Curso: MAT 221- CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL IV Professor Oswaldo Rio Branco de Oliveira Período: Segundo Semestre de 2008

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1 Curso: MAT 221- CÁLCULO DIERENCIAL E INTEGRAL IV Professor Oswaldo Rio Branco de Oliveira Período: Segundo Semestre de 2008 SÉRIES E SOMAS EM ÁLGEBRAS: C([a, b]), M n n (R), M n n (C), etc. O PRODUTO DE SÉRIES ABSOLUTAMENTE CONVERGENTES Abaixo, X é um K-espaço vetorial normado com produto tal que xy x y, x, y X, e com toda as sequências de Cauchy convergindo. Exemplos: o espaço de funções contínuas C([a, b]) com norma do sup, espaços de matrizes quadradas reais ou complexas, R, C, etc. 1. Associatividade para Séries. Se + xn converge a x, a convergência é associativa: + n=1 x n = (x x n1 ) (x np x np ) Uma família em X, indexada em I, I um conjunto de índices qualquer, é uma função x : I X, denotada por (x i ) ou (x i ) I. Toda sequência é uma família. 2. Somabilidade: A família (x n ) é somável, com soma x X, se ɛ > 0 existe ɛ N, ɛ finito, tal que para todo N, finito e ɛ, (*) x x n < ɛ. Notação: x n = x. Ainda, (x n ) é absolutamente somável se existe M > 0 tal que N x n M, N, finito. Temos, x n = sup { x n : finito}. n O conjunto das sequências somáveis sobre X é um espaço vetorial. 3. Se x n = x e x n z M, (z e M fixos) N, finito, então, x z M. N Em particular temos, x n x n. N 4. A família (x n ) satisfaz a condição de Cauchy se dado ɛ > 0 existe ɛ N, ɛ finito, tal que para todo subconjunto finito N, disjunto de ɛ temos, x n < ɛ. (a) Se (x n ) satisfaz a condição de Cauchy, a sub-família (x n ) n J, J N, também. (b) Toda sequência somável satisfaz a condição de Cauchy. Prova: O ítem (a) é trivial. (b) Dado ɛ > 0, seja x a soma, ɛ dado pela somabilidade e I, disjunto de ɛ. Então, x n x n x + x x n < ɛ + ɛ ɛ Obs: Se (x n ) satisfaz a condição de Cauchy então I n = {i N : x i > 1 n } é finito. ɛ

2 5. (O Critério de Cauchy) (x n ) é somável se, e só se, satisfaz a condição de Cauchy. Prova: A ida já foi provada quando da definição da condição de Cauchy. ( ) Seja I n como na observação acima e y n = x i. Dado ɛ > 0, existe ɛ contido em N I n e finito, tal que se N, finito e ɛ =, x i < ɛ. Para N tq. ɛ I N e m > n N, ɛ I N I n I m, = I m I n ( ɛ ) c e y m y n = I m x i I n x i = x i < ɛ. Logo, lim y m = x X, x y n ɛ, n N. = I N ( ɛ ) c e portanto, Provemos I x i = x. Se I N, x x i = x I N x i x i x y N + x i < ɛ + ɛ A seguir temos um teorema que, em K, a prova utilizou a ordem em R. Abaixo a prova vale em K-espaços vetoriais normados completos (sequências de Cauchy convergentes). 6. Teorema Toda sequência (x n ) absolutamente somável é somável. Prova Utilizemos o critério de Cauchy. Se Σ x i = sup{σ x i : é finito} = M <, dado ɛ > 0 seja ɛ finito tal que M ɛ < x i M. Então, se é finito e ɛ =, ɛ M ɛ < ɛ x i ɛ x i + x i M, donde, x i x i = ( x i + ɛ x i ) ɛ x i M (M ɛ) = ɛ Observação A volta não vale, em geral, se o espaço não é K. 7. Associatividade da Somabilidade Seja (x n ) somável com soma x e (J λ ) λ Λ, partição de N. Então, (x i ) i Jλ é somável ( λ Λ) e, se J λ x i = y λ, (y λ ) é somável com soma x: xn = ( x i ). J λ Λ Prova Afirmação 1: Para todo J N, (x n ) J é somável. Prova: Seja ɛ > 0 e ɛ N como na condição de Cauchy para (x n ). Então, ɛ J = ɛ J é tal que se J J é finito e disjunto de ɛ J então J ɛ = e, x n < ɛ. Logo, a ɛ J família (x n ) J satisfaz a condição de Cauchy e é, somável. 2

