EXERCÍCIOS DE ÁLGEBRA LINEAR. Prefácio 3. Parte 1. Sistemas de equações lineares 4. Parte 2. Matrizes 10. Parte 3.

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1 EXERCÍCIOS DE ÁLGEBRA LINEAR PEDRO MATIAS Conteúdo Prefácio 3 Parte 1. Sistemas de equações lineares 4 Parte 2. Matrizes 10 Parte 3. Determinantes 16 Parte 4. Geometria analítica 18 Parte 5. Espaços lineares 23 Parte 6. Transformações lineares 33 Parte 7. Valores próprios e vectores próprios 44 Bibliografia 47 1

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3 Prefácio Esta colectânea de exercícios pretende reunir num documento único as várias listas de exercícios utilizadas nas aulas práticas da disciplina de Álgebra Linear, leccionada por mim na Faculdade de Engenharia da Universidade Católica Portuguesa (FE UCP) durante os anos lectivos 2006/07 e 2007/08. Convém referir que a grande maioria dos exercícios foi retirada do livro Elementary Linear Algebra dos autores H. Anton e C. Rorres, o qual constitui a referência principal adoptada na disciplina. Sendo esta a primeira versão da colectânea, ela contém certamente algumas gralhas. O autor agradece que estas lhe sejam comunicadas, assim como está receptivo a todo o tipo de sugestões que permitam melhorar o documento. Pedro Matias pmatias@fe.lisboa.ucp.pt Faculdade de Engenharia, UCP Lisboa, 23 de Julho de

4 Parte 1. Sistemas de equações lineares 1. Diga, justificando, quais das seguintes equações são lineares: (a) x y 5z = 1 (b) 5x + xy z = 0 (c) x = π y w 3z (d) x y 5z = Determine a solução geral de cada uma das seguintes equações lineares: (a) 7x 5y = 3 (b) 3x 5y + 4z = 7 (c) 8x + 2y 5z + 6w = 1 (d) 3v 8w + 2x y + 4z = 0 3. Escreva a matriz aumentada correspondente a cada um dos seguintes sistemas de equações lineares (SELs): (a) (b) (c) 3x 1 2x 2 = 1 4x 1 + 5x 2 = 3 7x 1 + 3x 2 = 2 2x x 3 = 1 3x 1 x 2 + 4x 3 = 7 6x 1 + x 2 x 3 = 0 x 1 + 2x 2 x 4 = 1 3x 2 + x 3 = 2 x 3 + 7x 4 = 1 4. Escreva o SEL correspondente a cada uma das seguintes matrizes aumentadas: (a) (b) (c) [

5 5. Use o método de eliminação de Gauss para resolver cada um dos seguintes SELs: x 1 + x 2 + 2x 3 = 8 (a) x 1 2x 2 + 3x 3 = 1 3x 1 7x 2 + 4x 3 = 10 (b) (c) (d) (e) (f) (g) (h) 2x 1 + 2x 2 + 2x 3 = 0 2x 1 + 5x 2 + 2x 3 = 1 8x 1 + x 2 + 4x 3 = 1 x y + 2z w = 1 2x + y 2z 2w = 2 x + 2y 4z + w = 1 3x 3w = 3 2b + 3c = 1 3a + 6b 3c = 2 6a + 6b + 3c = 5 2x 1 3x 2 = 2 2x 1 + x 2 = 1 3x 1 + 2x 2 = 1 3x 1 + 2x 2 x 3 = 15 5x 1 + 3x 2 + 2x 3 = 0 3x 1 + x 2 + 3x 3 = 11 6x 1 4x 2 + 2x 3 = 30 4x 1 8x 2 = 12 3x 1 6x 2 = 9 2x 1 + 4x 2 = 6 10y 4z + w = 1 x + 4y z + w = 2 3x + 2y + z + 2w = 5 2x 8y + 2z 2w = 4 x 6y + 3z = 1 5

6 6. Use o método de eliminação de Gauss para resolver cada um dos seguintes (a) (b) (c) (d) (e) (f) SELs: { { 5x 1 2x 2 + 6x 3 = 0 2x 1 + x 2 + 3x 3 = 1 x 1 2x 2 + x 3 4x 4 = 1 x 1 + 3x 2 + 7x 3 + 2x 4 = 2 x 1 12x 2 11x 3 16x 4 = 5 2x 1 + x 2 + 3x 3 = 0 x 1 + 2x 2 = 0 x 2 + x 3 = 0 3x 1 + x 2 + x 3 + x 4 = 0 5x 1 x 2 + x 3 x 4 = 0 2x + 2y + 4z = 0 w y 3z = 0 2w + 3x + y + z = 0 2w + x + 3y 2z = 0 2x y 3z = 0 x + 2y 3z = 0 x + y + 4z = 0 7. Determine a solução geral dos SELs em função dos parâmetros a,b,c R. (a) { 2x + y = a 3x + 6y = 8. Considere o seguinte SEL: b (b) { x + 2y = 3 x 1 + x 2 + x 3 = a 2x 1 + 2x 3 = b αy = β 3x 2 + 3x 3 = c Determine os valores dos parâmetros α,β R que tornam o SEL (a) possível e determinado; (b) possível e indeterminado; (c) impossível. 6

7 9. Considere o seguinte SEL: x + 2y 3z = 4 3x y + 5z = 2 4x + y + (a 2 14)z = a + 2 Determine os valores do parâmetro a R que tornam o SEL (a) possível e determinado; (b) possível e indeterminado; (c) impossível. 10. Considere o seguinte SEL: ax + y z = 1 y + z = b x + 2y = 0 cx + 2y + 2z = b 1 (a) Determine os valores dos parâmetros a,b,c R que tornam o SEL (i) possível e determinado; (ii) possível e indeterminado; (iii) impossível. (b) Resolva o SEL para (a, b, c) = ( 1, 1, 0). 11. Diga, justificando, para que valores do parâmetro λ R o SEL { (λ 3)x + y = 0 tem soluções não triviais. 12. Mostre que o SEL x + (λ 3)y = 0 x + y + 2z = 2 2x y + 3z = 2 5x y + az = 6 é possível e determinado se e só se a 8. Determine a solução geral do SEL para a = Diga para que valores de α,β R o SEL x + y + z = 2 x y + z = 2 αx z = 2 3x + y + βz = 6 é possível e indeterminado. 7

8 14. Mostre que o SEL é possível se e só se a + b = c. x + y + 2z = a x + z = b 2x + y + 3z = c 15. A curva y = ax 2 + bx + c passa nos pontos (x 1,y 1 ), (x 2,y 2 ) e (x 3,y 3 ). Mostre que os coeficientes a,b,c R são solução do SEL 3 3 cuja matriz aumentada é x 2 1 x 1 1 y 1 x 2 2 x 2 1 y 2 x 2 3 x 3 1 y Determine quais das seguintes matrizes são em escada de linhas e/ou em escada de linhas reduzidas: (a) (b) (c) (d) [ [ (e) (f)

9 17. Aplique o método de eliminação de Gauss-Jordan para transformar a matriz na sua forma em escada de linhas reduzida. 18. Aplique o método de eliminação de Gauss de duas maneiras diferentes para mostrar que a matriz [ admite formas em escada de linhas distintas. 19. Mostre que, se ad bc 0, então a matriz em escada de linhas reduzida de [ a b c d é [ Use o exercício anterior para mostrar que o SEL { ax + by = k cx + dy = l é possível e determinado se ad bc 0. 9

