Álgebra Linear. Determinantes, Valores e Vectores Próprios. Jorge Orestes Cerdeira Instituto Superior de Agronomia

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Tamanho: px
Começar a partir da página:

Download "Álgebra Linear. Determinantes, Valores e Vectores Próprios. Jorge Orestes Cerdeira Instituto Superior de Agronomia"

Transcrição

1 Álgebra Linear Determinantes, Valores e Vectores Próprios Jorge Orestes Cerdeira Instituto Superior de Agronomia

2 ISA/UTL Álgebra Linear 200/ 2

3 Conteúdo Determinantes 5 2 Valores e vectores próprios 3 2. Valores e vectores próprios Diagonalização

4 CONTEÚDO ISA/UTL Álgebra Linear 200/ 4

5 Capítulo Determinantes Vamos associar a cada matriz quadrada um valor que se define da seguinte forma. Definição Sejam A uma matriz quadrada de ordem n e A a matriz em escada que se obtem de A por aplicação da fase descendente do método de eliminação de Gauss, utilizando exclusivamente as operações elementares de troca de linhas e substituição de uma linha por soma desta com um múltiplo de outra linha. Chama-se determinante de A e representa-se por det A ou A, o valor det A = A = δa a 22 a nn, em que a, a 22,...,a nn são os elementos da diagonal principal da matriz A e se é par o n o de trocas de linhas efectuadas no processo A A, δ = caso contrário. Exemplos. A = 2. A = = A e portanto det A = ( 3) = = A e portanto det A = ( 3) 5 =

6 3. De uma forma geral, tem-se det a a 2 a 2 a 22 = a a 22 a 2 a A = = A e portanto det A = ( ) 34 = A = = A e portanto det A = ( 2) 0 = 0. Exercícios Prove os seguintes resultados.. O determinante de uma matriz triangular é o produto dos elementos da diagonal principal. 2. Uma matriz com uma linha ou uma coluna de zeros tem determinante igual a zero. 3. É nulo o determinante de uma matriz com linhas proporcionais. O determinante satisfaz a seguinte propriedade. Proposição. Se A e B são matrizes quadradas da mesma ordem, tem-se det(ab) = det A det B, i.e., o determinante do produto de matrizes é igual ao produto dos determinantes. É claro que não poderá haver grandes expectativas relativamente à quantidade de informação que o determinante contem da matriz. De facto, não é razoável admitir que um único valor possa reter muito conhecimento sobre os n 2 elementos de uma matriz de ordem n. No entanto, o determinante permite caracterizar a invertibilidade de matrizes. ISA/UTL Álgebra Linear 200/ 6

7 CAPÍTULO. DETERMINANTES Proposição.2 Uma matriz quadrada A é invertível sse det A 0. Se a matriz A é invertível, então det A = det A. Demonstração: É sabido que uma matriz quadrada A é invertível sse todas as colunas de A, a matriz em escada obtida aplicando a A a fase descendente do método de Gauss, têm pivots. Como os pivots são os elementos não nulos da diagonal principal de A e det A é, a menos do sinal, o produto dos elementos da diagonal principal de A, tem-se det A 0 sse A é invertível. Se A é invertível, det(aa ) = = det A det A, donde se conclui que det A = det A. Vamos agora apresentar uma forma alternativa de calcular o determinante. Para isso precisamos da seguinte definição. Definição 2 Chama-se complemento algébrico ou co-factor do elemento (i, j) da matriz A e representa-se por ij o valor ij = ( ) i+j A ij, em que A ij é o determinante da matriz que se obtem de A eliminando a linha i e a coluna j Exemplo 2 Se A = 3 0, = ( ) 2 det 3 0 = 5, 2 = ( ) det 4 2 = ( ) 24 = Teorema.3 (Teorema de Laplace) Sejam i e j, respectivamente, uma linha e uma coluna arbitrárias da matriz A de ordem n. Tem-se det A = a i i + a i2 i2 + + a in in = a j j + a 2j 2j + + a nj nj. Exemplos det = 2 det det 4 7 det 4 5 = ISA/UTL Álgebra Linear 200/ 7

8 3 4 ( 8) = det = 2 det 4 0 = 2 2 det 4 = 2 2 ( 5) = Terminamos a matéria sobre determinantes com uma curiosa aplicação, que nos vai permitir obter de forma expedita um vector que é ortogonal a cada um de dois vectores dados de R 3. Definição 3 Sejam x = (x, x 2, x 3 ) e y = (y, y 2, y 3 ) vectores de R 3. Chama-se produto externo de x e y e representa-se por x y, o vector de R 3 x y = (x 2 y 3 x 3 y 2, x y 3 + x 3 y, x y 2 x 2 y ). O vector x y pode ser memorizado aplicando da seguinte forma o Teorema de Laplace e e 2 e 3 à matriz x x 2 x 3, em que e = (, 0, 0), e 2 = (0,, 0), e 3 = (0, 0, ). Tem-se pois, y y 2 y 3 e e 2 e 3 x y = det x x 2 x 3 =det x 2 x 3 0 y 2 y 3 det x 0 x 3 y y 3 +det x 0 x 2 0 y y 2. y y 2 y Exemplo 4 (, 2, 0) (, 0, ) = det e e 2 e = ( 2,, 2). Para mostrar que o vector produto externo x y é ortogonal a x e a y, consideremos a seguinte definição. ISA/UTL Álgebra Linear 200/ 8

9 CAPÍTULO. DETERMINANTES Definição 4 Sejam z = (z, z 2, z 3 ), x = (x, x 2, x 3 ) e y = (y, y 2, y 3 ) vectores de R 3. Chama-se produto misto de z, x e y ao produto interno de z por x y, i.e., z x y = z det x 2 x 3 z 2 det x x 3 +z 3 det x z x z 2 z 3 2 = det x y 2 y 3 y y 3 y y 2 x 2 x 3. y y 2 y 3 Tem-se então o seguinte resultado. Proposição.4 Sejam x = (x, x 2, x 3 ) e y = (y, y 2, y 3 ) vectores de R 3. O produto externo de x e y é um vector ortogonal a x e a y. x x 2 x 3 Demonstração: x x y = det x x 2 x 3 = 0, pois é o determinante de uma matriz y y 2 y 3 com duas linhas iguais e portanto x x y. O mesmo raciocínio permite concluir que y x y = 0, i.e., y x y. Assim, se {x, y} é linearmente independente, x y é ortogonal ao plano gerado por x e y (ver a Figura ). V x y y V x Figura.: O vector produto externo de dois vectores x e y que geram um plano V de R 3 A norma do vector produto externo é dada pelo seguinte resultado. Proposição.5 Se x e y vectores de R 3, x y = x y sinθ. Demonstração: Por cálculo algébrico não há dificuldade em estabelecer que x y 2 = x 2 y 2 (x y) 2. A demonstração prossegue tendo em conta que x 2 y 2 (x y) 2 = ISA/UTL Álgebra Linear 200/ 9

10 x 2 y 2 x 2 y 2 cos 2 θ = x 2 y 2 ( cos 2 θ) = x 2 y 2 sin 2 θ x y = x y sinθ. Assim, a norma do produto externo x y é a área do paralelogramo de lados x e y (ver a Figura ). y θ h x Figura.2: x y = x y sinθ = x h, é a área do paralelogramo de lados x e y. Também se pode concluir que o valor absoluto do produto misto x y z é o volume do paralelipípedo definido por x, y e z (ver a Figura ). x y z proj x y z y x y x Figura.3: x y z = x y z cosθ = x y proj x y z, é o volume do paralelipípedo definido por x, y e z. Exercícios 2. Calcule o determinante de cada uma das seguintes matrizes indicando se é invertível. ISA/UTL Álgebra Linear 200/ 0

11 CAPÍTULO. DETERMINANTES a) d) cosα sin α, α R b) sin α cosα e) c) f) Utilizando a noção de produto externo, indique a) um vector ortogonal aos vectores u = (,, 2) e v = (, 0, ), b) uma equação cartesiana do plano definido por (x, y, z) = (, 2, 3) + λ (,, 2) + µ (, 0, ), λ, µ R. 3. Sejam P 0 = (x 0, y 0, z 0 ) um ponto de R 3 e u = (u, u 2, u 3 ), v = (v, v 2, v 3 ) vectores linearmente independentes de R 3. Mostre que a equação x x 0 y y 0 z z 0 u u 2 u 3 = 0 v v 2 v 3 define o plano que passa no ponto P 0 e que contém as direcções dos vectores u e v. ISA/UTL Álgebra Linear 200/

12 ISA/UTL Álgebra Linear 200/ 2

13 Capítulo 2 Valores e vectores próprios 2. Valores e vectores próprios Definição 5 Seja A uma matriz quadrada de ordem n. Um vector v não nulo de R n é vector próprio de A se existir um número λ tal que Av = λv. O número λ chama-se valor próprio associado ao vector próprio v. Exemplo 5 2 = 3 = 3. Diz-se pois que é vector próprio da matriz 2 e 3 é o valor próprio associado. 0 3 Note que os vectores próprios associados a λ são os vectores v, não nulos, tais que Av = λv Av = λiv (A λi)v = 0, i.e., são os vectores de N(A λi) \ { 0}. Tem-se pois provado os seguintes resultados. Teorema 2. Seja A uma matriz quadrada.. λ é valor próprio de A sse o espaço nulo da matriz A λi inclui vectores não nulos, i.e., N(A λi) { 0}. 3

