Algebra Linear. 1. Revisitando autovalores e autovetores. 2. Forma Diagonal e Forma de Jordan. 2.1 Autovalores distintos. 2.2 Autovalores complexos

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1 Algebra Linear 1. Revisitando autovalores e autovetores 2. Forma Diagonal e Forma de Jordan 2.1 Autovalores distintos 2.2 Autovalores complexos 2.3 Nem todos autovalores distintos 3. Autovalores e autovetores de matriz simétrica pag.1 Teoria de Sistemas Lineares Aula 7

2 Revisitando Autovalores & Autovalores λ C é um autovalor de A R n n se existe um vetor 0 x C n tal que Ax = λx; e x C é chamado de autovetor (à direita) de A associado a λ x C n, x 0 (A λi)x = 0 det(a λi) = 0 Polinômio característico: (λ) det(λi A) Equação característica: (λ) = 0 Exemplo A = a 11 a 12 a 21 a 22 ; A λi = a 11 λ a 12 a 21 a 22 λ (λ) = (a 11 λ)(a 22 λ) a 12 a 21 = λ 2 (a 11 + a 22 )λ + (a 11 a 22 a 12 a 21 ) pag.2 Teoria de Sistemas Lineares Aula 7

3 Revisitando Autovalores & Autovalores Nota y C: A condição (λ) = det(λi A) = 0 é equivalente à existência de y A = λy = y (λi A) = 0 e qualquer y que satisfaça a relação acima é chamado de autovetor à esquerda de A Se v C n é um autovetor associado a λ C, então v (complexo conjugado de v) é um autovetor associado a λ Se v é um autovetor de A, a transformação linear A aplicada sobre v produz um escalonamento de λ na direção v... pag.3 Teoria de Sistemas Lineares Aula 7

4 Forma Companheira α α α α 1 ou α 1 α 2 α 3 α e suas transpostas têm o mesmo polinômio característico: (λ) = λ 4 + α 1 λ 3 + α 2 λ 2 + α 3 λ + α 4 pag.4 Teoria de Sistemas Lineares Aula 7

5 Forma Diagonal Autovalores distintos Teorema Suponha λ 1, λ 2,..., λ n autovalores distintos de A e v i um autovetor de A associado ao autovalor λ i, i = 1, 2,..., n. Então, o conjunto de autovetores {v 1, v 2,..., v n } é LI Demonstração Veja que (A λ j I)v i = Av i λ j v i = λ i v i λ j v i, ou (λ i λ j )v i, j i (A λ j I)v i = 0, j = i Supondo (por absurdo) que {v 1, v 2,..., v n } é LD, existem escalares α 1, α 2,..., α n não todos nulos tais que n α i v i = 0 i=1 pag.5 Teoria de Sistemas Lineares Aula 7

6 Forma Diagonal Autovalores distintos Sem perda de generalidade, assuma α 1 0. Então, n (A λ n I) α i v i = i=1 n (A λ n 1 I)(A λ n I) α i v i = i=1 n 1 i=1 n 2 i=1 α i (λ i λ n )v i α i (λ i λ n )(λ i λ n 1 )v i α 1 (λ 1 λ n )(λ 1 λ n 1 ) (λ 1 λ 3 )(λ 1 λ 2 )v 1 = n α i v i = 0 i=1 Como λ i λ j, j = 2, 3,..., n, α 1 = 0, o que contradiz a hipótese inicial. Portanto: {v 1, v 2,..., v n } LI Base do C n pag.6 Teoria de Sistemas Lineares Aula 7

7 Forma Diagonal Autovalores distintos Suponha que Ā seja a representação de A na base formada pelos autovetores {v 1, v 2,..., v n } e seja a i-ésima coluna de Ā a representação de Av i = λ i v i na base {v 1, v 2,..., v n }. Portanto: Ā = Av i = h λ λ λ n i v 1 v 2 v i v n h = Q 1 AQ, Q = λ i v 1 v 2 v n i pag.7 Teoria de Sistemas Lineares Aula 7

