Álgebra Linear. Professor Alessandro Monteiro. 1º Sábado - Matrizes - 11/03/2017

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1 º Sábado - Matrizes - //7. Plano e Programa de Ensino. Matrizes. Exemplos. Ordem de Uma Matriz. Exemplos. Representação 7. Matriz Genérica m x n 8. Matriz Linha 9. Exemplos. Matriz Coluna. Exemplos. Diagonal de Uma Matriz. Exemplos. Matriz Quadrada. Exemplos. Matriz Diagonal 7. Exemplos 8. Matriz Escalar 9. Exemplos. Matriz Identidade e Notação Especial. Exemplos. Matrizes Iguais. Exemplos. Outros Tipos de Matrizes. Matriz Nula. Matriz Triangular Inferior 7. Matriz Triangular Superior 8. Matriz Transposta 9. Matriz Oposta. Matriz Simétrica. Matriz Anti-simétrica. Soma de Matrizes. Exemplos. Propriedades da Soma. Diferença de Matrizes. Exemplos 7. Propriedades da Transposta

2 º Sábado - Matrizes e Propriedades - 8//7. Exercício : Exemplo de matriz anti-simétrica x. Forma de uma matriz anti-simétrica nxn. Multiplicação de uma matriz por um escalar. Exemplo. Multiplicação de Matrizes. Exercício : Considere as matrizes A e B Determine a matriz C A B A BA B 7. O produto de matrizes não é comutativo 8. Traço de uma matriz quadrada 9. Propriedades. Resposta: AB - BA. Exercício : Sejam A e B matrizes quadradas de ordem n tais que AB=A e BA=B. Então [(A+B) t ] é igual a: a) (A+B) b) (A t. B t ) c) (A t + B t ) d) A t + B t e) A t. B t. Exercício : Seja A uma matriz x simétrica e não nula, cujos elementos são tais que a, a e a formam, nesta ordem, uma progressão geométrica de razão q diferente de e tr A = a. Sabendo-se que o sistema AX = X admite solução não nula X pertencente ao conjunto das matrizes x, pode-se afirmar que a + q é igual a: a) / b) / c) d) 9/9 e) /

3 º Sábado Determinantes - //7. Menor de Uma Matriz. Exemplo. Determinante de Uma Matriz x e x. Exemplo. Determinante de Uma Matriz x. Exemplo 7. Cofator 8. Exemplo 9. Exemplos e : 7. Determinante de Uma Matriz Triangular Inferior. Determinante da Matriz Identidade. Determinante Nulo a)matriz com fila nula b) Matriz com filas iguais c) Filas Paralelas Proporcionais d) Fila escrita como combinação linear das outras. Propriedades dos Determinantes a) Jacobi b) n L n L L L L L,...,, det,...,, det c) det(a) = det(a T ). Exemplo 7:

4 º Sábado Determinantes, Matriz Inversa e Sistemas Lineares - //7. Outras Propriedades. Exercício : Justifique a igualdade: Técnicas para o cálculo de determinantes: a) Regra de Sarrus b) Eliminação de Gauss (Escalonamento) c) Laplace d) Chió. Exercício : Calcule usando todas as regras acima: / 8 7. Matriz e Determinante de Vandermonde. Exemplo 7. Matriz Inversa 8. Exemplo 9. Proposição : A inversa, quando existe, é única.. Notação: A -. Propriedades da Inversa. Exercício : Seja a ij nxn I n A é a matriz / A uma matriz tal que A. Mostre que a inversa de I n A A.. Teorema : det A - = /det A. Inversa de Uma Matriz de Ordem. Matriz Adjunta. Exemplo : A AdjA 7. Teorema : Se A é uma matriz nxn então A AdjA AdjA A det A In. 8. Teorema : Seja A uma matriz nxn, se det A então A AdjA. det A 9. Exercício : Justifique a fórmula fechada para a Inversa de Ordem. Exercício : Calcule a inversa da matriz.. Matriz Ortogonal. Exercício : Estudar Sistemas Lineares e Classificação

5 º Sábado - Espaço e Subespaço Vetorial - 8//7 7x y z. Exercício : Resolva o sistema: y z Resposta: x, y, z x y z. Exercício : Prove que a inversa de uma matriz simétrica é simétrica.. Espaço Vetorial. Exemplo. Proposição : Sobre unicidades. Proposição : Propriedades a) u v u w v w u, v, wv b) v v v V c) R v v d) v v ou v v e) v v v V 7. Subespaço Vetorial 8. Exemplo : Conjunto dos múltiplos escalares de um vetor não nulo v V 9. Exercício : Mostre que os conjuntos das matrizes simétricas e anti-simétricas são subespaços do espaço das matrizes quadradas nxn.. Proposição : Sobre União e Interseção de Subespaços. Soma e Soma Direta. Exemplo. Proposição : Sobre Soma de Subespaços. Exercício : Verifique se são subespaços: a) W x y, z b) W x, y, z c) W x, y, z, R ; z x R d) U x, y, z, w e) U x, y, z, w ; z R ; z e xy R ; x y R ; x y. Exercício : Sejam W e W subespaços de um espaço vetorial V. Então, V W W se, e somente se, todo elemento de v V se escreve, de modo único, como soma v v v, onde v W e v W. v