14 2.. VALORES E VECTORES PRÓPRIOS 2. Se λ é valor próprio de A, os vectores próprios associados a λ são os vectores não nulos de N(A λi). Definição 6 Se λ é valor próprio da matriz A, o espaço nulo de A λi chama-se subespaço próprio de λ e representa-se por E(λ) Exemplo 6 Consideremos a matriz A = Para decidir se 2 é valor próprio de A, vamos ver se o espaço nulo da matriz A λi, com λ = 2, inclui vectores não nulos, i.e., se existem soluções não nulas do sistema homogéneo (A 2I)x = 0. Aplicando a fase descendente do método de Gauss à matriz A 2I, tem-se A 2I = = Como a matriz em escada obtida tem colunas sem pivots, podemos concluir que o sistema (A 2I)x = 0 tem soluções não nulas, o que permite concluir que 2 é valor próprio da matriz A. Para identificar os vectores próprios associados ao valor próprio 2, vamos determinar o espaço próprio E(2), que é o conjunto das soluções do sistema (A 2I)x = 0. Para isso aplica-se a fase ascendente do método de Gauss à matriz em escada obtida anteriormente. Assim, { e portanto E(2) = v = (v, v 2, v 3 ) : v = v 2 = v 3 v 3 = Os vectores próprios associados ao valor próprio 2 são os vectores não nulos de E(2), i.e., os vectores não nulos de R 3 que têm a segunda componente igual à terceira. ISA/UTL Álgebra Linear 200/ 4 }.

15 CAPÍTULO 2. VALORES E VECTORES PRÓPRIOS Podemos facilmente verificar que, se v é um qualquer vector de E(2), i.e., v = (a, b, b), tem-se a 2a Av = 0 3 b = 2b = 2v. 0 3 b 2b O ponto 2 do Teorema 2. indica (e o Exemplo 6 ilustra) como se podem identificar os vectores próprios associados a cada valor próprio. Vamos agora ver como é que se determinam os valores próprios de uma matriz. O ponto do Teorema 2. estabelece que λ é valor próprio da matriz A sse o sistema homogéneo (A λi)x = 0 é indeterminado, que como sabemos é equivalente à não existência de inversa da matriz A λi, ou ainda ao facto do determinante de A λi ser igual a zero. Tem-se pois o seguinte resultado. Proposição 2.2 λ é valor próprio de A sse det(a λi) = 0. Assim, os valores próprios de A são os valores de λ que anulam a função p(λ) = det(a λi). Vamos ver que a função p(λ) é um polinómio na variável λ. Se A = a a 2 a 2 a 22 é uma matriz genérica de ordem 2, A λi = a λ a 2 a 2 a 22 λ p(λ) = det(a λi) = (a λ)(a 22 λ) a 2 a 2 = λ 2 (a a 22 )λ a 2 a 2 é um polinómio de grau 2. a a 2 a 3 a λ a 2 a 3 Se A = a 2 a 22 a 23 é uma matriz de ordem 3, A λi = a 2 a 22 λ a 23 a 3 a 32 a 33 a 3 a 32 a 33 λ p(λ) = det(a λi) = (a λ) det 22 λ a 23 a 2 det a 32 a 33 λ + a 3 det a 2 a 22 λ. a 3 a 32 ISA/UTL Álgebra Linear 200/ 5 a 2 a 23 a 3 a 33 λ e +

16 2.. VALORES E VECTORES PRÓPRIOS Uma vez que o o termo é um polinómio de grau 3 e os 2 o e 3 o termos são polinómios de grau, p(λ) é um polinómio de grau 3. Repetindo este raciocínio para matrizes genéricas de ordens 4, 5,..., conclui-se o seguinte. Proposição 2.3 Se A é uma matriz quadrada de ordem n, a função p(λ) = det(a λi) é um polinómio de grau n, que se chama polinómio característico de A. Os valores próprios são portanto os zeros do polinómio característico. Exemplos 7 0. Para determinar os valores próprios da matriz A = 0 0 considera-se o 2 polinómio característico λ 0 p(λ) = det 0 λ 0 = ( λ)(( λ)2 ) = ( λ)( λ)(2 λ). 2 λ Os valores próprios de A são 0, e 2, pois são os valores de λ que anulam o polinómio característico O polinómio característico da matriz A = 0 0 é 0 0 λ 0 p(λ) = det λ 0 = ( λ)(λ2 + ). 0 0 λ Os valores próprios de A são λ = e os zeros de λ 2 +, que são os números imaginários i e i. ISA/UTL Álgebra Linear 200/ 6

17 CAPÍTULO 2. VALORES E VECTORES PRÓPRIOS Uma matriz A de ordem n tem n valores próprios, reais e/ou complexos, distintos ou não. O número de vezes que λ aparece como zero do polinómio é a multiplicidade algébrica de λ. Assim, por exemplo, os zeros de (2 λ) 2 λ( + λ) 3 são 2, 0 e com multiplicidades algébricas iguais a 2, e 3, respectivamente. Note que em cada um dos Exemplos 7 a soma dos valores próprios é igual à soma dos elementos da diagonal principal da matriz A. Também o determinante de cada matriz e o produto dos correspondentes valores próprios são iguais. Tal facto não é uma coincidência, como estipulam os dois resultados seguintes, que permitem de alguma forma averiguar eventuais erros cometidos no cálculo dos valores próprios. Proposição 2.4 Sejam λ, λ 2,...,λ n os valores próprios de uma matriz A de ordem n.. A soma dos valores própios é igual ao traço da matriz, i.e., λ + λ λ n = a + a a nn. 2. O produto do valores próprios é igual ao determinante da matriz, i.e., λ λ 2...λ n = det A. Resulta directamente do ponto 2 da Proposição 2.4 a seguinte caracterização da invertibilidade de matrizes em termos de valores próprios. Proposição 2.5 Uma matriz é singular (i.e., não é invertível) sse zero é valor próprio. Exercícios 3. Considere a matriz A = a) Verifique que (, 5, 0) é vector próprio. b) Verifique que é valor próprio. ISA/UTL Álgebra Linear 200/ 7

18 2.. VALORES E VECTORES PRÓPRIOS 2. Verifique que é valor próprio da matriz A = vectores próprios associados a e determine os 3. Determine os valores próprios e correspondentes vectores próprios de cada uma das seguintes matrizes, indicando em cada caso, uma base e a dimensão do subespaço próprio associado a cada valor próprio. A = 2, B = , C = , D = 0 2 2, E = 2 0, F = 3 0, G = Considere a matriz A = 2 2 0, com a R. a a a) Determine os valores do parâmetro a para os quais a matriz A admite o valor próprio zero. b) Para cada um dos valores de a obtidos na alínea anterior calcule os valores próprios de A e identifique os correspondentes vectores próprios. c) Discuta, em função do parâmetro a, a invertibilidade da matriz A. 5. Seja v um vector próprio associado ao valor próprio λ de uma matriz A. a) Mostre que, para todo o real α, v é um vector próprio da matriz A αi e indique o valor próprio associado. ISA/UTL Álgebra Linear 200/ 8

19 CAPÍTULO 2. VALORES E VECTORES PRÓPRIOS b) Mostre que, para todo o inteiro n, v é vector próprio da matriz A n e indique o valor próprio associado. 2.2 Diagonalização Uma questão importante no estudo dos valores e vectores próprios é a diagonalização de matrizes. Começamos esta secção com a definição de matrizes semelhantes. Definição 7 Duas matrizes quadradas da mesma ordem A e B são semelhantes se existir uma matriz invertível P, tal que B = P AP Exemplo 8 As matrizes A = 3 e B = 0 0 são semelhantes De facto, tomando a matriz invertível P = 0 2 tem-se P AP = Pode provar-se o seguinte = = B Proposição 2.6 Matrizes semelhantes têm os mesmos valores próprios. Demonstração: Se A e B são matrizes semelhantes, existe uma matriz invertível P tal que B = P AP. Assim, tem-se det(b λi) = det(p AP λi) = det(p AP λp P) = det(p (AP λp)) = det(p (A λi)p) = det P det(a λi) det P = det(a λi), i.e., as matrizes A e B têm o mesmo polinónimo característico e, consequentemente, os mesmos valores próprios. ISA/UTL Álgebra Linear 200/ 9

