Álgebra Linear. Determinantes, Valores e Vectores Próprios. Jorge Orestes Cerdeira Instituto Superior de Agronomia

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1 Álgebra Linear Determinantes, Valores e Vectores Próprios Jorge Orestes Cerdeira Instituto Superior de Agronomia

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3 Conteúdo Determinantes 5 2 Valores e vectores próprios 3 2. Valores e vectores próprios Diagonalização

4 CONTEÚDO ISA/UTL Álgebra Linear 200/ 4

5 Capítulo Determinantes Vamos associar a cada matriz quadrada um valor que se define da seguinte forma. Definição Sejam A uma matriz quadrada de ordem n e A a matriz em escada que se obtem de A por aplicação da fase descendente do método de eliminação de Gauss, utilizando exclusivamente as operações elementares de troca de linhas e substituição de uma linha por soma desta com um múltiplo de outra linha. Chama-se determinante de A e representa-se por det A ou A, o valor det A = A = δa a 22 a nn, em que a, a 22,...,a nn são os elementos da diagonal principal da matriz A e se é par o n o de trocas de linhas efectuadas no processo A A, δ = caso contrário. Exemplos. A = 2. A = = A e portanto det A = ( 3) = = A e portanto det A = ( 3) 5 =

6 3. De uma forma geral, tem-se det a a 2 a 2 a 22 = a a 22 a 2 a A = = A e portanto det A = ( ) 34 = A = = A e portanto det A = ( 2) 0 = 0. Exercícios Prove os seguintes resultados.. O determinante de uma matriz triangular é o produto dos elementos da diagonal principal. 2. Uma matriz com uma linha ou uma coluna de zeros tem determinante igual a zero. 3. É nulo o determinante de uma matriz com linhas proporcionais. O determinante satisfaz a seguinte propriedade. Proposição. Se A e B são matrizes quadradas da mesma ordem, tem-se det(ab) = det A det B, i.e., o determinante do produto de matrizes é igual ao produto dos determinantes. É claro que não poderá haver grandes expectativas relativamente à quantidade de informação que o determinante contem da matriz. De facto, não é razoável admitir que um único valor possa reter muito conhecimento sobre os n 2 elementos de uma matriz de ordem n. No entanto, o determinante permite caracterizar a invertibilidade de matrizes. ISA/UTL Álgebra Linear 200/ 6

7 CAPÍTULO. DETERMINANTES Proposição.2 Uma matriz quadrada A é invertível sse det A 0. Se a matriz A é invertível, então det A = det A. Demonstração: É sabido que uma matriz quadrada A é invertível sse todas as colunas de A, a matriz em escada obtida aplicando a A a fase descendente do método de Gauss, têm pivots. Como os pivots são os elementos não nulos da diagonal principal de A e det A é, a menos do sinal, o produto dos elementos da diagonal principal de A, tem-se det A 0 sse A é invertível. Se A é invertível, det(aa ) = = det A det A, donde se conclui que det A = det A. Vamos agora apresentar uma forma alternativa de calcular o determinante. Para isso precisamos da seguinte definição. Definição 2 Chama-se complemento algébrico ou co-factor do elemento (i, j) da matriz A e representa-se por ij o valor ij = ( ) i+j A ij, em que A ij é o determinante da matriz que se obtem de A eliminando a linha i e a coluna j Exemplo 2 Se A = 3 0, = ( ) 2 det 3 0 = 5, 2 = ( ) det 4 2 = ( ) 24 = Teorema.3 (Teorema de Laplace) Sejam i e j, respectivamente, uma linha e uma coluna arbitrárias da matriz A de ordem n. Tem-se det A = a i i + a i2 i2 + + a in in = a j j + a 2j 2j + + a nj nj. Exemplos det = 2 det det 4 7 det 4 5 = ISA/UTL Álgebra Linear 200/ 7

