz A definida por: A In X( X' X) X' Marque os itens verdadeiros e os falsos (0) A matriz A só é definida se a matriz X possuir n colunas () A matriz A é idempotente () O traço da matriz A pode ser igual a n () A matriz A é não-singular () A A' QUESTÃO 0 Assinale as proposições verdadeiras e as falsas: (0) A interseção das curvas y - x + = 0, y + x - 8 = 0 e y = 0 forma um triângulo isósceles () Dois pontos satisfazem as equações: ( x ) ( y ) 8 0 e x + y - = 0 () No espaço bi-dimensional (x, y) a distância entre os pontos (a, b) e (b, a) / é [ ( b a) ] () A equação x y x 0 representa um círculo cujo raio é dois () As equações ax a y a 0 e b x b y b 0 contêm o ponto ( x0, y0 ) Então, para uma dada constante c, a equação (ax ay a) + c( b x b y b ) conterá o ponto ( x, y ) QUESTÃO Se A, B e C são matrizes, indique como verdadeira ou falsa cada uma das afirmações abaixo:

13 (0) Para quaisquer A, B e C, todas quadradas de mesma ordem, tr(abc) = tr(cba) () Se AB = 0, então, necessariamente, ou A ou B é nula, ou ambas são nulas () Se A, B e C são quadradas de mesma ordem e não singulares, então, ( ABC) C B A () Para quaisquer A, B e C, quadradas e de mesma ordem, (0) det(a + B + C) = det(a) + det(b) + det(c) () Se A é quadrada e não singular, então, det(a) = [det(a)] QUESTÃO Dado o sistema x y kz x k z x y z 0 Indique se as afirmativas abaixo são verdadeiras ou falsas (0) para k =, existem infinitas soluções () para k =, existe uma única solução () para k =, existem infinitas soluções () para k =, não existe solução () para k =, existe uma única solução QUESTÃO Indique se as afirmativas abaixo são verdadeiras ou falsas (0) Se A é uma matriz ortogonal, então det(a) pode ser negativo () Seja A uma matriz quadrada de ordem ímpar Se A = -A, então, det(a) = 0 () Seja A uma matriz não singular de ordem n Se A = A, então, A é necessariamente uma matriz identidade () Seja A uma matriz triangular não singular, então, se os elementos fora da diagonal principal são todos negativos, det(a) é positivo () Dadas duas matrizes A e B, se suas inversas existem, então, det(a) 0 QUESTÃO Considere o sistema linear: x x x x 0 x x x x 0 x x x x 0 Indique as afirmativas verdadeiras e falsas: (0) O sistema acima não tem solução

14 () Caso x 0, o sistema acima tem somente solução trivial () Caso x, as soluções para x, x e x são todas positivas QUESTÃO 5 Sejam A e B matrizes quadradas de mesma dimensão Julgue as afirmativas abaixo: (0) Se A t é a transposta de A, então det( A t A ) 0 () Se A é simétrica e não-singular, então A - é simétrica () O espaço gerado pelas colunas de B é igual ao espaço gerado pelas suas linhas () Se A é simétrica, então A define um operador linear autoadjunto em relação a uma base ortonormal QUESTÃO 6 5 Considere a matriz A Julgue as afirmativas abaixo: (0) [(det A) 98] tra (onde tra é o traço de A) () A é uma matriz idempotente 9 () det( A ) () O núcleo do operador linear definido pela matriz A é o vetor zero QUESTÃO 7 Considere o seguinte sistema linear em x,y,z x y z 0 ax z 0 x y 0 Julgue as afirmativas abaixo: (0) Quando a = 0, o sistema não tem solução não-trivial () Não existe solução não-trivial, qualquer que seja o valor de a () Se a=5, existe uma única solução não-trivial () Existe uma única solução não-trivial, qualquer que seja o valor de a