20 2.2. DIAGONALIZAÇÃO Definição 8 Uma matriz quadrada A é diagonalizável se é semelhante a uma matriz diagonal, i.e., existe uma matriz P invertível, tal que D = P AP é uma matriz diagonal. Diz-se que P é matriz de diagonalização. Observação Se a matriz A é semelhante à matriz diagonal D,. os valores próprios A são os elementos da diagonal principal de D; 2. como D = P AP A = PDP, tem-se, para todo o k Z +, A k = (PDP )(PDP )...(PDP ) = PD }{{} k P. k vezes O resultado seguinte estabelece uma condição necessária e suficiente para uma matriz ser diagonalizável. Teorema 2.7 Uma matriz quadrada A de ordem n é diagonalizável sse existem n vectores próprios de A que formam um conjunto linearmente independente. Demonstração: (i) Se A é diagonalizável, existe uma matriz P invertível, tal que D = P AP é matriz diagonal. Sejam P = w w 2... w n Note que D = P AP PD = AP. Como AP = Aw Aw 2... Aw n e D = e PD = λ λ n. λ w λ 2 w 2... λ n w n AP = PD significa que Aw = λ w, Aw 2 = λ 2 w 2,...,Aw n = λ n w n, i.e., w, w 2,...,w n são n vectores próprios de A. Esses vectores próprios formam um conjunto linearmente independente uma vez que são as colunas da matriz invertível P. Note também que os valores próprios associados às colunas de P são os elementos da diagonal principal matriz D. ISA/UTL Álgebra Linear 200/ 20,

21 CAPÍTULO 2. VALORES E VECTORES PRÓPRIOS (ii) Se {v, v 2,...,v n } é um conjunto de vectores próprios de A linearmente independente e λ, λ 2,...,λ n os valores próprios associados, vamos definir a matriz invertível P := v λ v 2... v 0 n e a matriz diagonal D := λ n As igualdades Av = λ v, Av 2 = λ 2 v 2,..., Av n = λ n v n podem ser escritas matricialmente na forma Av Av 2... Av n = λ v λ 2 v 2... λ n v n AP = PD P AP = D, que permite conluir que A é diagonalizável. Observação 2 Na demonstração do Teorema 2.7 constatou-se o seguinte. Se P é uma matriz de diagonalização da matriz A de ordem n,. as n colunas de P são vectores próprios de A que formam um conjunto linearmente independente; 2. o valor próprio associado à coluna i da matriz P é o elemento (i, i) da matriz diagonal D = P AP. Teorema 2.8 Um conjunto de vectores próprios associados a valores próprios distintos é linearmente independente. Demonstração: Seja A uma matriz quadrada de ordem n. (i) Sejam λ λ 2 valores próprios de A e v, v 2 vectores próprios correspondentes. Quer provar-se que a combinação linear nula α v + α 2 v 2 = 0 só é realizável com os coeficientes α = α 2 = 0. Ora, α v + α 2 v 2 = 0 A(α v ) + A(α 2 v 2 ) = A 0 α (Av ) + α 2 (Av 2 ) = 0 α λ v + α 2 λ 2 v 2 = 0 (como α 2 v 2 = α v ) α λ v + λ 2 ( α v ) = 0 α (λ ISA/UTL Álgebra Linear 200/ 2

22 2.2. DIAGONALIZAÇÃO λ 2 )v = 0 (como v 0) α (λ λ 2 ) = 0 (como λ λ 2 ) α = 0 α 2 = 0, e portanto {v, v 2 } é linearmente independente. (ii) Sejam λ, λ 2, λ 3 valores próprios distintos de A e v, v 2, v 3 vectores próprios correspondentes. Quer provar-se que a combinação linear nula α v + α 2 v 2 + α 3 λ 3 v 3 = 0 só é realizável se α = α 2 = α 3 = 0. α v + α 2 v 2 + α 3 v 3 = 0 ( A) α λ v + α 2 λ 2 v 2 + α 3 λ 3 v 3 = 0 α λ v + α 2 λ 2 v 2 + λ 3 ( α v α 2 v 2 ) = 0 α (λ λ 3 )v + α 2 (λ 2 λ 3 )v 2 = 0. Uma vez que v e v 2 são vectores próprios associados a valores próprios distintos, de (i) resulta que a equação anterior só é satisfeita com α (λ λ 3 ) = α 2 (λ 2 λ 3 ) = 0. Tendo em conta que λ λ 3 e λ 2 λ 3, tem-se α = α 2 = 0. Como v 3 é um vector não nulo, α v + α 2 v 2 + α 3 v 3 = 0 só se verifica se também α 3 = 0. Temos assim provado que {v, v 2, v 3 } é linearmente independente. O resultado para k > 3 valores próprios distintos prova-se de forma análoga. O teorema anterior permite concluir que, se uma matriz de ordem n tem n valores próprios distintos, então é diagonalizável. E se a matriz tem algum valor próprio com multiplicidade algébrica maior do que? A resposta a esta questão é dada utilizando o seguinte conceito. Definição 9 Chama-se multiplicidade geométrica do valor próprio λ da matriz A à dimensão do subespaço próprio E(λ) = N(A λi). A relação entre multiplicidades álgebrica e geométrica é estabelecida no resultado seguinte. Proposição 2.9 A multiplicidade geométrica de um valor próprio é menor ou igual do que a multiplicidade algébrica. O próximo teorema estabelece uma forma expedita de decidir sobre a diagonalização de matrizes. ISA/UTL Álgebra Linear 200/ 22

23 CAPÍTULO 2. VALORES E VECTORES PRÓPRIOS Teorema 2.0 Uma matriz é diagonalizável sse as multiplicidades geométrica e algébrica de cada valor próprio são iguais. 0 Exemplo 9 Veja se a matriz A = é diagonalizável λ 0 p(λ) = det(a λi) = det 0 5 λ 0 = (5 λ)( λ)(5 λ) λ p(λ) = 0 λ = (mult. alg. ) ou λ = 5 (mult. alg. 2). 6 0 E(5) = N(A 5I) = N } {{} car=2 Assim, mult. geométrica de 5 = dime(5) = 3 car(a 5I) = < mult. algébrica de 5 = 2, e portanto A não é diagonalizável. Os valores e vectores próprios de matrizes simétricas têm propriedades interessantes. Teorema 2. Se A é uma matriz simétrica (A = A ),. os valores próprios são reais; 2. a matriz é diagonalizável; 3. vectores próprios associados a valores próprios distintos são ortogonais. Demonstração do ponto 3: Sejam λ λ 2 valores próprios da matriz simétrica A e v, v 2 vectores próprios correspondentes. Tem-se λ v v 2 = (Av ) v 2 = (Av ) v 2 = v A v 2 = v Av 2 = v λ 2v 2 = λ 2 v v 2. Ora, λ v v 2 = λ 2 v v 2 (λ λ 2 )v v 2 = 0 λ λ 2 v v 2 = 0, i.e., v v 2. ISA/UTL Álgebra Linear 200/ 23

24 2.2. DIAGONALIZAÇÃO Exemplo 0 Vamos verificar que os vectores próprios associados a valores próprios distintos da matriz simétrica A = são ortogonais λ 0 p(λ) = det(a λi) = det 0 2 λ 0 = (2 λ)((3 λ)2 ) = (2 λ)(2 0 3 λ λ)(4 λ). Os valores próprios são 2 (m. alg = 2) e 4 (m. alg = ). 0 0 x = x 3 b E(2) = N(A 2I) = N = N = { x 2 = } = { a } x 3 = b 0 0 x = x 3 E(4) = N(A 4I) = N = = N 0 0 = { x 2 = 0 } = x 3 = c { 0 }. c Ora, ( b, a, b) (c, 0, c) = bc +0+bc = 0, i.e, quaisquer dois vectores próprios u e v, com u E(2) e v E(4), são ortogonais. Teorema 2.2 Uma matriz simétrica A do tipo n n tem n vectores próprios ortogonais. Demonstração: Defina-se uma base ortogonal do subespaço próprio de cada valor próprio de A. Como A é diagonalizável (e portanto o número de vectores da base é igual à multiplicidade algébrica do correspondente valor próprio), a reunião destas bases é constituída por n vectores. Se dois destes vectores estão associados ao mesmo valor próprio, são ortogonais por construção. Se estão associados a valores próprios distintos, o ponto 3 do Teorema 2. estabelece que são ortogonais. ISA/UTL Álgebra Linear 200/ 24

25 CAPÍTULO 2. VALORES E VECTORES PRÓPRIOS Assim, uma matriz simétrica A, do tipo n n, tem n vectores próprios ortonormais (ortogonais de norma ). Sejam v, v 2,..., v n vectores próprios ortonormais, e λ, λ 2,...,λ n os valores próprios correspondentes. Se definirmos a matriz P = v v 2... v n, tem-se P AP = λ λ n Como P = P, i.e., P é matriz ortogonal, tem-se D = P AP = P AP. Diz-se que = D. A é ortogonalmente diagonalizável, i.e., admite matrizes de diagonalização ortogonais. Tem-se assim provado o seguinte resultado Teorema 2.3 Matrizes simétricas são ortogonalmente diagonalizáveis Sejam A uma matriz simétrica do tipo n n, v, v 2,...,v n vectores próprios ortonormais e λ, λ 2,...,λ n os correspondente valores próprios. v Se definirmos P = v λ v 2... v 0 n,d =..., tem-se P v = 2. 0 λ n e A = PDP. Se tomarmos um vector arbitrário x de R n, vem Ax = (PD)(P x) = λ v v λ 2 v 2... λ n v x n. = λ v v x+ +λ n v n v n x = v n x λ v v x + + λ n v n v n x = (λ v v + + λ n v n v n )x. Como o vector x é arbitrário, pode concluir-se das igualdades anteriores que A = λ v v + + λ n v n vn, i.e., a matriz A pode ser escrita à custa dos valores próprios e de vectores próprios ortonormais. Este resultado, conhecido como Teorema da decomposição espectral, é agora enunciado. v n Teorema 2.4 Sejam A uma matriz simétrica do tipo n n, v, v 2,...,v n vectores próprios ISA/UTL Álgebra Linear 200/ 25