8 3 4 ( 8) = det = 2 det 4 0 = 2 2 det 4 = 2 2 ( 5) = Terminamos a matéria sobre determinantes com uma curiosa aplicação, que nos vai permitir obter de forma expedita um vector que é ortogonal a cada um de dois vectores dados de R 3. Definição 3 Sejam x = (x, x 2, x 3 ) e y = (y, y 2, y 3 ) vectores de R 3. Chama-se produto externo de x e y e representa-se por x y, o vector de R 3 x y = (x 2 y 3 x 3 y 2, x y 3 + x 3 y, x y 2 x 2 y ). O vector x y pode ser memorizado aplicando da seguinte forma o Teorema de Laplace e e 2 e 3 à matriz x x 2 x 3, em que e = (, 0, 0), e 2 = (0,, 0), e 3 = (0, 0, ). Tem-se pois, y y 2 y 3 e e 2 e 3 x y = det x x 2 x 3 =det x 2 x 3 0 y 2 y 3 det x 0 x 3 y y 3 +det x 0 x 2 0 y y 2. y y 2 y Exemplo 4 (, 2, 0) (, 0, ) = det e e 2 e = ( 2,, 2). Para mostrar que o vector produto externo x y é ortogonal a x e a y, consideremos a seguinte definição. ISA/UTL Álgebra Linear 200/ 8

9 CAPÍTULO. DETERMINANTES Definição 4 Sejam z = (z, z 2, z 3 ), x = (x, x 2, x 3 ) e y = (y, y 2, y 3 ) vectores de R 3. Chama-se produto misto de z, x e y ao produto interno de z por x y, i.e., z x y = z det x 2 x 3 z 2 det x x 3 +z 3 det x z x z 2 z 3 2 = det x y 2 y 3 y y 3 y y 2 x 2 x 3. y y 2 y 3 Tem-se então o seguinte resultado. Proposição.4 Sejam x = (x, x 2, x 3 ) e y = (y, y 2, y 3 ) vectores de R 3. O produto externo de x e y é um vector ortogonal a x e a y. x x 2 x 3 Demonstração: x x y = det x x 2 x 3 = 0, pois é o determinante de uma matriz y y 2 y 3 com duas linhas iguais e portanto x x y. O mesmo raciocínio permite concluir que y x y = 0, i.e., y x y. Assim, se {x, y} é linearmente independente, x y é ortogonal ao plano gerado por x e y (ver a Figura ). V x y y V x Figura.: O vector produto externo de dois vectores x e y que geram um plano V de R 3 A norma do vector produto externo é dada pelo seguinte resultado. Proposição.5 Se x e y vectores de R 3, x y = x y sinθ. Demonstração: Por cálculo algébrico não há dificuldade em estabelecer que x y 2 = x 2 y 2 (x y) 2. A demonstração prossegue tendo em conta que x 2 y 2 (x y) 2 = ISA/UTL Álgebra Linear 200/ 9

10 x 2 y 2 x 2 y 2 cos 2 θ = x 2 y 2 ( cos 2 θ) = x 2 y 2 sin 2 θ x y = x y sinθ. Assim, a norma do produto externo x y é a área do paralelogramo de lados x e y (ver a Figura ). y θ h x Figura.2: x y = x y sinθ = x h, é a área do paralelogramo de lados x e y. Também se pode concluir que o valor absoluto do produto misto x y z é o volume do paralelipípedo definido por x, y e z (ver a Figura ). x y z proj x y z y x y x Figura.3: x y z = x y z cosθ = x y proj x y z, é o volume do paralelipípedo definido por x, y e z. Exercícios 2. Calcule o determinante de cada uma das seguintes matrizes indicando se é invertível. ISA/UTL Álgebra Linear 200/ 0

