ÁLGEBRA LINEAR I - MAT0032

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1 UNIVERSIDADE FEDERAL DA INTEGRAÇÃO LATINO-AMERICANA Instituto Latino-Americano de Ciências da Vida e Da Natureza Centro Interdisciplinar de Ciências da Natureza ÁLGEBRA LINEAR I - MAT a Lista de exercícios 1 Diga qual das seguintes afirmações são verdadeiras ou falsas (a Todo operador linear em um espaço vetorial n-dimensional tem n autovalores distintos (b Se uma matriz real tem um autovalor, então ele tem um número infinito de autovetores (c Não existe uma matriz quadrada sem autovetores (d Autovalores devem ser escalares diferentes de zero (e Dois autovetores quaisquer são linearmente independente (f A soma de dois autovalores de um operador linear T é também é um autovalor de T (g Operadores lineares num espaço vetorial de dimensão infinita nunca tem autovalores (h Uma n n matriz A com entradas sobre o corpo F é similar a uma matriz diagonal se e somente se existe uma base para F n consistente de autovetores de A (i As matrizes similares têm sempre os mesmos autovalores (j As matrizes similares têm sempre os mesmos autovetores (k A soma de dois autovetores de um operador T é sempre um autovetor de T 2 Para cada um operador linear T num espaço vetorial V e bases ordenadas β, calcule [T ] β, e determine se β é uma base consistindo de autovetores de T (a V = R 2, T (x, y = (10x 6y, 17x 10y e β = {(1, 2, (2, 3} (b V = P 1 (R, T (a + bx = (6a 6b + (12a 11bx e β = {3 + 4x, 2 + 3x} (c V = R 3, T (x, y, z = (3x + 2y 2z, 4x 3y + 2z, z e β = {(0, 1, 1, (1, 1, 0, (1, 0, 2} (d V = P 2 (R, T (a + bx + cx 2 = ( 4a + 2b 2c (7a + 3b + 7cx + (7a + b + 5cx 2 e β = {x x 2, 1 + x 2, 1 x + x 2 } (e V = P 3 (R, T (a + bx + cx 2 + dx 3 = d + ( c + dx + (a + b 2cx 2 + ( b + c 2dx 3 e β = {1 x + x 3, 1 + x 2, 1, x + x 2 } ( ( a b 7a 4b + 4c 4d b (f V = M 2 2 (R, T = e c d 8a 4b + 5c 4d d β = {( ( 1 2, Para cada uma das seguintes matrizes A M 2 2 (F, (i Determine todos os autovalores de A ( 1 0, 2 0 ( 1 0, 0 2 } (ii Para cada autovalor λ de A, encontre o conjunto de autovetores correspondentes a λ (iii Se for possível, encontre uma base para F n consistindo de autovetores de A (iv Se for bem sucedido em encontrar tal base, determine uma matriz invertível Q e uma matriz diagonal D tal que Q 1 AQ = D ( 1 2 (a A = para F = R (b A = para F = R ( i 1 (c A = para F = C 2 i 1

