Forma Canônica de Matrizes 2 2

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1 Forma Canônica de Matrizes Slvie Olison Kamphorst Departamento de Matemática - ICE - UFMG Versão. - Novembro 5 a b Seja A c d induzida por A uma matriz real e seja T a transformação operador linear de R T : R R X T X AX Se P é uma matriz inversível, dizemos que matriz P AP é semelhante a A. Como as colunas de P são vetores linearmente independentes, elas formam uma base B de R e portanto P [I] C B representa a matriz de transição da base B para a base canônica. Assim a matriz representa a transformação T na base B. P AP [I] B C [T ] C C [I] C B [T ] B B Nosso objetivo é escolher P de tal maneira que P AP seja o mais simples possível. Equivalentemente queremos escolher uma base B de tal maneira que a transformação linear T seja a mais simples possível geometricamente. Dizemos que um número λ é autovalor de A, se eistir um vetor v não nulo tal que Av λv. Ou seja, se o sistema de duas equações com duas incógnitas A λiv tiver solução não trivial. Portanto λ será autovalor de A se e somente se a matriz A λi for não inversível, ou seja se deta λi, já que se esta matriz tiver inversa, o sistema homogêneo terá apenas solução trivial. Chamamos de polinômio característico de A pλ deta λi Autovalores Compleos. Modelo Consideremos em R a matriz de rotação de um ângulo θ no sentido anti-horário. cos θ sen θ R θ sen θ cos θ

2 O polinômio característico de R θ é dado por detr θ λi λ trr θ λ + detr θ λ cos θ λ + de tal maneira que os autovalores de R θ raízes do polinônio característico são dados por λ cos θ ± cos θ Ou seja, temos um par de autovalores compleos: λ cos θ + i sen θ e λ cos θ i sen θ seu compleo conjugado. Calculando os autovetores correspondentes temos para λ cos θ sen θ R θ cos θ + i sen θ sen θ cos θ e portanto cos θ sen θ cos θ + i sen θ sen θ + cos θ cos θ + i sen θ o que implica que i e portanto um autovetor compleo é dado por w, i. Analogamente, encontramos, associado a λ, o autovetor w, i. Note que os autovetores associados a λ e λ são realmente o compleo conjugado um do outro. Os autovetores são w, ± i,. Ambos são uma combinação linear com coecientes compleos dos vetores canônicos de R, ou melhor dizendo, cada um deles tem como parte real e parte imaginária respectivamente os vetores e, e e, da base canônica.. Eemplo Seja A. Seus autovalores são λ ± i cos π ± i sen π. Queremos mostrar que A é semelhante à rotação de π/, isto é, que eiste uma matri P, inversível tal que P AP R π/. Observemos, no entanto, que se P é uma matriz ortogonal qualquer, então P R θ P R θ para qualquer rotação. Geometricamente, isto traduz o fato que, qualquer que seja a base ortonormal escolhida em R, a matriz que representao uma rotação de um ângulo θ tem sempre o mesmo efeito sobre os vetores da base. Portanto, se A for semelhante a uma matriz de rotação, necessariamente P não será ortogonal. Vamos calcular os autovetores. Para λ + i temos + i

3 ou seja o autovetor w é dado por w + i + i Analogamente, para λ i w obtemos o autovetor i i Ou seja, w u + iv e w u iv com u, v vetores não nulos e linearmente independentes de R, de tal maneira que a matriz P v u é inversível. Efetuando as contas, vericamos que P AP / / / / R π/ e portanto a matriz A é semelhante à matriz de rotação de π. Caso Geral e Demonstrações a b Seja A, uma matriz, com entradas reais, tal que seu polinônio característico, c d pλ deta λi não tenha raízes reais. Como as entradas de A são números reais, o seu polinômio característico pλ λ a + dλ + ad bc tem coecientes reais e suas raízes são dadas por λ a + d ± a + d 4ad bc. Supondo que o discriminante de p seja negativo, a + d 4ad bc a d + 4bc < teremos duas raízes compleas. λ α + iβ, λ α iβ com α a + d β a d + bc