11 CAPÍTULO. DETERMINANTES a) d) cosα sin α, α R b) sin α cosα e) c) f) Utilizando a noção de produto externo, indique a) um vector ortogonal aos vectores u = (,, 2) e v = (, 0, ), b) uma equação cartesiana do plano definido por (x, y, z) = (, 2, 3) + λ (,, 2) + µ (, 0, ), λ, µ R. 3. Sejam P 0 = (x 0, y 0, z 0 ) um ponto de R 3 e u = (u, u 2, u 3 ), v = (v, v 2, v 3 ) vectores linearmente independentes de R 3. Mostre que a equação x x 0 y y 0 z z 0 u u 2 u 3 = 0 v v 2 v 3 define o plano que passa no ponto P 0 e que contém as direcções dos vectores u e v. ISA/UTL Álgebra Linear 200/

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13 Capítulo 2 Valores e vectores próprios 2. Valores e vectores próprios Definição 5 Seja A uma matriz quadrada de ordem n. Um vector v não nulo de R n é vector próprio de A se existir um número λ tal que Av = λv. O número λ chama-se valor próprio associado ao vector próprio v. Exemplo 5 2 = 3 = 3. Diz-se pois que é vector próprio da matriz 2 e 3 é o valor próprio associado. 0 3 Note que os vectores próprios associados a λ são os vectores v, não nulos, tais que Av = λv Av = λiv (A λi)v = 0, i.e., são os vectores de N(A λi) \ { 0}. Tem-se pois provado os seguintes resultados. Teorema 2. Seja A uma matriz quadrada.. λ é valor próprio de A sse o espaço nulo da matriz A λi inclui vectores não nulos, i.e., N(A λi) { 0}. 3

14 2.. VALORES E VECTORES PRÓPRIOS 2. Se λ é valor próprio de A, os vectores próprios associados a λ são os vectores não nulos de N(A λi). Definição 6 Se λ é valor próprio da matriz A, o espaço nulo de A λi chama-se subespaço próprio de λ e representa-se por E(λ) Exemplo 6 Consideremos a matriz A = Para decidir se 2 é valor próprio de A, vamos ver se o espaço nulo da matriz A λi, com λ = 2, inclui vectores não nulos, i.e., se existem soluções não nulas do sistema homogéneo (A 2I)x = 0. Aplicando a fase descendente do método de Gauss à matriz A 2I, tem-se A 2I = = Como a matriz em escada obtida tem colunas sem pivots, podemos concluir que o sistema (A 2I)x = 0 tem soluções não nulas, o que permite concluir que 2 é valor próprio da matriz A. Para identificar os vectores próprios associados ao valor próprio 2, vamos determinar o espaço próprio E(2), que é o conjunto das soluções do sistema (A 2I)x = 0. Para isso aplica-se a fase ascendente do método de Gauss à matriz em escada obtida anteriormente. Assim, { e portanto E(2) = v = (v, v 2, v 3 ) : v = v 2 = v 3 v 3 = Os vectores próprios associados ao valor próprio 2 são os vectores não nulos de E(2), i.e., os vectores não nulos de R 3 que têm a segunda componente igual à terceira. ISA/UTL Álgebra Linear 200/ 4 }.

15 CAPÍTULO 2. VALORES E VECTORES PRÓPRIOS Podemos facilmente verificar que, se v é um qualquer vector de E(2), i.e., v = (a, b, b), tem-se a 2a Av = 0 3 b = 2b = 2v. 0 3 b 2b O ponto 2 do Teorema 2. indica (e o Exemplo 6 ilustra) como se podem identificar os vectores próprios associados a cada valor próprio. Vamos agora ver como é que se determinam os valores próprios de uma matriz. O ponto do Teorema 2. estabelece que λ é valor próprio da matriz A sse o sistema homogéneo (A λi)x = 0 é indeterminado, que como sabemos é equivalente à não existência de inversa da matriz A λi, ou ainda ao facto do determinante de A λi ser igual a zero. Tem-se pois o seguinte resultado. Proposição 2.2 λ é valor próprio de A sse det(a λi) = 0. Assim, os valores próprios de A são os valores de λ que anulam a função p(λ) = det(a λi). Vamos ver que a função p(λ) é um polinómio na variável λ. Se A = a a 2 a 2 a 22 é uma matriz genérica de ordem 2, A λi = a λ a 2 a 2 a 22 λ p(λ) = det(a λi) = (a λ)(a 22 λ) a 2 a 2 = λ 2 (a a 22 )λ a 2 a 2 é um polinómio de grau 2. a a 2 a 3 a λ a 2 a 3 Se A = a 2 a 22 a 23 é uma matriz de ordem 3, A λi = a 2 a 22 λ a 23 a 3 a 32 a 33 a 3 a 32 a 33 λ p(λ) = det(a λi) = (a λ) det 22 λ a 23 a 2 det a 32 a 33 λ + a 3 det a 2 a 22 λ. a 3 a 32 ISA/UTL Álgebra Linear 200/ 5 a 2 a 23 a 3 a 33 λ e +

