1 a Lista de Exercícios MAT 3211 Álgebra Linear Prof. Vyacheslav Futorny

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1 1 a Lista de Exercícios MAT 3211 Álgebra Linear Prof. Vyacheslav Futorny 1 a parte: Resolução de sistemas de equações lineares, matrizes inversíveis 1. Para cada um dos seguintes sistemas de equações lineares, escreva a forma escalonada reduzida da matriz completa e resolva o sistema 2x 1 + 2x 2 3x 3 = 1 x 1 + x 3 = 5 3x 1 + 4x 2 7x 3 = 3 4x 1 + x 2 8x 3 = 1 3x 1 2x 2 + 3x 3 = 5 x 1 + 8x 2 25x 3 = 5 x 1 2x 2 + x 3 + 3x 4 x 5 = 1 3x 1 + 6x 2 4x 3 9x 4 + 3x 5 = 1 x 1 + 2x 2 2x 3 4x 4 3x 5 = 3 x 1 2x 2 + 2x 3 + 2x 4 5x 5 = 1 2. Encontre (se possível) condições sobre os números a, b e c para que o sistema dado tenha nenhuma solução, uma única solução, ou infinitas soluções 2x 1 3x 2 3x 3 = a { ax1 + x a) x 1 + x 2 + 2x 3 = b 2 = 1 2x x 1 3x 2 = c 1 + x 2 = b 3. Em cada caso, considere o sistema de equações homogêneo que tem a matriz dada como matriz de coeficientes, encontre as soluções básicas do sistema, e expresse a solução geral como combinação linear dessas soluções básicas Suponha que um sistema homogêneo tenha 4 equações e 6 incógnitas e seja A sua matriz completa. Pode o sistema ter uma única solução? nenhuma solução? Quantos parâmetros o sistema pode ter, se uma linha de A é um múltiplo de uma outra linha? Quantos parâmetros o sistema pode ter se posto(a) = 4? Se posto(a) = 2? 5. Determine os valores de m para os quais o sistema possui uma única solução x 1 + 2x 2 2x 3 x 4 = 1 2x 1 2x 2 2x 3 3x 4 = 1 2x 1 2x 2 x 3 5x 4 = 9 3x 1 x 2 + x 3 mx 4 = x 1 + x 2 + x 3 = 1 2x 1 + 3x 2 + 2x 3 = 7 x 2 + mx 3 = 8 x 1 + 2x 2 + z = 6 6. Encontre matrizes inversíveis U tais que UA = R é a forma escalonada reduzida de A [ ] A = A =

2 7. Seja B = {1, 2 x, x 2 + 1, 1 + x + x 2 }. Verifique que B é uma base para P 3 (R) e determine as coordenadas do polinômio p(x) = x 3 em relação à base B. 2 a parte: Espaços vetorias: definições, exemplos, subespaços 1. Mostre que com as regras usuais para somar funcões e multiplicar funções por números reais. O conjunto S dos funções da reta na reta que se anulam no ponto 2 é um espaço vetorial. O que acontece se a condição f(2) = é substituida por f(2) = 1? 2. Verifique se V = {(x, y x, y R)} é um espaço vetorial sobre R com as operações de adição e de multiplicação por escalares dadas por: a) (x 1, y 1 ) (x 2, y 2 ) = (x 1 + x 2, y 1 + y 2 ); α (x, y) = (x, αy) b) (x 1, y 1 ) (x 2, y 2 ) = (x 1, y 1 ); α (x, y) = (αx, αy) c) (x 1, y 1 ) (x 2, y 2 ) = (2x 1 2y 2, x 2 + y 1 ); α (x, y) = (x, αy) d) (x 1, y 1 ) (x 2, y 2 ) = (x 1 + x 2 1, y 1 + y 2 1); α (x, y) = (αx α + 1, αy α + 1) 3. Seja V = {x R, x > } com as operações de adição e de multiplicação por escalares dadas por x y = xy; α x = x α, α R. Verifique que V é um espaço vetorial sobre R. 4. Verifique se S é um subespaço vetorial do espaço vetorial V nos seguintes casos: a) V = R 3 e S = {(x, y, z) R 3 x = } b) V = R 3 e S = {(x, y, z) R 3 x, y, z Q} c) V = M 2 (R) e S = {A M 2 (R) A é invertível } d) V = P 3 (R) e S = {p P 3 (R) p(t), t R} e) V = C 2 (R) e S = {f C 2 af + bf + cf = } f) V = C(R) e S = {f C(R) 1 f(x)2 dx = } 5. Para que valores de a R o conjunto B = {(a, 1, ), (1, a, 1), (, 1, a)} é base de R Encontre uma base e a dimensão para os seguintes subespaços: S = {p P 3 (R) p(2) = } S = {(x, y, z) R 3 5x 3y + 2z = } S = {p P 3 (R) p(2) = p( 1)} d). S = {A M 2 (R) 3a 22 = 5a 12 } e). S = {(x, y, z, u, v) R 5 x = u = v} f). S = {(x, y, z, u) R 4 x = y, 2x y + 3z u = } [ 1 2 g). S = {A M 2 (R) A comuta com a matriz 1 3 ] }