26 2.2. DIAGONALIZAÇÃO ortonormais e λ, λ 2,...,λ n os correspondentes valores próprios. A matriz A pode ser decomposta na forma seguinte A = λ v v + λ 2 v 2 v 2 + λ n v n v n. Observação 3 O Teorema da decomposição espectral tem a seguinte interpretação. Toda a matriz simétrica do tipo n n é uma combinação linear das matrizes de projecção sobre cada um de n vectores próprios ortonormais. Os coeficientes são os correspondentes valores próprios. 3 0 Exemplo Como se viu no Exemplo 0, a matriz simétrica A = admite 0 3 os vectores próprios ( b, a, b), correspondentes ao valor próprio 2 e (c, 0, c), associados ao valor próprio 4. Fazendo cada uma das variáveis livres igual a e as restantes iguais a 0, obtem-se o conjunto {(0,, 0), (, 0, ), (, 0, )} de três vectores próprios linearmente independente. Como o conjunto é ortogonal, para obter três vectores próprios ortonormais basta tomar o versor de cada um deles, i.e., v = (0,, 0), v 2 = ( 2, 0, 2 ), v 3 = ( 2, 0, 2 ). As matrizes de projecção sobre cada um desses vectores são v v = 0 0, v 2v2 = , v 3v3 = A combinação linear destas matrizes, com coeficientes iguais aos correspondentes valores próprios, é a matriz = = A Exercícios 4 ISA/UTL Álgebra Linear 200/ 26

27 CAPÍTULO 2. VALORES E VECTORES PRÓPRIOS. Considere a matriz A = a) Calcule os valores próprios de A e as respectivas multiplicidades algébricas. b) Indique um vector próprio de A. d) Será que existe uma matriz quadrada P, de ordem 3, invertível tal que P AP é uma matriz diagonal? Justifique. 2. Indique, justificando, quais das seguintes matrizes são diagonalizáveis. A = 2, B = , C = , D = 0 2 2, E = 2 0, F = 3 0, G = 0 2 2, H = Determine uma matriz de diagonalização de cada uma das seguintes matrizes A = 3 2, B = 0, C = Seja A = a) verifique que o polinómio característico de A é p(λ) = λ( λ)(λ 4 ). ISA/UTL Álgebra Linear 200/ 27

28 2.2. DIAGONALIZAÇÃO b) Determine uma matriz invertível P tal que P AP = Considere a matriz A = a) Indique uma matriz de diagonalização. b) Prove que lim n + An = 6. Considere A = 2 a b , com a, b R. a) Para a = 2 e b =, indique uma matriz de diagonalização. b) Se b = 2, para que valores de a é A ortogonalmente diagonalizável? c) Se b = 2, existirá algum a > 0 tal que 2 e A sejam semelhantes? 2 Justifique. 7. Seja A uma matriz quadrada de ordem 3 que admite o valor próprio, com de multiplicidade algébrica 2 e (, 0, ), (0,, ) vectores próprios associados a. a) Justifique que A é diagonalizável. b) Determine E(). c) Sabendo que (,, 0) é um vector próprio de A associado a 2, determine a matriz A Indique uma matriz ortogonal de diagonalização da matriz A = ISA/UTL Álgebra Linear 200/ 28

29 CAPÍTULO 2. VALORES E VECTORES PRÓPRIOS 9. Prove os seguintes resultados. a) Matrizes ortogonalmente diagonalizáveis são simétricas. b) Se λ é um valor próprio real não nulo de uma matriz A e v um vector próprio associado a λ, então λ tem o sinal de v T Av. ISA/UTL Álgebra Linear 200/ 29

Provas. As notas da primeira e segunda prova já foram digitadas no Minha UFMG. Caso você não veja sua nota, entre em contato com o professor.

Provas. As notas da primeira e segunda prova já foram digitadas no Minha UFMG. Caso você não veja sua nota, entre em contato com o professor. Provas As notas da primeira e segunda prova já foram digitadas no Minha UFMG. Caso você não veja sua nota, entre em contato com o professor. Terceira prova. Sábado, 15/junho, 10:00-12:00 horas, ICEx. Diagonalização

Leia mais

Matrizes Semelhantes e Matrizes Diagonalizáveis

Matrizes Semelhantes e Matrizes Diagonalizáveis Diagonalização Matrizes Semelhantes e Matrizes Diagonalizáveis Nosso objetivo neste capítulo é estudar aquelas transformações lineares de R n para as quais existe pelo menos uma base em que elas são representadas

Leia mais

Autovalores e Autovetores Determinante de. Motivando com Geometria Definição Calculando Diagonalização Teorema Espectral:

Autovalores e Autovetores Determinante de. Motivando com Geometria Definição Calculando Diagonalização Teorema Espectral: Lema (determinante de matriz ) A B A 0 Suponha que M = ou M =, com A e D 0 D C D matrizes quadradas Então det(m) = det(a) det(d) A B Considere M =, com A, B, C e D matrizes C D quadradas De forma geral,

Leia mais

Instituto Superior Técnico Departamento de Matemática Última actualização: 18/Nov/2003 ÁLGEBRA LINEAR A

Instituto Superior Técnico Departamento de Matemática Última actualização: 18/Nov/2003 ÁLGEBRA LINEAR A Instituto Superior Técnico Departamento de Matemática Secção de Álgebra e Análise Última actualização: 18/Nov/2003 ÁLGEBRA LINEAR A REVISÃO DA PARTE III Parte III - (a) Ortogonalidade Conceitos: produto

Leia mais

Multiplicidade geométrica

Multiplicidade geométrica Valores e Vectores Próprios - ALGA - /5 Multiplicidade geométrica Chama-se multiplicidade geométrica de um valor próprio ao grau de indeterminação do sistema (A I n ) X : O grau de indeterminação de corresponde

Leia mais

Geometria anaĺıtica e álgebra linear

Geometria anaĺıtica e álgebra linear Geometria anaĺıtica e álgebra linear Francisco Dutenhefner Departamento de Matematica ICEx UFMG 22/08/13 1 / 24 Determinante: teorema principal Teorema: Se A é uma matriz quadrada, então o sistema linear

Leia mais

Capítulo 4 - Valores e Vectores Próprios

Capítulo 4 - Valores e Vectores Próprios Capítulo 4 - Valores e Vectores Próprios Carlos Balsa balsa@ipb.pt Departamento de Matemática Escola Superior de Tecnologia e Gestão de Bragança Matemática I - 1 o Semestre 2011/2012 Matemática I 1/ 17

Leia mais

Instituto Superior Técnico Departamento de Matemática Última actualização: 3/Dez/2003 ÁLGEBRA LINEAR A

Instituto Superior Técnico Departamento de Matemática Última actualização: 3/Dez/2003 ÁLGEBRA LINEAR A Instituto uperior Técnico Departamento de Matemática ecção de Álgebra e Análise Última actualização: 3/Dez/2003 ÁLGEBRA LINEAR A REVIÃO DA PARTE IV Parte IV - Diagonalização Conceitos: valor próprio, vector

Leia mais

ficha 1 matrizes e sistemas de equações lineares

ficha 1 matrizes e sistemas de equações lineares Exercícios de Álgebra Linear ficha matrizes e sistemas de equações lineares Exercícios coligidos por Jorge Almeida e Lina Oliveira Departamento de Matemática, Instituto Superior Técnico 2 o semestre 2/2

Leia mais

Aula 1 Autovetores e Autovalores de Matrizes Aula 2 Autovetores e Autovalores de Matrizes Casos Especiais 17

Aula 1 Autovetores e Autovalores de Matrizes Aula 2 Autovetores e Autovalores de Matrizes Casos Especiais 17 Sumário Aula 1 Autovetores e Autovalores de Matrizes.......... 8 Aula 2 Autovetores e Autovalores de Matrizes Casos Especiais 17 Aula 3 Polinômio Característico................. 25 Aula 4 Cálculo de Autovalores

Leia mais

Álgebra Linear. Jorge Orestes Cerdeira Instituto Superior de Agronomia

Álgebra Linear. Jorge Orestes Cerdeira Instituto Superior de Agronomia Álgebra Linear Jorge Orestes Cerdeira Instituto Superior de Agronomia - 202 - ISA/UTL Álgebra Linear 202/3 2 Conteúdo Cálculo matricial 5. Sistemas de equações lineares......................... 5.2 Matrizes

Leia mais

Parte I. Álgebra Linear. Sistemas Dinâmicos Lineares. Autovalores, autovetores. Autovalores, autovetores. Autovalores e Autovetores.

Parte I. Álgebra Linear. Sistemas Dinâmicos Lineares. Autovalores, autovetores. Autovalores, autovetores. Autovalores e Autovetores. Sistemas Dinâmicos Lineares Romeu Reginatto Programa de Pós-Graduação em Engenharia de Sistemas Dinâmicos e Energéticos Universidade Estadual do Oeste do Paraná Parte I Álgebra Linear Adaptado das notas

Leia mais

Produto Misto, Determinante e Volume

Produto Misto, Determinante e Volume 15 Produto Misto, Determinante e Volume Sumário 15.1 Produto Misto e Determinante............ 2 15.2 Regra de Cramer.................... 10 15.3 Operações com matrizes............... 12 15.4 Exercícios........................

