Autovalores e Autovetores

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1 Autovalores e Autovetores Maria Luísa B. de Oliveira SME0300 Cálculo Numérico 24 de novembro de 2010

2 Introdução Objetivo: Dada matriz A, n n, determinar todos os vetores v que sejam paralelos a Av.

3 Introdução Objetivo: Dada matriz A, n n, determinar todos os vetores v que sejam paralelos a Av. Sendo A uma matriz de ordem n n, definimos um autovalor de A como um escalar λ C se existe um vetor v (n 1) não-nulo tal que Av = λv. Todo vetor v que satisfaz essa relação é denominado um autovetor de A correspondente ao autovalor λ.

4 Introdução Objetivo: Dada matriz A, n n, determinar todos os vetores v que sejam paralelos a Av. Sendo A uma matriz de ordem n n, definimos um autovalor de A como um escalar λ C se existe um vetor v (n 1) não-nulo tal que Av = λv. Todo vetor v que satisfaz essa relação é denominado um autovetor de A correspondente ao autovalor λ. Para determinar λ, como Av = λv (A λi n ) v = 0, então devemos resolver a equação det (A λi n ) = 0. Para cada valor de λ devemos determinar (pelo menos) um v correspondente.

5 Introdução Exemplo: Determinar os autovalores e autovetores de 3 4 A =. 2 1 Solução: Vamos calcular primeiro det(a λi n ) = 0. (3 λ) 4 2 (1 λ) = 0 (3 λ)(1 λ) 8 = 0 λ 2 4λ 5 = 0 (λ 5)(λ + 1) = 0. Então λ é autovalor de A se e somente se λ = 5 ou λ = 1. Para calcular v = [v 1, v 2 ] T correspondentes, resolver (3 λ) 4 2 (1 λ) v1 = v

6 Introdução 2 4 v1 0 2v1 + 4v 2 = 0 λ = 5 : = 2 4 v 2 0 2v 1 4v 2 = 0 2 v 1 = 2v 2 v = v 2, v 1 2 R. 4 4 v1 0 4v1 + 4v 2 = 0 λ = 1 : = 2 2 v 2 0 2v 1 + 2v 2 = 0 1 v 1 = v 2 v = v 2, v 1 2 R.

7 Métodos Numéricos Introdução Métodos numéricos para determinar os autovalores e autovetores correspondentes de uma matriz A de ordem n, sem calcular o determinante. Três grupos: i) métodos que determinam polinômio característico; ii) métodos que determinam alguns autovalores: iii) métodos que determinam todos os autovalores:

8 Métodos Numéricos Introdução Métodos numéricos para determinar os autovalores e autovetores correspondentes de uma matriz A de ordem n, sem calcular o determinante. Três grupos: i) métodos que determinam polinômio característico; ii) métodos que determinam alguns autovalores: método das potências e da potência inversa; iii) métodos que determinam todos os autovalores: método de Jacobi.

9 Método das Potências Objetivo: Determinar o autovalor de maior valor absoluto λ 1 de uma matriz A e seu autovetor v correspondente. Suponha que, para a matriz A de ordem n, λ 1 > λ 2... λ n, isto é, λ 1 é o autovalor de maior valor absoluto de A. Também suponha que os autovetores são linearmente independentes. Se há uma sequência de vetores y k definida por com y 0 arbitrário, então y k+1 = Ay k, k = 0, 1,... λ 1 = lim k (y k+1 ) r (y k ) r e v = lim k (y k ).

10 Método das Potências Para determinar λ 1, seguimos o seguinte algoritmo: Dado um vetor y 0 qualquer, não nulo, construímos z k+1 = Ay k ; y k+1 = 1 α k+1 z k+1 ; k = 0, 1, 2,..., com α k = max 1 r n (z k+1 ) r. A cada k = 0, 1,... determinar o vetor λ (k) 1 = (z k+1) r. (y k ) r Se, para qualquer componente r, λ (k) 1 λ(k 1) 1 r λ (k) 1 então λ 1 = (λ (k) 1 ) r e v = y k. < ϵ, r

11 Método das Potências Exemplo: Determinar o maior autovalor (em valor absoluto) λ 1 e o autovetor correspondente v 1 de 3 4 A =. 2 1 Tomemos y 0 = [1, 1] T. Então

12 Método das Potências Exemplo: Determinar o maior autovalor (em valor absoluto) λ 1 e o autovetor correspondente v 1 de 3 4 A =. 2 1 Tomemos y 0 = [1, 1] T. Então k = 0 : z 1 = Ay 0 = [7, 3] T ; α 1 = max ( 7, 3 ) = 7. λ (0) 1 = (z 1) r /(y 0 ) r = [7, 3] T ; y 1 = z 1 /α 1 = 1, 3 7 T.