16 2.. VALORES E VECTORES PRÓPRIOS Uma vez que o o termo é um polinómio de grau 3 e os 2 o e 3 o termos são polinómios de grau, p(λ) é um polinómio de grau 3. Repetindo este raciocínio para matrizes genéricas de ordens 4, 5,..., conclui-se o seguinte. Proposição 2.3 Se A é uma matriz quadrada de ordem n, a função p(λ) = det(a λi) é um polinómio de grau n, que se chama polinómio característico de A. Os valores próprios são portanto os zeros do polinómio característico. Exemplos 7 0. Para determinar os valores próprios da matriz A = 0 0 considera-se o 2 polinómio característico λ 0 p(λ) = det 0 λ 0 = ( λ)(( λ)2 ) = ( λ)( λ)(2 λ). 2 λ Os valores próprios de A são 0, e 2, pois são os valores de λ que anulam o polinómio característico O polinómio característico da matriz A = 0 0 é 0 0 λ 0 p(λ) = det λ 0 = ( λ)(λ2 + ). 0 0 λ Os valores próprios de A são λ = e os zeros de λ 2 +, que são os números imaginários i e i. ISA/UTL Álgebra Linear 200/ 6

17 CAPÍTULO 2. VALORES E VECTORES PRÓPRIOS Uma matriz A de ordem n tem n valores próprios, reais e/ou complexos, distintos ou não. O número de vezes que λ aparece como zero do polinómio é a multiplicidade algébrica de λ. Assim, por exemplo, os zeros de (2 λ) 2 λ( + λ) 3 são 2, 0 e com multiplicidades algébricas iguais a 2, e 3, respectivamente. Note que em cada um dos Exemplos 7 a soma dos valores próprios é igual à soma dos elementos da diagonal principal da matriz A. Também o determinante de cada matriz e o produto dos correspondentes valores próprios são iguais. Tal facto não é uma coincidência, como estipulam os dois resultados seguintes, que permitem de alguma forma averiguar eventuais erros cometidos no cálculo dos valores próprios. Proposição 2.4 Sejam λ, λ 2,...,λ n os valores próprios de uma matriz A de ordem n.. A soma dos valores própios é igual ao traço da matriz, i.e., λ + λ λ n = a + a a nn. 2. O produto do valores próprios é igual ao determinante da matriz, i.e., λ λ 2...λ n = det A. Resulta directamente do ponto 2 da Proposição 2.4 a seguinte caracterização da invertibilidade de matrizes em termos de valores próprios. Proposição 2.5 Uma matriz é singular (i.e., não é invertível) sse zero é valor próprio. Exercícios 3. Considere a matriz A = a) Verifique que (, 5, 0) é vector próprio. b) Verifique que é valor próprio. ISA/UTL Álgebra Linear 200/ 7