10 Parte 2. Matrizes 1. Determine a matriz A de dimensão 6 6 e entradas a ij satisfazendo a condição especificada. Escreva as respostas na forma mais geral possível, colocando letras nas entradas não nulas. (a) a ij = 0 se i j (b) a ij = 0 se i > j (c) a ij = 0 se i < j (d) a ij = 0 se i j > 1 2. Determine a matriz B de dimensão 4 4 e entradas b ij satisfazendo a condição especificada. (a) b ij = i + j (b) b ij = i j 1 1 se i j > 1 (c) b ij = 1 se i j 1 3. Sejam A, B, C, D e E matrizes com as seguintes dimensões: A B C D E (4 5) (4 5) (5 2) (4 2) (5 4) Determine quais das seguintes operações estão bem definidas e, em caso afirmativo, determine a dimensão da matriz resultante. (a) BA (b) AC + D (c) AE + B (d)ab + B (e) E(A + B) (f) E(AC) (g) E T A (h) (A T + E)D 4. Considere as matrizes 3 0 [ [ A = 1 2, B =, C = D = , E = , 10

11 Verifique se as seguintes operações estão bem definidas e, em caso afirmativo, efectue o cálculo. (a) D + E (b) 5A (c) 2B C (d) 3(D + 2E) (e) tr(d 3E) (f) 2A T + C (g) D T E T (h) B T + 5C T (i) B B T (j) (2E T 3D T ) T (k) AB (l) BA (m) (AB)C (n) A(BC) (o) CC T (p) (DA) T (q) (C T B)A T (r) tr(4e T D) (s) tr(c T A T + 2E T ) (t) (2D T E)A (u) (4B)C + 2B (v) ( AC) T + 5D T (w) (BA T 2C) T (x) B T (CC T A T A) 5. Sejam A e B duas matrizes. (a) Mostre que, se AB e BA são operações bem definidas, então AB e BA são matrizes quadradas. (b) Mostre que, se A é uma matriz m n e A(BA) é uma operação bem definida, então B é uma matriz n m. 6. Considere as matrizes A = , B = e os escalares a = 4, b = 7. Mostre que:, C = (a) A + (B + C) = (A + B) + C (c) (a + b)c = ac + bc (e) a(bc) = (ab)c = B(aC) (g) (B + C)A = BA + CA (i) (A T ) T = A (k) (ac) T = ac T (b) (AB)C = A(BC) (d) a(b C) = ab ac (f) A(B C) = AB AC (h) a(bc) = (ab)c (j) (A + B) T = A T + B T (l) (AB) T = B T A T 11

12 7. Resolva a seguinte equação matricial: [ [ a b b + c = 3d + c 2a 4d Uma matriz quadrada A diz-se simétrica se A T = A e anti-simétrica se A T = A. Mostre que, se B é uma matriz quadrada, então (a) BB T e B + B T são simétricas. (b) B B T é anti-simétrica. 9. Mostre que, se A é uma matriz quadrada, então (A n ) T = (A T ) n para todo o n N. 10. Mostre que, se A é uma matriz quadrada e k R, então (ka) n = k n A n para todo o n N. 11. Mostre que, se A é uma matriz invertível e AB = AC, então B = C. 12. Sejam A e B duas matrizes quadradas com as mesmas dimensões. (a) Dê um exemplo onde (A + B) 2 A 2 + 2AB + B 2. (b) Complete a seguinte igualdade (A+B) 2 =, válida para todas as matrizes A e B. (c) Dê um exemplo onde (A + B)(A B) A 2 B 2. (d) Complete a seguinte igualdade (A + B)(A B) =, válida para todas as matrizes A e B. 13. Sejam A e B duas matrizes quadradas. Indique, justificando, se as seguintes afirmações são sempre verdadeiras ou às vezes falsas. (a) (AB) 2 = A 2 B 2 (b) (A B) 2 = (B A) 2 (c) (AB 1 )(BA 1 ) = I (d) AB BA 14. Supondo que todas as matrizes são quadradas e invertíveis, resolva a seguinte equação em ordem a D: ABC T DBA T C = AB T. 15. Considere as matrizes A = [ , B = [ a b c d. Determine a forma geral de B tal que (a) AB = (b) BA =

13 16. Condidere as matrizes [ 2 1 A = 2 3, B = [ Determine as matrizes C e D, ambas de dimensão 2 2, tais que (a) AC = B (b) DA = B 17. Diga, justificando, quais das seguintes matrizes são elementares. [ [ [ (a) (b) (c) (d) (e) (f) Determine uma operação elementar que transforma cada uma das seguintes matrizes elementares na matriz identidade respectiva [ (a) (b) (c) Considere as matrizes A = , B = , C = Encontre matrizes elementares E 1, E 2, E 3, e E 4 tais que (a) E 1 A = B; (b) E 2 B = A; (c) E 3 A = C; (d) E 4 C = A. 20. Considere a matriz A = [ (a) Encontre matrizes elementares E 1 e E 2 tais que E 2 E 1 A = I 2. (b) Escreva A 1 como o produto de duas matrizes elementares. (c) Escreva A como o produto de duas matrizes elementares. 13..

14 21. Considere a matriz B = (a) Encontre matrizes elementares E 1, E 2 e E 3 tais que E 3 E 2 E 1 B = I 3.. (b) Escreva B como o produto de matrizes elementares. 22. Determine, caso existam, as inversas das seguintes matrizes: [ [ (a) (b) (c) (d) (g) (j) (e) (h) (k) (f) (i) (l) Determine, caso existam, as inversas das seguintes matrizes: k k 1 k (a) 0 k k 3 0 (b) 0 0 k k (c) 1 k k 0, k 4 k k onde k 1, k 2, k 3, k 4 e k são parâmetros reais não nulos. 24. Mostre que, se C = a b c é uma matriz elementar, então ab = 0 e c Resolva a seguinte equação matricial: X =

15 26. Resolva os seguintes SELs a partir da inversão da matriz dos coeficientes. { x 1 + x 2 = 2 (a) 5x 1 + 6x 2 = 9 (b) (c) (d) { 4x1 3x 2 = 3 2x 1 5x 2 = 9 x 1 + 3x 2 + x 3 = 4 2x 1 + 2x 2 + x 3 = 1 2x 1 + 3x 2 + x 3 = 3 x 2y 3z = 0 w + x + 4y + 4z = 7 w + 3x + 7y + 9z = 4 w 2x 4y 6z = Considere as matrizes A = e x = (a) Mostre que a equação Ax = x pode escrever-se na forma (A I 3 )x = x 1 x 2 x 3. 0 e use este resultado para resolver a equação Ax = x. (b) Resolva a equação Ax = 4x. 28. Seja Ax = 0 um SEL n n homogéneo com solução única trivial. Mostre que o SEL homogéneo A k x = 0 também tem solução única trivial para todo o k N. 29. Sejam Ax = 0 um SEL n n homogéneo e Q uma matriz n n invertível. Mostre que Ax = 0 tem solução única trivial se e só se (QA)x = 0 tem solução única trivial. 15

16 Parte 3. Determinantes 1. Considere a matriz A = (a) Determine todos os menores de A. (b) Determine todos os cofactores de A. (c) Determine a matriz adjunta de A. (d) Use a alínea anterior para calcular A Repita o exercício anterior para a matriz B = Use a fórmula A 1 = 1 det(a) adj(a) para calcular a inversa das seguintes matrizes: (a) (b) (c) Mostre que a matriz A = cos θ sin θ 0 sin θ cos θ é invertível para todo o θ R e determine A Mostre que, se A é uma matriz cujas entradas são números inteiros e det(a) = 1, então A 1 é também uma matriz cujas entradas são números inteiros. 6. Mostre que a equação de uma recta no plano que passa nos pontos (a 1,b 1 ) e (a 2,b 2 ) pode escrever-se como x y 1 det a 1 b 1 1 = 0. a 2 b

17 7. Calcule o determinante das seguintes matrizes elementares sem recorrer à fórmula de Laplace (a) Sabendo que calcule d e f (a) det g h i a b c g h i (b) a b c det d e f = 6, g h a + g b + h c + i (c) det d e f 9. Considere a matriz A = Sabendo que det(a) = 7, calcule (a) det(3a); (b) det(a 1 ); (c) det(2a 1 ); (d) det((2a) 1 ); i (c) a 3b 3c (b) det d e f (d) det a b c d e f g h i. 4g 4h 4i 3a 3b 3c d e f g 4d h 4e i 4f 10. Determine os valores de k R que tornam as seguintes matrizes não invertíveis. [ k 3 2 (a) 2 k 2 (b) k Sejam A e B duas matrizes n n. Mostre que, se A é invertível, então det(b) = det(a 1 BA). 12. Mostre que uma matriz quadrada é invertível se e só se A T A é invertível. 17

