Transformações Lineares

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1 Transformações Lineares Prof. Márcio Nascimento Universidade Estadual Vale do Acaraú Centro de Ciências Exatas e Tecnologia Curso de Licenciatura em Matemática Disciplina: Álgebra Linear de novembro de / 33

2 Sumário 1 Definição e Exemplos 2 2 / 33

3 Sumário 1 Definição e Exemplos 2 3 / 33

4 Transformação Linear Sejam E e F espaços vetoriais. Uma transformação linear (ou Aplicação Linear) T : E F é uma correspondência que associa a cada vetor v E o vetor T (v) F de modo que sejam válidas: para quaisquer u, v E e α R. T (u + v) = T (u) + T (v) T (α.u) = α.t (u) T (v) chama-se imagem de v pela transformação T. 4 / 33

5 EXEMPLO: Considere a transformação T : R 2 R 3 tal que T (x, y) = (x, y, x + y). Sejam u = (x 1, y 1 ) e v = (x 2, y 2 ) elementos de R 2. Devemos verificar se T (u + v) = T (u) + T (v) Sejam, α R e w = (x, y). Devemos verificar se T (α.w) = α.t (w) 5 / 33

6 EXEMPLO: Considere a transformação D : P 3 P 3 tal que D(p(x)) = p (x). É uma transformação linear? 6 / 33

7 EXEMPLO: Considere a transformação T : R 3 3 R 3 3 tal que T (A) = A T. É uma transformação linear? 7 / 33

8 EXEMPLO: Considere a transformação T : R 3 R 2 tal que T (x, y, z) = (xy, yz). É uma transformação linear? 8 / 33

9 OBS: Imagem do vetor nulo Se T : E F é uma transformação linear, então T (0 E ) = 0 F 9 / 33

10 Importante T (0 E ) = 0 F é uma condição necessária (mas não suficiente) para que T seja uma transformação linear. EXEMPLO: Considere T : R 2 R 4 definida por T (x, y) = (x, 1, y, 1). 10 / 33

11 Imagem da combinação linear Se T : E F é uma transformação linear, então T (α 1 v 1 + α 2 v α n v n ) = α 1 T (v 1 ) + α 2 T (v 2 ) α n T (v n ) 11 / 33

12 Nomenclaturas Sejam E, F espaços vetoriais. L(E; F ): conjunto de todas as transformações lineares de E em F ; L(E; E) = L(E) Se T L(E) então T é chamado operador linear. L(E; R) = E Se ϕ E então ϕ é chamado funcional linear. 12 / 33

13 Espaço de Transformações Lineares Considere o conjunto L(E; F ). Defina a soma de Transformações lineares por (T + S)(v) = T (v) + S(v) e a multiplicação por escalar por (αt )(v) = α.t (v) Então, L(E; F ) é um espaço vetorial. Espaço Dual O espaço E = L(E; R) é chamado Espaço Dual de E. 13 / 33

14 Teorema Sejam E e F espaços vetoriais. Seja B = {v 1, v 2,..., v n } uma base de E. Se w 1, w 2,..., w n são vetores quaisquer em F, então existe (e é única) uma transformação linear T : E F tal que T (v 1 ) = w 1, T (v 2 ) = w 2,..., T (v n ) = w n Prova Sendo B uma base de E, então para v E, existe uma única combinação linear v = α 1 v 1 + α 2 v α n v n Defina a seguinte aplicação de E em F T (v) = α 1 w 1 + α 2 w α n w n e provemos que se trata de uma transformação linear. Observe que tal T transforma um vetor de E em uma combinação linear em F, isto é, um vetor de F! 14 / 33

15 Teorema Sejam E e F espaços vetoriais. Seja B = {v 1, v 2,..., v n } uma base de E. Se w 1, w 2,..., w n são vetores quaisquer em F, então existe (e é única) uma transformação linear T : E F tal que T (v 1 ) = w 1, T (v 2 ) = w 2,..., T (v n ) = w n Dados dois elementos em E, digamos, v = α 1 v 1 + α 2 v α n v n u = β 1 v 1 + β 2 v β n v n temos v + u = (α 1 + β 1 )v 1 + (α 2 + β 2 )v (α n + β n )v n e portanto, T (v + u) = (α 1 + β 1 )w 1 + (α 2 + β 2 )w (α n + β n )w n = = (α 1 w 1 + α 2 w α n w n ) + (β 1 w 1 + β 2 w β n w n ) = = T (v) + T (u) 15 / 33

