FOLHAS DE PROBLEMAS DE MATEMÁTICA II CURSO DE ERGONOMIA PEDRO FREITAS

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1 FOLHAS DE PROBLEMAS DE MATEMÁTICA II CURSO DE ERGONOMIA PEDRO FREITAS Maio 12, 2008

2 2 Contents 1. Complementos de Álgebra Linear Determinantes Valores e vectores próprios 5 2. Análise em R n Funções de n variáveis Derivadas parciais e direccionais Extremos Extremos condicionados Série de Taylor Equações diferenciais Prova e traçado de soluções Equações diferenciais separáveis Equações diferenciais lineares Equações diferenciais lineares de coeficientes constantes 13

3 Determinantes. 1. Complementos de Álgebra Linear Seja A = a ij 4 i,j=1 uma matriz 4 4. Diga quais dos seguintes termos fazem parte da expressão do determinante de A e, em caso afirmativo, indique qual o sinal que afecta cada um desses termos. (a) a 11 a 23 a 32 a 44 (b) a 12 a 23 a 32 a 41 (c) a 34 a 21 a 13 a 42 (d) a 42 a 23 a 11 a Complete o produto a 13 a 25 a 34 a 42 de um determinante de ordem seis, por forma a obter um dos seus termos com sinal (i) positivo (ii) negativo Calcule os seguintes determinantes: (a) (b) (c) (d) Quantos determinantes 2 2 é que é necessário calcular para calcular um determinante 3 3 pela fórmula de Laplace. E para calcular um determinante 4 4? E n n? Calcule o determinante de cada uma das seguintes matrizes: (a) (b) (c) (d) (e) 2 π 0 3 (f) (g) (h) (i) (j) (k)

4 4 (l) 1 2 log(π) 2 4 sin(e) log(π) 3 6 sin(e) (m) (n) (o) (q) n n + 1 n n. n 2 n + 1 n 2 n n 2 (p) (r) Sendo A = calcule det AB Calcule det 13 A 5 (x), onde A(x) = e B = x Verifique que o determinante da matriz M = x y z x α z x y z não depende de α. A partir desse resultado, mostre que o determinante da matriz 3x + y + 2α y + 2α y + z + 2α M = x + α α z + α 3x y + 2α y + 2α y + z + 2α também não depende de α Sejam 1 2 M = 0 1 e Q o quadrado de vértices (0, 0), (1, 0), (1, 1) e (0, 1)..

5 5 (a) Determine Q, o transformado de Q por M. (b) Determine a área de Q e a relação entre as áreas de Q e Q. (c) Resolva o mesmo problema para o caso em que a matriz M é agora dada por 1 2 M = Calcule o volume do paralelipípedo formado pelos vectores (1, 1, 1), (1, 1, 1) e (0, 0, 1) Diz-se que uma matriz quadrada com entradas reais A é ortogonal se AA t = I. (a) Mostre que se A e ortogonal, então det(a) = +1 ou -1 (b) Dê exemplos que ilustrem os dois casos da alínea anterior (c) Mostre que se A é real, então não é possível ter AA t = Sejam A e B duas matrizes n n tais que AB + BA = 0. (a) Mostre que se n for ímpar pelo menos uma das matrizes A ou B é singular. (b) Mostre que se n for par existem matrizes A e B que satisfazem a identidade dada e não são singulares. (c) Mostre através de um exemplo que é possível ter A e B não nulas, sendo uma delas não singular Valores e vectores próprios Determine os valores e vectores próprios das seguintes matrizes 1 α (a) (b) (c) (d) (e) (f) (g) (h) (i) (j) (k) α β (l) (m) (n) Seja cos θ sin θ R θ = sin θ cos θ Determine os valores e vectores próprios de R θ Seja A =