18 Parte 4. Geometria analítica 1. Determine três números c 1,c 2,c 3 R tais que c 1 ( 3,1,2) + c 2 (4,0, 8) + c 3 (6, 1, 4) = (2,0,4). 2. Mostre que não existem c 1,c 2,c 3 R tais que c 1 ( 2,9,6) + c 2 ( 3,2,1) + c 3 (1,7,5) = (0,5,4). 3. Determine todos os números c 1,c 2,c 3 R tais que c 1 (1,2,0) + c 2 (2,1,1) + c 3 (0,3,1) = (0,0,0). 4. Sejam u, v e w três vectores arbitrários em R 2 ou R 3 e sejam α,β R. Mostre analiticamente que: (a) u + v = v + u; (b) (u + v) + w = u + (v + w); (c) u + 0 = 0 + u = u; (d) u + ( u) = 0; (e) α(βu) = (αβ)u; (f) α(u + v) = αu + αv; (g) (α + β)u = αu + βu; (h) 1u = u, Estas oito propriedades conferem aos espaços R 2 e R 3 a estrutura algébrica de espaço linear. 5. Mostre que αu = α u para todo o vector u em R 2 ou R 3 e todo o α R. 6. Sejam u = (2, 2,3), v = (1, 3,4) e w = (3,6, 4). Calcule (a) u + v (b) u + v (c) 2u + 2 u (d) 3u 5v + w 1 (e) w w 1 (f) w w 7. Determine todos os valores de α R tais que α( 1, 2, 5) = Mostre que u + v u + v para quaisquer vectores u,v em R 2 ou R 3. Esta desigualdade é conhecida por desigualdade triângular. 9. Mostre que, se v é um vector não nulo, então 1 18 v v é um vector unitário.

19 10. Use o resultado do exercício anterior para (a) encontrar um vector unitário com a mesma direcção do vector (3, 4). (b) encontrar um vector unitário com o sentido oposto ao vector ( 2,3, 6). 11. Calcule a projecção ortogonal do vector u no vector a, onde (a) u = (6,2), a = (3, 9) (b) u = (3,1, 7), a = (1,0,5) 12. Calcule proj a u, onde (a) u = (1, 2), a = ( 4, 3) (b) u = (3,0,4), a = (2,3,3) 13. Sejam u, v e w vectores arbitrários em R 2 ou R 3 e α R. Mostre as seguintes propriedades do produto interno: (a) u v = v u (b) u (v + w) = u v + u w (c) α(u v) = (αu) v = u (αv) (d) v v > 0 se v Considere os vectores u = (3,4), v = (5, 1) e w = (7,1). Calcule (a) u (7v + w) (b) (u v)w (c) u (v w) (d) ( u v) w 15. Mostre que os pontos A(3,0,2), B(4,3,0) e C(8,1, 1) são os vértices de um triângulo rectângulo. Determine em qual dos vértices se encontra o ângulo recto. 16. Considere os vectores p = (2,k) e q = (3,5). Determine o parâmetro k R tal que (a) p e q sejam paralelos. (b) p e q sejam perpendiculares. (c) o ângulo entre p e q seja π/3. (d) o ângulo entre p e q seja π/ Mostre que u + v 2 + u v 2 = 2 u v 2 para quaisquer vectores u,v em R 2 ou R 3. Esta equação é conhecida por lei do paraleologramo pois afirma que a soma dos quadrados dos comprimentos das diagonais do paralelogramo definido por u e v é igual à soma dos quadrados dos comprimentos dos lados do mesmo paralelogramo. 19

20 18. Mostre que u v = 1 4 u + v 2 1 u v 2 4 para quaisquer vectores u,v em R 2 ou R Considere os vectores u = (3,2, 1), v = (0,2, 3) e w = (2,6,7). Calcule (a) v w (b) u (v w) (c) (u v) w (d) (u v) (v w) (e) u (v 2w) (f) (u v) 2w 20. Sejam u, v e w vectores arbitrários em R 3 e seja α R. Mostre as seguintes propriedades do produto externo: (a) u (u v) = 0 (b) v (u v) = 0 (c) u v 2 = u 2 v 2 (u v) 2 (identidade de Lagrange) (d) u (v w) = (u w)v (u v)w (e) (u v) w = (u w)v (v w)u (f) u v = v u (g) u (v + w) = (u v) + (u w) (h) (u + v) w = (u w) + (v w) (i) α(u v) = (αu) v = u (αv) (j) u 0 = 0 u = 0 (k) u u = Simplifique a expressão (u + v) (u v). 22. Use o produto externo para encontrar o seno do ângulo entre os vectores u = (2,3, 6) e v = (2,3,6). 23. Seja u um vector com ponto de aplicação numa recta r e ponto extremidade num ponto P exterior à recta e seja v um vector director de r. Mostre que a distância de P a r é dada por d = u v. v Sugestão: use a identidade de Lagrange. 24. Use o resultado da alínea anterior para calcular a distância entre o ponto P( 3, 1, 2) e a recta que passa nos pontos A(1, 1, 0) e B( 2, 3, 4). 20

21 25. Sejam u e v dois vectores arbitrários em R 3 tais que u v 0. Mostre que tan θ = u v u v, onde θ é o ângulo entre u e v. 26. Determine uma equação geral do plano que passa nos pontos P( 4, 1, 1), Q( 2,0,1) e R( 1, 2, 3). 27. Determine se os seguintes planos são paralelos: (a) 4x y + 2z = 5 e 7x 3y + 4z = 8 (b) x 4y 3z 2 = 0 e 3x 12y 9z 7 = Determine se a recta r e o plano π são paralelos: (a) r : x = 5 4t, y = 1 t, z = 3 + 2t; π : x + 2y + 3z 9 = 0 (b) r : x = 3t, y = 1 + 2t, z = 2 t; π : 4x y + 2z = Determine se os seguintes planos são perpendiculares: (a) 3x y + z = 4 e x + 2z = 1 (b) x 2y + 3z 4 = 0 e 2x + 5y + 4z + 1 = Determine se a recta r e o plano π são perpendiculares: (a) r : x = 2 4t, y = 3 2t, z = 1 + 2t; π : 2x + y z = 5 (b) r : x = 2 + t, y = 1 t, z = 5 + 3t; π : 6x + 6y 7 = Encontre equações paramétricas para a recta que passa nos pontos (5, 2, 4) e (7,2, 4). 32. Encontre equações paramétricas para a recta que resulta da intersecção dos planos 7x 2y + 3z = 2 e 3x + y + 2z + 5 = Mostre que a recta de equações paramétricas x = 0, y = t, z = t (a) está contida no plano de equação 6x + 4y 4z = 0. (b) é paralela ao plano de equação 5x 3y + 3z = Determine uma equação geral para o plano que passa no ponto ( 2,1,7) e é perpendicular à recta x 4 = 2t, y + 2 = 3t, z = 5t. 35. Determine uma equação geral para cada um dos planos coordenados. 36. Determine a intersecção do plano 2x 3y + 4z + 7 = 0 com a recta x 9 = 5t, y + 1 = t, z 3 = t. 37. Determine uma equação geral para o plano que passa no ponto (2,4, 1) e contém a recta que resulta da intersecção dos planos x y 4z = 2 e 2x + y + 2z = Mostre que as rectas x = 3 2t, y = 4+t, z = 1 t e x = 5+2t, y = 1 t, z = 7 + t são paralelas e encontre uma equação geral para o plano que elas definem. 21

22 39. Determine uma equação geral para o plano que contém o ponto (1, 1,2) e a recta x = t, y = t + 1, z = 3 + 2t. 40. Mostre que o plano que intersecta os eixos coordenados em x = a, y = b e z = c tem equação geral x a + y b + z c = 1. 22