18 2.. VALORES E VECTORES PRÓPRIOS 2. Verifique que é valor próprio da matriz A = vectores próprios associados a e determine os 3. Determine os valores próprios e correspondentes vectores próprios de cada uma das seguintes matrizes, indicando em cada caso, uma base e a dimensão do subespaço próprio associado a cada valor próprio. A = 2, B = , C = , D = 0 2 2, E = 2 0, F = 3 0, G = Considere a matriz A = 2 2 0, com a R. a a a) Determine os valores do parâmetro a para os quais a matriz A admite o valor próprio zero. b) Para cada um dos valores de a obtidos na alínea anterior calcule os valores próprios de A e identifique os correspondentes vectores próprios. c) Discuta, em função do parâmetro a, a invertibilidade da matriz A. 5. Seja v um vector próprio associado ao valor próprio λ de uma matriz A. a) Mostre que, para todo o real α, v é um vector próprio da matriz A αi e indique o valor próprio associado. ISA/UTL Álgebra Linear 200/ 8

19 CAPÍTULO 2. VALORES E VECTORES PRÓPRIOS b) Mostre que, para todo o inteiro n, v é vector próprio da matriz A n e indique o valor próprio associado. 2.2 Diagonalização Uma questão importante no estudo dos valores e vectores próprios é a diagonalização de matrizes. Começamos esta secção com a definição de matrizes semelhantes. Definição 7 Duas matrizes quadradas da mesma ordem A e B são semelhantes se existir uma matriz invertível P, tal que B = P AP Exemplo 8 As matrizes A = 3 e B = 0 0 são semelhantes De facto, tomando a matriz invertível P = 0 2 tem-se P AP = Pode provar-se o seguinte = = B Proposição 2.6 Matrizes semelhantes têm os mesmos valores próprios. Demonstração: Se A e B são matrizes semelhantes, existe uma matriz invertível P tal que B = P AP. Assim, tem-se det(b λi) = det(p AP λi) = det(p AP λp P) = det(p (AP λp)) = det(p (A λi)p) = det P det(a λi) det P = det(a λi), i.e., as matrizes A e B têm o mesmo polinónimo característico e, consequentemente, os mesmos valores próprios. ISA/UTL Álgebra Linear 200/ 9

20 2.2. DIAGONALIZAÇÃO Definição 8 Uma matriz quadrada A é diagonalizável se é semelhante a uma matriz diagonal, i.e., existe uma matriz P invertível, tal que D = P AP é uma matriz diagonal. Diz-se que P é matriz de diagonalização. Observação Se a matriz A é semelhante à matriz diagonal D,. os valores próprios A são os elementos da diagonal principal de D; 2. como D = P AP A = PDP, tem-se, para todo o k Z +, A k = (PDP )(PDP )...(PDP ) = PD }{{} k P. k vezes O resultado seguinte estabelece uma condição necessária e suficiente para uma matriz ser diagonalizável. Teorema 2.7 Uma matriz quadrada A de ordem n é diagonalizável sse existem n vectores próprios de A que formam um conjunto linearmente independente. Demonstração: (i) Se A é diagonalizável, existe uma matriz P invertível, tal que D = P AP é matriz diagonal. Sejam P = w w 2... w n Note que D = P AP PD = AP. Como AP = Aw Aw 2... Aw n e D = e PD = λ λ n. λ w λ 2 w 2... λ n w n AP = PD significa que Aw = λ w, Aw 2 = λ 2 w 2,...,Aw n = λ n w n, i.e., w, w 2,...,w n são n vectores próprios de A. Esses vectores próprios formam um conjunto linearmente independente uma vez que são as colunas da matriz invertível P. Note também que os valores próprios associados às colunas de P são os elementos da diagonal principal matriz D. ISA/UTL Álgebra Linear 200/ 20,