6 6 (a) Determine os valores e vectores próprios de A. (b) Seja S uma matriz cujas colunas são formadas pelos vectores próprios de A. Determine S 1. (c) Calcule Λ = S 1 AS. (d) Utilize o resultado da alínea anterior para calcular A Para cada uma das seguintes matrizes determine, caso seja possível, uma matriz S que a diagonalize, ou seja, tal que S 1 AS seja diagonal. Em cada caso, indique a matriz diagonal correspondente. (a) A = Seja (b) A = A = (c) A = (a) Determine os valores e vectores próprios de A. (b) Verifique que é possível escolher três vectores próprios de A, v 1, v 2 e v 3 por forma a que sejam ortogonais dois a dois e que v i = 1, i = 1, 2, 3. (c) Seja M uma matriz que tem por colunas os vectores determinados na alínea anterior. Calcule M t M. O que pode conluir? (d) Indique uma matriz que diagonalize A, e a matriz diagonal correspondente Resolva o problema anterior para a matriz A = Mostre que a matriz J = não é diagonalizável, ou seja, que não existe uma matriz S, invertível, tal que Λ = S 1 JS é uma matriz diagonal. (Sugestão: qual deveria ser a matriz Λ se J fosse diagonalizável?) Seja A uma matriz n n tal que A k = 0 para algum inteiro positivo k. Mostre que os valores próprios de A são todos nulos Seja A uma matriz n n com valores próprios λ 1,..., λ n distintos dois a dois e tais que λ i < 1 para i = 1,..., n. O que pode dizer sobre lim k + Ak? E se para algum j se tiver λ j = 1? (mantendo se os restantes com módulo inferior a 1) E se λ j > 1 para algum j? Considere a equação { xn+1 = ax n, n = 1, 2,... (1) x 1 = b.

7 7 (a) Calcule os termos x 1,..., x 20 para diferentes pares de valores reais de a e b à sua escolha. (b) Determine a forma geral da solução do sistema (1). (c) Discuta em função de a e b quando é que a solução da equação converge para zero quando n tende para infinito, quando é não limitada e quando é limitada mas não converge para zero Considere a equação x n+2 = a 1 x n+1 + a 2 x n, n = 1, 2,... (2) x 1 = b 1 x 2 = b 2 (a) Calcule os termos x 1,..., x 20 para diferentes combinações de valores reais de (a 1, a 2 ) e (b 1, b 2 ) à sua escolha. Consegue identificar comportamentos diferentes dos observados no problema anterior? (b) Sendo v n = xn x n+1 escreva o sistema (2) na forma v n+1 = Av n, onde A é uma matriz 2 2. (c) Escreva o termo v n+1 em função de v 1. (d) Considere agora (a 1, a 2 ) = (0, 1/4). Determine a forma geral da solução do sistema (1). Qual o comportamento das soluções? (e) Resolva a alínea anterior nos seguintes casos: (i) (a 1, a 2 ) = (0, 1/4) (ii) (a 1, a 2 ) = (0, 1) (ii) (a 1, a 2 ) = ( 1, 5/2),

8 Funções de n variáveis. 2. Análise em R n Seja f : R 2 R a função definida por f(x, y) = 1 xy + x 2 + y 2. (a) Calcule f(1, 1), f(1, 1), f(2, 2) e f(1, 3). (b) Simplifique a expressão f(x, y) f(y, x). (c) Seja agora g 1 (x) = f(x, 1/x). Esboce o gráfico da função g 1. (d) Igual a (c), mas agora para g 2 (x) = f(x, x) Seja f : R 2 R a função definida por f(x, y) = (x y) 3 + x 4. (a) Simplifique as expressões f(x, x), f(x, y) f(y, x) e f(x, y) + f(y, x). (b) Esboce o gráfico da função f(1/x, 1/x) Determine o domínio de cada uma das seguintes funções (a) x y (b) e x/y (c) e 1/(x2 +y 2 ) (d) 1 x 2 y 2 (e) xy (f) x + y (g) log (1 + e xy ) (h) log ( x 2 y ) Discuta cada uma das seguintes funções quanto à continuidade: (a) e x2 y 2 (b) cos ( x 2 + y 2) (c) sin ( x 2 + y 2) (d) sin ( x 2 + y 2) ( ) x 2 + y 2 (e) tan π 2 + x 2 + y 2 (f) log ( 1 + x 2 + y 2) Esboce o gráfico de cada uma das funções do problema anterior Seja f : R 2 R a função definida para (x, y) (0, 0) por (a) Calcule o limite f(x, y) = xy x 2 + y 2. lim f(x, mx) x 0 para m real. (b) O que pode concluir quanto à existência de limite da função f no ponto (0, 0)? 2.2. Derivadas parciais e direccionais Para cada uma das funções indicadas, determine as derivadas parciais de primeira e segunda ordem. (a) x + 2y (b) x 2 y 2 (c) x 3 + x 2 y xy 2 + y 3 (d) x y (e) xy (f) x + y (g) x 2 y 2 (h) (x y) 5/2 (i) e xy (j) xe y (k) e x2 + e y2 (l) e (x+y)2 (m) e (x2 +y 2 ) (n) sin(x + 2y) (o) sin(x 2 + y 2 ) (p) e x sin y (q) log(1 + xy) (r) log(x + y) (s) log(xy) (t) log(x 2 y 2 )