23 Parte 5. Espaços lineares 1. Determine quais dos seguintes conjuntos têm estrutura de espaço linear relativamente às operações algébricas dadas. (a) V = R 3 com as operações (x,y,z)+(x,y,z ) = (x+x,y +y,z +z ) e α(x,y,z) = (αx,y,z). (b) V = R 2 com as operações (x,y)+(x,y ) = (x+x,y+y ) e α(x,y) = (2αx,2αy). (c) V = {(x,0) R 2 x R} com as operações usuais de soma de vectores e multiplicação de vectores por números reais em R 2. (d) V = {(x,y) R 2 x 0)} com as operações usuais de soma de vectores e multiplicação de vectores por números reais em R 2. (e) V = {(x,...,x) R n x R} com as operações usuais de soma de vectores {[ e multiplicação de vectores } por números reais em R n. x 1 (f) V = M 2 2 x,y R com as operações usuais de soma 1 y de matrizes e multiplicação de matrizes por números reais. (g) V = {f F(R) f(1) = 0} com as operações usuais de soma de funções e multiplicação de funções por números reais. (h) V = {(1,y) R 2 y R} com as operações (1,y)+(1,y ) = (1,y+y ) e α(1,y) = (1,αy). (i) V = R + com as operações x + y = xy e αx = x α. 2. Mostre que o conjunto V = {[ x 1 1 y M 2 2 x,y R } com as operações [ x 1 1 y [ x y [ x 1 α 1 y [ = [ = x + x 1 1 y + y αx 1 1 αy é um espaço linear. Qual é o vector zero de V? 3. Considere o conjunto V = {[ x y z w } M 2 2 x,y,z,w R 23

24 com as operações [ x y [ x y [ x y [ x y z w + z w [ x y α z w = [ = z w αx αy αz αw z w. Determine, justificando, se V é um espaço linear. 4. Seja V um espaço linear real, u V e α R. Use os axiomas de espaço linear para mostrar que (a) 0u = 0 (b) α0 = 0 (c) ( 1)u = u (d) se αu = 0 então α = 0 ou u = 0 5. Mostre que qualquer recta em R 3 que passa na origem é um subespaço linear de R Mostre que qualquer plano em R 3 que passa na origem é um subespaço linear de R Determine quais dos seguintes conjuntos são subespaços lineares de R 3. (a) W = {(x,y,z) R 3 y = z = 0} (b) W = {(x,y,z) R 3 y = z = 1} (c) W = {(x,y,z) R 3 y = x + z} (d) W = {(x,y,z) R 3 y = x + z + 1} 8. Determine{[ quais dos seguintes conjuntos são subespaços } lineares de M 2 2. x y (a) W = M 2 2 x,y,z,w Z z w {[ } x y (b) W = M 2 2 x + y + z + w = 0 z w {[ } x y (c) W = M 2 2 xw yz = 0 z w {[ } x y (d) W = M 2 2 x,y,w R 0 w 9. Determine quais dos seguintes conjuntos são subespaços lineares de P 3. (a) W = {a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + a 3 x 3 P 3 a 0 = 0} (b) W = {a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + a 3 x 3 P 3 a 0 + a 1 + a 2 + a 3 = 0} (c) W = {a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + a 3 x 3 P 3 a 0,a 1,a 2,a 3 Z} (d) W = {a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + a 3 x 3 P 3 a 2 = a 3 = 0} 24

25 10. Determine quais dos seguintes conjuntos são subespaços lineares de F(R). (a) W = {f F(R) f(x) 0, x R} (b) W = {f F(R) f(0) = 2} (c) W = {f F(R) f(x) = k, onde k R} (d) W = {f F(R) f(x) = k 1 + k 2 sin(x), onde k 1,k 2 R} 11. Determine quais dos seguintes conjuntos são subespaços lineares de M n n. (a) W = {A M n n tr(a) = 0} (b) W = {A M n n A T = A} (c) W = {A M n n o SEL Ax = 0 admite só a solução trivial} (d) W = {A M n n AB = BA para uma matriz fixab M n n } 12. Mostre que o conjunto solução de um SEL m n não homogéneo Ax = b não é um subespaço linear de R n. 13. Considere o conjunto S = {(0, 2,2),(1,3, 1)}. Quais dos seguintes vectores são uma combinação linear de elementos de S? (a) (2,2,2) (b) (3,1,5) (c) (0,4,5) (d) (0,0,0) 14. Considere o conjunto S = {(2,1,4),(1, 1,3), (3, 2, 5)}. Escreva os seguintes vectores como uma combinação linear de elementos de S. (a) ( 9, 7, 15) (b) (6,11,6) (c) (0,0,0) (d) (7,8,9) 15. Considere o conjunto S = {2+x+4x 2,1 x+3x 2,3+2x+5x 2 }. Escreva os seguintes polinómios como uma combinação linear de elementos de S. (a) 9 7x 15x 2 (b) x + 6x 2 (c) 0 (d) 7 + 8x + 9x Considere o conjunto {[ [ [ } S =,, Determine quais das seguintes matrizes são uma combinação linear de elementos de S. [ [ [ [ (a) (b) (c) (d)

26 17. Determine se cada um dos seguintes conjuntos gera R 3. (a) S = {(2,2,2),(0,0,3),(0,1,1)} (b) S = {(2, 1,3),(4,1,2), (8, 1, 8)} (c) S = {(3,1,4),(2, 3,5), (5, 2, 9), (1,4, 1)} (d) S = {(1,2,6),(3,4,1),(4,3,1),(3, 3,1)} 18. Determine se o conjunto S = {1 x+2x 2,3+x,5 x+4x 2, 2 2x+2x 2 } gera P Considere o conjunto S = {(2,1,0,3),(3, 1,5, 2),( 1,0, 2, 1)}. Determine quais dos seguintes vectores pertencem ao conjunto Span(S). (a) (2,3, 7,3) (b) (0,0,0,0) (c) (1,1,1,1) (d) ( 4,6, 13,4) 20. Quais dos seguintes conjuntos são linearmente independentes? (a) S = {( 1,2,4),(5, 10, 20)} (b) S = {(3, 1),(4,5),( 4,7)} (c) S = {[ {3 2x + x 2,6 [ 4x + 2x 2 } } (d) S =, Quais dos seguintes conjuntos são linearmente dependentes? (a) S = {(3,8,7, 3),(1,5,3, 1),(2, 1,2, 6),(1,4,0,3)} (b) S = {(0,0,2,2),(3,3, 0, 0), (1,1, 0, 1)} (c) S = {(0,3, 3, 6),( 2,0,0, 6), (0, 4, 2, 2), (0, 8, 4, 4)} (d) S = {(3,0, 3,6),(0,2,3,1),(0, 2, 2, 0),( 2,1, 2, 1)} 22. Quais dos seguintes conjuntos são linearmente dependentes? (a) S = {2 x + 4x 2,3 + 6x + 2x 2,2 + 10x 4x 2 } (b) S = {3 + x + x 2,2 x + 5x 2,4 3x 2 } (c) S = {6 x 2,1 + x + 4x 2 } (d) S = {1 + 3x + 3x 2,x + 4x 2,5 + 6x + 3x 2,7 + 2x x 2 } 23. Determine todos os valores do parâmetro λ R que tornam o conjunto {( S = λ, 1 ) ( 2, 1, 1 ) 2 2,λ, 1, ( 12 )} 2, 12,λ linearmente dependente. 24. Determine quais dos seguintes conjuntos são bases de R 2. (a) {(2,1),(3,0)} (b) {(4,1),( 7, 8)} (c) {(0,0),(1,3)} 26