16 Teorema Sejam E e F espaços vetoriais. Seja B = {v 1, v 2,..., v n } uma base de E. Se w 1, w 2,..., w n são vetores quaisquer em F, então existe (e é única) uma transformação linear T : E F tal que T (v 1 ) = w 1, T (v 2 ) = w 2,..., T (v n ) = w n Para mostrar que T (ξv) = ξt (v), temos ξv = ξ(α 1 v 1 + α 2 v α n v n ) Portanto, = (ξα 1 )v 1 + (ξα 2 )v (ξα n )v n T (ξv) = (ξα 1 )w 1 + (ξα 2 )w (ξα n )w n = = ξ(α 1 w 1 + α 2 w α n w n ) = ξt (v) 16 / 33

17 Teorema Sejam E e F espaços vetoriais. Seja B = {v 1, v 2,..., v n } uma base de E. Se w 1, w 2,..., w n são vetores quaisquer em F, então existe (e é única) uma transformação linear T : E F tal que T (v 1 ) = w 1, T (v 2 ) = w 2,..., T (v n ) = w n Resta provar a unicidade. Suponha que S : E F seja outra transformação linear tal que S(v 1 ) = w 1, S(v 2 ) = w 2,..., S(v n ) = w n. Então S(v) = S(α 1 v 1 + α 2 v α n v n ) = = α 1 S(v 1 ) + α 2 S(v 2 ) α n S(v n ) = = α 1 w 1 + α 2 w α n w n = = α 1 T (v 1 ) + α 2 T (v 2 ) α n T (v n ) = = T (α 1 v 1 + α 2 v α n v n ) = T (v) 17 / 33

18 Exemplo Qual é a transformação [ ] linear T [ : R 2 ] R 2 2 tal que T (2, 0) = e T (1, 2) =? Veja que v 1 = (2, 0) e v 2 = (1, 2) formam uma base de R 2. Se v = (x, y) R 2, então ou seja, Daí, v = α 1 v 1 + α 2 v 2 (x, y) = 2x y v 1 + y 4 2 v 2 T (x, y) = 2x y T (v 1 )+ y 4 2 T (v 2) = 2x y 4 [ ] y [ ] / 33

19 Exemplo Qual é a transformação [ ] linear T [ : R 2 ] R 2 2 tal que T (2, 0) = e T (1, 2) =? E a expressão que define T é a seguinte: ( ) ( ) 6x 3y 2x + 3y 4 4 T (x, y) = y x 2 19 / 33

20 Sumário 1 Definição e Exemplos 2 20 / 33

21 A toda transformação linear T : E F estão associados dois subespaços vetoriais que ajudam a compreender o comportamento de T : 1 Imagem de T : Im(T ), que é um subespaço de F ; 2 Núcleo de T : N(T ) ou ker(t ), que é um subespaço de E. 21 / 33

22 Imagem de uma Transformação Linear A Imagem de uma Transformação Linear T : E F é o subconjunto de F formado por todas as imagens dos elementos de E. Isto é: Im(T ) = {w F ; w = T (v), para algum v E} 22 / 33

23 Im(T ) é subespaço vetorial de F A Imagem Im(T ) de uma Transformação Linear T : E F é sempre subespaço vetorial do espaço vetorial de chegada, isto é, de F. Sejam w 1, w 2 Im(T ). Então w 1 + w 2 Im(T )? Veja que w 1, w 2 Im(T ) implica que w 1 = T (v 1 ) e w 2 = T (v 2 ) para v 1, v 2 E. Daí, w 1 + w 2 = T (v 1 ) + T (v 2 ) = T (v 1 + v 2 ). Como v 1 + v 2 E, segue que w 1 + w 2 Im(T ). Sejam α R e w Im(T ). Então α.w Im(T )? α.w = α.t (v) = T (α.v). Como α.v E, segue que α.w Im(T ). 23 / 33

