Lista 8 de Álgebra Linear /01 Produto Interno

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1 Lista 8 de Álgebra Linear - / Produto Interno. Sejam u = (x x e v = (y y. Mostre que temos um produto interno em R nos seguintes casos: (a u v = x y + x y. (b u v = x y x y x y + x y.. Sejam u = (x y z e v = (x y z. Identique os casos em que temos um produto interno no R. Nos casos que falham identique as propriedades que não vericam. (a u v = x x + z z. (b u v = x x y y + z z. (c u v = x y z + y x z.. Sejam u = (x x e v = (y y. A expressão u v = x y x y x y + x y dene um produto interno em R? 4. No espaço de todos os polinômios de grau menor ou igual a determine se p q = p(q( é um produto interno e em caso negativo indique quais dos axiomas da denição de produto interno são violados.. Utilize os produtos internos do exercício para calcular: (a u com u = ( (b d(u v com v = (. Em P considere o produto interno f g = f(xg(xdx e os polinômios f(x = x g(x = x. Mostre que f e g são ortogonais e a seguir determine g um múltiplo de g tal que g =. 7. Considere V = M( com o produto interno usual. Determine a projeção ortogonal de [ ]. [ ] sobre 8. Considere V = P com o produto interno usual. Qual é o menor ângulo entre p(t = t + t e q(t = + t?

2 9. Seja V um espaço vetorial com produto interno denido e sejam u v vetores ortogonais de V tais que u = e v =. Mostre que d(u v =. Interprete este resultado geometricamente quando u v R.. Seja V o espaço das funções contínuas no intervalo [ ]. Dena em V o seguinte produto interno: f g = (a Calcule f(x quando f(x = x x. (b Calcule a d(f g se f(x = e g(x = x. f(xg(xdx.. Seja V = R. Seja W o subespaço do R dado pela equação x y z =. Determine W e a distância entre v = ( aos subespaços W e W.. (ENADE Considere o espaço vetorial V = R munido do seguinte produto interno: u v = x x y x x y + 4y y em que v = (x y e u = (x y são vetores do R. Considere T : V V o operador linear dado por T (x y = ( y x. Com relação ao produto interno dado e ao operador T assinale a opção correta. (a Os vetores e = ( e e = ( são ortogonais em relação ao produto interno dado. (b O operador T preserva o produto interno isto é T ( u T ( v = u v. (c T (x y = T (y x para todo (x y R. (d O vetor v = ( pertence ao N(T. (e Existe um vetor v = (x y R tal que x + y = e v v =.. Seja T : R 4 R tal que [T ] = 4. (a Determine uma base para o complemento ortogonal do N(T. (b Determine uma base para o complemento ortogonal da Im(T. 4. Seja V = R e W = e w W. [ ( ] 4 (. Exprima w = ( na forma w = w +w em que w W. Seja V = R 4 e W = [( ( ]. Expresse w = ( na forma w = w + w em que w W e w W.. Seja V = M(. determine uma base para o complemento ortogonal do: (a subespaço das matrizes diagonais (b subespaço das matrizes simétricas. 7. A transformação T : R R denida por T ( v = u v é linear? Se for determine seu núcleo e sua imagem.

3 {( 8. Considere a base ortonormal α = v = (. (Não resolva nenhum sistema linear. ( } ( para R. Encontre [ v ] β para 9. Suponha que S consiste dos seguintes vetores em R 4 : u = ( u = ( u = ( 9 e u 4 = ( (a Mostre que S é ortogonal e é uma base de R 4. (b Ache as coordenadas do vetor v = ( em relação à base S. (Não resolva nenhum sistema linear.. Qual é a base ortonormal do R obtida pelo processo de Gram-Schmidt a partir da base {( ( 4 (9 4}?. Use o processo de Gram-Schmidt para construir uma base ortonormal para um subespaço W de um espaço vetorial V para cada um dos seguintes casos: (a V = R 4 tal que W = [( ( ( ( ] (b V = R tal que W = {(x x + y y; x y R} x + y z = (c V = M( tal que W é o conjunto solução do sistema homogêneo x + y + z = x + y z =. Seja W um subespaço do R dado pelas equações paramétricas x = t y = t z = 4t t R. Determine W. Qual a distância do vetor v = ( aos subespaços W e W respectivamente?. Seja V o espaço das funções contínuas no intervalo [ ]. Dena em V o seguinte produto interno: f g = f(tg(tdt. (a Aplique o algoritmo de Gram-Schmidt ao conjunto { t t } para obter um conjunto ortonormal {f f f }. (b Achar o complemento ortogonal do subespaço W = [ + t]. 4. Seja V = P p = a + b x + c x + d x e q = a + b x + c x + d x e p q = a a + b b + c c + d d um produto interno em P. Ache uma base ortonormal para o subespaço W de P gerado pelos vetores v = + x + x + x v = + x + x + 4x e v = + x 4x x.. Seja u v = x y + x y + x y um produto interno em R. Encontre as coordenadas do vetor v = ( em relação à base ortonormal obtida a partir da base β = {( ( ( }. {[ ] } a a. Seja U = ; a R um subespaço vetorial de M a a. Determine uma base ortonormal de U usando o produto interno A B = tr(a T B. 7. Seja V = P com produto interno usual.

