Conjunto Ortogonal de Vetores

Transcrição

1 Processo de Ortogonalização de Gram-Schmidt Seja V um espaço vetorial de dimensão finita, com produto interno,. Seja B = {v 1, v 2,..., v n } uma base qualquer de V. Sejam

2 Processo de Ortogonalização de Gram-Schmidt Seja V um espaço vetorial de dimensão finita, com produto interno,. Seja B = {v 1, v 2,..., v n } uma base qualquer de V. Sejam w 1 = v 1 ;

3 Processo de Ortogonalização de Gram-Schmidt Seja V um espaço vetorial de dimensão finita, com produto interno,. Seja B = {v 1, v 2,..., v n } uma base qualquer de V. Sejam w 1 = v 1 ; w 2 = v 2 v 2,w 1 w 1,w 1 w 1;

4 Processo de Ortogonalização de Gram-Schmidt Seja V um espaço vetorial de dimensão finita, com produto interno,. Seja B = {v 1, v 2,..., v n } uma base qualquer de V. Sejam w 1 = v 1 ; w 2 = v 2 v 2,w 1 w 1,w 1 w 1; w 3 = v 3 v 3,w 1 w 1,w 1 w 1 v 3,w 2 w 2,w 2 w 2;

5 Processo de Ortogonalização de Gram-Schmidt Seja V um espaço vetorial de dimensão finita, com produto interno,. Seja B = {v 1, v 2,..., v n } uma base qualquer de V. Sejam w 1 = v 1 ; w 2 = v 2 v 2,w 1 w 1,w 1 w 1; w 3 = v 3 v 3,w 1 w 1,w 1 w 1 v 3,w 2 w 2,w 2 w 2;...;

6 Processo de Ortogonalização de Gram-Schmidt Seja V um espaço vetorial de dimensão finita, com produto interno,. Seja B = {v 1, v 2,..., v n } uma base qualquer de V. Sejam w 1 = v 1 ; w 2 = v 2 v 2,w 1 w 1,w 1 w 1; w 3 = v 3 v 3,w 1 w 1,w 1 w 1 v 3,w 2 w 2,w 2 w 2;...; w n = v n vn,w 1 w 1,w 1 w 1... vn,w n 1 w n 1,w n 1 w n 1.

7 Processo de Ortogonalização de Gram-Schmidt Seja V um espaço vetorial de dimensão finita, com produto interno,. Seja B = {v 1, v 2,..., v n } uma base qualquer de V. Sejam w 1 = v 1 ; w 2 = v 2 v 2,w 1 w 1,w 1 w 1; w 3 = v 3 v 3,w 1 w 1,w 1 w 1 v 3,w 2 w 2,w 2 w 2;...; w n = v n vn,w 1 w 1,w 1 w 1... vn,w n 1 w n 1,w n 1 w n 1. B = {w 1, w 2,..., w n } é uma base ortogonal.

8 Exemplo Base de R 4 : B = {v 1, v 2, v 3, v 4 } com v 1 = (1, 1, 0, 0), v 2 = (0, 1, 1, 0), v 3 = (0, 0, 1, 1) e v 4 = (0, 1, 0, 1).

9 Exemplo Base de R 4 : B = {v 1, v 2, v 3, v 4 } com v 1 = (1, 1, 0, 0), v 2 = (0, 1, 1, 0), v 3 = (0, 0, 1, 1) e v 4 = (0, 1, 0, 1). Processo de ortogonalização de Gram-Schmidt:

10 Exemplo Base de R 4 : B = {v 1, v 2, v 3, v 4 } com v 1 = (1, 1, 0, 0), v 2 = (0, 1, 1, 0), v 3 = (0, 0, 1, 1) e v 4 = (0, 1, 0, 1). Processo de ortogonalização de Gram-Schmidt: w 1 = (1, 1, 0, 0);

11 Exemplo Base de R 4 : B = {v 1, v 2, v 3, v 4 } com v 1 = (1, 1, 0, 0), v 2 = (0, 1, 1, 0), v 3 = (0, 0, 1, 1) e v 4 = (0, 1, 0, 1). Processo de ortogonalização de Gram-Schmidt: w 1 = (1, 1, 0, 0); w 2 = ( 1 2, 1 2, 1, 0) ;

12 Exemplo Base de R 4 : B = {v 1, v 2, v 3, v 4 } com v 1 = (1, 1, 0, 0), v 2 = (0, 1, 1, 0), v 3 = (0, 0, 1, 1) e v 4 = (0, 1, 0, 1). Processo de ortogonalização de Gram-Schmidt: w 1 = (1, 1, 0, 0); w 2 = ( 1 2, 1 2, 1, 0) ; w 3 = ( 1 3, 1 3, 1 3, 1) ;

13 Exemplo Base de R 4 : B = {v 1, v 2, v 3, v 4 } com v 1 = (1, 1, 0, 0), v 2 = (0, 1, 1, 0), v 3 = (0, 0, 1, 1) e v 4 = (0, 1, 0, 1). Processo de ortogonalização de Gram-Schmidt: w 1 = (1, 1, 0, 0); w 2 = ( 1 2, 1 2, 1, 0) ; w 3 = ( 1 3, 1 3, 1 3, 1) ; w 4 = ( 1 2, 1 2, 1 2, 1 2).

