UFRGS INSTITUTO DE MATEMÁTICA E ESTATÍSTICA Programa de Pós-Graduação em Matemática Aplicada Prova Escrita - Processo Seletivo 2017/2 - Mestrado

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1 UFRGS INSTITUTO DE MATEMÁTICA E ESTATÍSTICA Programa de Pós-Graduação em Matemática Aplicada Prova Escrita - Processo Seletivo 27/2 - Mestrado A prova é composta de 6 (seis) questões, das quais o candidato deve resolver 4 (quatro), sendo pelo menos uma de cada área, isto é, deve obrigatoriamente escolher uma questão de cada área e escolher mais uma de qualquer uma das três áreas Cada questão vale 2,5 pontos de um total de pontos Para ser classicado para ingresso no mestrado, o candidato deve totalizar 5 (cinco) sobre (dez) como nota mínima global para a prova escrita, que tem caráter obrigatório As questões devem ser desenvolvidas em folhas distintas, uma questão por folha Em cada folha o candidato deve colocar o seu nome e especicar a área e a questão escolhida Análise na Reta Questão Faça o que se pede em cada item, justicando cada procedimento e estabelecendo a existência de limites quando necessário (a) Calcule o valor da integral imprópria dada por xe x dx (b) Encontre a função f(x) dada por f(x) d x 2 e t2 dt dx x (c) Mostre que se α é uma raiz de multiplicidade dois de uma função polinomial p(x) com coecientes reais, então α também é raiz de p (x) Questão 2 Dena Γ n (a) Use o fato que ln(x) ( k x ) ln(n), n, 2, 3, k (b) Mostre que Γ n Γ n, n, 2, 3, x dt t para mostrar a seguinte desigualdade: ln( x) x, x (, ) dt (c) Use o fato que ln(x) e que t t, t >, para mostrar que Γ n Obs: t é a t parte inteira de t, isto é, o maior inteiro menor ou igual a t (d) Conclua que existe o limite dado por: lim n ( k ) k ln(n)

2 2 Métodos de Matemática Aplicada Questão 3 Seja f :, ) R uma função integrável à Riemann em qualquer intervalo, a, a >, e seja D o subconjunto dos complexos dado por { } D : s C : f(t)e st dt < Considere F : D C dada por F (s) : L {f(t)} : f(t) f(t)e st dt, a transformada de Laplace de (a) Calcule passo a passo L { e at} com a R, explicitando o domínio D de denição (b) Calcule passo a passo a transformada inversa de F (s) 6 s 3 + 4s 2 + 3s Questão 4 Resolva o seguinte problema de valor inicial u t (x, t) u xx (x, t), x (, ), t > u(, t), t >, u(, t), t >, u(x, ) f(x), x, onde a condição inicial é dada por:, x, /2), f(x) /2, x /2,, x (/2, 2

3 3 Álgebra Linear Questão 5 Faça o que se pede em cada item (a) Seja A uma matriz quadrada de ordem n tal que todas as somas de linhas tenham o mesmo valor k Mostre que k é um autovalor de A (b) Seja B uma matriz quadrada de ordem n que possui n autovalores reais λ, λ 2,, λ n Mostre que o determinante de B é igual ao produto dos n autovalores de B (Dica: olhe para o polinômio característico de B) (c) Diagonalize a matriz A e calcule A, onde A Questão 6 Uma matriz quadrada A de ordem n é dita diagonal dominante se a ii para todo i e diagonal estritamente dominante se a desigualdade é estrita (a) Mostre que toda matriz estritamente diagonal dominante é inversível (b) Mostre que a matriz diagonal dominante A dada a seguir é singular: A 2 j,j i a ij 3

4 4 Soluções Solução da questão : (a) xe x dx lim xe x dx s lim se s + e x dx s lim se s + e s s s s lim s s + e s, onde se usou a fórmula de integração por partes dada por: b com f(x) x e g(x) e x a f(x)g (x)dx f(b)g(b) f(a)g(a) b a f (x)g(x)dx (b) Como e x2 é contínua, também é integrável a Riemann em qualquer intervalo a, b Dena F : R R como de forma que F (x) f(x) d x 2 e t2 dt dx x x e t2 dt e t2 dt d F (x 2 ) F (x) dx Pelo teorema fundamental do cálculo, temos que F (x) e x2, portanto: f(x) 2xF (x 2 ) F (x) 2xe x4 e x2 (c) Temos que p(x) (x α) 2 g(x), com g(x) uma função polinomial Logo Portanto, p (α) p (x) 2(x α)g(x) + (x α) 2 g (x) (x α) 2g(x) + (x α)g (x) Solução da questão 2: (a) x dt ln( x) t dt x t dt x x (b) Γ n Γ n ln(n) + ln(n ) n ( ) n n + ln n ( n + ln ), pelo item (a) com x /n (, ) n 4