Leia mais

6 Valores e Vectores Próprios de Transformações Lineares

6 Valores e Vectores Próprios de Transformações Lineares Nova School of Business and Economics Prática Álgebra Linear 6 Valores e Vectores Próprios de Transformações Lineares 1 Definição Valor próprio de uma transformação linear ( ) Número real (ou complexo)

Leia mais

Algebra Linear. 1. Revisitando autovalores e autovetores. 2. Forma Diagonal e Forma de Jordan. 2.1 Autovalores distintos. 2.2 Autovalores complexos

Algebra Linear. 1. Revisitando autovalores e autovetores. 2. Forma Diagonal e Forma de Jordan. 2.1 Autovalores distintos. 2.2 Autovalores complexos Algebra Linear 1. Revisitando autovalores e autovetores 2. Forma Diagonal e Forma de Jordan 2.1 Autovalores distintos 2.2 Autovalores complexos 2.3 Nem todos autovalores distintos 3. Autovalores e autovetores

Leia mais

EXAME DE ÁLGEBRA LINEAR (Semestre Alternativo, Alameda) GRUPO I

EXAME DE ÁLGEBRA LINEAR (Semestre Alternativo, Alameda) GRUPO I Instituto Superior Técnico Departamento de Matemática Secção de Álgebra e Análise EXAME DE ÁLGEBRA LINEAR (Semestre Alternativo, Alameda) (24/JUNHO/2005) Duração: 3h Nome de Aluno: Número de Aluno: Curso:

Leia mais

Cálculo Diferencial e Integral 2 Formas Quadráticas

Cálculo Diferencial e Integral 2 Formas Quadráticas Instituto Superior Técnico Departamento de Matemática Secção de Álgebra e Análise Cálculo Diferencial e Integral 2 Formas Quadráticas 1 Formas quadráticas Uma forma quadrática em R n é um polinómio do

Leia mais

Álgebra Linear e Geometria Anaĺıtica

Álgebra Linear e Geometria Anaĺıtica Álgebra Linear e Geometria Anaĺıtica 2016/17 MIEI+MIEB+MIEMN Slides da 4 a Semana de aulas Cláudio Fernandes (FCT/UNL) Departamento de Matemática 1 / 27 Programa 1 Matrizes 2 Sistemas de Equações Lineares

Leia mais

Sistemas de Equações Lineares e Matrizes

Sistemas de Equações Lineares e Matrizes Sistemas de Equações Lineares e Matrizes. Quais das seguintes equações são lineares em x, y, z: (a) 2x + 2y 5z = x + xy z = 2 (c) x + y 2 + z = 2 2. A parábola y = ax 2 + bx + c passa pelos pontos (x,

Leia mais

Álgebra Linear Teoria de Matrizes

Álgebra Linear Teoria de Matrizes Álgebra Linear Teoria de Matrizes 1. Sistemas Lineares 1.1. Coordenadas em espaços lineares: independência linear, base, dimensão, singularidade, combinação linear 1.2. Espaço imagem (colunas) - Espaço

Leia mais

EXERCÍCIOS DE ÁLGEBRA LINEAR

EXERCÍCIOS DE ÁLGEBRA LINEAR IST - 1 o Semestre de 016/17 MEBiol, MEAmbi EXERCÍCIOS DE ÁLGEBRA LINEAR FICHA - Vectores e valores próprios 1 1 Vectores e valores próprios de transformações lineares Dada uma transformação linear T V!

Leia mais

Separe em grupos de folhas diferentes as resoluções dos grupos I e II das resoluções dos grupos III e IV GRUPO I (50 PONTOS)

Separe em grupos de folhas diferentes as resoluções dos grupos I e II das resoluções dos grupos III e IV GRUPO I (50 PONTOS) Faculdade de Ciências Económicas e Empresariais UCP MATEMÁTICA I FREQUÊNCIA 1 - versão A Duração: 15 minutos Durante a prova não serão prestados quaisquer tipo de esclarecimentos. Qualquer dúvida ou questão

Leia mais

FOLHAS DE PROBLEMAS DE MATEMÁTICA II CURSO DE ERGONOMIA PEDRO FREITAS

FOLHAS DE PROBLEMAS DE MATEMÁTICA II CURSO DE ERGONOMIA PEDRO FREITAS FOLHAS DE PROBLEMAS DE MATEMÁTICA II CURSO DE ERGONOMIA PEDRO FREITAS Maio 12, 2008 2 Contents 1. Complementos de Álgebra Linear 3 1.1. Determinantes 3 1.2. Valores e vectores próprios 5 2. Análise em

Leia mais

Sistemas lineares e matrizes, C = e C =

Sistemas lineares e matrizes, C = e C = 1. Considere as matrizes ( 2 1 A 4 0 1 MATEMÁTICA I (M 195 (BIOLOGIA, BIOQUÍMICA E ARQUITETURA PAISAGISTA 2014/2015, B Sistemas lineares e matrizes ( 4 1 2 5 1 Verifique se está definida e, caso esteja,

Leia mais

ficha 2 determinantes

ficha 2 determinantes Exercícios de Álgebra Linear ficha 2 determinantes Exercícios coligidos por Jorge Almeida e Lina Oliveira Departamento de Matemática, Instituto Superior Técnico 2 o semestre 2011/12 Determinantes 2 Sendo

Leia mais

Álgebra Linear. Professor Alessandro Monteiro. 1º Sábado - Matrizes - 11/03/2017

Álgebra Linear. Professor Alessandro Monteiro. 1º Sábado - Matrizes - 11/03/2017 º Sábado - Matrizes - //7. Plano e Programa de Ensino. Definição de Matrizes. Exemplos. Definição de Ordem de Uma Matriz. Exemplos. Representação Matriz Genérica m x n 8. Matriz Linha 9. Exemplos. Matriz

Leia mais

3 a Lista para auto-avaliação (com um exercício resolvido)

3 a Lista para auto-avaliação (com um exercício resolvido) Álgebra Linear Cursos: Engenharia Civil, Engenharia de Minas, Engenharia do Território 1 ō ano/1 ō Semestre 21/211 3 a Lista para auto-avaliação (com um exercício resolvido) 1. Indique a característica

Leia mais

Algoritmos Numéricos 2 a edição

Algoritmos Numéricos 2 a edição Algoritmos Numéricos 2 a edição Capítulo 2: Sistemas lineares c 2009 FFCf 2 2.1 Conceitos fundamentais 2.2 Sistemas triangulares 2.3 Eliminação de Gauss 2.4 Decomposição LU Capítulo 2: Sistemas lineares

Leia mais

I Lista de Álgebra Linear /02 Matrizes-Determinantes e Sistemas Prof. Iva Zuchi Siple

I Lista de Álgebra Linear /02 Matrizes-Determinantes e Sistemas Prof. Iva Zuchi Siple 1 I Lista de Álgebra Linear - 2012/02 Matrizes-Determinantes e Sistemas Prof. Iva Zuchi Siple 1. Determine os valores de x e y que tornam verdadeira a igualdade ( x 2 + 5x x 2 ( 6 3 2x y 2 5y y 2 = 5 0

Leia mais

Aulas práticas de Álgebra Linear

Aulas práticas de Álgebra Linear Ficha 2 Determinantes Aulas práticas de Álgebra Linear Mestrado Integrado em Engenharia Eletrotécnica e de Computadores 1 o semestre 2016/17 Jorge Almeida e Lina Oliveira Departamento de Matemática, Instituto

Leia mais

Equação Geral do Segundo Grau em R 2

Equação Geral do Segundo Grau em R 2 8 Equação Geral do Segundo Grau em R Sumário 8.1 Introdução....................... 8. Autovalores e autovetores de uma matriz real 8.3 Rotação dos Eixos Coordenados........... 5 8.4 Formas Quadráticas..................

Leia mais

Espaços vectoriais reais

Espaços vectoriais reais ALGA - 00/0 - Espaços Vectoriais 49 Introdução Espaços vectoriais reais O que é que têm em comum o conjunto dos pares ordenados de números reais, o conjunto dos vectores livres no espaço, o conjunto das

Leia mais

ALGA I. Bases, coordenadas e dimensão

ALGA I. Bases, coordenadas e dimensão Módulo 5 ALGA I. Bases, coordenadas e dimensão Contents 5.1 Bases, coordenadas e dimensão............. 58 5.2 Cálculos com coordenadas. Problemas......... 65 5.3 Mudanças de base e de coordenadas..........

