FACULDADE DE ENGENHARIA DA UNIVERSIDADE DO PORTO LEEC EXERCÍCIOS DE ÁLGEBRA

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1 FACULDADE DE ENGENHARIA DA UNIVERSIDADE DO PORTO LEEC EXERCÍCIOS DE ÁLGEBRA Exercícios vários. Considere o conjunto C =, e a operação binária definida por a b = min(a, b). O conjunto C é, relativamente à operação, como estrutura algébrica mais abrangente, (a) um grupóide. (b) um grupo comutativo. (c) um semigrupo comutativo com unidade. (d) um anel.. Considere os seguintes vectores de R 3 : u = (,, 0) T, u = (,, ) T e u 3 = (a, b, c) T, onde a, b, c R. Que condições devem satisfazer a, b e c para u 3 ser combinação linear de u e u? (a) Para todos os valores de a, b e c o vector u 3 nunca é combinação linear de u e u. (b) {a, b, c R : a 0}. (c) a + 4b + 3c = 0. (d) a + 4b 3c = Seja P o espaço linear das funções polinomiais de R em R, de coeficientes reais e de grau menor ou igual a. Considere as funções polinomiais p (x) = x, p (x) = x +, p 3 (x) = x. Designe por R o subespaço linear de P gerado por p, p e p 3. Então (a) dimr = 3. (b) dimr = 4. (c) dimr =. (d) dimr =.

2 Exercícios vários 4. Considere as matrizes 0 e B = a c b d Os valores de a, b, c, d R tais que AB = BA são: (a) a, b, c, d R. (b) {a, b, c, d R : c = 0, a = d}. (c) {a, b, c, d R : b = 0, a = d}. (d) a, b, c, d R, AB BA. 5. Que condições devem satisfazer os números reais a, b e c para que a matriz a b c a b c seja invertível? (a) a e b 0 e c b. (b) Não existem quaisquer a, b e c reais nestas condições. (c) c b, b a e c a. (d) a = b = c. 6. A que condição devem satisfazer os reais a, b, e c para que a matriz 0 b c 0 b c seja invertível? (a) b = c (b) b = c = 0 (c) b 0, c 0, c b (d) b c = 0 7. Sejam A, B, C matrizes quadradas com n linhas e n colunas invertíveis. Então a inversa de AB C (a) não existe. (b) A BC (c) (A BC ) (d) C BA.

3 Exercícios vários 3 8. Seja Determine a matrix B tal que (a) B = (b) B = ( ) A + B = 3 5 (c) B = (d) B = Seja O valor c R para o qual A = c c c. (a) não existe. (b) é qualquer c (c) c = (d) c =. 0. Considere as matrizes 3 4 (a) Calcule a característica e o núcleo desta matriz. (b) Sabendo que é solução do polinómio 3 + 3a a 3 + a = 0, determine os valores e vectores próprios da matriz A. (c) Calcule a matriz mudança de base S e a matriz diagonal Λ que representa a transformação linear T correspondente a A numa base diferente (Λ = S AS). (d) Verifique que det det Λ. 3

4 Exercícios vários 4. Seja A uma matriz não singular (ou seja, com determinante diferente de 0) e tal que A = ĀT, i.e., cuja inversa é igual à transposta da conjugada. (a) Verifique que os valores próprios de A têm todos módulo igual a, i.e., sendo λ i um valor própio, λ i =. (b) Conclua que deta =. (c) Determine a R tal que A = Ā onde a i ia ( + i) a a a(i ) ( i) a( i). Em R 4, determine uma base ortonormal para o subespaço S gerado pelos. vectores x, x, e x 3 e calcule a dimensão de S, sabendo que x =, x = 5, x 3 = Considere o espaço R 3 com a base canónica. Em R 3 admita o produto interno entre dois vectores x e y de R 3, definido por x y = 3 i= x iy i, e a norma induzida por este produto interno. Considere os seguintes vectores onde a, b R. u = 0, v = a b, w = (a) Determine a relação entre os parâmetros a e b de forma a garantir que u e v são ortogonais. (b) Determine o ângulo entre os vectores u e w, a projecção de u sobre w (P roj {w} u) e a distância entre u e w. 4. Considere o conjunto M (conjunto das matrizes quadradas ). (a) Relativamente às operações de adição de matrizes e multiplicação de uma 4 0, matriz por um escalar, mostre que M é um espaço linear. 4

5 Exercícios vários 5 (b) Qual é a dimensão de M? (c) Mostre que, relativamente ás operações de adição e multiplicação de matrizes, M apresenta divisores de zero. (d) Relativamente às operações de adição e multiplicação de matrizes que estrutura algébrica é M? 5. Sejam v e w dois vectores não nulos e linearmente independentes de um espaço vectorial X sobre um corpo Ω. Seja S = {x X : x = αv + βw, onde α, β Ω}, ou seja, S é o conjunto gerado pelos vectores v e w. (a) Porque é que v e w formam uma base para S? (b) Verifique que S = {x X : x = αv + β(v + w), onde α, β Ω} é um subespaço e que S = S. 6. Considere o sistema de equações lineares onde a, b, c R. x + y z = x + ay = ax + y + (b a)z = a + c (a) Discuta a existência e unicidade de solução do sistema em função dos valores dos parâmetros a, b e c. (b) Considere agora a =, b = e c =. Escreva o sistema em forma matricial e determine a característica da matriz que define o sistema. (c) Considere o sistema da alínea anterior. Calcule a solução desse sistema e calcule qual a solução do sistema homógeneo associado. 7. Considere a matriz

6 Exercícios vários 6 x y (a) Resolva o sistema A z = 0 pelo método de Gauss Jordan. w 0 (b) Calcule os valores próprios e vectores próprios de A e verifique se esta matriz é diagonalizável. 8. Mostre que se λ é valor próprio de A e x é um vector próprio de A associado a λ, então λ a é valor próprio de A ai e x é vector próprio associado a λ a, para todo o a escalar. 9. Considere a matriz Veifique se esta matriz é diagonalizável e se é determine a matriz P que diagonaliza A, i.e., a matriz P para a qual P AP é uma matriz diagonal. MRP SRC 6