Álgebra Linear e Geometria Analítica

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1 Álgebra Linear e Geometria Analítica Engenharia Electrotécnica Escola Superior de Tecnologia de Viseu lucas@mat.est.ip.pt 007/008 Álgebra Linear e Geometria Analítica 7. Ortogonalidade e Ortonormalidade 7. Projecções Ortogonais sobre Subespaços

2 Seja V um espaço linear real. Produto Interno e Espaço Euclidiano Um produto interno em V é uma operação que a cada par de ectores u, de V associa um escalar u, satisfazendo os seguintes axiomas: 1. u u (simetria). (αu + β w) α(u w)+ β( w) (linearidade). u u 0; u u 0 sse u 0 (positiidade) Um espaço linear real com produto interno diz-se um espaço euclidiano. (ESTV) Álgebra Linear e Geometria Analítica 007/008 / 14 Num Espaço Euclidiano: A norma (ou comprimento) de um ector u denota-se por u e é, por definição: u p u u A projecção ortogonal do ector sobre o ector u designa-se por proj u e é, por definição: proj u u u u O ângulo entre dois ectores u e é dado por: cos( (u, )) u u u é ortogonal a, e escree-se u seesóseu 0 (ESTV) Álgebra Linear e Geometria Analítica 007/008 4 / 14

3 Exemplo (de Espaços Euclidianos) Os espaços R n (n 1) são espaços euclidianos. Sejam u (u 1, u,...,u n ) e ( 1,,..., n ) ectores de R n. Define-se um produto interno em R n por: u u u u n n Em notação matricial, u u 1 u. e 1. u n n u u T T u (ESTV) Álgebra Linear e Geometria Analítica 007/008 5 / 14 Exemplo (Em R ) Dados os ectores u (1, 1, 0) e (0,, 0) de R u u u u cos( (u, )) u u 1 (u, ) π 4 proj u u u u ( ) (1, 1, 0) (1, 1, 0) (,, 0) (ESTV) Álgebra Linear e Geometria Analítica 007/008 6 / 14

4 Exemplo (de Espaço Euclidiano) O espaço C[a, b] das funções reais contínuas no interalo [a, b] éum espaço euclidiano. Define-se um produto interno, para cada f e g em C[a, b], por: f g b a f (x)g(x)dx (ESTV) Álgebra Linear e Geometria Analítica 007/008 7 / 14 Exemplo (Em C[, 1]) Dadas as funções f (x) x e g(x) 1 + x de C[, 1] f g 1 f (x)g(x)dx 1 x(1 + x)dx 1 ) x + x dx [ x + x ] ( 1 1 f f f 1 f (x)f (x)dx 1 ( 1 1 ) [f (x)] dx 1 6 x dx [x ] 1 cos( (f, g)) f g f g (f, g) π (ESTV) Álgebra Linear e Geometria Analítica 007/008 8 / 14

5 7. Ortogonalidade e Ortonormalidade Recorde-se que dois ectores u e se dizem ortogonais se u 0. Num espaço euclidiano: Um conjunto de ectores é ortogonal se os ectores forem ortogonais dois a dois; Um conjunto ortonormado é um conjunto ortogonal cujos ectores são todos unitários, isto é, de norma igual a um. Teorema Num espaço euclidiano todo o conjunto ortogonal de ectores não nulos é linearmente independente. Obseração Num espaço euclidiano de dimensão n todo o conjunto ortogonal de n ectores não nulos é uma base do espaço. Em particular, todo o conjunto ortonormado de n ectores é uma base. (ESTV) Álgebra Linear e Geometria Analítica 007/008 9 / Ortogonalidade e Ortonormalidade Determinar uma base ortogonal A partir de uma base {u 1, u } pretende-se encontrar uma base ortogonal { 1, } com: 1 u 1 e u α ( 1 u α 1 )0 1 u α α 1 u 1 1 α 1 u 1 (ESTV) Álgebra Linear e Geometria Analítica 007/ / 14

6 7. Ortogonalidade e Ortonormalidade Método de Ortogonalização de Gram-Schmidt Seja V um espaço euclidiano e {u 1, u,...,u n } uma base de V. Defina-se: 1 u 1 u 1 u 1 1 u 1 u 1 1 u. n u n 1 u n 1 1 u n n u n n n Então os ectores { 1,,..., n } são ortogonais dois a dois. Determinar uma base ortonormada Para obter uma base ortonormada, a partir de uma base ortogonal { 1,,..., n }, basta diidir cada um dos ectores da base ortogonal pela sua norma, ou seja, 1 {w 1, w,...,w n } 1,,..., n n (ESTV) Álgebra Linear e Geometria Analítica 007/ / Ortogonalidade e Ortonormalidade Exemplo Seja S < {u 1, u, u } > o subespaço de R 4 gerado pelos ectores u 1 (, 0, 0, 0), u (0,, 0, 0) e u (0, 1, 1, 0) 1 u 1 (, 0, 0, 0) u 1 u 1 1 (0,, 0, 0) 0 (, 0, 0, 0) (0,, 0, 0) u 1 u 1 1 u (0, 1, 1, 0) 0 (, 0, 0, 0) (0,, 0, 0) (0, 1, 1, 0) (0, 1, 0, 0) (0, 0, 1, 0) Base ortogonal de S { 1,, } {(, 0, 0, 0), (0,, 0, 0), (0, 0, 1, 0)} n o Base ortonormada de S {w 1, w, w } 1,, 1 n o (,0,0,0), (0,,0,0), (0,0,1,0) {(1, 0, 0, 0), (0, 1, 0, 0), (0, 0, 1, 0)} 1 (ESTV) Álgebra Linear e Geometria Analítica 007/008 1 / 14

7 7. Projecções Ortogonais sobre Subespaços Projecção ortogonal de um ector sobre um subespaço Seja V um espaço euclidiano e S um subespaço de V de dimensão finita. Seja {w 1, w,...,w k } uma base ortonormada de S. Então, a projecção ortogonal de um ector V sobre o subespaço S é dada por: proj S () k ( w i )w i ( w 1 )w 1 +( w )w +...+( w k )w k i1 (ESTV) Álgebra Linear e Geometria Analítica 007/008 1 / Projecções Ortogonais sobre Subespaços Exemplo Seja S < {u 1, u, u } > o subespaço de R 4, com u 1 (, 0, 0, 0), u (0,, 0, 0) e u (0, 1, 1, 0), do exemplo anterior. Base ortonormada de S {w 1, w, w } {(1, 0, 0, 0), (0, 1, 0, 0), (0, 0, 1, 0)} A projecção ortogonal do ector (, 1,, 4) R 4 sobre o subespaço S é dada por: proj S () ( w 1 )w 1 +( w )w +( w )w (1, 0, 0, 0)+1(0, 1, 0, 0)+(0, 0, 1, 0) (, 1,, 0) (ESTV) Álgebra Linear e Geometria Analítica 007/ / 14