27 25. Determine quais dos seguintes conjuntos são bases de R 3. (a) {(1,0,0),(2,2,0), (3,3, 3)} (b) {(3,1, 4),(2,5,6), (1, 4, 8)} (c) {(2, 3,1),(4,1,1), (0, 7,1)} 26. Determine quais dos seguintes conjuntos são bases de P 2. (a) {1 3x + 2x 2,1 + x + 4x 2,1 7x} (b) {4 + 6x + x 2, 1 + 4x + 2x 2,5 + 2x x 2 } (c) {1 + x + x 2,x + x 2,x 2 } 27. Mostre que o conjunto {[ [ [ , , é uma base de M 2 2. [ 0 8, 12 4 } Explique porque é que os seguintes conjuntos não são bases dos respectivos espaços lineares. (a) {(1,2),(0,3),(2,7)} em R 2 (b) {( 1,3,2),(6,1,1)} em R 3 (c) {[ {1 + x + x 2,x [ 1} em P [ 2 [ [ } (d),,,, em M Para cada uma das alíneas, determine as coordenadas do vector w em relação à base B = {v 1,v 2 } de R 2. (a) w = (3, 7), v 1 = (1,0), v 2 = (0,1) (b) w = (1,1), v 1 = (2, 4), v 2 = (3,8) 30. Para cada uma das alíneas, determine as coordenadas do vector w em relação à base B = {v 1,v 2,v 3 } de R 3. (a) w = (2, 1,3), v 1 = (1,0,0), v 2 = (2,2,0), v 3 = (3,3,3) (b) w = (5, 12,3), v 1 = (1,2,3), v 2 = ( 4,5,6), v 3 = (7, 8,9) 31. Para cada uma das alíneas, determine as coordenadas do polinómio p(x) em relação à base B = {p 1 (x),p 2 (x),p 3 (x)} de P 2. (a) p(x) = 4 3x + x 2, p 1 (x) = 1, p 2 (x) = x, p 3 (x) = x 2 (b) p(x) = 2 x + x 2, p 1 (x) = 1 + x, p 2 (x) = 1 + x 2, p 3 (x) = x + x Determine as coordenadas da matriz [ 2 0 A = 1 3 em relação à base {[ [ [ [ } B =,,, M

28 33. Determine bases para cada um dos seguintes subespaços lineares de R 3 e indique as respectivas dimensões. (a) o plano 3x 2y + 5z = 0 (b) o plano x y = 0 (c) a recta x = 2t, y = t, z = 4t (d) todos os vectores da forma (x, y, z), onde y = x + z 34. Determine bases para cada um dos seguintes subespaços lineares de R 4 e indique as respectivas dimensões. (a) todos os vectores da forma (x, y, z, 0) (b) todos os vectores da forma (x,y,z,w), onde w = x + y e z = x y (c) todos os vectores da forma (x,y,z,w), onde x = y = z = w 35. Determine a dimensão do subespaço linear de P 3 formado por todos os polinómios da forma a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + a 3 x 3, onde a 0 = Determine uma base para o espaço de soluções dos seguintes SELs homogéneos e indique as respectivas dimensões. (a) (b) { x 1 + x 2 x 3 = 0 2x 1 x 2 + 2x 3 = 0 x 1 + x 3 = 0 3x 1 + x 2 + x 3 + x 4 = 0 5x 1 x 2 + x 3 x 4 = 0 (c) { x1 4x 2 + 3x 3 x 4 = 0 2x 1 8x 2 + 6x 3 2x 4 = 0 (d) (e) (f) x 1 3x 2 + x 3 = 0 2x 1 6x 2 + 2x 3 = 0 3x 1 9x 2 + 3x 3 = 0 2x 1 + x 2 + 3x 3 = 0 x 1 + 5x 3 = 0 x 2 + x 3 = 0 x 1 + x 2 + x 3 = 0 3x 1 + 2x 2 2x 3 = 0 4x 1 + 3x 2 x 3 = 0 6x 1 + 5x 2 + x 3 = 0 28

29 37. Determine bases para o espaço das linhas, espaço das colunas e núcleo de cada uma das seguintes matrizes A = C = E = B = D = Para cada uma das matrizes do exercício anterior, determine uma base para o espaço das linhas constituída unicamente por vectores das linhas das respectivas matrizes. 39. Determine uma base para os seguintes subespaços lineares de R 4. (a) W = Span{(1,1, 4, 3),(2,0, 2, 2),(2, 1,3,2)} (b) W = Span{( 1,1, 2,0),(3,3, 6,0), (9, 0, 0, 3)} (c) W = Span{(1,1,0,0),(0,0,1,1),( 2,0,2, 2),(0, 3, 0, 3)} 40. Considere os seguintes subespaços lineares de R 4 : U = Span{(1,0,1,1),( 3,3, 7, 1), ( 1, 3, 9, 3), ( 5, 3, 5, 1)}, V = Span{(1, 2,0,3),(2, 4, 0,6), ( 1, 1,2,0),(0, 1,2,3)}. (a) Determine um subconjunto dos geradores de U e V que formam uma base para cada um destes espaços lineares. (b) Escreva os restantes geradores como combinação linear dos vectores 41. Seja da base respectiva. A = e considere o sistema de coordenadas em R 3 definido pelos eixos dos xx, yy e zz. Mostre que o núcleo de A coincide com o eixo dos zz e o espaço das colunas de A coincide com o plano xy. 29

30 42. Use o exercício anterior para encontrar uma matriz 3 3 cujo núcleo coincida com o eixo dos xx e cujo espaço das colunas coincida com o plano yz. 43. Determine uma matriz 3 3 cujo núcleo seja (a) um ponto (b) uma recta (c) um plano (d) todo o espaço 44. Mostre que o conjunto formado pelos vectores linha de uma matriz n n invertível é uma base de R n. 45. Considere a seguinte tabela: Alíneas (a) (b) (c) (d) (e) (f) (g) Dimensão de A car(a) Para cada uma das alíneas, determine a dimensão de Lin(A), Col(A), Ker(A) e Ker(A T ). 46. Determine o valor máximo de car(a) e o valor mínimo de nul(a) se (a) A é uma matriz 4 4 (b) A é uma matriz 3 5 (c) A é uma matriz 5 3 (d) A é uma matriz m n 47. Determine a característica e a nulidade das seguintes matrizes. A = C = E = B = D =

31 48. Use os resultados obtidos no exercício anterior para verificar, em cada um dos casos, o teorema da dimensão para matrizes. 49. Considere a seguinte tabela: Alíneas (a) (b) (c) (d) (e) (f) (g) Dimensão de A car(a) car([a b) Para cada uma das alíneas, determine se o SEL Ax = b é possível. Em caso afirmativo, determine o número de parâmetros que aparecem na solução geral. 50. Seja Ax = b um SEL m n possível (determinado ou indeterminado) e seja x p uma solução particular. Mostre que qualquer solução do SEL Ax = b pode escrever-se na forma x = x p + x 0, onde x 0 é uma solução do correspondente SEL homogéneo Ax = Determine a solução geral dos seguintes SELs não homogéneos e use os resultados obtidos para escrever a solução geral dos respectivos SELs homogéneos. (a) (b) (c) (d) { x 1 3x 2 = 1 2x 1 6x 2 = 2 x 1 + x 2 + 2x 3 = 5 x 1 + x 3 = 2 2x 1 + x 2 + 3x 3 = 3 x 1 2x 2 + x 3 + 2x 4 = 1 2x 1 4x 2 + 2x 3 + 4x 4 = 2 x 1 + 2x 2 x 3 2x 4 = 1 3x 1 6x 2 + 3x 3 + 6x 4 = 3 x 1 + 2x 2 3x 3 + x 4 = 4 2x 1 + x 2 + 2x 3 + x 4 = 1 x 1 + 3x 2 x 3 + 2x 4 = 3 4x 1 7x 2 5x 4 = Seja A uma matriz 3 3 tal que Ker(A) é uma recta em R 3 que passa na origem. Diga, justificando, se Lin(A) e Col(A) podem ser ambos rectas em R 3 que passam na origem. 31