4 reais. Note que uma raiz é o compleo conjugado da outra. Assim, A tem um par de autovalores compleos λ e λ. Seja w u + iv o autovetor compleo de A associado a λ. Temos assim A w λ w Au + iv α + iβu + iv Au + iav αu βv + iβu + αv e portanto Av α v + β u Au β v + α u Assumindo vamos demonstrar este fato mais tarde que u e v são vetores linearmente independentes, eles formam uma base para R. Se T é a transformação linear induzida pela matriz A, dada em e levarmos em conta as equações, na base B {v, u} a transformação T é representada pela matriz [T ] B α β B M 4 β α ou seja, se P v u [I] C B é a matriz de mudança da base B para a base canônica C, então A [T ] C C [I]C B [T ]B B [I]B C P MP. Observamos que M pode ser ser reescrita como cos θ sin θ M r sin θ cos θ onde r α + β é um número real positivo e θ < π é denido por cos θ α/r, sin θ β/r. Portanto temos o seguinte resultado. Teorema Seja A uma matriz real, tal que as raízes de seu polinômio característico sejam compleas, λ rcos θ + i sen θ. Então A é semelhante a M rr θ, onde R θ é a matriz de rotação de θ como em. Assim, eiste um sistema de coordenadas em R não necessariamente ortonormal em que a transformação linear T, denida pela matriz A representa uma rotação de um ângulo θ seguida de uma dilatação contração de um fator r. Vamos agora demonstrar que a parte real e a parte imaginária dos autovetores de uma matriz real são vetores reais linearmente independentes. Tal demonstração na verdade, vale para matrizes n n. Proposição Seja A uma matriz quadrada, n n, com entradas reais tal seu polinômio característico tenha um par de as raízes compleas λ e λ. Então se w u + iv é um autovetor tal que A w λw, u e v são vetores de R n linearmente independentes. 4

5 Demonstração:. Se w C n é autovetor de A associado ao auto valor λ então o seu compleo conjugado w é autovetor de A associado ao auto valor compleo conjugado, λ pois Aw λw Aw λw Aw λw Aw λw. Todo vetor w de C n se escreve como w u + iv com u e v em R n.. v. O autovetor w u + iv não pode ser real já que se ele fosse real w w u e portanto teríamos da equação do item. acima que λw Aw Aw λ w λ w λ λw o que é impossível se w e λ λ. Portanto devemos ter v. 4. u. O autovetor w u + iv também não pode ser puramente imaginário pois neste caso teriámos w iv e Aiv Aw λw λiv Av λv portanto v seria um autovetor real de um autovalor compleo, o que é impossível como foi demonstrado no item anterior. 5. Demonstramos portanto que todo autovetor w associado a um autovalor compleo de uma matriz real tem parte real u e imaginária v ambas não nulas. Vamos mostrar que estes dois vetores de R n são linearmente independentes. Suponhamos que u e v sejam linearmente dependentes, ou seja v bu com b. Neste caso teremos A w λ w Au + i v λu + i v A u + i bu λu + i b u + i ba u + i bλ u A u λ u Como u é real, não pode ser autovetor de A portanto u e v não podem ser linearmente dependentes. c.q.d.4 Eemplo Seja A. O polinômio característico de A é pλ λ + λ + e portanto os autovalores são λ ± 4. ± i + i cos π 4 + i sen π 4. 5

6 O autovetor w w, w associado a λ + i é dado por e portanto w + iw. Assim w w w + i w w + i Note que o autovetor associado a i é dado por Temos assim vetores reais u e v i + i portanto constituem uma base B {v, u} não ortogonal do plano R. P que são linearmente independentes e é a matriz de transição entre a base B e a base canônica. E / / / / Assim, na base B, temos uma rotação de π/4 seguida de uma dilatação de. Infelizmente, como a base B não é ortonormal a tranferência destas informações para a base canônica não é óbvia. Podemos ter uma idéia da geometria desta transformação se considerarmos o efeito da mudança de base sobre círculos nas coordenadas, da base B. Isto porque, como nestas coordenadas a transformação linear a menos do fator multiplicativo é uma rotação de π/4, podemos pensar que qualquer vetor roda sobre um círculo de raio igual ao seu comprimento. Assim consideremos o círculo + nas coordenadas da base B. Sabemos que a matriz de transição da base canônica para a base B é P, portanto e temos que + Substituindo as relações acima na equação do círculo obtemos + + A equação acima representa uma elipse rodada com relação ao eio das coordenadas originais. Verique isto. 6

7 Autovalores Repetidos. Modelo Consideremos a matriz de cisalhamento S λ λ λ 5 cujo polinômio característico tem λ como raiz dupla multiplicidade algébrica. A equação de autovetores correspondentes é dada por λ + λ e portanto o conjunto dos autovetores, o autoespaço W λ, é gerado por w λ,. Se tomarmos o vetor v, / W λ temos que λ S λ v λ λ + λ w λ + λv Note que esta conclusão é óbvia a partir da forma da matriz S λ, já que a primeira coluna é a imagem de, e a segunda a imagem de,. Na verdade, dado um vetor v, qualquer temos λ λ + S λ v λ λ + λ w λ + λv Geometricamente o efeito da transformação linear T, associada a matriz S λ, sobre um vetor qualquer, é de multiplicar o vetor por λ e em seguida adicionar um deslocamento na direção do eio ou seja dos autovetores proporcional a veja na gura abaio.. Eemplo Seja A raiz λ Seu polinônio característico é pλ λ 8λ + 6 que possui como única Os autovetores são dados por 5 4 e portanto o auto espaço W 4 ger{, } tem dimensão. Logo, A não é diagonalizável. 7