4 4 (a Determine uma base ortonormal para o subespaço W de P gerado por 4t + t e por + t + 7t. (b Determine a projeção ortogonal de p(t = t sobre W. 8. Encontre a projeção ortogonal de v = ( sobre o subespaço W gerados pelos vetores u = ( e u = ( Encontre a decomposição ortogonal de v = (4 em relação a W = [( ( ].. Ache uma matriz ortogonal P cuja primeira linha é u = (. Obs.: a matriz P não é única.. Encontre a fatoração QR da matriz A =. Utilize a fatoração QR para resolver o sistema AX = B onde A = e B =. 8. Classique cada armação como verdadeira ou falsa: (a Todo conjunto linearmente independente em R n é um conjunto ortogonal. (b Se A é uma matriz quadrada cujas colunas são ortonormais então A é inversível e A = A T. (c Se W é um subespaço de um espaço com produto interno V então o vetor nulo pertence a W. (d Qualque matriz com determinante não- nulo tem uma decomposição QR. (e Se x é ortogonal a ambos u e v então x é ortogonal a u v. (f Todo conjunto ortogonal é ortonormal. (g Todo vetor pode ser normalizado.. 4. No assunto Diagonalização de Operadores vimos que: "Se A é a matriz canônica de um operador linear T e D a matriz de T na base β de autovetores temos D = P AP onde P é a matriz cujas colunas são os autovetores de T. Dizemos que a matriz P diagonaliza A ou que P é a matriz diagonalizadora". No caso de A ser uma matriz simétrica e portanto sempre diagonalizável podemos obter uma base ortogonal de autovetores que após a normalização será uma base ortonormal. A matriz acima citada por ter suas colunas formadas por vetores ortonormais é uma matriz ortogonal ou seja é tal que P = P T. A matriz D nesse caso é obtida pela relação D = P T AP e dizemos que P diagonaliza A ortogonalmente. Seja T : R R a transformação linear denida por: T (x y z = (x+y+z x+y z x y+z.encontre uma matriz P que diagonalize ortogonalmente a matriz canônica de T.

5 . Nenhum dos casos é um produto interno em R.. Sim. 4. Não. Gabarito. Utilize os produtos internos do exercício e os vetores u = ( e v = (.. g = x 7. proj A B = [ ] 8. θ = π. a f(x = b d(f g =. W = {(x x x; x R} e d(v W =. a Não b Sim c Não d Não e Não 8 7 d(v W =. Uma base para o complemento ortogonal do núcleo é {( ( } e para o complemento ortoganl da imagem é {( ( }. 4. w = ( 4 e w = ( 9. w = ( 7 7 e w = ( 7. Considerando A B = tr ( A T B {[ ] [ ]} tem-se : a Uma base para W é β = {[ ]} b β = 7. a Sim b Seja u = (x y. Então N(T = 7 {( } x x y x ; x R e Im(T = {a R/a = x x + y y} 8. ( = 4 ( ( ( 9. b [v] s = { 7 ( ( a α = {( {( b α = ( } {( } c α = ( } 8 ( ( } 4 (

6 . W = {(x y z R /x + 4z = } e d(v W = d(v W =. a β = { (x (x x + } { } 4. α = ( + x + x + x ( x + x ( + x x + x {(. α = ( ( }. Um base ortonormal é {[ ] [ ] [ 7. a Uma base ortonormal é α = { 4 t + t t + 4 t } b proj u W = t + 9 t 8. projw v = ( 9. v = w + w onde w = ( 7 7 e w = (. P = 4. Salientamos que P não é única.. Como as colunas da matriz A não são L. I's não há como encontrar a decomposição QR da matriz A. [ ]. Q = R = [ ] 9 x =. FVVVVFF 4. P = ]} 8 4