Leia mais

Álgebra Linear e Geometria Anaĺıtica. Matrizes e Sistemas de Equações Lineares

Álgebra Linear e Geometria Anaĺıtica. Matrizes e Sistemas de Equações Lineares universidade de aveiro departamento de matemática Álgebra Linear e Geometria Anaĺıtica Agrupamento IV (ECT, EET, EI) Capítulo 1 Matrizes e Sistemas de Equações Lineares Geometria anaĺıtica em R 3 [1 01]

Leia mais

UNIVERSIDADE FEDERAL DE VIÇOSA Centro de Ciências Exatas Departamento de Matemática

UNIVERSIDADE FEDERAL DE VIÇOSA Centro de Ciências Exatas Departamento de Matemática UNIVERSIDADE FEDERAL DE VIÇOSA Centro de Ciências Exatas Departamento de Matemática 1 a Lista - MAT 17 - Introdução à Álgebra Linear II/2005 1 Considere as matrizes A, B, C, D e E com respectivas ordens,

Leia mais

Matrizes e sistemas de equações algébricas lineares

Matrizes e sistemas de equações algébricas lineares Capítulo 1 Matrizes e sistemas de equações algébricas lineares ALGA 2007/2008 Mest Int Eng Biomédica Matrizes e sistemas de equações algébricas lineares 1 / 37 Definições Equação linear Uma equação (algébrica)

Leia mais

Determinantes - Parte 02

Determinantes - Parte 02 Determinantes - Parte 02 Prof. Márcio Nascimento Universidade Estadual Vale do Acaraú Centro de Ciências Exatas e Tecnologia Curso de Licenciatura em Matemática Disciplina: Álgebra Matricial - 2017.1 23

Leia mais

Determinantes - Parte 02

Determinantes - Parte 02 Determinantes - Parte 02 Prof. Márcio Nascimento Universidade Estadual Vale do Acaraú Centro de Ciências Exatas e Tecnologia Curso de Licenciatura em Matemática Disciplina: Álgebra Matricial - 2015.1 10

Leia mais

Lista de Exercícios III. junho de 2005

Lista de Exercícios III. junho de 2005 ÁLGEBRA LINEAR II Prof Amit Bhaya Lista de Exercícios III junho de 2005 Ortogonalidade, espaços fundamentais 1 Se Ax = b possui solução e A T y = 0, então y é perpendicular a 2 Se Ax = b não possui solução

Leia mais

FORMA CANÔNICA DE JORDAN

FORMA CANÔNICA DE JORDAN FORMA CANÔNICA DE JORDAN Álgebra Linear (MAT-27) Ronaldo Rodrigues Pelá IEFF-ITA 4 de novembro de 2011 Roteiro Motivação 1 Motivação 2 3 4 5 6 Roteiro Motivação 1 Motivação 2 3 4 5 6 Matrizes Quase Diagonalizáveis

Leia mais

Ficha de Exercícios nº 3

Ficha de Exercícios nº 3 Nova School of Business and Economics Álgebra Linear Ficha de Exercícios nº 3 Transformações Lineares, Valores e Vectores Próprios e Formas Quadráticas 1 Qual das seguintes aplicações não é uma transformação

Leia mais

LEIC Alameda. Paulo Pinto ppinto/ Setembro 2005

LEIC Alameda. Paulo Pinto  ppinto/ Setembro 2005 Instituto Superior Técnico Departamento de Matemática Secção de Álgebra e Análise Exercícios de Álgebra Linear LEIC Alameda 1 o Semestre 2005/2006 Paulo Pinto http://wwwmathistutlpt/ ppinto/ Setembro 2005

Leia mais

Forma Canônica de Jordan para Operadores Lineares do Plano - Matrizes Reais 2 2

Forma Canônica de Jordan para Operadores Lineares do Plano - Matrizes Reais 2 2 Forma Canônica de Jordan para Operadores Lineares do Plano - Matrizes Reais Sylvie Olison Kamphorst Departamento de Matemática - ICE - UFMG Versão 5. - Agosto Resumo O Teorema da Forma Canônica de Jordan

Leia mais

Os Quatro Subespaços Fundamentais

Os Quatro Subespaços Fundamentais Álgebra Linear e Geometria Analítica Texto de apoio Professor João Soares 7 páginas Universidade de Coimbra 26 de Novembro de 29 Os Quatro Subespaços Fundamentais Seja A uma matriz m n de elementos reais.

Leia mais

Exercícios. setor Aula 39 DETERMINANTES (DE ORDENS 1, 2 E 3) = Resposta: 6. = sen 2 x + cos 2 x Resposta: 1

Exercícios. setor Aula 39 DETERMINANTES (DE ORDENS 1, 2 E 3) = Resposta: 6. = sen 2 x + cos 2 x Resposta: 1 setor 0 00508 Aula 39 ETERMINANTES (E ORENS, E 3) A toda matriz quadrada A de ordem n é associado um único número, chamado de determinante de A e denotado, indiferentemente, por det(a) ou por A. ETERMINANTES

Leia mais

Álgebra Linear Exercícios Resolvidos

Álgebra Linear Exercícios Resolvidos Álgebra Linear Exercícios Resolvidos Agosto de 001 Sumário 1 Exercícios Resolvidos Uma Revisão 5 Mais Exercícios Resolvidos Sobre Transformações Lineares 13 3 4 SUMA RIO Capítulo 1 Exercícios Resolvidos

Leia mais

ALGA - Eng.Civil e Eng. Topográ ca - ISE /

ALGA - Eng.Civil e Eng. Topográ ca - ISE / ALGA - Eng.Civil e Eng. Topográ ca - ISE - 0/0 0. (a) Calcule o sinal das seguintes permutações (i) (; ; ; ; ) (ii) (; ; ; ; ; ) (b) Use os resultados da alínea (a) para calcular, usando a de nição, os

Leia mais

Valores e vectores próprios

Valores e vectores próprios Valores e Vectores Prórios - Matemática II- /5 Valores e vectores rórios De nem-se valores e vectores rórios aenas ara matrizes quadradas, elo que, ao longo deste caítulo e quando mais nada seja eseci

Leia mais

Método de eliminação de Gauss

Método de eliminação de Gauss Matrizes - Matemática II - 00/0 Método de eliminação de Gauss Seja A = [a ij ] uma matriz de tipo m n. a FASE - ELIMINAÇÃO DESCENDENTE Esta fase permite obter uma matriz em forma de escada a partir da

Leia mais

Diagonalização unitária e diagonalização ortogonal. (Positividade do produto interno) Raíz quadrada. Formas quadráticas.

Diagonalização unitária e diagonalização ortogonal. (Positividade do produto interno) Raíz quadrada. Formas quadráticas. Aplicações: Diagonalização unitária e diagonalização ortogonal (Positividade do produto interno) Raíz quadrada Formas quadráticas Mínimos quadrados Produto externo e produto misto (Área do paralelogramo.

Leia mais

Introduzir os conceitos de base e dimensão de um espaço vetorial. distinguir entre espaços vetoriais de dimensão fnita e infinita;

Introduzir os conceitos de base e dimensão de um espaço vetorial. distinguir entre espaços vetoriais de dimensão fnita e infinita; META Introduzir os conceitos de base e dimensão de um espaço vetorial. OBJETIVOS Ao fim da aula os alunos deverão ser capazes de: distinguir entre espaços vetoriais de dimensão fnita e infinita; determinar

Leia mais

Aula 5 - Produto Vetorial

Aula 5 - Produto Vetorial Aula 5 - Produto Vetorial Antes de iniciar o conceito de produto vetorial, precisamos recordar como se calculam os determinantes. Mas o que é um Determinante? Determinante é uma função matricial que associa

Leia mais

Parte 1 - Matrizes e Sistemas Lineares

Parte 1 - Matrizes e Sistemas Lineares Parte 1 - Matrizes e Sistemas Lineares Matrizes: Uma matriz de tipo m n é uma tabela com mn elementos, denominados entradas, e formada por m linhas e n colunas. A matriz identidade de ordem 2, por exemplo,

Leia mais

A forma canônica de Jordan

A forma canônica de Jordan A forma canônica de Jordan 1 Matrizes e espaços vetoriais Definição: Sejam A e B matrizes quadradas de orden n sobre um corpo arbitrário X. Dizemos que A é semelhante a B em X (A B) se existe uma matriz

Leia mais

. (1) Se S é o espaço vetorial gerado pelos vetores 1 e,0,1

. (1) Se S é o espaço vetorial gerado pelos vetores 1 e,0,1 QUESTÕES ANPEC ÁLGEBRA LINEAR QUESTÃO 0 Assinale V (verdadeiro) ou F (falso): (0) Os vetores (,, ) (,,) e (, 0,) formam uma base de,, o espaço vetorial gerado por,, e,, passa pela origem na direção de,,

Leia mais

Hewlett-Packard DETERMINANTE. Aulas 01 a 04. Elson Rodrigues, Gabriel Carvalho e Paulo Luiz

Hewlett-Packard DETERMINANTE. Aulas 01 a 04. Elson Rodrigues, Gabriel Carvalho e Paulo Luiz Hewlett-Packard DETERMINANTE Aulas 0 a 04 Elson Rodrigues, Gabriel Carvalho e Paulo Luiz Ano: 206 Sumário DETERMINANTE... Exemplo... Exemplo 2... EXERCÍCIOS FUNDAMENTAIS... Exemplo 3... EXERCÍCIOS FUNDAMENTAIS...