2 (d A = para F = R 4 Para cada operador linear T em V, encontre os autovalores de T e uma base ordenada β para V tal que [T ] β é uma matriz diagonal (a V = R 2 e T (x, y = ( 2x + 3y, 10x + 9y (b V = R 3 e T (x, y, z = (7x 4y + 10z, 4x 3y + 8z, 2x + y 2z (c V = R 3 e T (x, y, z = ( 4x + 3y 6z, 6x 7y + 12z, 6x 6y + 11z (d V = P 1 (R e T (a + bx = ( 6b + a + (2a 6bx (e V = P 2 (R e T (f(x = xf (x + f(2x + f(3 (f V = P 3 (R e T (f(x = f(x + f(2x (g V = P 3 (R e T (f(x = xf (x + f (x f(2 ( ( a b d b (h V = M 2 2 (R e T = c d c a ( ( a b c d (i V = M 2 2 (R e T = c d a b (j V = M 2 2 (R e T (A = A t + 2tr(A I 2 5 Seja T um operador linear num espaço vetorial V de dimensão finita e seja β uma base ordenada para V Prove que λ é um autovalor de T se e somente se λ é um autovalor de [T ] β 6 Seja T um operador linear num espaço vetorial V finito-dimensional Definimos o determinante de T, denotado det(t, como segue: Escolha qualquer base ordenada β para V, e definimos det(t = det([t ] β (a Prove que a definição anterior é independente da escolha da base ordenada para V Isto é, provar que se β e γ são duas bases ordenadas para V, então det([t ] β = det([t ] γ (b Prove que T é invertível se, e somente se, det(t 0 (c Prove que se T é invertível, então det(t 1 = [det(t ] 1 (d Prove que se U é também um operador linear em V, então det(t U = det(t det(u (e Prove que det(t λi V = det([t ] β λi para qualquer escalar λ e qualquer base ordenada β para V 7 (a Prove que um operador linear T em um espaço vetorial finito-dimensional é invertível se e somente se zero não é um autovalor de T (b Seja T um operador linear invertível Prove que um escalar λ é um autovalor de T se e somente se λ 1 é um autovalor de T 1 (c Enuncie e prove resultados análogos de (a e (b para matrizes 8 Prove que os autovalores de uma matriz M triangular superior são as entradas da diagonal de M 9 Seja V um espaço vetorial de dimensão finita e seja λ um escalar qualquer (a Para qualquer base ordenada β para V, prove que [λi V ] β = λi (b Calcule o polinômio característico de λi V (c Mostre que λi V é diagonalizável e tem apenas um autovalor 10 Uma matriz escalar é uma matriz quadrada da forma λi para algum escalar λ; isto é, uma matriz escalar é uma matriz diagonal na qual todas a entradas diagonais são iguais (a Prove que se uma matriz quadrada A é similar à uma matriz escalar λi, então A = λi (b Mostre que uma matriz diagonalizável que tem apenas um autovalor é um matriz escalar ( 1 1 (c Prove que não diagonalizável 0 1 2

3 11 (a Prove que matrizes similares tem o mesmo polinômio característico (b Mostre que a definição de polinômio característico de um operador linear num espaço vetorial V finito-dimensional independente da escolha da base para V 12 Sejam T um operador linear sobre um F espaço vetorial V finito-dimensional, β uma base ordenada para V e A = [T ] β Em relação ao diagrama abaixo V T V φ β F n L A F n φ β prove o seguinte: (a Se v V e φ β (v é autovetor de A correspondente ao autovalor λ, então v é um autovalor de T correspondente ao autovalor λ (b Se λ é um autovalor de A (e portanto de T, então um vetor y F n é um autovetor de A correspondente a λ se e somente se φ 1 β (y é um autovetor de T correspondente a λ 13 Para qualquer matriz quadrada A, prove que A e A t têm o mesmo polinômio característico (e, portanto, os mesmos autovalores 14 (a Seja T um operador linear num espaço vetorial V, e seja x um autovetor de T correspondente ao autovalor λ Para qualquer inteiro positivo m, prove que x é um autovetor de T m correspondente ao autovalor λ m (b Enuncie e prove um resultado análogo para matrizes 15 (a Prove que matrizes similares têm o mesmo traço (b Como você definiria o traço de um operador linear sobre um espaço vetorial finito-dimensional? Justifique que sua definição é bem definida 16 Seja T um operador linear em M n n (R definida por T (A = A t (a Mostre que ±1 são os únicos autovalores de T (b Descrever os autovetores correspondentes a cada autovalor de T (c Encontre uma base ordenada β para M 2 2 (R tal que [T ] β é uma matriz diagonal (d Encontre uma base ordenada β para M n n (R tal que [T ] β é uma matriz diagonal para n > 2 17 Sejam A, B M n n (C (a Prove que se B é invertível, então existe um escalar c C tais que A + cb não é invertível (b Encontre matrizes 2 2 não nulas A e B tal que tanto A como A + cb são invertíveis para todo c C 18 Sejam A e B matrizes n n similares Prove que existem um espaço vetorial V n dimensional, um operador linear T em V e bases ordenadas β e γ para V tal que A = [T ] β e B = [T ] γ 19 Seja A uma matriz n n com polinômio característico f(t = ( 1 n t n + a n 1 t n a 1 t + a 0 Prove que f(0 = a 0 = det(a Deduzir que A é invertível se, e somente Se a Sejam A e f(t como no Exercício 19 (a Prove que f(t = (A 11 t(a 22 t (A nn t + q(t, onde q(t é um polinômio de grau no máximo n 2 (b Mostre que tr(a = ( 1 n 1 a n 1 21 (a Seja T um operador linear num F -espaço vetorial V e seja g(t um polinômio com coeficientes em F Prove que se x é um autovetor de T com correspondente autovalor λ, então g(t (x = g(λx Isto é, x é um autovetor de g(t com correspondente autovalor g(x 3