14 Exemplo Base de R 4 : B = {v 1, v 2, v 3, v 4 } com v 1 = (1, 1, 0, 0), v 2 = (0, 1, 1, 0), v 3 = (0, 0, 1, 1) e v 4 = (0, 1, 0, 1). Processo de ortogonalização de Gram-Schmidt: w 1 = (1, 1, 0, 0); w 2 = ( 1 2, 1 2, 1, 0) ; w 3 = ( 1 3, 1 3, 1 3, 1) ; w 4 = ( 1 2, 1 2, 1 2, 1 2). B = {w 1, w 2, w 3, w 4 }.

15 Propriedades Sejam V, B e B como descritos acima. São válidas as seguintes propriedades.

16 Propriedades Sejam V, B e B como descritos acima. São válidas as seguintes propriedades. B é uma base ortogonal de V.

17 Propriedades Sejam V, B e B como descritos acima. São válidas as seguintes propriedades. B é uma base ortogonal de V. Para todo i = 1,..., n, [v 1, v 2,..., v i ] = [w 1, w 2,..., w i ].

18 Propriedades Sejam V, B e B como descritos acima. São válidas as seguintes propriedades. B é uma base ortogonal de V. Para todo i = 1,..., n, [v 1, v 2,..., v i ] = [w 1, w 2,..., w i ]. Para se obter uma base ortonormal de V, basta tomarmos. B = {w 1 / w 1,..., w n / w n }

19 Conjuntos Ortogonais Definição Sejam S 1 e S 2 subconjuntos não vazios de um espaço vetorial V com produto interno,. Dizemos que S 1 é ortogonal a S 2, representado por S 1 S 2, se qualquer vetor v 1 S 1 é ortogonal a qualquer vetor v 2 S 2, isto é, se v 1, v 2 = 0 para todos v 1 S 1 e v 2 S 2.

20 Conjuntos Ortogonais Definição Sejam S 1 e S 2 subconjuntos não vazios de um espaço vetorial V com produto interno,. Dizemos que S 1 é ortogonal a S 2, representado por S 1 S 2, se qualquer vetor v 1 S 1 é ortogonal a qualquer vetor v 2 S 2, isto é, se v 1, v 2 = 0 para todos v 1 S 1 e v 2 S 2. Exemplo Os conjuntos e S 1 = {( 2, 1, 2, 2), ( 4, 2, 0, 0), (0, 0, 1, 1)} S 2 = {(1, 2, 0, 0), (3, 6, 1, 1)} são ortogonais com relação ao produto interno usual de R 4.

21 Conjuntos Ortogonais Propriedade Sejam V um espaço vetorial com produto interno, e B = {v 1,..., v n } uma base de um subespaço S de V. Se um vetor u V é ortogonal a todos os vetores da base B, então u é ortogonal a qualquer vetor de S. Dizemos, neste caso, que u é ortogonal a S e representamos tal fato por u S.

22 Complemento Ortogonal Definição Sejam V um espaço vetorial com produto interno, e S um subespaço vetorial de V. O conjunto S = {v V ; v S} dos vetores de V que são ortogonais a S é denominado complemento ortogonal de S.

23 Complemento Ortogonal Definição Sejam V um espaço vetorial com produto interno, e S um subespaço vetorial de V. O conjunto S = {v V ; v S} dos vetores de V que são ortogonais a S é denominado complemento ortogonal de S. Exemplo 1 Seja V = R 3 com o produto interno usual. Seja S = {(x, y, z) ; x+ y = 0}. Então, S = {(x, y, z) ; x y = 0, z = 0}.

24 Complemento Ortogonal Exemplo 2 Seja V = R 3 com o produto interno dado por (x 1, y 1, z 1 ), (x 2, y 2, z 2 ) = 2x 1 x 2 + x 1 y 2 + x 2 y 1 + 2y 1 y 2 + z 1 z 2. Seja S = {(x, y, z) ; x + y = 0}. Então, S = {(x, y, z) ; x y = 0, z = 0}.

25 Complemento Ortogonal Propriedade Seja S um subespaço vetorial de um espaço vetorial V com produto interno. Então, 1. S é um subespaço vetorial de V;

26 Complemento Ortogonal Propriedade Seja S um subespaço vetorial de um espaço vetorial V com produto interno. Então, 1. S é um subespaço vetorial de V; 2. V = S S.