Leia mais

Álgebra Linear (MAT-27) Ronaldo Rodrigues Pelá. 21 de outubro de 2011

Álgebra Linear (MAT-27) Ronaldo Rodrigues Pelá. 21 de outubro de 2011 APLICAÇÕES DA DIAGONALIZAÇÃO Álgebra Linear (MAT-27) Ronaldo Rodrigues Pelá IEFF-ITA 21 de outubro de 2011 Roteiro 1 2 3 Roteiro 1 2 3 Introdução Considere a equação de uma cônica: Forma Geral Ax 2 + Bxy

Leia mais

Nota: Turma: MA 327 Álgebra Linear. Terceira Prova. Boa Prova! Primeiro Semestre de T o t a l

Nota: Turma: MA 327 Álgebra Linear. Terceira Prova. Boa Prova! Primeiro Semestre de T o t a l Turma: Nota: MA 327 Álgebra Linear Primeiro Semestre de 26 Terceira Prova Nome: RA: Questões Pontos Questão 1 Questão 2 Questão 3 Questão 4 Questão 5 T o t a l Boa Prova! Questão 1. 2. Pontos) Seja U um

Leia mais

Álgebra Linear - 1 a lista de exercícios Prof. - Juliana Coelho

Álgebra Linear - 1 a lista de exercícios Prof. - Juliana Coelho Álgebra Linear - a lista de exercícios Prof. - Juliana Coelho - Considere as matrizes abaixo e faça o que se pede: M N O 7 P Q R 8 4 T S a b a Determine quais destas matrizes são simétricas. E antisimétricas?

Leia mais

7 Formas Quadráticas

7 Formas Quadráticas Nova School of Business and Economics Apontamentos Álgebra Linear 1 Definição Forma quadrática em variáveis Função polinomial, de grau, cuja expressão tem apenas termos de grau. Ex. 1: é uma forma quadrática

Leia mais

1. Matrizes. 1. Dê um exemplo, em cada alínea, de uma matriz A = [a ij ] m n com:

1. Matrizes. 1. Dê um exemplo, em cada alínea, de uma matriz A = [a ij ] m n com: Matemática Licenciatura em Biologia 4 / 5. Matrizes.. Dê um eemplo, em cada alínea, de uma matriz A = [a ij ] m n com: m =, n = cuja soma das entradas principais seja. (b) m = n = 4 com a a e a 4 = a 4.

Leia mais

MAT 1202 ÁLGEBRA LINEAR II SUBESPACCOS FUNDAMENTAIS E TRANSF. LINEARES 23/08/12 Profs. Christine e Pedro

MAT 1202 ÁLGEBRA LINEAR II SUBESPACCOS FUNDAMENTAIS E TRANSF. LINEARES 23/08/12 Profs. Christine e Pedro MAT 1202 ÁLGEBRA LINEAR II 2012.2 SUBESPACCOS FUNDAMENTAIS E TRANSF. LINEARES 23/08/12 Profs. Christine e Pedro 1. Subespaços Fundamentais de uma Matriz (1.1) Definição. Seja A uma matriz retangular m

Leia mais

Aula 19 Operadores ortogonais

Aula 19 Operadores ortogonais Operadores ortogonais MÓDULO 3 AULA 19 Aula 19 Operadores ortogonais Objetivos Compreender o conceito e as propriedades apresentadas sobre operadores ortogonais. Aplicar os conceitos apresentados em exemplos

Leia mais

Geometria Analítica e Álgebra Linear

Geometria Analítica e Álgebra Linear UNIFEI - Universidade Federal de Itajubá campus Itabira Geometria Analítica e Álgebra Linear Parte 1 Matrizes 1 Introdução A teoria das equações lineares desempenha papel importante e motivador da álgebra

Leia mais

CEM Centro De Estudos Matemáticos

CEM Centro De Estudos Matemáticos 1. (Udesc ) Sejam A = (a ij ) e B = (b ij ) matrizes quadradas de ordem 3 de tal forma que: a ij = i + j b ij = j e os elementos de cada coluna, de cima para baixo, formam uma progressão geométrica de

Leia mais

Universidade Federal de Viçosa Centro de Ciências Exatas Departamento de Matemática 1 a Lista - MAT Introdução à Álgebra Linear 2013/I

Universidade Federal de Viçosa Centro de Ciências Exatas Departamento de Matemática 1 a Lista - MAT Introdução à Álgebra Linear 2013/I 1 Universidade Federal de Viçosa Centro de Ciências Exatas Departamento de Matemática 1 a Lista - MAT 17 - Introdução à Álgebra Linear 201/I 1 Considere as matrizes A, B, C, D e E com respectivas ordens,

Leia mais

Capítulo 1. Matrizes e Sistema de Equações Lineares. 1.1 Corpos

Capítulo 1. Matrizes e Sistema de Equações Lineares. 1.1 Corpos Capítulo 1 Matrizes e Sistema de Equações Lineares Neste capítulo apresentaremos as principais de nições e resultados sobre matrizes e sistemas de equações lineares que serão necessárias para o desenvolvimento

Leia mais

= f(0) D2 f 0 (x, x) + o( x 2 )

= f(0) D2 f 0 (x, x) + o( x 2 ) 6 a aula, 26-04-2007 Formas Quadráticas Suponhamos que 0 é um ponto crítico duma função suave f : U R definida sobre um aberto U R n. O desenvolvimento de Taylor de segunda ordem da função f em 0 permite-nos

Leia mais

2. Calcule o determinante das seguintes matrizes usando o teorema de Laplace. ab (a) (b) (c) 2 5. (e) 0 a b a 0 c b c 0. (h)

2. Calcule o determinante das seguintes matrizes usando o teorema de Laplace. ab (a) (b) (c) 2 5. (e) 0 a b a 0 c b c 0. (h) 3.. determinante de uma riz página /5 departamento de emática universidade de aveiro. Determine o número de inversões e classifica qnto à paridade as seguintes permutações de {,, 3, 4, 5}: (3, 4,, 5, )

Leia mais

Geovan Tavares, Hélio Lopes e Sinésio Pesco PUC-Rio Departamento de Matemática Laboratório Matmidia

Geovan Tavares, Hélio Lopes e Sinésio Pesco PUC-Rio Departamento de Matemática Laboratório Matmidia Álgebra Linear Computacional Geovan Tavares, Hélio Lopes e Sinésio Pesco PUC-Rio Departamento de Matemática Laboratório Matmidia http://www.matmidia.mat.puc-rio.br 1 Álgebra Linear Computacional - Parte

Leia mais

Álgebra Linear I - Aula 14. Roteiro

Álgebra Linear I - Aula 14. Roteiro Álgebra Linear I - Aula 14 1 Matrizes 2 Forma matricial de uma transformação linear 3 Composição de transformações lineares e produto de matrizes 4 Determinante do produto de matrizes Roteiro 1 Matrizes

Leia mais

w 1 = v 1 + v 2 + v 3 w 2 = 2v 2 + v 3 (1) w 3 = v 1 + 3v 2 + 3v 3 também são linearmente independentes. T =

w 1 = v 1 + v 2 + v 3 w 2 = 2v 2 + v 3 (1) w 3 = v 1 + 3v 2 + 3v 3 também são linearmente independentes. T = Independência e dependência linear ) a) Sejam v, v e v vectores linearmente independentes de um espaço linear S. Prove que os vectores também são linearmente independentes. Resolução Seja V a expansão

Leia mais

1 Determinantes, traços e o teorema espectral para operadores arbitrários

1 Determinantes, traços e o teorema espectral para operadores arbitrários Álgebra Linear e Aplicações - Lista para Segunda Prova Nestas notas, X, Y,... são espaços vetoriais sobre o mesmo corpo F {R, C}. Você pode supor que todos os espaços têm dimensão finita. (x, y) = (x,

Leia mais

UNIVERSIDADE FEDERAL DE MINAS GERAIS (UFMG) ADÉLIO DANIEL DE SOUSA FREITAS

UNIVERSIDADE FEDERAL DE MINAS GERAIS (UFMG) ADÉLIO DANIEL DE SOUSA FREITAS UNIVERSIDADE FEDERAL DE MINAS GERAIS (UFMG) ADÉLIO DANIEL DE SOUSA FREITAS O ESTUDO DA DIAGONALIZAÇÃO DE MATRIZES SIMETRICAS DE 2º ORDEM. BELO HORIZONTE 2012 ADÉLIO DANIEL DE SOUSA FREITAS O ESTUDO DA

Leia mais

Álgebra Linear I Ano lectivo 2015/16 Docente: António Araújo e-fólio A (20 a 30 de novembro) Para a resolução do e-fólio, aconselha-se que:

Álgebra Linear I Ano lectivo 2015/16 Docente: António Araújo e-fólio A (20 a 30 de novembro) Para a resolução do e-fólio, aconselha-se que: 21002 - Álgebra Linear I Ano lectivo 2015/16 Docente: António Araújo e-fólio A (20 a 30 de novembro) Para a resolução do e-fólio, aconselha-se que: Verifique se o ficheiro que recebeu está correcto. O

Leia mais

Notas de Aulas de Matrizes, Determinantes e Sistemas Lineares

Notas de Aulas de Matrizes, Determinantes e Sistemas Lineares FATEC Notas de Aulas de Matrizes, Determinantes e Sistemas Lineares Prof Dr Ânderson Da Silva Vieira 2017 Sumário Introdução 2 1 Matrizes 3 11 Introdução 3 12 Tipos especiais de Matrizes 3 13 Operações