32 53. Considere o seguinte SEL 5 3: x 1 3x 2 = b 1 x 1 2x 2 = b 2 x 1 + x 2 = b 3 x 1 4x 2 = b 4 x 1 + 5x 2 = b 5 onde b 1,b 2,b 3,b 4,b 5 são parâmetros reais. Determine as condições que b 1,b 2,b 3,b 4,b 5 têm de satisfazer de forma a que o SEL seja possível. 54. Considere as seguintes matrizes: 1 1 α A = 1 α 1 α 1 1, B = α onde α R. Determine car(a) e car(b) em função de α. 55. Considere a seguinte matriz C = 0 r s 1 r onde r,s R. Determine car(c) em função de r,s. 56. Considere o seguinte SEL 3 3 homogéneo: x + y + αz = 0 x + αy + z = 0 αx + y + z = 0 onde α R. Determine os valores de α de forma a que a solução geral do SEL seja (a) a origem (b) uma recta (c) um plano (d) todo o espaço α, 32

33 Parte 6. Transformações lineares 1. Diga, justificando, quais das seguintes aplicações são transformações lineares. (a) T : R 2 R 2 dada por T(x 1,x 2 ) = (x 1 + 2x 2,3x 1 x 2 ) (b) T : R 3 R 2 dada por T(x 1,x 2,x 3 ) = (2x 1 x 2 + x 3,x 2 4x 3 + 1) (c) T : R 3 R dada por T(u) = u (d) T : R 3 R 3 dada por T(u) = u a, onde a R 3 está fixo (e) T : M 2 2 M 2 3 dada por T(A) = AB, onde B M 2 3 está fixa (f) T : M n n R dada por T(A) = tr(a) (g) F : M m n M n m dada por ([ F(A) = ) A T a b (h) T : M 2 2 R dada por T = 3a 4b + c d c d ([ ) a b (i) T : M 2 2 R dada por T = a 2 + b 2 c d (j) T : P 2 P 2 dada por T(a 0 +a 1 x+a 2 x 2 ) = a 0 +a 1 (x+1)+a 2 (x+1) 2 (k) T : P 2 P 2 dada por T(a 0 + a 1 x + a 2 x 2 ) = (a 0 + 1) + (a 1 + 1)x + (a 2 + 1)x 2 (l) T : F(R) F(R) dada por T(f(x)) = 1 + f(x) (m) T : F(R) F(R) dada por T(f(x)) = f(x + 1) 2. Sejam B = {v 1,v 2 } = {(1,1),(1,0)} uma base de R 2 e T : R 2 R 2 uma transformação linear tal que T(v 1 ) = (1, 2) e T(v 2 ) = ( 4,1). Determine uma fórmula para T(x 1,x 2 ). 3. Sejam B = {v 1,v 2 } = {( 2,1),(1,3)} uma base de R 2 e T : R 2 R 3 uma transformação linear tal que T(v 1 ) = (1, 2,0) e T(v 2 ) = (0, 3,5). Determine uma fórmula para T(x 1,x 2 ). 4. Sejam B = {v 1,v 2,v 3 } = {(1,1,1),(1,1,0),(1,0,0)} uma base de R 3 e T : R 3 R 3 uma transformação linear tal que T(v 1 ) = (2, 1,4), T(v 2 ) = (3,0,1) e T(v 3 ) = ( 1,5,1). Determine uma fórmula para T(x 1,x 2,x 3 ). 5. Sejam B = {v 1,v 2,v 3 } = {(1,2,1),(2,9,0),(3, 3, 4)} uma base de R 3 e T : R 3 R 2 uma transformação linear tal que T(v 1 ) = (1,0), T(v 2 ) = ( 1,1) e T(v 3 ) = (0,1). Determine uma fórmula para T(x 1,x 2,x 3 ). 6. Sejam v 1, v 2 e v 3 três vectores num espaço linear V e seja T : V R 3 uma transformação linear tal que T(v 1 ) = (1, 1,2), T(v 2 ) = (0,3,2) e T(v 3 ) = ( 3,1,2). Calcule T(2v 1 3v 2 + 4v 3 ). 33

34 7. Seja B = {v 1,...,v n } uma base num espaço linear V e seja T : V W uma transformação linear. Mostre que, se T(v 1 ) =... = T(v n ) = 0, então T é a transformação nula. 8. Seja B = {v 1,...,v n } uma base num espaço linear V e seja T : V V uma transformação linear. Mostre que, se T(v 1 ) = v 1,...,T(v n ) = v n, então T é a transformação identidade. 9. Recorde que, dada uma transformação linear T : V W, podemos representá-la matricialmente se fixarmos uma base B = {v 1,...,v n } no espaço de partida V e uma base C = {w 1,...,w m } no espaço de chegada W. A matriz T CB, de dimensão m n, cujas colunas são formadas pelos n vectores (T(v 1 )) C,...,(T(v n )) C R m diz-se a representação matricial de T em relação às bases ordenadas B e C. Esta matriz satisfaz a equação (T(v)) C = T CB (v) B, (1) para todo o v V. Seja T : P 2 P 3 a transformação linear definida por T(p(x)) = xp(x). (a) Determine a representação matricial de T em relação às bases canónicas de P 2 e P 3. (b) Verifique a fórmula (1). 10. Seja T : P 2 P 1 a transformação linear definida por T(a 0 + a 1 x + a 2 x 2 ) = (a 0 + a 1 ) (2a 1 + 3a 2 )x. (a) Determine a representação matricial de T em relação às bases canónicas de P 2 e P 1. (b) Verifique a fórmula (1). 11. Seja T : P 2 P 2 a transformação linear definda por T(a 0 + a 1 x + a 2 x 2 ) = a 0 + a 1 (x 1) + a 2 (x 1) 2. (a) Determine a representação matricial de T em relação à base canónica de P 2. (b) Verifique a fórmula (1). 12. Sejam B = {(1,1),( 1,0)} e T : R 2 R 2 a transformação linear definida por T(x 1,x 2 ) = (x 1 x 2,x 1 + x 2 ). (a) Determine a representação matricial de T em relação à base B. (b) Verifique a fórmula (1). 34

35 13. Seja T : R 2 R 3 a transformação linear definida por T(x 1,x 2 ) = (x 1 + 2x 2, x 1,0). (a) Determine a representação matricial de T em relação às bases B = {(1,3),( 2,4)} de R 2 e C = {(1,1,1),(2,2,0),(3,0,0)} de R 3. (b) Verifique a fórmula (1). 14. Seja T : R 3 R 3 a transformação linear definida por T(x 1,x 2,x 3 ) = (x 1 x 2,x 2 x 1,x 1 x 3 ). (a) Determine a representação matricial de T em relação à base B = {(1,0,1),(0,1,1), (1,1, 0)} de R 3. (b) Verifique a fórmula (1). 15. Seja T : M 2 2 M 2 2 a transformação linear definida por ([ ) [ a b 2c a + c T =. c d b 2c d (a) Determine a representação matricial de T em relação à base canónica de M 2 2. (b) Verifique a fórmula (1). 16. Seja S : M 2 2 M 2 2 a transformação linear definida por S(X) = X T. (a) Determine a representação matricial de S em relação à base canónica de M 2 2. (b) Verifique a fórmula (1). 17. Seja T : M 2 2 M 2 2 a transformação linear definida por [ [ T(X) = X + X (a) Determine a representação matricial de T em relação à base canónica de M 2 2. (b) Verifique a fórmula (1). 18. Seja T : P 2 P 2 a transformação linear definda por T(p(x)) = p(2x + 1). (a) Determine a representação matricial de T em relação à base canónica de P 2. (b) Use a matriz obtida na alínea (a) para calcular T(2 3x + 4x 2 ). (c) Verifique o resultado obtido na alínea (b) calculando directamente T(2 3x + 4x 2 ). 35

