Lista 5 com respostas

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1 Lista 5 com respostas PROFESSOR KOSTIATYN IUSENKO MAT4 - semestre de 6 Espaços com produto interno Exercício Consideremos o espaço euclidiano R Sendo u, e v, em R determine um vetor w desse espaço tal que u, w e u, v Solução Consideremos w x, y tal que u, w e v, w x + y portanto x e y x + y Portanto 4 u v, u v u, u u, v v, u + v, v u, v + u, v Exercício Sejam u e v vetores de um espaço euclidiano tais que v, u e u v Determinar u, v Solução Portanto 4 u v, u v u, u u, v v, u + v, v u, v + u, v Exercício Num espaço vetorial euclidiano provar que u v u + v, u v Solução Observe que u + v, u v u, u u, v + v, u v, v u, u u, v + u, v v, v u, u v, v

2 Exercício 4 Sejam u x, x e v y, y vetores em R Para que valores de t R a função u, v x y + tx y é um produto interno sobre R Solução 4 Exercício 5 Sejam u x, x e v y, y vetores em R Mostrar que u, v x y x y x y + 5x y define um produto interno sobre R Determinar a norma de u, em relação ao produto interno usual e também em relação ao produto definido nesse exercício Solução 5 x, y x y x y x y + 5x y y, x y x y x y x + 5y x x + y, z x + y z x + y z x + y z + 5x + y z x + y, z x, z + y, z αx, y αx y αx y αx y + 5αx y α x, y x, x x x x x x x + 5x x x + 5x x, x x Com produto interno usual temos u u, u 5 e em relação ao produto definido no exercío temos x, x + 54 Exercício 6 Sendo V M R, mostre que A, B traçob t A define um produto interno sobre V Calcule A, B, A, B se A [ Solução 6 [ ] [ ] A, B tr A [ ] [ ] A, A tr B B, B tr [ ] [ ] Exercício 7 Em cada um dos itens abaixo determinar du, v ] [, B ] a V R 4, com o produto interno usual, u,,,, v,,, b V P R, com o produto interno usual, u + t, v 4 t + t

3 c V M R, com produto interno A, B traçoa t B, u v 4 5 Solução 7 du, v u v u v, u v du, v u v t t 4 t t 4 dt 7 4 du, v u v du, v tr Exercício 8 Sejam u, v o produto interno euclidiano em R gerado por, calcule as expressões dadas: e u,, v,, w a u, v b v, w c u + v, w d v e dv, w f v w Solução 8 a -5 b c -7 d e f

4 Exercício 9 Sejam u, v o produto interno usual em R e u,, v 4, 5, w, 6 Verifique as expressões dadas a u, v v, u b u + v, w u, w + v, w c u, v + w u, v + u, w d, v v, Solução 9 Todas essas propriedades seguem diretamente da definição de produto interno Exercício Mostre que vale a identidade dada com vetores de qualquer espaço com produto interno u + v + u v u + v Solução Exercício Consideremos em P R o produto interno dado por ft, gt ftgtdt Nessas condições, para que valor de m temos que ft mt é ortogonal a gt t? Solução Basta solucionar a equação mt, t ie 5 4 m Exercício Consideremos em P R o produto interno dado por ft, gt ftgtdt Nessas condições, para que valor de m temos que ft mt é ortogonal a gt t? 4

5 Solução Basta solucionar a equação mt, t ie Exercício Verifique que os vetores v 5 4 m 5, 4 5,, v 4,,, v 5 5,, formam uma base ortonormal de R como o produto interno euclidiano Depois, em cada parte, expresse o vetor dado como uma combinação linear de a,, b, 7, 4 c 7, 7, 5 7 Solução a 7/5v + /5v + v b 7/5v 9/5v + 4v c /7v /7v + 5/7v Algoritmo de Gram-Schmidt Exercício 4 Determinar a projeção ortogonal do vetor,,, R 4 sobre o subespaço W {x, y, z, t x y z, z t } Solução 4 Observar que W [,,,,,,, ] usemos o processo Gram-Schmidt para achar uma base {w, w } ortogonal de W Assim w w,,,,,,,,,,,,,,,,, w,,,,,, 5/4,,, 9/4 5,,, 5 9,, 4 9, 9

6 Portanto, se u,,,,,,,,,,, proj W u,,,,,,, proj W u / 9/4,,,,,,, 5,, 4, ,, 4, 9 9 9, 5,, 4, ,, 4 9, 9,,, + + 6/ /9 9,, 4 9, 9 6, 8 7, 46 6, 6 Exercício 5 Determinar a projeção ortogonal de ft t P R sobre o sub-espaço U [t], em relação ao produto interno usual Solução 5 proj U ft t, t t t, t t tdt t 5 t dt t Exercício 6 Determinar a projeção ortogonal de u, sobre o sub-espaço V [, ] do R Solução 6,,, proj V u,,,,, 5 Exercício 7 [ Sendo V M R e A uma base ortonormal para W ] [, B ] {[ x y Se W z t ] x + y z }, determine Solução 7 [[ ] [ ] [ ]] Observemos que W,,, para calcular usemos o processo de Ortogonalização de Gram-Schmidt, logo a base ortonormal é {w, w, w }, onde [ ] w [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] w, [ ] w w [ ] w / [ ] / [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] / w,, / / / [ ] [ ] [ ] / / / / [ ] / [ ] w w w / 6 6 [ ] / 6 / 6

7 Exercício 8 Ortonormalizar a base u,,, u,,, u,, do R pelo processo de Gram- Schmidt Solução 8 A base é {w, w, w }, onde w u u,, w u u, w w,,,, /, 4/, / w w w /, 4/, / 6/ 6,, w u u, w w u, w w,, w w w,, Exercício 9 Em P R com o produto interno usual, ortonormalizar a base {, + t, t } orthogonal do subespaço W [5, + t] Achar o complemento Solução 9 A base ortonormal é {w, w, w }, onde w w + t + t, + t + t w w w t t t w t t, t, + t + t t /6 / + t Para o W, consideremos pt a + bt + ct tal que w t + t w w w pt, 5 logo assim portanto pt, + t 5a + 5 b + 5 c a b + 7 c b a, c 4a W { pt a + bt + ct : pt, 5, pt, + t } 7

8 W {pt a + bt + ct : b } a, c 4a, a R W [ ] t 4t Exercício Mostre que {, cosx, cosx, cosx, } é um conjunto ortogonal em C[, π] usando o produto interno f, g π fxgxdx Solução Claramente usando a identidade Temos para n m π π cosnx cosmx cosnx cosmxdx π cosnxdx cosn + mx + cosn mx cosn + mx + cosn mx dx 8