5.3.2 Processo de Ortogonalização de Gram-Schmidt

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1 8 CAPÍTULO. PRODUTO INTERNO.. Processo de Ortogonalização de Gram-Schmidt Bases ortonormais são úteis, como visto na seção anterior; mas como obtê-las? Partindo-se de uma base qualquer de um subespaço, não é difícil construir uma base ortogonal (ou ortonormal) para o mesmo subespaço. No processo de ortogonalização de Gram Schmidt, uma base {v,v,...,v p } é substituída por outra ortogonal, {u,u,...,u p }, com a característica adicional de que, para cada i, existem α s tais que u i = v i + i j= α jv j. Assim, devemos ter: u = v u = v + αv u = v + βv + γv u p = v p Note que os espaços gerados pelos primeiros u s e pelos primeiros v s são iguais, isto é, span{u,u,...,u k } = span{v,v,...,v k }, k =,,..., p. Desta forma, podemos ainda escrever u = v u = v + αu u = v + βu + γu u p = v p A exigência de que esta base seja ortogonal nos permite determinar os coeficientes α, β, γ,.... De fato, u = v + αu u,u = } u = v + βu + γu u,u = u,u = u = v + βu + γu u,u = u,u = v,u + α u,u = α = v,u u,u v,u + β u,u = β = v,u u,u v,u + γ u,u = γ = v,u u,u

2 .. BASES ORTONORMAIS 9 Assim, u = v u = v v,u u,u u u = v v,u u,u u v,u u,u u u p = v p v p,u u,u u v p,u u,u u... v p,u p u p,u p u p Se o objetivo for obter não apenas uma base ortogonal {u,u,...,u p }, mas sim ortonormal {ˆq,,..., ˆq p }, basta normalizarmos ao final: ˆq i = u i u i. Outra opção, ainda, é normalizar passo a passo; neste caso, os denominadores desaparecem: u = v ; ˆq = u u u = v v, ˆq ˆq ˆq = u u u = v v, ˆq ˆq v, ˆq ˆq ˆq = u u u p = v p v p, ˆq ˆq v p, ˆq ˆq... v p, ˆq p ˆq p Exemplo Seja H = span,. Encontre uma base ortonormal para H. u = u = = = /7 /7 /7.

3 CAPÍTULO. PRODUTO INTERNO Poderíamos usar u exatamente como calculado acima. Mas podemos, por conveniência, eliminar as frações e usar u =. Temos agora u = = 6 6 =. Este resultado, u =, revela que v é combinação linear dos vetores anteriores. Assim, H = span {v,v,v }. Basta ortogonalizar este conjunto, reduzido em relação ao original. u e u já foram calculados. Agora, u = = 8 + =. Como anteriormente, faremos u =.

4 .. COMPLEMENTO ORTOGONAL Desta forma, temos que é base ortogonal de H. Para uma base ortonormal, basta normalizar estes vetores. é base ortonormal de H. u = = u = = u = =. Complemento Ortogonal Definição (complemento ortogonal) Seja V espaço vetorial com produto interno e H subespaço de V. O complemento ortogonal de H é o conjunto dos vetores de V ortogonais a todos os vetores de H H = {v V v,u = u H}. Observação H é subespaço vetorial. Observação H = {v V v,u i =, i =,,..., p}. onde {u,u,...,u p } é base de H. Observação Seja β H = {u,u,...,u p } base ortogonal de um subespaço H. Seja β = {u,u,...,u p,u p+,...,u n } uma extensão de β H a uma base ortogonal de V (sabemos como fazê-lo: estendemos β H a uma base qualquer e em seguida ortogonalizamo-na por Gram-Schmidt). Então β H = {u p+,...,u n } é base de H. Corolário Se V é espaço vetorial n-dimensional com produto interno e H é subespaço p-dimensional de V então dim(h ) = n p. Corolário Se V é espaço vetorial com produto interno e H é subespaço então (H ) = H.

5 CAPÍTULO. PRODUTO INTERNO. Relação entre N(A) e Im(A T ) Sejam A R m n, v N(A) e y = A T x Im(A T ). Então v,y = v T y = v T (A T x) = (v T A T )x = (Av) T x = Av,x =,x =. Qualquer vetor de N(A) é ortogonal a qualquer vetor de Im(A T ). Lembrando que dim(n(a))+dim(im(a)) = número de colunas de A = n e que dim(im(a)) = dim(im(a T )), temos que dim(n(a))+dim(im(a T )) = n. Sejam β = {u,...,u ν } e γ = {u ν+,...,u ν+ρ } bases ortogonais de N(A) e de Im(A T ), respectivamente. {u,...,u ν+ρ } é um conjunto ortogonal de vetores não nulos (portanto LD) com n vetores, então é uma base. Pela observação da seção anterior, N(A) = Im(A T ), ou, equivalentemente,n(a) = Im(A T ). Aplicando-se este resultado a A T, temos ainda N(A T ) = Im(A) ou N(A T ) = Im(A). Observação O leitor atento terá notado que nesta seção, ao contrário das anteriores, nos ativemos ao produtro escalar canônoico do R n, u,v = u T v. E se estivermos usando outro produto interno ou estivermos em um espaço que não R n? A resposta é que continua valendo o resultado N(A) = Im(A T ), desde que A T e sejam interpretados apropriadamente. Não vamos tratar aqui deste caso mais geral..6 Base para H Seja H R n subespaço gerado por {v,...,v m }. Deseja-se obter uma base para H. Mas v H v,v i = v T v i = vi T v =, i =,..., m v T v T. v =. v T m A T v =, onde [ A = v v v m ]. Espaços que quardam esta relação são ditos ortogonais.

6 .6. BASE PARA H Exemplo Encontre uma base para span.