36 19. Seja T : P 2 P 3 a transformação linear definda por T(p(x)) = xp(x 3). (a) Determine a representação matricial de T em relação às bases canónicas de P 2 e P 3. (b) Use a matriz obtida na alínea (a) para calcular T(1 + x x 2 ). (c) Verifique o resultado obtido na alínea (b) calculando directamente T(1 + x x 2 ). 20. Sejam B = {(1,3),( 1,4)} uma base de R 2 e [ 1 3 T BB = 2 5 a representação matricial da transformação linear T : R 2 R 2 em relação à base B. (a) Determine (T(1,3)) B e (T( 1,4)) B. (b) Determine T(1, 3) e T( 1, 4). (c) Encontre uma fórmula para T(x 1,x 2 ). (d) Use a fórmula da alínea (c) para calcular T(1,1). 21. Sejam B = {(0,1,1,1),(2,1, 1, 1), (1, 4, 1,2),(6, 9, 4,2)}, C = {(0,8,8),( 7,8,1),( 6,9,1)} duas bases de R 4 e R 3, respectivamente e T CB = a representação matricial da transformação linear T : R 4 R 3 em relação às bases B e C. (a) Determine (T(0,1,1,1)) C, (T(2,1, 1, 1)) C, (T(1,4, 1,2)) C e (T(6,9,4,2)) C. (b) Determine T(0,1,1,1), T(2,1, 1, 1), T(1,4, 1,2) e T(6,9,4,2). (c) Encontre uma fórmula para T(x 1,x 2,x 3,x 4 ). (d) Use a fórmula da alínea (c) para calcular T(2,2,0,0). 22. Sejam B = {3x + 3x 2, 1 + 3x + 2x 2,3 + 7x + 2x 2 } uma base de P 2 e T BB =

37 a representação matricial da transformação linear T : P 2 P 2 em relação à base B. (a) Determine (T(3x+3x 2 )) B, (T( 1+3x+2x 2 )) B, (T(3+7x+2x 2 )) B. (b) Determine T(3x + 3x 2 ), T( 1 + 3x + 2x 2 ), T(3 + 7x + 2x 2 ). (c) Encontre uma fórmula para T(a 0 + a 1 x + a 2 x 2 ). (d) Use a fórmula da alínea (c) para calcular T(1 + x 2 ). 23. Mostre que, se T : V W é a transformação nula, então a representação matricial de T em relação a quaisquer bases de V e W é a matriz nula. 24. Mostre que, se T : V V é a transformação linear definida por T(v) = av, onde a R, então a representação matricial de T em relação a qualquer base de V é dada por a vezes a matriz identidade. 25. Seja T : V V a transformação linear definida por T(v 1 ) = v 2 T(v 2 ) = v 3 T(v 3 ) = v 4 T(v 4 ) = v 1, onde B = {v 1,v 2,v 3,v 4 } é uma base de V. Determine a matriz T BB. 26. Seja T : R 2 R 2 a transformação linear definida por T(x 1,x 2 ) = (x 1 2x 2, x 2 ) e sejam B = {(1,0),(0,1)} e B = {(2,1),( 3,4)} duas bases de R 2. (a) Determine a representação matricial de T em relação à base B. (b) Determine as matrizes de mudança de base P BB e P B B. (c) Use as duas alíneas anteriores para calcular a representação matricial de T em relação à base B. 27. Seja T : R 2 R 2 a transformação linear definida por T(x 1,x 2 ) = (x 1 + 7x 2,3x 1 4x 2 ) e sejam B = {(2,2),(4, 1)} e C = {(1,3),( 1, 1)} duas bases de R 2. (a) Determine a representação matricial de T em relação à base canónica C de R 2. (b) Determine as matrizes de mudança de base P CB e P CC. (c) Use as duas alíneas anteriores para calcular T CB. 28. Seja T : R 3 R 3 a transformação linear definida por T(x 1,x 2,x 3 ) = (x 1 + 2x 2 x 3, x 2,x 1 + 7x 3 ) 37

38 e sejam B = {(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)} e B = {(1,0,0),(1,1,0)(1, 1,1)} duas bases de R 3. (a) Determine a representação matricial de T em relação à base B. (b) Determine as matrizes de mudança de base P BB e P B B. (c) Use as duas alíneas anteriores para calcular a representação matricial de T em relação à base B. 29. Seja T : P 1 P 1 a transformação linear definida por T(p(x)) = p(x + 1) e sejam B = {6 + 3x,10 + 2x} e C = {2,3 + 2x} bases de P 1. (a) Determine a representação matricial de T em relação à base canónica C de P 1. (b) Determine as matrizes de mudança de base P CB e P CC. (c) Use as duas alíneas anteriores para calcular T CB. 30. Seja T : R 2 R 3 a transformação linear definida por T(1, 1) = 2(1,1,1) T(1,1) = (1,1,1) (1,1,0), onde B = {(1, 1),(1,1)} e C = {(1,1,1),(1,1,0), (1, 0, 0)} são bases de R 2 e R 3, respectivamente. (a) Determine a representação matricial de T em relação às bases B e C. (b) Determine a representação matricial de T em relação às bases canónicas de R 2 e R 3. (c) Calcule T(x 1,x 2 ). 31. Seja T : P 1 P 2 a transformação linear definida por T(p(x)) = p(x) + (1 + x 2 )p (x). (a) Determine a representação matricial de T em relação às bases canónicas de P 1 e P 2. (b) Use as matrizes de mudança de base apropriadas para calcular a representação matricial de T em relação às bases B = {2,3 + 2x} de P 1 e C = {1 + x,1 + x + x 2,1 x 2 } de P Caracterize as transformações lineares S T, onde (a) T(x,y) = (2x,3y) e S(x,y) = (x y,x + y) (b) T(x,y) = (x 3y,0) e S(x,y) = (4x 5y,3x 6y) (c) T(x,y) = (2x, 3y,x + y) e S(x,y,z) = (x y,y + z) (d) T(x,y,z) = (x y,y + z,x z) e S(x,y,z) = (0,x + y + z) 38

39 33. Sejam T : M 2 2 R e S : M 2 2 M 2 2 as transformações lineares definidas por T(A) = tr(a) e S(A) [ = A T, respectivamente. a b (a) Calcule (T S)(A), onde A =. c d (b) Diga, justificando, se é possível calcular (S T)(A). 34. Sejam T : P n P n e S : P n P n as transformações lineares definidas por T(p(x)) = p(x 1) e S(p(x)) = p(x + 1), respectivamente. Calcule (T S)(p(x)) e (S T)(p(x)). 35. Sejam T : V W uma transformação linear e k R. (a) Mostre que a aplicação kt : V W definida por (kt)(v) = kt(v) é uma transformação linear. (b) Calcule (3T)(x,y) sabendo que T : R 2 R 2 é dada por T(x,y) = (2x y,x + y). 36. Sejam T : V W e S : V W duas transformações lineares. (a) Mostre que a aplicação T + S : V W definida por (T + S)(v) = T(v) + S(v) é uma transformação linear. (b) Calcule (T + S)(x,y) sabendo que T : R 2 R 2 e S : R 2 R 2 são dadas, respectivamente, por T(x, y) = (2y, 3x) e S(x, y) = (y, x). 37. Sejam T : P 1 P 2 e S : P 2 P 2 as transformações lineares definidas por T(p(x)) = xp(x) e S(p(x)) = p(2x + 1), respectivamente. (a) Calcule (S T)(p(x)). (b) Use a fórmula da alínea (a) para calcular a representação matricial de S T em relação às bases canónicas de P 1 e P 2. (c) Determine a representação matricial de T em relação às bases canónicas de P 1 e P 2. (d) Determine a representação matricial de S em relação à base canónica de P 2. (e) Use os resultados obtidos nas alíneas (c) e (d) para verificar o resultado obtido na alínea (b). 38. Sejam T : P 1 P 2 e S : P 2 P 3 as transformações lineares definidas por T(a 0 +a 1 x) = 2a 0 3a 1 x e S(a 0 +a 1 x+a 2 x 2 ) = 3a 0 x+3a 1 x 2 +3a 2 x 3, respectivamente. (a) Calcule (S T)(a 0 + a 1 x). (b) Use a fórmula da alínea (a) para calcular a representação matricial de S T em relação às bases canónicas de P 1 e P 3. (c) Determine a representação matricial de T em relação às bases canónicas de P 1 e P 2. 39