15 QUESTÃO 8 Uma matriz A, quadrada de dimensão n é dita ortogonal quando A t A= AA t = I n, onde o superescrito t denota transposição e I n é a identidade de dimensão n Considere uma matriz ortogonal A de ordem n Classifique como verdadeira ou falsa cada uma das afirmações (sobre A) abaixo: (0) O valor absoluto do seu determinante é igual a um () A - = A t () Suas colunas constituem uma base para n () Se x e y são vetores(coluna) de n tais que y= Ax então o comprimento de y é maior que o comprimento de x () O produto interno de Ax por Ay é igual ao produto interno de x por y multiplicado pelo determinante de A (5) Sua inversa e sua transposta são também matrizes ortogonais QUESTÃO 9 Considere uma matriz de números reais X, nem todos nulos, (0) A matriz X t X é sempre simétrica e singular () O escalar v t X t Xv, onde v é vetor não nulo, é não-negativo () Os valores característicos de X t X podem ser negativos () Se X é quadrada então X t X é invertível QUESTÃO 50 Seja T o operador linear cuja matriz na base natural,0,0, 0,,0, 0,0, é dada por Assinale V (verdadeiro) ou F (falso): (0) T possui dois autovalores distintos; () T é um operador diagonalisável; () Existe um autoespaço de dimensão associado ao operador T ; () Autovetores de T associados à autovalores diferentes são ortogonais; () Os vetores t, 6, 6, t, pertencem ao autoespaço de T associado a um dos seus autovalores QUESTÃO 5 Sendo V o espaço vetorial de dimensão sobre o corpo R, munido do produto interno Euclidiano () : x y x y x y x y ; x, yv, define-se uma

16 norma pelo produto interno: x x x, xv Assinale V (verdadeiro) ou F (falso): (0) Se { u, u} é um conjunto de vetores LI (linearmente independentes) de V, então { u, u,0} é também LI em V; () Se todos os vetores de V são combinações lineares de k vetores de V (para qualquer k, inteiro positivo) então k vetores neste espaço são LI; () Se X, Y, Z são vetores LI do espaço vetorial V, então os vetores A X Z; B X Y Z; C X Y Z também serão LI em V; () O ponto C, 6,8 não pertence à reta que passa pelos pontos A 5,0, e B,, ; () Sejam u, u, v vetores em V tais que u v D, u v D e o vetor D D u u é paralelo ao vetor v Então, u u v QUESTÃO 5 Assinale V (verdadeiro) ou F (falso): (0) O plano {( x, y, R : x 5y 9z 5} contém os pontos (,,), (,,) e (,,) ; () O plano {( x, y, R : x y z } é ortogonal ao plano {( x, y, R : x y z 7} ; () A interseção dos três planos {( x, y, R : x y z }, {( x, y, R : x y z 6} e {( x, y, R : x y z 0} é o conjunto vazio; () O plano {( x, y, R : x y z 0} é tangente à bola {( x, y, R : ( x ) ( y ) z } no ponto (,, ); () A distância entre os planos {( x, y, R : x y z } e o plano QUESTÃO 5 {( x, y, R : x y z } é menor do que (um) Assinale V (verdadeiro) ou F (falso): (0) Um sistema homogêneo de equações lineares sempre tem solução; () A regra de Cramer para resolução de um sistema de equações lineares só pode ser aplicada se a matriz dos coeficientes do sistema for inversível; () Para que um sistema homogêneo de equações lineares tenha infinitas soluções basta que o determinante da matriz dos coeficientes seja diferente de zero;

17 () Um sistema homogêneo de m equações lineares com n incógnitas tem infinitas soluções se n m; () Qualquer sistema de m equações lineares com n incógnitas tem infinitas soluções se n m QUESTÃO 5 Seja T o operador linear cuja matriz na base natural,0, 0, M Assinale V (verdadeiro) ou F (falso): é dada por (0) A imagem de T é o R ; () O núcleo de T é uma reta em R ; () Os auto valores de T são positivos e distintos; () Os auto vetores de T são ortogonais; () O operador T possui um operador inverso T tal que para todo ponto ( x, y) R tem-se T ( T( x, y)) ( x, y)