3 8. Uma matriz quadrada é simétrica se a ij = a ji quaisquer que sejam i e j. Mostre que o conjunto formado pelas matrizes simétricas é um subespaço de M n (R). Determine uma base para o subespaço das simétricas em M 3 (R). Mostre que a dimensão das simétricas em M n (R) é n2 +n Em cada caso, mostre que U é um subespaço de R 4, ache uma base de U e determine a dimensão de U. [ ] T U = {x R 4 X T A = }, onde A = [ ] T [ ] U = {x R 4 X T A = (BX) T }, onde A = e B = Seja A uma matriz m n e sejam B 1, B 2,..., B k colunas em R m tais que o sistema AX i = B i tem uma solução X i para cada i. Se {B 1, B 2,..., B k } é LI em R m, mostre que {X 1,..., X k } é LI em R m. 11. Verifique se o conjunto de funções B é LI ou LD nos seguintes casos: B = {e 2x, xe 2x, x 2 e 2x, x 3 e 2x } B = {e x cos 2x, e 2x sen 3x, e 3x cos 4x} B = {cos t, cos 2t, cos 3t} 12. Verifique se os seguintes conjuntos são LI ou LD {t 2 + t, t 1, t} P 2 (R) {t 3, t 2 1, t + 2, t 3 + t 2 t 3} P 3 (R) {[ ] [ ] [ ,, ]} 13. Uma matriz A não é quadrada, mostre que ou as linhas ou as colunas de A são LD. 14. Determine uma base de R 4 que contenha os vetores (1, 1, 1, ) e (1, 1, 2, 1). 15. Sejam A = {(, 2, 1,, 1), (,, 3, 1, 2), (, 4, 5, 1, )}, S = [A] e v = (, m m, 1, 1). Determine uma base de S. Determine todos os valores de m para os quais v S. 16. Para os sistemas lineares a seguir, determine o posto e a dimensão e uma base do subespaço das soluções x 3y + 2z w = x 2y + 4z + 3w = x 5y 2z 9w = x + 5y 3z + 2w = x + 6y + 2z 3w = x + 3y 13z + 12w =

4 17. Sejam A e B dois vetores no R 2 e suponhamos que são ambos diferentes de zero. Se não existir nenhum c R tal que ca = B, mostrar que A e B formam uma base de R 2 e que R 2 é a soma direta dos subespaços gerados por A e B respectivamente. 18. Determine k para que o posto do sistema é 2 e acha as soluções x 4y + 2z 3w = x 3y + 4z 2w = x 6y + (k 4)z 5w = x + 2y 4z + 3w = x + 3y 2z 2w = x + 5y + (5 k)z 12w = 19. Mostre que S = {A V A = A T } e P = {A V A = A T } são subespaços de M 2 (R). Prove que M 2 (R) = S P. 2. Sejam S = {p(x) P 3 p( 1) = p(1) = } e R = [x 3 + 2x 2 + x, x 2 1] dois subespaços de P 3. Encontre uma base e a dimensão de S + R. 21. Seja S o subespaço de R 5 gerado por vetores (1,, 1, 2, ), (2,, 2,, 1), (, 1, 2, 3, 1), (1,, 1, 2, 1). Ache uma base B para S, contida em conjunto acima. Complete a base B para uma base de R Seja V um espaço vetorial de dimensão 4. Sejam U e W subespaços de V de dimensão 2 e 3 respectivamente. Prove que U W {}. Dê um exemplo quando U e W são subespaços de V de dimensão 2 e U W = {}.

5 3 a parte: Espaços com produto interno 1. Para que valores de t R a função definida por (x 1, x 2 ), (y 1, y 2 ) = x 1 y 1 + tx 2 y 2 é um produto interno em R 2? 2. Para cada par de vetores u = (x 1, x 2 ) e v = (y 1, y 2 ) de R 2, defina u, v = 2x 1 y 1 x 1 y 2 x 2 y 1 + 2x 2 y 2. Prove que, é um produto interno em R 2. Ache todos os vetores de R 2 que são ortogonais ao vetor (1, ). Calcule (1, ). 3. Determine λ R para que os polinômios p = x 2 1 e q = λx 2 sejam ortogonais com respeito aos seguintes produtos internos em P 2 (R): (a) p, q = 1 p(x)q(x) x; 1 (b) p, q = p( 1)q( 1) + p()q() + p(1)q(1) + p(2)q(2). 4. Determine o polinômio de grau menor ou igual a 2 que está mais próximo da função f(x) = e x no intervalo [, 1] considerando em C([, 1]) o produto interno usual, ou seja, o produto interno dado por f, g = 1 f(x)g(x) x. 5. Em P 3 (R) considere o produto interno: p, q = p( 1)q( 1) + p()q() + p(1)q(1) + p(2)q(2). Calcule P1 (R)x 3. Esboce num mesmo plano cartesiano os gráficos dos polinômios x 3 e P1 (R)x Em C([, 2π]) munido do produto interno f, g = 2π f(x)g(x) x considere o subespaço S = [1, sen x, cos x]. Calcule S (x 2). 7. Considere em R 4 o produto interno canônico e seja (a) Determine uma base ortonormal de S. S = {(x, y, z, w) R 4 : x 2y + z + w = }. (b) Dado v R 4, encontre vetores v 1 S e v 2 S tais que v = v 1 + v Considere em P 3 (R) o produto interno dado por p, q = 1 p(x)q(x) x. Seja (a) Determine uma base ortonormal de S. S = {p P 3 (R) : p(1) = }. (b) Dado p P 3 (R) encontre vetores p 1 S e p 2 S tais que p = p 1 + p Considere em P (R) o produto interno definido por p, q = 1 p(x)q(x) x. (a) Aplique o algoritmo de Gram Schmidt ao conjunto {1, x, x 2 } e obtenha um conjunto ortogonal com coeficientes inteiros. (b) Encontre uma base ortonormal para o subespaço gerado por {1, x, x 2 }.