Aula 25 - Espaços Vetoriais

Transcrição

1 Espaço Vetorial: Aula 25 - Espaços Vetoriais Seja V um conjunto não vazio de objetos com duas operações definidas: 1. Uma adição que associa a cada par de objetos u, v em V um único objeto u + v, denominado soma de u e v. 2. Uma multiplicação por escalar que associa a cada objeto v de V e escalar k (entendido como um número, real ou complexo) um único objeto k v, denominado múltiplo de v por k. O conjunto V acima será denominado um espaço vetorial e seus objetos serão chamados de vetores se as dez propriedades abaixo se verificarem para quaisquer vetores u, v, w e quaisquer escalares α, β. Propriedades da Adição 1. V é fechado sob a adição; isto é, se u, v V então u + v V ; 2. u + v = v + u; 3. ( u + v) + w = u + ( v + w); 4. V possui um elemento neutro da adição, denominado vetor nulo 0; isto é, u + 0 = u para todo u V ; 5. Para cada u V existe um elemento oposto u V ; isto é, u + ( u) = 0 para todo u V. Propriedades da Multiplicação por Escalar Subespaços: 1. V é fechado sob a multiplicação por escalar; isto é, se u V e α é um escalar, então α u V ; 2. α( u + v) = α u + α v; 3. (α + β) u = α u + β u; 4. α(β u) = (αβ) u; 5. 1 u = u. Um vetor w = (w 1,..., w n ) V é uma combinação linear dos vetores v 1,..., v k se ele pode ser escrito na forma w = c 1 v c k v k, 1

2 em que os escalares c 1,..., c k são chamados de coeficientes da combinação linear. Um conjunto não vazio W contido em um espaço vetorial V é chamado de subespaço de V se ele é fechado sob adição e multiplicação por escalar. Sejam v 1,..., v s vetores do V. O conjunto das combinações lineares desses vetores, v = c 1 v c s v s, forma um subespaço de V. De fato, tal conjunto é não vazio porque o vetor zero 0 = 0 v v s é uma combinação linear dos vetores v 1,..., v s ; além disso, a soma de duas combinações lineares e a multiplicação de uma combinação linear por um escalar continuam sendo combinações lineares. Tal subespaço é denominado subespaço gerado pelos vetores v 1,..., v s e denotado por [ v 1,..., v s ]. Dependência Linear: Um conjunto não nulo de vetores S = { v 1,..., v s } V é dito ser linearmente independente (LI) se os únicos escalares que satisfazem a equação vetorial c 1 v c s v s = 0 são c 1 =... = c s = 0. Equivalentemente, podemos dizer que o sistema linear homogêneo formado pelos vetores só admite a solução trivial. O conjunto S será linearmente dependente (LD) se houver um ou mais escalares não nulos que satisfazem a equação acima. Nesse caso, pelo menos um dos vetores pode ser escrito como combinação linear dos demais. Base: Um conjunto de vetores num espaço vetorial V é dito ser uma base para V se esse conjunto é linearmente independente e gera o espaço V. Seja S = { v 1,..., v k } uma base para V. Então cada vetor v pode ser expresso de maneira única como combinação linear dos vetores de S. De fato, se v = a 1 v a k v k e v = b 1 v b k v k, então 0 = (a 1 b 1 ) v (a k b k ) v k. 2

3 Como S é base, os vetores { v 1,..., v k } são LI de modo que os coeficientes na expansão acima devem ser todos nulos, isto é, Dimensão: a 1 = b 1,..., a k = b k. Pode ser mostrado que todo espaço vetorial admite uma base. Além disso, todas as bases de V têm o mesmo número de vetores. Esse número comum a todas as bases é característica do espaço vetorial V e denomina-se dimensão de V, sendo denotado por dim(v ). Um espaço vetorial V é dito ser de dimensão finita se tem uma base finita; caso contrário, ele é de dimensão infinita. Se V é um subespaço de W, então dim(v ) dim(w ). Para espaços de dimensão finita, a igualdade se verifica se e somente se V = W. Exercícios 1. Prove que é espaço vetorial. (a) o conjunto R das sequências infinitas de números reais com as operações usuais; (b) o conjunto F (, + ) das funções reais de uma variável real com as operações usuais. 2. Prove que é espaço vetorial. (a) o espaço M m n (R) das matrizes reais m n com as operações usuais; (b) o conjunto R + dos números reais positivos com as operações: u v = uv; α u = u α (c) o conjunto P F (, + ) de todos os polinômios. 3. Quais dos seguintes conjuntos são subespaços de F (, + )? (a) o conjunto P n F (, + ) de todos os polinômios de grau menor ou igual a n. 3

4 (b) Todas as funções f F (, + ) tais que f(0) = 0. (c) Todos os polinômios de grau Quais dos seguintes conjuntos são subespaços de F (, + )? (a) O conjunto P F (, + ) de todos os polinômios. (b) Todas as funções f F (, + ) tais que f(0) = 1. (c) Todas as funções f F (, + ) tais que f( x) = f(x). 5. Quais dos seguintes conjuntos são subespaços de R? (a) todas as sequências do tipo v = (v, 0, v, 0,...); (b) todas as sequências do tipo v = (v, 1, v, 1,...). 6. Quais dos seguintes conjuntos são subespaços de R? (a) todas as sequências do tipo v = (v, 2v, 4v, 8v, 16v,...); (b) todas as sequências cujas componentes são 0 a partir de certo ponto. 7. Quais dos seguintes conjuntos são subespaços de M n n (R)? (a) Matrizes invertíveis. (b) Matrizes diagonais. (c) Matrizes com traço zero. 8. Quais dos seguintes conjuntos são subespaços de M n n (R)? (a) Matrizes singulares. (b) Matrizes simétricas (A = A t ). (c) Matrizes antissimétricas (A = A t ). 9. Determine uma base e a dimensão do subespaço vetorial V M 3 3 (R) formado pelas matrizes antissimétricas de ordem Determine uma base e a dimensão do subespaço vetorial P 3 F (, + ) formado pelos polinômios de grau menor ou igual a 3. 4

5 Respostas 1. (a) (b) 2. (a) (b) (c) 3. (a) Sim. (c) Não. 4. (a) Sim. (b) Não. 5. (a) Sim. (b) Não. 6. (a) Sim. 7. (a) Não. 8. (a) Não. 9. Matrizes antissimétricas 3 3 têm a forma geral 0 a b a 0 c = a b b c Mostre que {1, x, x 2, x 3 } é uma base para P 3. +c