Leia mais

Apontamentos das aulas teóricas de Álgebra Linear

Apontamentos das aulas teóricas de Álgebra Linear Apontamentos das aulas teóricas de Álgebra Linear Cursos: MEAmbi e MEBio 1 o Semestre 2015/2016 Prof Paulo Pinto http://wwwmathtecnicoulisboapt/ ppinto Conteúdo 1 Matrizes e sistemas lineares 1 11 Álgebra

Leia mais

Matemática I. Capítulo 3 Matrizes e sistemas de equações lineares

Matemática I. Capítulo 3 Matrizes e sistemas de equações lineares Matemática I Capítulo 3 Matrizes e sistemas de equações lineares Objectivos Matrizes especiais e propriedades do produto de matrizes Matriz em escada de linhas Resolução de sistemas de equações lineares

Leia mais

Matemática II /06 - Matrizes 1. Matrizes

Matemática II /06 - Matrizes 1. Matrizes Matemática II - 00/0 - Matrizes Matrizes Introdução Se m e n são números naturais, chama-se matriz real de tipo m n (m vezes n ou m por n) a uma função A : f; ; :::; mg f; ; :::; ng R: (i; j) A (i; j)

Leia mais

1. Conhecendo-se somente os produtos AB e AC, calcule A = X 2 = 2X. 3. Mostre que se A e B são matrizes que comutam com a matriz M = 1 0

1. Conhecendo-se somente os produtos AB e AC, calcule A = X 2 = 2X. 3. Mostre que se A e B são matrizes que comutam com a matriz M = 1 0 Lista de exercícios. AL. 1 sem. 2015 Prof. Fabiano Borges da Silva 1 Matrizes Notações: 0 para matriz nula; I para matriz identidade; 1. Conhecendo-se somente os produtos AB e AC calcule A(B + C) B t A

Leia mais

Álgebra Linear e Geometria Analítica D

Álgebra Linear e Geometria Analítica D 1 3 Departamento de Matemática Álgebra Linear e Geometria Analítica D Primeiro Teste 21 de Novembro de 2009 Nome: Número de caderno: PREENCHA DE FORMA BEM LEGÍVEL Grelha de Respostas A B C D 1 2 3 4 5

Leia mais

Álgebra Linear I - Aula Autovetores e autovalores de uma transformação

Álgebra Linear I - Aula Autovetores e autovalores de uma transformação Álgebra Linear I - Aula 18 1. Autovalores e autovetores. 2. Cálculo dos autovetores e autovalores. Polinômio característico. Roteiro 1 Autovetores e autovalores de uma transformação linear Considere uma

Leia mais

ÁLGEBRA LINEAR. Combinação Linear, Subespaços Gerados, Dependência e Independência Linear. Prof. Susie C. Keller

ÁLGEBRA LINEAR. Combinação Linear, Subespaços Gerados, Dependência e Independência Linear. Prof. Susie C. Keller ÁLGEBRA LINEAR Combinação Linear, Subespaços Gerados, Dependência e Prof. Susie C. Keller Combinação Linear Sejam os vetores v 1, v 2,..., v n do espaço vetorial V e os escalares a 1, a 2,..., a n. Qualquer

Leia mais

Noções de Álgebra Linear

Noções de Álgebra Linear Noções de Álgebra Linear 1. Espaços vetoriais lineares 1.1. Coordenadas 2. Operadores lineares 3. Subespaços fundamentais 4. Espaços normados 5. Espaços métricos 6. Espaços de Banach 7. Espaços de Hilbert

Leia mais

Produto interno, externo e misto

Produto interno, externo e misto Produto interno, externo e misto Definição: Chama-se norma (ou comprimento) do vector u ao comprimento do segmento de recta [OP ] e representa-se por u. Definição: Sejam a = OA e b = OB dois vectores não

Leia mais

Autovalores e Autovetores

Autovalores e Autovetores Autovalores e Autovetores Maria Luísa B. de Oliveira SME0300 Cálculo Numérico 24 de novembro de 2010 Introdução Objetivo: Dada matriz A, n n, determinar todos os vetores v que sejam paralelos a Av. Introdução

Leia mais

ALGA I. Representação matricial das aplicações lineares

ALGA I. Representação matricial das aplicações lineares Módulo 6 ALGA I Representação matricial das aplicações lineares Contents 61 Matriz de uma aplicação linear 76 62 Cálculo do núcleo e imagem 77 63 Matriz da composta 78 64 GL(n Pontos de vista passivo e

Leia mais

Teoria espectral de operadores lineares limitados

Teoria espectral de operadores lineares limitados Capítulo 8 Teoria espectral de operadores lineares limitados A teoria espectral é um dos ramos principais da análise funcional moderna e suas aplicações. Essencialmente consiste no inverso de certos operadores,

Leia mais

Método de Gauss-Jordan e Sistemas Homogêneos

Método de Gauss-Jordan e Sistemas Homogêneos Método de Gauss-Jordan e Márcio Nascimento Universidade Estadual Vale do Acaraú Centro de Ciências Exatas e Tecnologia Curso de Licenciatura em Matemática Disciplina: Álgebra Matricial - 2017.1 14 de agosto

Leia mais

Álgebra Linear e Geometria Analítica

Álgebra Linear e Geometria Analítica Álgebra Linear e Geometria Analítica Engenharia Electrotécnica Escola Superior de Tecnologia de Viseu wwwestvipvpt/paginaspessoais/lucas lucas@matestvipvpt 007/008 Álgebra Linear e Geometria Analítica

Leia mais

Matrizes hermitianas e unitárias

Matrizes hermitianas e unitárias Matrizes hermitianas e unitárias Amit Bhaya, Programa de Engenharia Elétrica COPPE/UFRJ Universidade Federal do Rio de Janeiro amit@nacad.ufrj.br http://www.nacad.ufrj.br/ amit Matrizes complexas O produto

Leia mais

Matrizes e Linearidade

Matrizes e Linearidade Matrizes e Linearidade 1. Revisitando Matrizes 1.1. Traço, Simetria, Determinante 1.. Inversa. Sistema de Equações Lineares. Equação Característica.1. Autovalor & Autovetor 4. Polinômios Coprimos 5. Função

Leia mais

0 1. Assinale a alternativa verdadeira Q1. Seja A = (d) Os autovalores de A 101 são i e i. (c) Os autovalores de A 101 são 1 e 1.

0 1. Assinale a alternativa verdadeira Q1. Seja A = (d) Os autovalores de A 101 são i e i. (c) Os autovalores de A 101 são 1 e 1. Nesta prova, se V é um espaço vetorial, o vetor nulo de V será denotado por 0 V. Se u 1,...,u n forem vetores de V, o subespaço de V gerado por {u 1,...,u n } será denotado por [u 1,...,u n ]. O operador

Leia mais

Sistemas de equações lineares

Sistemas de equações lineares Matemática II - / - Sistemas de Equações Lineares Sistemas de equações lineares Introdução Uma equação linear nas incógnitas ou variáveis x ; x ; :::; x n é uma expressão da forma: a x + a x + ::: + a

Leia mais

Roteiros e Exercícios - Álgebra Linear v1.0

Roteiros e Exercícios - Álgebra Linear v1.0 Roteiros e Exercícios - Álgebra Linear v1.0 Robinson Alves Lemos 14 de janeiro de 2017 Introdução Este material é um roteiro/apoio para o curso de álgebra linear da engenharia civil na UNEMAT de Tangará

Leia mais

Resolução de Sistemas Lineares. Ana Paula

Resolução de Sistemas Lineares. Ana Paula Resolução de Sistemas Lineares Sumário 1 Introdução 2 Alguns Conceitos de Álgebra Linear 3 Sistemas Lineares 4 Métodos Computacionais 5 Sistemas Triangulares 6 Revisão Introdução Introdução Introdução

Leia mais

CM005 Algebra Linear Lista 1

CM005 Algebra Linear Lista 1 CM005 Algebra Linear Lista Alberto Ramos. Para cada um dos sistemas de equações lineares, use o método de Gauss para obter um sistema equivalente cuja matriz de coeficientes esteja na forma escada. Indique

Leia mais

Departamento de Matemática

Departamento de Matemática Departamento de Matemática ALGA e Álgebra Linear Folhas Práticas - /6 EAmb/EC/EGI/EM Determinantes (*) Calcule o valor do determinante das seguintes matrizes A = + i, B = i, C = 6 i, D = 6 i i E = 6, F

Leia mais

Ana Rita Martins. 1 o Semestre 2012/2013

Ana Rita Martins. 1 o Semestre 2012/2013 Equações es Católica Lisbon 1 o Semestre 2012/2013 Matrizes: Motivação É comum o recurso a tabelas para organizar informação diversa. No entanto, estes objectos não são, em geral, manipuláveis". Equações

Leia mais

Módulos. Volume 2ª edição. Hernando Bedoya Ricardo Camelier. Álgebra Linear II

Módulos. Volume 2ª edição. Hernando Bedoya Ricardo Camelier. Álgebra Linear II Módulos 1e2 Volume 2ª edição Hernando Bedoya Ricardo Camelier Álgebra Linear II 1 Álgebra Linear II Volume 1 - Módulos 1 e 2 2ª edição Hernando Bedoya Ricardo Camelier Apoio: Fundação Cecierj / Consórcio

Leia mais