8 Tomando um vetor v, qualquer temos Portanto concluímos que, como no modelo anterior, a imagem de um vetor qualquer é igual ao mesmo vetor multiplicado pelo autovalor, somada a um autovetor, isto é Av λv + w, w W λ. Tomemos o vetor v, que é ortogonal ao autoespaço gerado por w,. Temos que Av 6,. Tomemos agora a matriz P w v Fazendo as contas, vericamos que P AP 4 4 Note que Av 6,, + 4, w + 4v. Portanto A é semelhante a uma matriz tipo cisalhamento a menos do - em vez do fora da diagonal. Eercícios:. Repita o processo acima para outra escolha de v.. Encontre um v para o qual a matriz P AP tenha eatamente a forma de 5, com fora da diagonal. Note que Av 6,, + 4, w + 4v.. Caso geral e Demostrações Suponhamos que o polinômio característico da matriz A, real e tenha apenas uma raiz real λ de multiplicidade. Suponhamos também que a este autovalor esteja associado um único autovetor, a menos de um fator multiplicativo, isto é que a dimensão autoespaço W λ seja. A idéia é estudar a ação de A sobre os vetores que não estão no subespaço W λ. Já sabemos que se w W λ, então Aw λw e queremos então caracterizar Av para v / W λ, ou seja v não autovetor de A. Vamos demonstrar a seguinte Proposição Seja A uma matriz real,, tal que λ R é um autovalor de multiplicidade algébrica e multiplicidade geométrica, isto é dimw λ. Então Av λv W λ para todo v. 8

9 Segue da proposição acima que a transformação linear associada a A é um cisalhamento na direção dos autovetores, já que a imagem de qualquer vetor v é obtida multiplicando o vetor pelo autovalor e somando um autovetor, isto é Av λv + w, com w autovetor. Teorema 4 Seja A uma matriz real,, tal que λ R é um autovalor de multiplicidade algébrica e multiplicidade geométrica. Então A é semelhante ao cisalhamento S λ, dado em 5. Isto é eiste P, inversível tal que P AP S λ. Demonstração: Fiemos um vetor v / W λ qualquer. Pela Proposição u Av λv W λ e portanto u e v são linearmente independentes. Tomemos então B {u, v} como base de R. Temos que Au λu Av u + λv Portanto nesta base, a transformação linear T, associada à matriz A é representada pela matriz de cisalhamento S λ ou seja, se P u v [I] C B é a matriz de mudança da base B para a base canônica C, então A [T ] C C [I]C B [T ]B B [I]B C P S λp. c.q.d. Demonstração da Proposição : Seja v um vetor qualquer de R que não seja autovetor de A, ou seja v / W λ. Denimos u Av λv. Vamos mostrar que u W λ, ou seja u é um autovetor... u : Se u, Av λv, o que é impossível pois v / W λ.. u e v são linearmente independentes: Se u fosse proporcional a v, isto é, u bv teríamos u bv A λiv Av b + λv o que implica que v seria autovetor de A com auto valor b + λ.. u é autovetor de A: Como B {u, v} é l.i., é uma base para R. Assim um auto vetor w de A se escreve como combinação linear dos vetores da base: w au + bv, com a já que v não é autovetor. A λiw A λiau + bv aa λiu + ba λiv aa λiu + bu Au λ + b/au logo u é autovetor de A e devemos ter b, já que λ é o único autovalor. c.q.d. 9

10 .4 Algoritmo Dada uma matriz A,, com um único autovetor, vamos escolher uma matriz P tal que A seja semelhante a matriz de cisalhamento. Em outras palavras, vamos escolher uma base B de R tal que a transformação associada seja representada pela matriz de cisalhamento.. Dada A, calculamos seu autovalor λ e um autovetor w.. Escolhemos então um vetor v que não seja um autovetor ou seja, que não seja proporcional a w. Em particular podemos escolher um vetor v que seja ortogonal a w.. Calculamos u Av λv que deve ser proporcional a w. 4. P u v ou B {u, v}..5 Eemplo A 5 4 Seu polinômio característico é pλ λ 6λ + 9 que tem como única raiz λ. A equação de autovetores nos dá 5 4 ou seja. E portanto um autovetor é w, Escolhemos v,. Temos então que Note que u 5w. u Assim P 5 Eercíos:. Escolha outros v's e verique o resultado.. É possível fazer uma escolha de v tal que P seja ortogonal?