13 Método das Potências Exemplo: Determinar o maior autovalor (em valor absoluto) λ 1 e o autovetor correspondente v 1 de 3 4 A =. 2 1 Tomemos y 0 = [1, 1] T. Então k = 0 : z 1 = Ay 0 = [7, 3] T ; α 1 = max ( 7, 3 ) = 7. λ (0) 1 = (z 1) r /(y 0 ) r = [7, 3] T ; y 1 = z 1 /α 1 = 1, 3 T 7. k = 1 : z 2 = Ay 1 = 33 7, 17 T 7 ; 33 α2 = max, 17 = λ (1) 1 = (z 2) r /(y 1 ) r = 33 7, 17 T 3 ; y2 = z 2 /α 2 = 1, 17 T 33.

14 Método das Potências Exemplo: Determinar o maior autovalor (em valor absoluto) λ 1 e o autovetor correspondente v 1 de 3 4 A =. 2 1 Tomemos y 0 = [1, 1] T. Então k = 0 : z 1 = Ay 0 = [7, 3] T ; α 1 = max ( 7, 3 ) = 7. λ (0) 1 = (z 1) r /(y 0 ) r = [7, 3] T ; y 1 = z 1 /α 1 = 1, 3 T 7. T ; 33 α2 = max, 17 = , 17 T 3 ; y2 = z 2 /α 2 = 1, k = 1 : z 2 = Ay 1 = 33 7, 17 7 λ (1) 1 = (z 2) r /(y 1 ) r = 33 λ (1) 1 λ(0) 1 r λ (1) 1 r 0,485 ;... 0,471 T.

15 Método da Potência Como determinar o menor autovalor λ n (e respectivo autovetor v) de A?

16 Método da Potência Inversa Como determinar o menor autovalor λ n (e respectivo autovetor v) de A? Determinar maior autovalor de A 1 (e respectivo autovetor).

17 Método da Potência Inversa Como determinar o menor autovalor λ n (e respectivo autovetor v) de A? Determinar maior autovalor de A 1 (e respectivo autovetor). Dado y 0, resolver para z k+1 e Az k+1 = y k y k+1 = 1 α k+1 z k+1 para determinar 1 λ n = lim k (zk+1 ) r (y k ) r e v = lim k (y k ).

18 Método de Jacobi Objetivo: Determinar todos os autovalores e autovetores de uma matriz simétrica A. Seja u pp = u qq = cos φ u pq = u qp = sen φ U k = u ii = 1, u ij = 0, i = 1,..., n; j = 1,..., n, i = p, i = q no resto uma matriz de rotação de um ângulo φ no plano dos eixos p e q, tal que U 1 k = UT k.

19 Método de Jacobi Se D = diag(λ 1,..., λ n ) = V 1 AV e λ 1,..., λ n são autovalores de A, então as colunas de V são autovetores v i de A correspondentes aos autovalores λ i. O Método de Jacobi utiliza as matrizes U k para, a cada passo k, zerar um par de elementos fora da diagonal da matriz A, com A k+1 = U T k A ku k, A 1 = A e assim obter uma matriz equivalente diagonal. Então, λ 1 λ 2 D =... A m+1 = U T m UT 1 AU 1 U m. λn

20 Método de Jacobi Algoritmo: Para cada k, até que A k+1 seja diagonal: 1) Determinar o elemento de maior módulo de A k fora da diagonal. Esse elemento tem coordenadas linha p e coluna q. 2) Calcular: i) ϕ = a qq a pp ii) t = ; 2a pq 1, ϕ = 0; ϕ+sinal(ϕ) ϕ , ϕ = 0 ; iii) cos φ = 1 1+t 2 ; iv) sen φ = t 1+t 2 ; 3) Calcular A k+1 = U T k A ku k, com A 1 = A e U k sendo a matriz de rotação de ângulo φ no plano p, q.

21 Método de Jacobi Exemplo: Determinar os autovalores e autovetores de 4 2 A =. 2 1 Seja A 1 = A. Como a 12 = 2 é o elemento de maior módulo de A 1, então p = 1 e q = 2. Assim: ϕ = a 22 a 11 = 1 4 2a 12 4 = 3 4 ; 1 t = = 1 2 = 1 2 ; cos φ = 1 = 2 ; senφ = Então, U 1 = A 2 = U T 1 A 1U 1 = ; U T 1 = (diagonal). 0 0 λ 1 = 5, v 1 = 25, 1 5 T; λ2 = 0, v 2 = ; 1 5, 2 5 T 5.