24 Transformação Sobrejetiva Seja T : E F uma transformação linear. Sempre que Im(T ) = F dizemos que T é sobrejetiva. 24 / 33

25 Teorema Seja X = {u 1, u 2,..., u n } um conjunto de geradores do espaço vetorial E. Então, T : E F é sobrejetiva se, e somente se, {T (u 1 ), T (u 2 ),..., T (u n )} é um conjunto de geradores de F. Prova (= ) Suponha T sobrejetiva. Devemos mostrar que todo elemento de F se escreve como uma combinação linear de T (u 1 ), T (u 2 ),..., T (u n ). Seja w F. Então existe v E tal que T (v) = w. Sendo X um conjunto de geradores de E, podemos escrever: Portanto, v = α 1 u 1 + α 2 u α n u n w = T (v) = T (α 1 u 1 + α 2 u α n u n ) = = α 1 T (u 1 ) + α 2 T (u 2 ) α n T (u n ) 25 / 33

26 Teorema Seja X = {u 1, u 2,..., u n } um conjunto de geradores do espaço vetorial E. Então, T : E F é sobrejetiva se, e somente se, {T (u 1 ), T (u 2 ),..., T (u n )} é um conjunto de geradores de F. Prova ( ) Suponha que {T (u 1 ), T (u 2 ),..., T (u n )} é um conjunto de geradores para F. Mostremos que T é sobrejetiva: Im(T ) = F. Por definição, Im(T ) F. Portanto, resta mostrar que F Im(T ). Tomemos w F e mostremos que w Im(T ). Sendo {T (u 1 ), T (u 2 ),..., T (u n )} um conjunto de geradores para F, temos que w = β 1 T (u 1 ) + β 2 T (u 2 ) β n T (u n ) Sendo T uma transformação linear, podemos escrever: w = T (β 1 u 1 + β 2 u β n u n ) = T (v) para algum v E. Portanto, w Im(T ) e F Im(T ). 26 / 33

27 Núcleo ou Kernel de uma Transformação Linear Seja T : E F uma transformação linear. O núcleo (ou kernel) de T é definido por: N(T ) = {v E ; T (v) = 0 F } N(T ) ou Ker(T) 27 / 33

28 Teorema Seja T : E F uma transformação linear. O núcleo de T é um subespaço vetorial de E. Prova Sejam u, v N(T ). Devemos mostrar que u + v N(T ), isto é, T (u + v) = 0 F. Sejam α R e u N(T ). Devemos mostrar que α.u N(T ), isto é, que T (α.v) = 0 F. 28 / 33

29 Injetividade Uma transformação linear T : E F é injetiva quando elementos diferentes no domínio têm imagens diferentes. Isto é: u v = T (u) T (v) 29 / 33

30 Exemplo Considere T : R 3 R 3 definida por T (x, y, z) = (2y, 3z, x). T é injetiva? 30 / 33

31 Teorema Uma transformação linear T : E F é injetiva se, e somente se, N(T ) = { 0 E }. Prova ( ) Suponha T injetiva e mostremos que N(T ) se resume ao vetor nulo de E. Lembre que T ( 0 E ) = 0 F. Portanto, 0 E N(T ). Se T é injetiva, nenhum outro elemento de E pode ter imagem igual a imagem de 0 E. Logo, o único elemento que tem imagem igual a 0 F é 0 E. Conclusão: N(T ) = { 0 E }. 31 / 33

32 Teorema Uma transformação linear T : E F é injetiva se, e somente se, N(T ) = { 0 E }. Prova ( ) Reciprocamente, suponha N(T ) = { 0 E } e mostremos que T é injetiva. Sejam u, v E com u v. Então u v 0 E Com isso, T (u v) 0 F, isto é, T (u) T (v) 0 E e T (u) T (v). Conclusão: u v = T (u) T (v) e portanto T é injetiva. 32 / 33

33 Exemplo Considere T : R 2 2 R 2 2 definida por T (A) = 2.A T. T é injetiva? 33 / 33