3 Afirmação 2: Se I 1 e I 2 formam uma partição de N, y 1 = I 1 x n e y 2 = I 2 x n estão bem definidos e y 1 + y 2 = x. A prova é simples. Afirmação 3: y λ = J λ x i é bem definido, já vimos, e (y λ ) Λ satisfaz a condição de Cauchy. Prova: Dado ɛ > 0 seja ɛ como na condição de Cauchy para (x n ) N. Consideremos G ɛ = {λ 1,..., λ n } Λ tais que ɛ J λ1... J λn. Se G Λ é finito e G G ɛ =, temos: y λ = G G J λ,λ G x i = G J λ x i, e, G finito em G J λ temos G ɛ = ; logo, G x i < ɛ e, pelo item 3 acima, G y λ = G J λ,λ G x i ɛ. Pelo critério de Cauchy existe Σ Λ y λ = y. Afirmação 4: y = x. Prova: Dado ɛ > 0 sejam ɛ N e G ɛ Λ finitos e tq: e G finitos, ɛ, G G ɛ, x i x < ɛ, G y λ y < ɛ. Sejam λ 1,..., λ n tais que ɛ J λ1... J λn e G = {λ 1,..., λ m}. Podemos supor {λ i } n 1 = {λ j }m 1. Pelo item 3, na expressão à esquerda e desenvolvendo a outra temos, n i J λ i x i x ɛ, n i J λi x i y < ɛ Pela associatividade para Λ finito (afirmação 2), concluímos que n i J x λ i = n i i J λi x i. Logo, x y 2ɛ 8. Teorema (Produto de Séries) Sejam xn = x e ym = y séries absolutamente convergentes em K. A família {x n y m } é absolutamente somável (logo, somável) e, x n y m = ( xn )( ym ). N N (A) Dada uma ordem arbitrária (permutação) em N N, a série Σx n y m satisfaz : (i) é absolutamente e comutativamente convergente a xy. (ii) todo rearranjo, finito ou não (total associatividade), converge absolutamente a xy. (B) O produto de Cauchy das séries dadas é a série obtida pela associação : ( n ) x p y n p n=0 p=0 = x i y j = x n y m. n=0 i+j =n N N Obs: Este produto surge no cálculo dos coeficientes da multiplicação de séries de potências. 3

4 9. A Exponencial de uma Matriz, 10. Seja M n = M n (K) a álgebra das matrizes quadradas de ordem n com coeficientes em K. A exponencial de uma matriz A M n é dada por e A = 0 A m m!. (a) A definição é bem dada. (b) Se A e B comutam então e A+B = e A e B. (c) Para toda A M n, e A é inversível e (e A ) 1 = e A ; e 0 = I. (d) Se W M n é inversível então, e W 1 AW = W 1 e A W, A M n. (e) É de classe C a aplicação exp : M n (K) M n (K) definida por, exp(x) = 0 X m m!. (f) A função R t f(t) = e ta M n é derivável e f (t) = Ae ta. (g) Para toda X M n, det(e X ) = e (T rx), sendo T r(x) o traço da matriz X Observação: Preferindo, resolva apenas em R. Utilize, ou não, a equivalência entre a norma. 2 em R n2 e a norma operador. op, identificando M n com L(K n ): dados T e S em L(K n ), T S = T S L(K n ) e T S T S. Notação: X 2 α X op e X op β X 2, α e β positivos. Sugestão: Direto em C, utilizando a norma operador. Resolução: (a) Para A M n (C n ), com a norma operador é claro que a série A n n! é uniformemente absolutamente convergente sobre os compactos. (e) As derivadas de X N, X M n (C) são uniformemente limitadas em X M. Para A(t) e B(t) funções de R em M n (C) temos d dt A(t)B(t) = A (t)b(t)+a(t)b (t). Para E rs = [δ rs ] M n (R), E rs e ie rs, 1 r, s n, formam uma base de M n (C). Chamemo-as E j, 1 j 2n 2. Temos X N cada entrada um polinômio. Derivando na direção E j, obtemos p=n 1 (X N ) = X p E j X N p 1. E j p=0 = X...X, é função de 2n 2 variáveis, (A indução) Se f(x) = f 1 (X)...f N (X) é um produto matricial, tal que f i (X) é X ou uma matriz constante. A derivada parcial na direção E ij é dada por r=n f(x) = f 1 (X)... d E j dt f r(x + te j ) t=0...f N (X). r=1 4

5 Então, uma derivada parcial de ordem 1 é soma de N parcelas de representação igual a f e assim, uma de ordem 2 têm N 2 parcelas na soma e a de ordem k, N k parcelas nas quais E j 1 e, para o fator X, X M. Logo, para a derivada k X α (XN N! ) N=0 N=0 N k M N N!. k X, α = k, α A série numérica acima é convergente (teste da razão), a das derivadas converge uniformemente e absolutamente sobre os compactos. Logo, a exponencial é C. (f) Temos, e (t+h)a e ta h ( e = e ta ha ) I = e [A ta + ha hn 1 A N h 2! N! ] A série na expressão acima converge a A, para h 0. (g) Definindo para t R, f(t) = det(e tx ) temos f(t + s) = det(e tx+sx ) = det(e tx e sx ) = det(e tx ) det(e sx ) = f(t)f(s). As funções C tais que ϕ(t + s) = ϕ(t)ϕ(s), t, s, são dadas por ϕ(t) = e λt. Logo, f(t) = det(e tx ) = e λt, λ = f (0). Por outro lado, onde X e tx = I + tx + t2 X = I + tx + t 2 2! X (t), = ij (t) é uma função C de R em M n. Assim, det(e tx ) = det[δ ij + tx ij + t 2 ij ]. O determinante é multilinear e o desenvolvimento de det[δ ij + tx ij + t 2 ij ] pelas colunas (todas soma de três sub-colunas ) é um polinômio em t e, termo independente det[δ ij ] = 1. Pondo t 2 em evidência, temos a parcela t 2 g(t), g um polinômio. O termo de grau um só surge se na expansão há uma única sub-coluna multiplicada por t, e as demais, colunas de I. Há n possibilidades. Se a primeira coluna está multiplicada por t, as demais são as segunda, terceira,... colunas de I. O determinante desta primeira matriz é, expandindo pela primeira linha, tx 11. Para as demais a argumentação é análoga e obtemos tx 22,...tx nn Logo, f(t) = det(e tx ) = 1 + T r(x)t + t 2 g(t) e portanto, λ = f (0) = T r(x) 5