8 Forma Diagonal Autovalores distintos Existe uma representação diagonal se todos os autovalores de A são distintos Q define uma transformação de similaridade que diagonaliza a matriz A Portanto, se Q = [ v 1 v 2 v n ] é tal que Ā = Q 1 AQ é uma matriz diagonal, então AQ = QĀ = Av i = λ i v i, i = 1 n e {v 1, v 2,... v n } são autovetores LI de A pag.8 Teoria de Sistemas Lineares Aula 7

9 Forma Diagonal Autovalores distintos Exemplo A = , λ 1 = 1, λ 2 = 2, λ 3 = 3 (A λ 1 I)v 1 = v 11 v 21 v 31 = 0 v 31 = 0 v 21 = 0 2v 31 = 0 v 1 = pag.9 Teoria de Sistemas Lineares Aula 7

10 Forma Diagonal Autovalores distintos (A λ 2 I)v 2 = v 12 v 22 v 32 = 0 v 12 v 32 = 0... v 32 = 0 v 2 = (A λ 3 I)v 3 = v 13 v 23 v 33 = 0 v 13 = 0.5v 33 ; v 3 = 2v 13 v 33 = 0 v 23 = pag.10 Teoria de Sistemas Lineares Aula 7

11 Forma Diagonal Autovalores distintos Portanto, {v 1, v 2, v 3 } são LI: Ā = [ e Q = v 1 v 2 v 3 ] pag.11 Teoria de Sistemas Lineares Aula 7

12 Exemplo A = Forma Diagonal Autovalores distintos , λ 1 = λ 2 = 1, λ 3 = 2 (A λ 1 I)v 1 = v 11 v 21 v 31 = 0, Soluções LI v 1 = 1 0 0, v 2 = (A λ 3 I)v 3 = v 13 v 23 v 33 = 0 ; v 3 = [ ; Q = v 1 v 2 v 3 ] pag.12 Teoria de Sistemas Lineares Aula 7

13 Forma Diagonal Autovalores distintos Multiplicidade Geométrica (MG) de λ 1 : 2 (número de soluções LI associadas ao autovalor) No caso geral, tem-se: Multiplicidade Geométrica (MG) Multiplicidade Algébrica (MA) Se a Multiplicidade Geométrica for menor que a Multiplicidade Algébrica, não é possível determinar autovetores {v 1, v 2, v 3 } LI pag.13 Teoria de Sistemas Lineares Aula 7

14 Forma Diagonal Autovalores complexos Considere a matriz A = Autovalores: 1, 2 + j3 e 2 j3 Autovetores: Q = ; j j j 3 + j j2 3 j2 0 j j j ; ; Ā = j 3 j j j j pag.14 Teoria de Sistemas Lineares Aula 7

15 Forma Diagonal Autovalores não Distintos Para autovalores não distintos, nem sempre é possível obter Ā na forma diagonal. Eg: A = , λ 1 = λ 2 = 5, MA = 2 (A λ 1 I)v 1 = v 11 v 21 = 0 ; v 1 = 1 0 ; MG = 1 pag.15 Teoria de Sistemas Lineares Aula 7

16 Forma Canônica de Jordan Define-se como J k (λ) o bloco de Jordan de dimensão k k associado ao autovalor λ com multiplicidade maior que 1, dado por: J k (λ) = λ λ λ 3 C k k 7 5 Para qualquer matriz A R n n existe uma matriz não singular Q tal que 2 Ā = Q 1 AQ = 6 4 J k1 (λ 1 ) J k2 (λ 2 )... J kr (λ r ) 3, k k r = n 7 5 sendo que A tem r autovalores distintos λ 1,..., λ r entre n possíveis pag.16 Teoria de Sistemas Lineares Aula 7

17 Forma Canônica de Jordan Associados aos r autovalores distintos, pode-se determinar r autovetores LI {v 1, v 2,..., v r } via: (A λ i I)v i = 0, i = 1, 2,..., r Se há n blocos de Jordan de tamanho k = 1, então Ā é uma matriz diagonal, porém no geral isso não ocorre A forma de Jordan é única para uma dada matriz A (eventualmente pode haver permutações entre os blocos) Pode haver múltiplos blocos associados ao mesmo autovalor pag.17 Teoria de Sistemas Lineares Aula 7