9 Verifique que f xx + f yy é idêntico para todas as funções dadas: (a) f(x, y) = x 2 y 2, (b) f(x, y) = x 3 3xy 2 (c) f(x, y) = e x sin y (e) f(x, y) = x x 2 + y 2 (f) f(x, y) = arctan y x (g) f(x, y) = log ( x 2 + y 2) Calcule f x + f y + f z para (a) f(x, y, z) = (x y)(x z)(y z) (b) f(x, y, z) = x + x y y z Determine o gradiente das seguintes funções: (a) f(x, y) = 5x + 7y, (b) f(x, y) = 2x 4x 2 y + 6y 3 (c) f(x, y) = e xy (e) f(x, y) = e (x2 +y 2 ) (f) f(x, y) = log ( x 2 + y 2) (g) f(x, y) = x y Determine a derivada direccional D u f das funções do problema anterior no ponto (0, 0) para u = ( 2/2, 2/2) Seja f(x, y) = 3x 2 + 2y 2. (a) Determine o gradiente de f. (b) Determine D u f(x, y) para u = (cos θ, sin θ). (c) Calcule a direcção para a qual o crescimento da função é maior no ponto (1, 1). (d) Esboce as curvas de nível para a função f Extremos Determine e classifique os pontos de estacionaridade das seguintes funções: (a) x 2 + (y 2) 2 (b) x 2 y 2 (c) e (x 1)2 +(y+2) 2 (e) xy (f) log(1 + x 2 + y 2 ) (g) (x 2 + y 2 )e (x2 +y 2 ) (h) 8 x + x y + y (x, y > 0) (i) ex y (x 2 2y 2 ) (j) x 2 + xy + y 2 2x y (k) x 2 + y 2 + z 2 xy + x 2z (l) x 4 + y 4 + z 4 (m) 1 x 2 + y 2 + z Seja f(x, y) = x 2 + 2y 2. (a) Calcule g(x, y) = f(x, y). (b) Determine inf f (x, y) + γg(x, y). γ>0 (c) Seja (x 0, y 0 ) = (1, 1) e considere o processo iterativo seguinte: 1. γ k : inf γk >0 f (x k, y k ) + γ k g(x k, y k ) 2. (x k+1, y k+1 ) = (x k, y k ) + γ k g(x k, y k ) Calcule (x k, y k ) para k = 1, 2, 3. (d) Esboce as curvas de nível de f, indicando os pontos obtidos na alínea anterior Resolva o problema anterior para f(x, y) = x 3 + 3xy 2 15x 12y

10 Extremos condicionados Determine os extremos das seguintes funções sujeitos às restrições dadas: (a) f(x, y) = x 2 y 2, y + 2x = 1 (b) f(x, y) = xy, x + y = 1 (c) f(x, y) = x 2 y 2, x 2 + y 2 = 1 (d) f(x, y) = x 2 + y 2, xy = 1 (e) f(x, y) = 1 x 2 + y 2, xy = 1 (f) f(x, y) = ex y, x 2 y = 0 (g) f(x, y) = e x2 y 2, x 2 + 2y 2 1 (h) f(x, y) = log ( 1 + x 2 + y 2), x 2 + y 2 = Determine os extremos das seguintes funções sujeitos às restrições dadas: (a) f(x, y) = e x2 y 2, x 2 + 2y 2 1 (b) f(x, y) = log ( 1 + x 2 + y 2) x 2 + y 2 1 (c) f(x, y) = log ( 1 + x 2 + y 2), x 2 + y 2 1 (d) f(x, y) = x 2 + y 2, xy De entre todos os sectores circulares com um perímetro P 0 dado, determine o que tem a maior área De entre todos os sectores circulares com área A 0 dada, determine o que tem o menor perímetro De entre todos os paralelipípedos (rectângulos) com volume V 0 dado, determine o que tem a menor área Determine os extremos das seguintes funções lineares, sujeitos às restrições dadas: (a) f(x, y) = 2x + 3y, x 0 y 0 x + y 5 (b) f(x, y) = 5x 7y, x 0 y 0 x + 2y 3 (c) f(x, y) = x + 2y, y + 2x 0 y x 0 x 4 (d) f(x, y) = x 5y, y x 1 y 2x 1 x + y 5 (e) f(x, y, z) = x + 2y + 3z, x 0 y 0 z 0 x + y + z Uma fábrica produz peças de dois tipos, A e B, devendo produzir pelo menos 10 unidades do tipo A diariamente. Por outro lado, e por questões de armazenamento e de contratos de venda existentes, o número total de peças A produzidas diariamente deve ser pelo menos o dobro da produção diária de peças B, não devendo, por outro lado, exceder quatro vezes o número de peças deste tipo. Assuma ainda que a capacidade de produção total da fábrica não excede as 75 unidades diárias. (a) Assumindo que o lucro obtido por unidade produzida com as peças A é o dobro do obtido com as peças B, determine a produção diária que maximiza o lucro. (b) Resolva a alínea anterior, supondo agora que o lucro com as peças A é 90% do obtido com as peças B.