4 (b Enuncie e prove um resultado comparável para matrizes (c Verifique ( (b para a matriz A do Exercício 3(a com polinômio g(t = 2t 2 t + 1, autovetor 2 x = e com correspondente autovalor λ = Use o Exercício 21 para provar que se f(t é o polinômio característico de um operador linear T diagonalizável, então f(t = T 0, o operador zero 23 Use o Exercício 20(a para provar o Teorema 3 (feito em aula 26/06 24 Prove os Corolários 1 e 2 do Teorema 3 (feito em aula 26/06 25 Determine o número de polinômios característicos distintos das matrizes em M 2 2 (Z 2 26 Diga qual das seguintes afirmações são verdadeiras ou falsas (a Qualquer operador linear em um espaço vetorial n-dimensional que tem menos de n autovalores distintos não é diagonalizável (b Dois autovetores distintos correspondentes para o mesmo autovalor são sempre linearmente independentes (c Se λ é um autovalor de um operador linear T, então cada vetor em E λ é um autovetor de T (d Se λ 1 e λ 2 são autovalores distintos de um operador linear T, então E λ1 E λ2 = {0} (e Seja A M n n (F e β = {v 1, v 2,, v n } uma base ordenada para F n consistindo de autovetores de A Se Q é a matriz n n cuja j ésima coluna é v j (1 j n, então Q 1 AQ é uma matriz diagonal (f Um operador linear T em um espaço vetorial de dimensão finita é diagonalizável se e somente se a multiplicidade de cada autovalor λ é igual à dimensão de E λ (g Cada operador linear diagonalizável em um espaço vetorial diferente de do espaço zero tem pelo menos um autovalor (h Se um espaço vetorial é a soma direta dos subespaços W 1, W 2,, W k, então W i W j = {0} para i j (i Se V = W i e W i W j = {0} para i j, então V = W 1 W 2 W k 27 Para cada uma das seguintes matrizes A M n n (R, teste A para diagonalizar, e se A é diagonalizável encontre uma matriz Q invertível e uma matriz diagonal D tal que Q 1 AQ = D (a ( (b ( (c ( (d (e (f (g (h (i Para cada um dos seguintes operadores lineares T num espaço vectorial V, teste T para diagonalizar, e se T é diagonalizável encontre uma base β para V tal que [T ] β é uma matriz diagonal (a V = P 3 (R e T é definido por T (f(x = f (x + f (x (b V = P 2 (R e T é definido por T (ax 2 + bx + c = cx 2 + bx + a (c V = R 3 e T é definido por T (x, y, z = (y, x, 2z 4

5 (d V = P 2 (R e T é definido por T (f(x = f(0 + f(1(x + x 2 (e V = C 2 e T é definido por T (z, w = (z + iw, iz + w (f V = M 2 2 (R e T é definido por T (A = A t 29 Prove a versão para matrizes do corolário Teorema 5 (feito em aula 02/07: Se A M n n (F tem n autovalores distintos, então A é diagonalizável 30 Enuncie e prove uma versão para matrizes do Teorema 6 (feito em aula 02/07 31 (a Justifique o teste para diagonalizar e o método para diagonalizar (feito em aula 02/07 32 Para (b Formular os resultados em (a para matrizes A = ( M 2 2 (R, encontre uma expressão para A n, onde n é um número inteiro positivo arbitrário 33 Suponha que A M n n (F tem dois autovalores distintos, λ 1 e λ 2, e que dim(e λ1 = n 1 Prove que A é diagonalizável 34 Seja T um operador linear em um espaço vetorial V de dimensão finita, e suponhamos que exista uma base ordenada β para V tal que [T ] β é uma matriz triangular superior (a Prove que o polinômio característico de T decompõe-se (b Enuncie e prove um resultado análogo para matrizes 35 Seja T um operador linear em um espaço vetorial V finito-dimensional com autovalores distintos λ 1, λ 2,, λ k e correspondentes multiplicidades m 1, m 2,, m k Suponha que β é uma base de V tal que [T ] β é uma matriz triangular superior Prove que as entradas diagonais de [T ] β são λ 1, λ 2,, λ k e que cada λ i ocorre m i -vezes (1 i k 36 Seja A ma matriz n n que é similar a uma matriz triangular superior e tem autovalores distintos λ 1, λ 2,, λ k com as correspondentes multiplicidades m 1, m 2,, m k Prove as seguintes afirmações: (a tr(a = m i λ i (b det(a = (λ 1 m1 (λ 2 m2 (λ k m k 37 Seja T um operador linear invertível em um espaço vetorial V de dimensão finita (a Lembre-se que para qualquer autovalor λ de T, λ 1 é um autovalor de T 1 Prove que o autoespaço de T correspondente a λ é igual ao autoespaço de T 1 correspondente a λ 1 (b Prove que se T é diagonalizável, então T 1 é diagonalizável 38 Seja A M n n (F Lembre-se que A e A t têm o mesmo polinômio característico e, portanto, compartilham os mesmos autovalores com as mesmas multiplicidades Para qualquer autovalor λ de A e A t, sejam E λ e E λ denotam os correspondentes autoespaços de A e At, respectivamente (a Mostre por meio de um exemplo que para um autovalor comum, estes dois autoespaços não necessariamente são iguais (b Prove que para qualquer autovalor λ, dim(e λ = dim(e λ (c Prove que se λ é diagonalizável, então A t é também diagonalizável 39 Encontre a solução geral para cada sistema de equações diferenciais { x (a = x + y y = 3x y (b { x 1 = 8x x 2 x 2 = 5x 1 7x 2 (c x 1 = x 1 + x 3 x 2 = x 2 + x 3 x 3 = 2x 3 5