21 CAPÍTULO 2. VALORES E VECTORES PRÓPRIOS (ii) Se {v, v 2,...,v n } é um conjunto de vectores próprios de A linearmente independente e λ, λ 2,...,λ n os valores próprios associados, vamos definir a matriz invertível P := v λ v 2... v 0 n e a matriz diagonal D := λ n As igualdades Av = λ v, Av 2 = λ 2 v 2,..., Av n = λ n v n podem ser escritas matricialmente na forma Av Av 2... Av n = λ v λ 2 v 2... λ n v n AP = PD P AP = D, que permite conluir que A é diagonalizável. Observação 2 Na demonstração do Teorema 2.7 constatou-se o seguinte. Se P é uma matriz de diagonalização da matriz A de ordem n,. as n colunas de P são vectores próprios de A que formam um conjunto linearmente independente; 2. o valor próprio associado à coluna i da matriz P é o elemento (i, i) da matriz diagonal D = P AP. Teorema 2.8 Um conjunto de vectores próprios associados a valores próprios distintos é linearmente independente. Demonstração: Seja A uma matriz quadrada de ordem n. (i) Sejam λ λ 2 valores próprios de A e v, v 2 vectores próprios correspondentes. Quer provar-se que a combinação linear nula α v + α 2 v 2 = 0 só é realizável com os coeficientes α = α 2 = 0. Ora, α v + α 2 v 2 = 0 A(α v ) + A(α 2 v 2 ) = A 0 α (Av ) + α 2 (Av 2 ) = 0 α λ v + α 2 λ 2 v 2 = 0 (como α 2 v 2 = α v ) α λ v + λ 2 ( α v ) = 0 α (λ ISA/UTL Álgebra Linear 200/ 2

22 2.2. DIAGONALIZAÇÃO λ 2 )v = 0 (como v 0) α (λ λ 2 ) = 0 (como λ λ 2 ) α = 0 α 2 = 0, e portanto {v, v 2 } é linearmente independente. (ii) Sejam λ, λ 2, λ 3 valores próprios distintos de A e v, v 2, v 3 vectores próprios correspondentes. Quer provar-se que a combinação linear nula α v + α 2 v 2 + α 3 λ 3 v 3 = 0 só é realizável se α = α 2 = α 3 = 0. α v + α 2 v 2 + α 3 v 3 = 0 ( A) α λ v + α 2 λ 2 v 2 + α 3 λ 3 v 3 = 0 α λ v + α 2 λ 2 v 2 + λ 3 ( α v α 2 v 2 ) = 0 α (λ λ 3 )v + α 2 (λ 2 λ 3 )v 2 = 0. Uma vez que v e v 2 são vectores próprios associados a valores próprios distintos, de (i) resulta que a equação anterior só é satisfeita com α (λ λ 3 ) = α 2 (λ 2 λ 3 ) = 0. Tendo em conta que λ λ 3 e λ 2 λ 3, tem-se α = α 2 = 0. Como v 3 é um vector não nulo, α v + α 2 v 2 + α 3 v 3 = 0 só se verifica se também α 3 = 0. Temos assim provado que {v, v 2, v 3 } é linearmente independente. O resultado para k > 3 valores próprios distintos prova-se de forma análoga. O teorema anterior permite concluir que, se uma matriz de ordem n tem n valores próprios distintos, então é diagonalizável. E se a matriz tem algum valor próprio com multiplicidade algébrica maior do que? A resposta a esta questão é dada utilizando o seguinte conceito. Definição 9 Chama-se multiplicidade geométrica do valor próprio λ da matriz A à dimensão do subespaço próprio E(λ) = N(A λi). A relação entre multiplicidades álgebrica e geométrica é estabelecida no resultado seguinte. Proposição 2.9 A multiplicidade geométrica de um valor próprio é menor ou igual do que a multiplicidade algébrica. O próximo teorema estabelece uma forma expedita de decidir sobre a diagonalização de matrizes. ISA/UTL Álgebra Linear 200/ 22