11 11 (c) Assuma agora que, por razões do esforço requerido aos trabalhadores na produção de peças do tipo A, esta deve ser limitada a 55 unidades por dia. Como se alteram as respostas às alíneas anteriores? 2.5. Série de Taylor Determine o desenvolvimento em série de potências de x das seguintes funções: (a) e 2x (b) e x (c) e x2 (d) e x2 /4 (e) ex 1 x (f) cos(3x) (g) cos( x) (h) cos 2 x (i) sin 2 x (j) x sin(3x) (k) sin x x (l) x (m) 1 1 x 2 (n) arctan x (o) log(1 + x) log(1 + x) (p) x (q) log(1 + x 2 ) Determine o desenvolvimento em série de potências de x das funções definidas pelos integrais: (a) x 0 e t2 dt (b) x 0 sin t t dt (c) x 0 log(1 + t) t Escreva os três primeiros termos diferentes de zero dos desenvolvimentos em série de potências de x das funções: (a) tan x (b) x 2 (c) x e t Para cada uma das alíneas do problema anterior, compare o gráfico da função dada e da aproximação obtida Considere a equação e x = x. (a) Justifique que a equação dada tem uma e uma só solução real. (b) Determine uma aproximação para essa solução utilizando os primeiros termos do desenvolvimento em série de e x em torno de x = 0. (c) Como pode melhorar a aproximação obtida na alínea anterior? Escreva o desenvolvimento em série de potências de x da função e ix, onde i denota a unidade imaginária, separando as partes real e imaginária da série obtida. O que pode concluir? Escreva os termos de grau inferior a três dos desenvolvimentos em série de potências de x e y das funções: (a) e xy (b) e x2 y 2 (c) e x cos y dt dt

12 Prova e traçado de soluções. 3. Equações diferenciais Verifique em cada caso se a função dada é ou não solução de cada uma das seguintes equações diferenciais: (a) ty (t) = 2y(t), y(t) = 5t 2 (b) ty (t) = 2y(t), y(t) = 3t 2 (c) ty (t) = 2y(t), y(t) = 5t 3 (d) y (t) = 1 y 2 (t), y(t) = sin t (e) y (t) = y 2 (t), y(t) = 1 t (f) y (t) = y 2 (t), y(t) = 1 t + 1 (g) y (t) = 2y(t), y(t) = e t (h) y (t) = 2y(t), y(t) = e 2t (i) y (t) = 2y(t) + t, y(t) = ce 2t 1 4 t 2 (c R) (j) y (t) = 2y(t) + t, Semelhante ao problema anterior, mas agora para as seguintes equações diferenciais de segunda ordem: y(t) = e 2t c t 2 (c R) (a) y (t) + 4y(t) = 0, y(t) = sin(2t) (b) y (t) + 4y(t) = 0, y(t) = cos(2t) (c) y (t) + 4y(t) = 0, y(t) = e 2t (d) y (t) + 4y(t) = 0, y(t) = e 2it (e) y (t) + y (t) 2y(t) = 0, y(t) = e 2t (f) y (t) + y (t) 2y(t) = 0, y(t) = e t (g) y (t) + y (t) 2y(t) = 0, y(t) = e t (h) y (t) 2y (t) + 2y(t) = 0, y(t) = e t cos(t) (i) y (t) 2y (t) + 2y(t) = 0, y(t) = e t sin(t) (j) y (t) 2y (t) + 2y(t) = 0, y(t) = e t Trace o gráfico de soluções do problema de valor inicial { y (t) = y(t) y(0) = y 0. para diferentes valores de y 0 e para t > Equações diferenciais separáveis Determine a solução geral de cada uma das equações diferenciais dadas (a) y (t) = ty(t) (b) ty (t) = y(t) (c) ty (t) = y 2 (t) (d) ty (t) = 2y 2 (t) (e) y (t) = y 3 (t) (f) y(t)y (t) = t (g) y (t) = 1 + y(t) (h) y (t) = 1 + y 2 (t) (i) y (t) = 1 y 2 (t) Equações diferenciais lineares Determine a solução geral de cada uma das equações diferenciais dadas (a) ty (t) y(t) = 0 (b) ty (t) 2y(t) = 0 (c) y (t) + ty(t) = 0 (d) y (t) ty(t) = e t2 /2 (e) y (t) ty(t) = t (f) y (t) + 2y(t) = e t (g) y (t) + 2y(t) = e 2t (h) ty (t) + y(t) = cos t (i) ty (t) + y(t) = t