5 (c) Γ n k k k ln(n) n k k k k+ k n k dt t dt t k k n k k n k k k n > k+ k dt t (d) Do item (b), temos que a sequência é não-crescente e, do item (c), que ela é limitada inferiormente Portanto, ela é convergente Solução da questão 3: (a) Primeiro, calculamos o domínio D, para tal escrevemos s σ + iω, onde σ e ω são a parte real e imaginária de s, respectivamente Observe que f(t)e st dt lim T f(t)e σt (cos(ωt) + i sen(ωt)) dt f(t) e σ dt ( ) e (a σ)t a σ e at e σt dt e (a σ)t dt É fácil ver que este limite existe se e somente se σ > a Portanto o domínio D é dado por: D {s C : Re(s) > a}, onde Re(s) é a parte real de s Para calcular F (s) basta reproduzir a integração: L { e at} e (a s)t dt s a, Re(s) > a (b) Assim pelo item (a), temos: 6 F (s) s 3 + 4s 2 + 3s 6 s(s 2 + 4s + 3) 6 s(s + )(s + 3) 2 s 3 s + + s + 3 L {F (s)} 2 3e t + e 3t, t Solução da questão 4: Primeiro consideremos buscar soluções do tipo u(x, t) X(x)T (t) Substituindo na equação temos: X(x)T (t) X (x)t (t) T (t) T (t) X (x) X(x) A segunda expressão não pode depender de x pelo lado esquerdo, nem de t pelo lado direito, portanto é constante, isto é: T (t) T (t) X (x) X(x) λ 5

6 Assim temos as seguinte condições: T (t) λt (t) T (t) T ()e λt e X (x) λx(x) Dividimos nossa análise em três casos: λ >, λ e λ < Se λ >, X(x) Ae λx + Be λx As condições de contorno X() X() implicam A B Se λ, X(x) A + Bx As condições de contorno X() X() implicam A B Se λ <, X(x) A sen( λx) + B cos( λx) As condições de contorno X() X() implicam B e λ πn, n, 2, 3, Desta forma, procuramos soluções do tipo u(x, t) onde a n são constantes Olhamos, agora, a condição inicial: a n e π2 n 2t sen(nπx) n u(x, ) f(x) Da teoria padrão de Séries de Fourier, temos: a n 2 2 cos(nπx) nπ a n sen(nπx) n f(x) sen(nπx)dx 2 /2 /2 2 cos(nπ/2) nπ sen(nπ)dx Solução da questão 5: (a) Seja A a ij n n uma matriz cuja soma dos elementos de cada linha é k e seja v o vetor T R n Temos que: a a n a + + a n k A v k k v a n a nn a n + + a nn k Portanto, k é um autovalor de A (b) Seja p(λ) det(b λi) o polinômio característico de B Como B tem n autovalores reais λ, λ 2,, λ n, p(λ) ( ) n (λ λ )(λ λ 2 ) (λ λ n ) Assim, para λ, obtemos det(b) p() ( ) n ( ) n λ λ 2 λ n λ λ 2 λ n 6

7 (c) O polinômio característico de A é λ 2 tr(a)λ + det(a) λ 2 3λ + 2 Portanto, os autovalores de A são e 2 obtemos: Determinando os autoespaços correspondentes, Para o autovalor : 3 3 x 2 2 y Logo obtemos o subespaço gerado pelo vetor Para o autovalor 2: 2 3 x 2 3 y 3 Logo obtemos o subespaço gerado pelo vetor 2 3 Consequentemente, considerando P, D e P 2 2 que A P DP Portanto, 3 A P D P , temos Solução da questão 6: (a) É suciente mostrar que se Av, então v Sejam v j, j, 2,, n, as entradas do vetor v e escolha k tal que v k max j j n Agora basta mostrar que v k Da multiplicação na k-ésima linha, temos: equivalente a Tomando módulo, temos: Isto é: a kk v k a kj v j, j a kk v k j,j k j,j k a kj v j a kj v j v k j,j k a kj 7

8 a kk a kj v k j,j k Da condição de diagonal estritamente dominante, temos que a kk a kj > j,j k Isto signica que v k (b) O vetor v T está no núcleo da matriz 8