23 CAPÍTULO 2. VALORES E VECTORES PRÓPRIOS Teorema 2.0 Uma matriz é diagonalizável sse as multiplicidades geométrica e algébrica de cada valor próprio são iguais. 0 Exemplo 9 Veja se a matriz A = é diagonalizável λ 0 p(λ) = det(a λi) = det 0 5 λ 0 = (5 λ)( λ)(5 λ) λ p(λ) = 0 λ = (mult. alg. ) ou λ = 5 (mult. alg. 2). 6 0 E(5) = N(A 5I) = N } {{} car=2 Assim, mult. geométrica de 5 = dime(5) = 3 car(a 5I) = < mult. algébrica de 5 = 2, e portanto A não é diagonalizável. Os valores e vectores próprios de matrizes simétricas têm propriedades interessantes. Teorema 2. Se A é uma matriz simétrica (A = A ),. os valores próprios são reais; 2. a matriz é diagonalizável; 3. vectores próprios associados a valores próprios distintos são ortogonais. Demonstração do ponto 3: Sejam λ λ 2 valores próprios da matriz simétrica A e v, v 2 vectores próprios correspondentes. Tem-se λ v v 2 = (Av ) v 2 = (Av ) v 2 = v A v 2 = v Av 2 = v λ 2v 2 = λ 2 v v 2. Ora, λ v v 2 = λ 2 v v 2 (λ λ 2 )v v 2 = 0 λ λ 2 v v 2 = 0, i.e., v v 2. ISA/UTL Álgebra Linear 200/ 23

24 2.2. DIAGONALIZAÇÃO Exemplo 0 Vamos verificar que os vectores próprios associados a valores próprios distintos da matriz simétrica A = são ortogonais λ 0 p(λ) = det(a λi) = det 0 2 λ 0 = (2 λ)((3 λ)2 ) = (2 λ)(2 0 3 λ λ)(4 λ). Os valores próprios são 2 (m. alg = 2) e 4 (m. alg = ). 0 0 x = x 3 b E(2) = N(A 2I) = N = N = { x 2 = } = { a } x 3 = b 0 0 x = x 3 E(4) = N(A 4I) = N = = N 0 0 = { x 2 = 0 } = x 3 = c { 0 }. c Ora, ( b, a, b) (c, 0, c) = bc +0+bc = 0, i.e, quaisquer dois vectores próprios u e v, com u E(2) e v E(4), são ortogonais. Teorema 2.2 Uma matriz simétrica A do tipo n n tem n vectores próprios ortogonais. Demonstração: Defina-se uma base ortogonal do subespaço próprio de cada valor próprio de A. Como A é diagonalizável (e portanto o número de vectores da base é igual à multiplicidade algébrica do correspondente valor próprio), a reunião destas bases é constituída por n vectores. Se dois destes vectores estão associados ao mesmo valor próprio, são ortogonais por construção. Se estão associados a valores próprios distintos, o ponto 3 do Teorema 2. estabelece que são ortogonais. ISA/UTL Álgebra Linear 200/ 24

25 CAPÍTULO 2. VALORES E VECTORES PRÓPRIOS Assim, uma matriz simétrica A, do tipo n n, tem n vectores próprios ortonormais (ortogonais de norma ). Sejam v, v 2,..., v n vectores próprios ortonormais, e λ, λ 2,...,λ n os valores próprios correspondentes. Se definirmos a matriz P = v v 2... v n, tem-se P AP = λ λ n Como P = P, i.e., P é matriz ortogonal, tem-se D = P AP = P AP. Diz-se que = D. A é ortogonalmente diagonalizável, i.e., admite matrizes de diagonalização ortogonais. Tem-se assim provado o seguinte resultado Teorema 2.3 Matrizes simétricas são ortogonalmente diagonalizáveis Sejam A uma matriz simétrica do tipo n n, v, v 2,...,v n vectores próprios ortonormais e λ, λ 2,...,λ n os correspondente valores próprios. v Se definirmos P = v λ v 2... v 0 n,d =..., tem-se P v = 2. 0 λ n e A = PDP. Se tomarmos um vector arbitrário x de R n, vem Ax = (PD)(P x) = λ v v λ 2 v 2... λ n v x n. = λ v v x+ +λ n v n v n x = v n x λ v v x + + λ n v n v n x = (λ v v + + λ n v n v n )x. Como o vector x é arbitrário, pode concluir-se das igualdades anteriores que A = λ v v + + λ n v n vn, i.e., a matriz A pode ser escrita à custa dos valores próprios e de vectores próprios ortonormais. Este resultado, conhecido como Teorema da decomposição espectral, é agora enunciado. v n Teorema 2.4 Sejam A uma matriz simétrica do tipo n n, v, v 2,...,v n vectores próprios ISA/UTL Álgebra Linear 200/ 25