13 Determine a solução de cada um dos seguintes problemas de valor inicial (a) y (t) 2ty(t) = 0 y(0) = 2 (b) y (t) 2ty(t) = 0 y(0) = Sejam y 1 e y 2 duas soluções da equação diferencial y (t) + a(t)y (t) + b(t)y(t) = 0. (a) Verifique que y(t) = c 1 y 1 (t) + c 2 y 2 (t) também é solução da equação diferencial dada. (b) Assumindo que y 1 (0) = y 2(0) = 0 e y 1(0) = y 2 (0) = 1, determine a solução y da equação dada que satisfaz a condição incial y(0) = 2 e y (0) = Equações diferenciais lineares de coeficientes constantes Determine a solução geral de cada uma das equações diferenciais: (a) y (t) + ay(t) = 0, (b) y (t) + 2y(t) = t (c) y (t) + y(t) = e 2t (d) y (t) + y(t) = 2 cos t, (e) y (t) + y(t) = e t (f) y (t) + y(t) = te 2t Determine a solução geral de cada uma das equações diferenciais: (a) y (t) y(t) = 0, (b) y (t) + 2y(t) = 0 (c) y (t) 5y (t) + 6y(t) = 0 (d) y (t) 2y (t) + 5y(t) = 0 (e) y (t) 4y (t) + 3y(t) = 0 (f) y (t) = Determine a solução geral de cada uma das equações diferenciais: (a) y (t) 4y(t) = e t, (c) y (t) 4y(t) = t (e) y (t) + 4y (t) + 3y(t) = t (g) y (t) + 4y (t) + 3y(t) = 3e 2t (i) y (t) + 9y(t) = t (k) y (t) + 9y(t) = e t (m) y (t) + 4y (t) + 4y(t) = e t (b) y (t) 4y(t) = sin t (d) y (t) 4y(t) = e 2t (f) y (t) + 4y (t) + 3y(t) = cos t (h) y (t) + 4y (t) + 3y(t) = e t (j) y (t) + 9y(t) = cos t (l) y (t) + 9y(t) = cos 3t (n) y (t) + 4y (t) + 4y(t) = e 2t Determine a solução geral de cada uma das equações diferenciais: (a) y (t) 4y(t) = e t + t, (c) y (t) + 4y (t) + 3y(t) = t 2 + sin t (e) y (t) 2y (t) + 5y(t) = t e 4t (b) y (t) 4y(t) = t sin t + e t sin t (d) y (t) + 9y(t) = e 2t + sin 3t (f) y (t) 2y (t) + 5y(t) = e t cos 2t + e t

14 Determine a solução dos problemas de valor inicial: { y (t) + 2y (t) 3y(t) = e t { y (t) 4y (t) + 5y(t) = sin t (a) (b) y(0) = 1, y (0) = 0 y(0) = 0, y (0) = 0 { y (t) + y (t) 2y(t) = e t { y (t) 4y (t) + 5y(t) = sin t (c) y(0) = 0, y (0) = 1 (d) y(0) = 1, y (0) = 1 { y (t) 2y (t) + 2y(t) = e t sin t { y (t) + 4y(t) = sin 2t (e) y(0) = 0, y (0) = 0 (f) y(0) = 0, y (0) = 0