6 º Sábado Combinação Linear e Geradores - //7. Exercício : Classifique os sistemas abaixo em SPD, SPI ou SI. a) x y z 7 x y z 7x y z Respostas: SPD, SPI e SI. x y z b) x y z x 9y z 7. Exercício : Mostre que x, y, z R. x y z c) x y z x y z S R ; x y z é um subespaço vetorial de. Exercício : Mostre que o conjunto das funções f C[ a, b]; R b a ( é um subespaço vetorial de C a, b]; R f x) dx. Combinações Lineares. Exemplo : Em R, o polinômio polinômios r ( x), s( x) x e t( x) x. [. p( x) x tais que 7 7 é combinação linear dos. Exemplo : Em R, o vetor u,, é combinação linear dos vetores,, n,, e p,,. 7. Conjunto de Geradores a) Conjunto de todas as combinações lineares de vetores de S (S ) b) Conjunto de Geradores de V c) Espaço finitamente gerado 8. Proposição : S V 9. Exercício : Mostre que o conjunto,,,,,,,,,,,,,,, m, S gera o R.. Proposição : Seja V um espaço vetorial e S e T subconjuntos não vazios de V. Prove que: a) S S b) S T S T c) S S d) S V S S e) S T S T

7 7º Sábado Dependência Linear e Bases - //7. Vetores L.I. Vetores L.D. Exemplo : Verifique se a sequência de polinômios p ( t t é L.D ou L.I. t) p ( t) t, p ( t) t t e. Teorema. Seja X um conjunto L.I no espaço vetorial V. Se u nu n v com u,, un X então n.. Teorema : (Recíproca do Teorema ). Exercício : Mostre que o conjunto formado por um único vetor não nulo é sempre L.I. 7. Proposição : Se uma sequência de vetores é L.D em um espaço vetorial V então pelo menos um deles se escreve como combinação linear dos outros. 8. Proposição : Se uma sequência de vetores é L.D em um espaço vetorial V então qualquer sequência finita de vetores de V que os contenha também será L.D 9. Proposição : Se uma sequência de vetores é L.I em um espaço vetorial V então qualquer subsequência destes vetores também é L.I.. Exercício : (Proposição ) Se uma sequência de vetores é L.I em um espaço vetorial V e se juntarmos a ela um vetor qualquer de V e a mesma passar a ser L.D então este vetor é combinação linear dos outros.. Proposição : Sejam u,,un vetores L.I em um espaço vetorial V. Então cada vetor v u,, u n se escreve de maneira única como v u nun.. Exercício : Verifique se os conjuntos são L.D ou L.I. a) S,,,,, b) 7 T,,,,,,,, U,,,,,,,,,,, c) Respostas: L.I, L.I e L.D. Base. Exemplos. Exercício : Seja u,,u n uma base de V. Mostre que,, u n de V.. Exercício : Mostre que u,,, v,, e,,9 u não é uma base w formam uma base de R. Exprima os vetores da base canônica de R como combinação linear de u, v e w.

8 8º Sábado Base e Dimensão e Exercícios - 9//7. Dimensão. Exemplos. Teorema. Sejam v, v,, vn vetores não nulos que geram um espaço vetorial V. Então, dentre estes vetores, podemos extrair uma base de V.. Teorema. Seja V um espaço vetorial gerado por um conjunto finito de vetores v, v,, v n. Então, qualquer conjunto com mais de n vetores de V é linearmente dependente. v, v,, w, w,, duas bases de um. Teorema. Sejam e v r w s espaço vetorial V. Então, r s.. Teorema. Qualquer subconjunto linearmente independente de um espaço vetorial V de dimensão finita pode ser completado de modo a formar uma base de V. 7. Teorema. Seja V um espaço vetorial de dimensão finita. Se W é um subespaço de V, então W tem também dimensão finita e dimw dimv. Além disso, se dim W = dim V, então W=V. 8. Exercício : O conjunto formado por todos os polinômios de grau 7 é um espaço vetorial sob as operações usuais? 9. Exercício : Encontre o valor de 8 7. Resposta:. Exercício : Para quais valores de t a matriz t é inversível? Resposta: t t e t.. Exercício : Escreva,, 9 como combinação linear de,,7 e,,. Mostre que,, não pode ser escrito como combinação linear desses dois vetores. Resposta: Basta tomar os escalares - e.. Exercício : Classifique cada conjunto abaixo em L.D ou L.I. Justifique. Respostas: L.D, L.I, L.D, L.I, L.I. Exercício : Para que valores de a os vetores são L.I? Respostas: Para valores de a diferentes de -9.

9 . Exercício 7: Mostre que o conjunto x, x; x R é um subespaço de R.. Exercício 8: Mostre que W x, y, zr ;x y é um subespaço de R.. Exercício 9: Verifique se o conjunto k, m, n R ; k n 7. Exercício : Se u, v é uma base para o subespaço U, mostre que u v, v também uma base para U. 8. Exercício : Encontre uma base para o subespaço é um subespaço de R. U x, y, z, t R ;x y 7t e a dimensão de U. 9. Exercício : Encontre uma base para o subespaço,,,,,,,, T do R.. Exercício : Sejam V um espaço vetorial de dimensão finita, U e W subespaços de V. Prove que dim U dimw dim U W dim U W. é ALUNOS QUE FARÃO A PROVA NO PRIMEIRO HORÁRIO: TURMA DA NOITE: ADEMIR MARTINS ATÉ JAHNARA VERAS TURMA DA TARDE: ADRIANO CUNHA ATÉ KAMILLA CATÃO

10 9º Sábado Primeira Prova Parcial (Gabarito) - //

11 º Sábado Mudança de Base e Transformações Lineares - //7. Correção da ª Prova Parcial. Mudança de Base

12 º Sábado Transformações Lineares - //

13 º Sábado Matriz de Uma Transformação Linear - 7//

14 º Sábado Autovalores e Autovetores - //

15 º Sábado Autovalores e Autovetores e ª Prova Parcial - //

16 º Sábado Prova Final - //7. Prova Final