6 40 Seja A = a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n a n1 a n2 a nn a matriz de coeficientes do sistema de equações diferenciais x 1 = a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n = a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n x 2 x n = a n1 x 1 + a n2 x a nn x n Suponhamos que A é diagonalizável e que os autovalores distintos de A são λ 1, λ 2,, λ k Prove que uma função diferenciável x : R R n é uma solução para o sistema se e somente se x é da forma x(t = e λ1t z 1 + e λ2t z e λ kt z k, onde z i E λi para i = 1, 2,, k Use este resultado para provar que o conjunto de soluções para o sistema é um espaço vetorial real n-dimensional 41 Seja C M n n (R e seja Y uma matriz n p de funções diferenciais Prove que (CY = CY, onde (Y ij = Y ij para todo i, j Definição: Dois operadores lineares T e U num espaço vetorial V finito-dimensional são chamados simultaneamente diagonalizáveis se existe uma base ordenada para V tal que ambos [T ] β e [U] β são matrizes diagonais Similarmente, A, B M n n (F são chamados simultaneamente diagonalizáveis se existe uma matriz invertível Q M n n (F de tal forma que ambos Q 1 AQ e Q 1 BQ são matrizes diagonais 42 (a Prove que se T e U são operadores lineares em um espaço vetorial V finito-dimensional simultaneamente diagonalizáveis, então as matrizes [T ] β e [U] β são simultaneamente diagonalizáveis para qualquer base ordenada β (b Prove que se A e B são matrizes simultaneamente diagonalizáveis, então L A e L B são operadores simultaneamente diagonalizáveis 43 (a Prove que se T e U são operadores simultaneamente diagonalizáveis, então T e U comuta (isto é, T U = UT (b Mostre que se A e B são matrizes simultaneamente diagonalizáveis então A e B comutam 44 Seja T um operador linear em um espaço vetorial V finito dimensional diagonalizável e seja m um inteiro positivo qualquer Prove que T e T m são simultaneamente diagonalizáveis 45 Sejam W 1, W 2,, W k subespaços do espaço vetorial V finito dimensional tais que W i = V Prove que V é soma direta de W 1, W 2,, W k se e somente se dim(v = dim(w i 46 Seja V um espaço vetorial finito dimensional com uma base β e sejam β 1, β 2,, β k uma partição de β (isto é, β 1, β 2,, β k são subconjuntos de β tal que β = β 1 β 2 β k e β i β j = se i j Prove que V = S(β 1 S(β 2 S(β k 47 Seja T um operador linear num espaço vetorial V finito-dimensional e suponhamos que os autovalores distintos de T são λ 1, λ 2,, λ k Prove que S({x V ; x é um autovetor de T } = E λ1 E λ2 E λk 6

7 48 Sejam W 1, W 2, K 1,, K p, M 1, M 2,, M q subespaços do espaço vetorial V tais que W 1 = K 1 K 2 K p e W 2 = M 1 M 2 M q Prove que se W 1 W 2 = {0} então W 1 + W 2 = W 1 W 2 = K 1 K 2 K p M 1 M 2 M q Foz do Iguaçu, 26 de junho de 2018 Víctor Arturo Martínez León 7