18 Forma Canônica de Jordan A pergunta é: como obter uma base para a transformação? Os autovetores associados ao bloco de Jordan J ki (λ i ) são determinados de: [ v i1 v i2 ] v iki λ i λ i [ = A v i1 v i2 v iki ] λ i Defini-se v i1 v i como sendo o autovetor associado ao autovalor λ i pag.18 Teoria de Sistemas Lineares Aula 7

19 Forma Canônica de Jordan Tal que: λ i v i1 = Av i1 = (A λ i I)v i1 = 0 v i1 + λ i v i2 = Av i2 = (A λ i I)v i2 = v i1.. v i(ki 1) + λ i v iki = Av iki = (A λ i I)v iki = v i(ki 1) Da definição de autovetor: v i1 0 tal que (A λ i I)v i1 = 0 pag.19 Teoria de Sistemas Lineares Aula 7

20 Forma Canônica de Jordan Da equação que define v i2, pode-se escrever: (A λ i I)(A λ i I)v i2 = (A λ i I)v i1 = 0 (A λ i I) 2 v i2 = 0 (A λ i I)v i2 0 Autovetor Generalizado de λ i v é um autovetor generalizado de grau l de A associado ao autovalor λ se (A λi) l v = 0 (A λi) l 1 v 0 pag.20 Teoria de Sistemas Lineares Aula 7

21 Forma Canônica de Jordan Se o autovetor generalizado v é de grau 1 então: e portanto é um autovetor (A λi)v = 0; v 0 O número de blocos de Jordan associados ao autovalor λ é dado pela nulidade de: ν(a λi) A forma canônica de Jordan é útil do ponto de vista conceitual, não sendo usada para cálculos computacionais pag.21 Teoria de Sistemas Lineares Aula 7

22 Forma Canônica de Jordan Exemplo A = λ 1 = 2, λ 2 = λ 3 = 1 Autovetor associado ao autovalor λ 1 = 2: (A 2I)v 1 = v 1a v 1b v 1c = 0 ; v 1 = pag.22 Teoria de Sistemas Lineares Aula 7

23 Forma Canônica de Jordan Para λ 2 = 1 (A 1I)v 2 = v 2 = Veja l 3 = l 1 + 4l 2, rank(a eye(3)) = 2 ν(a 1I) = 1 existe 1 bloco de Jordan associado ao autovalor λ = 1, sendo a forma de Jordan dada por: Ā = Q 1 AQ = pag.23 Teoria de Sistemas Lineares Aula 7

24 Forma Canônica de Jordan Mas pode-se também obter a transformação Q que gera a forma de Jordan. Veja que (A 1I)v 2 = 0, pode-se obter v 2 = /7 5/ Definindo-se v 21 v 2, determina-se o autovetor generalizado v (A 1I)v 22 = v 21 ; v 22 = / /49 Portanto a transformação que produz é dada por Q = h v 1 v 21 v 22 i jordan(a) pag.24 Teoria de Sistemas Lineares Aula 7

25 Forma Canônica de Jordan Considere A R 4 4 com um autovalor λ de multiplicidade algébrica 4. Assuma que ν(a λi) = 1. Portanto (A λi)v = 0 possui apenas uma solução LI v. Para formar uma base no R 4, é necessários mais três vetores LI (autovetores generalizados) v 2, v 3 e v 4 satisfazendo: (A λi) 2 v 2 = 0 (A λi) 3 v 3 = 0 (A λi) 4 v 4 = 0 A partir de um vetor v, a cadeia de autovetores generalizados de tamanho 4 pode ser gerada da forma: v 4 v v 3 (A λi)v 4 = (A λi)v v 2 (A λi)v 3 = (A λi) 2 v v 1 (A λi)v 2 = (A λi) 3 v pag.25 Teoria de Sistemas Lineares Aula 7