26 2.2. DIAGONALIZAÇÃO ortonormais e λ, λ 2,...,λ n os correspondentes valores próprios. A matriz A pode ser decomposta na forma seguinte A = λ v v + λ 2 v 2 v 2 + λ n v n v n. Observação 3 O Teorema da decomposição espectral tem a seguinte interpretação. Toda a matriz simétrica do tipo n n é uma combinação linear das matrizes de projecção sobre cada um de n vectores próprios ortonormais. Os coeficientes são os correspondentes valores próprios. 3 0 Exemplo Como se viu no Exemplo 0, a matriz simétrica A = admite 0 3 os vectores próprios ( b, a, b), correspondentes ao valor próprio 2 e (c, 0, c), associados ao valor próprio 4. Fazendo cada uma das variáveis livres igual a e as restantes iguais a 0, obtem-se o conjunto {(0,, 0), (, 0, ), (, 0, )} de três vectores próprios linearmente independente. Como o conjunto é ortogonal, para obter três vectores próprios ortonormais basta tomar o versor de cada um deles, i.e., v = (0,, 0), v 2 = ( 2, 0, 2 ), v 3 = ( 2, 0, 2 ). As matrizes de projecção sobre cada um desses vectores são v v = 0 0, v 2v2 = , v 3v3 = A combinação linear destas matrizes, com coeficientes iguais aos correspondentes valores próprios, é a matriz = = A Exercícios 4 ISA/UTL Álgebra Linear 200/ 26

27 CAPÍTULO 2. VALORES E VECTORES PRÓPRIOS. Considere a matriz A = a) Calcule os valores próprios de A e as respectivas multiplicidades algébricas. b) Indique um vector próprio de A. d) Será que existe uma matriz quadrada P, de ordem 3, invertível tal que P AP é uma matriz diagonal? Justifique. 2. Indique, justificando, quais das seguintes matrizes são diagonalizáveis. A = 2, B = , C = , D = 0 2 2, E = 2 0, F = 3 0, G = 0 2 2, H = Determine uma matriz de diagonalização de cada uma das seguintes matrizes A = 3 2, B = 0, C = Seja A = a) verifique que o polinómio característico de A é p(λ) = λ( λ)(λ 4 ). ISA/UTL Álgebra Linear 200/ 27

28 2.2. DIAGONALIZAÇÃO b) Determine uma matriz invertível P tal que P AP = Considere a matriz A = a) Indique uma matriz de diagonalização. b) Prove que lim n + An = 6. Considere A = 2 a b , com a, b R. a) Para a = 2 e b =, indique uma matriz de diagonalização. b) Se b = 2, para que valores de a é A ortogonalmente diagonalizável? c) Se b = 2, existirá algum a > 0 tal que 2 e A sejam semelhantes? 2 Justifique. 7. Seja A uma matriz quadrada de ordem 3 que admite o valor próprio, com de multiplicidade algébrica 2 e (, 0, ), (0,, ) vectores próprios associados a. a) Justifique que A é diagonalizável. b) Determine E(). c) Sabendo que (,, 0) é um vector próprio de A associado a 2, determine a matriz A Indique uma matriz ortogonal de diagonalização da matriz A = ISA/UTL Álgebra Linear 200/ 28

29 CAPÍTULO 2. VALORES E VECTORES PRÓPRIOS 9. Prove os seguintes resultados. a) Matrizes ortogonalmente diagonalizáveis são simétricas. b) Se λ é um valor próprio real não nulo de uma matriz A e v um vector próprio associado a λ, então λ tem o sinal de v T Av. ISA/UTL Álgebra Linear 200/ 29