26 Forma Canônica de Jordan Propriedades: (A λi)v 1 = 0, (A λi) 2 v 2 = 0, (A λi) 3 v 3 = 0 e (A λi) 4 v 4 = 0 Os vetores gerados dessa maneira são LI, e: Av 1 = λv 1 Av 2 = v 1 + λv 2 Av 3 = v 2 + λv 3 Av 4 = v 3 + λv 4 Forma de Jordan (representação na base {v 1, v 2, v 3, v 4 }): 2 3 λ λ 1 0 Ā = λ λ pag.26 Teoria de Sistemas Lineares Aula 7

27 Forma Canônica de Jordan Agora suponha que A R 4 4 tem um autovalor λ de multiplicidade algébrica 4, porém ν(a λi) = 2. Portanto (A λi)v = 0, possui 2 soluções LI. Sendo necessário 2 autovetores generalizados A partir de cada um dos autovetores, gera-se uma cadeia de autovetores generalizados. As possíveis formas de Jordan neste caso são: λ λ λ λ 0 0 Ā 1 = ; Ā 2 = 0 0 λ λ λ λ pag.27 Teoria de Sistemas Lineares Aula 7

28 Exemplo Lembre: det 2 4 A B 0 C A = = det A det C det(a λi) = [(3 λ)(1 λ) + 1](2 λ) 2ˆ(1 λ) 2 1 = (2 λ) 2 (2 λ) 2 (2 λ)λ = (2 λ) 5 λ pag.28 Teoria de Sistemas Lineares Aula 7

29 Exemplo Autovalores: λ 1 = 2, MA= 5 ; λ 2 = 0, MA= 1 (A 2I) = rank(a 2 eye(6)) = 4 ν 1 = ν(a 2I) = 6 4 = 2 MG = 2 A forma de Jordan tem dois blocos associados ao autovalor λ 1 = 2 pag.29 Teoria de Sistemas Lineares Aula 7

30 Exemplo Veja que a transformação é dada por: Q = = [ x v 1 v 2 v 3 u 1 u 2 ] sendo x, v 1 e u 1 autovetores e v 2, v 3 e u 2 autovetores generalizados pag.30 Teoria de Sistemas Lineares Aula 7

31 Exemplo Forma de Jordan: Ā = Q 1 AQ = pag.31 Teoria de Sistemas Lineares Aula 7

32 Autovalores e Autovetores de Matriz Simétrica Suponha que os autovalores uma matriz simétrica A R n n sejam dados por: λ 1, λ 2,..., λ n Curiosidades λ i R, i = 1,..., n, ie, os autovalores são reais? Veja que se λ C é um autovalor e v C n é um autovetor genérico de A, então Av = λv, v 0, ou ainda poderia escrever: v Av = λv v cujo conjugado transposto é dado por (v Av) = (v Av) = λv v. Como A = A, fazendo v Av (v Av) = v (A A )v = 0, tem-se: 0 = (λ λ) v v }{{} v 0 λ = λ λ R pag.32 Teoria de Sistemas Lineares Aula 7

33 Autovalores e Autovetores de Matriz Simétrica Autovetores v i, v j associados a autovalores distintos λ i λ j são ortogonais, ie, v i, v j = v i v j = 0? Veja que para autovalores distintos: Av i = λ i v i v j Av i = λ i v j v i Av j = λ j v j v i Av j = λ j v i v j Como o lado esquerdo das expressões acima é igual (A = A ), subtraindo 0 = (λ i λ j ) v i, v j v i v j se λ i λ j pag.33 Teoria de Sistemas Lineares Aula 7

34 Autovalores e Autovetores de Matriz Simétrica A forma de Jordan de uma matriz simétrica A R n n é diagonal Se A = A, Ā = Ā é uma matriz diagonal (com os autovalores reais na diagonal) e a base formada pelos autovetores é tal que Q Q = I (base ortonormal) (Q 1 AQ) = Q AQ 1 = Q 1 AQ Q 1 = Q pag.34 Teoria de Sistemas Lineares Aula 7