40 (d) Determine a representação matricial de S em relação às bases canónicas de P 2 e P 3. (e) Use os resultados obtidos nas alíneas (c) e (d) para verificar o resultado obtido na alínea (b). 39. Seja T : R 2 R 2 a transformação linear definida por T(x,y) = (2x y, 8x + 4y). (a) Verifique se os vectores (1, 4), (5,0) e ( 3,12) pertencem a Ker(T). (b) Determine uma base para Ker(T). (c) Verifique se os vectores (5,10), (3,2) e (1,1) pertencem a Im(T). (d) Determine uma base para Im(T). (e) Verifique o teorema da dimensão para T. 40. Seja T : R 4 R 3 a transformação linear definida por T(x 1,x 2,x 3,x 4 ) = (4x 1 +x 2 2x 3 3x 4,2x 1 +x 2 +x 3 4x 4,6x 1 9x 3 +9x 4 ). (a) Verifique se os vectores (3, 8,2,0), (0,0,0,1) e (0, 4,1,0) pertencem a Ker(T). (b) Determine uma base para Ker(T). (c) Verifique se os vectores (0,0,6), (1,3,0) e (2,4,1) pertencem a Im(T). (d) Determine uma base para Im(T). (e) Verifique o teorema da dimensão para T. 41. Seja T : P 2 P 3 a transformação linear definida por T(p(x)) = xp(x). (a) Verifique se os polinómios p 1 (x) = x 2, p 2 (x) = 0 e p 3 (x) = 1 + x pertencem a Ker(T). (b) Determine uma base para Ker(T). (c) Verifique se os polinómios p 1 (x) = x + x 2, p 2 (x) = 1 + x e p 3 (x) = 3 x 2 pertencem a Im(T). (d) Determine uma base para Im(T). (e) Verifique o teorema da dimensão para T. 42. Seja T : V V a transformação linear definida por T(v) = 3v. Determine Ker(T) e Im(T). 43. Determine a nulidade de T em cada um dos casos seguintes: (a) T : R 5 R 7, onde car(t) = 3. (b) T : P 4 P 3, onde car(t) = 1. (c) T : R 6 R 3, onde Im(T) = R 3. (d) T : M 2 2 M 2 2, onde car(t) = 3. 40

41 44. Seja T : M n n R a transformação linear definida por T(A) = tr(a). Determine a dimensão de Ker(T). 45. Seja T : P 3 P 2 a transformação linear definida por T(p(x)) = p (x). Determine o núcleo de T. 46. Seja T : R 4 R 3 a transformação linear definida por T(e 1 ) = (1,2,1) T(e 2 ) = (0,1,0) T(e 3 ) = (1,3,0) T(e 4 ) = (1,1,1), onde {e 1,e 2,e 3,e 4 } é a base canónica de R 4. (a) Determine bases para Ker(T) e Im(T). (b) Indique a característica e a nulidade de T. 47. Seja T : M 2 2 M 2 2 a transformação linear definida por [ [ T(X) = X + X (a) Determine o núcleo e a imagem de T. (b) Determine a característica e a nulidade de T. 48. Use a informação dada para determinar se a transformação linear T é injectiva. (a) T : R m R m, onde nul(t) = 0 (b) T : R m R m, onde car(t) = m 1 (c) T : R m R n, onde n < m (d) T : R m R m, onde Im(T) = R m 49. Determine se a transformação linear T : P 2 P 2 definida por T(p(x)) = p(x + 1) é injectiva. 50. Seja A uma matriz n n tal que det(a) = 0. Diga, justificando, se a transformação matricial T : R n R n definida por T(x) = Ax é injectiva. 51. Indique se a transformação linear T é invertível e, em caso afirmativo, caracterize T 1. (a) T(x,y) = (5x + 2y,2x + y) (b) T(x,y,z) = (x + 5y + 2z,x + 2y + z, x + y) (c) T(x,y,z) = (x + z,y + z,x + y) (d) T(x,y) = (x 2y,2x 4y, 3x + 6y) (e) T(x,y,z,w) = (x + 3y + 5z + 7w,2x y + 2z + 4w, x + 3y) (f) T(x,y) = (4x 2y,x + 5y,5x + 3y) 41

42 52. Seja T : R n R n a transformação linear definida por T(x 1,...,x n ) = (a 1 x 1,...,a n x n ), onde a 1,...,a n são constantes reais. (a) Determine as condições que os coeficientes a 1,...,a n têm de satisfazer de forma a que T seja invertível. (b) Assumindo que essas condições se verificam, caracterize T Indique se a transformação linear T é invertível e, em caso afirmativo, caracterize T 1. (a) T(x 1,x 2,...,x n ) = (0,x 1,x 2,...,x n 1 ) (b) T(x 1,x 2,...,x n ) = (x n,x n 1,...,x 2,x 1 ) (c) T(x 1,x 2,...,x n ) = (x 2,x 3,x 4,...,x n,x 1 ) 54. Indique se a transformação linear T : M 2 2 M 2 2 é invertível e, em caso afirmativo, ([ ) caracterize [ T 1. a b a 0 (a) T = c d 0 d ([ ) [ a b a c (b) T = c d b d ([ ) [ a b d b (c) T = c d c a 55. Sejam T : R 2 R 2 e S : R 2 R 2 as transformações lineares definidas por T(x,y) = (x+y,x y) e S(x,y) = (2x+y,x 2y), respectivamente. (a) Mostre que T e S são injectivas. (b) Caracterize T 1, S 1 e (S T) 1. (c) Mostre que (S T) 1 = T 1 S Sejam T : P 2 P 3 e S : P 3 P 3 as transformações lineares definidas por T(p(x)) = xp(x) e S(p(x)) = p(x + 1), respectivamente. (a) Mostre que T e S são injectivas. (b) Caracterize T 1, S 1 e (S T) 1. (c) Mostre que (S T) 1 = T 1 S Seja T : P 1 R 2 a aplicação definida por T(p(x)) = (p(0),p(1)). (a) Calcule T(1 2x). (b) Mostre que T é uma transformação linear. (c) Mostre que T é injectiva. (d) Caracterize T Seja T : P 2 R 3 a aplicação definida por T(p(x)) = (p( 1),p(0),p(1)). (a) Calcule T(6 + 5x + x 2 ). (b) Mostre que T é uma transformação linear. 42

43 (c) Mostre que T é injectiva. (d) Caracterize T Seja T : R 2 R 2 a transformação linear definida por onde k é um parâmetro real. T(x,y) = (x + ky, y), (a) Mostre que T é injectiva para todo o k R. (b) Mostre que T 1 = T. 60. Mostre que, se V e W são espaços lineares tais que dim W < dim V, então não existem transformações lineares injectivas T : V W. 61. Mostre que, se V e W são espaços lineares tais que dim W > dim V, então não existem transformações lineares sobrejectivas T : V W. 62. Seja T : R 3 R 3 a transformação linear definida por T(x,y,z) = (x y,y x,x z). (a) Determine a representação matricial de T em relação à base B = {(1,0,1),(0,1,1), (1,1, 0)}. (b) Diga, justificando, se T é injectiva e, em caso afirmativo, determine a representação matricial de T 1 em relação à base B. 63. Seja T : P 4 P 4 a transformação linear definida por T(p(x)) = (2x + 1). (a) Determine a representação matricial de T em relação à base canónica de P 4. (b) Diga, justificando, se T é injectiva e, em caso afirmativo, determine a representação matricial de T 1 em relação à base canónica de P Sejam x 1, x 2 e x 3 três números reais fixos tais que x 1 < x 2 < x 3 e seja T : P 2 R 3 a aplicação definida por T(p(x)) = (p(x 1 ),p(x 2 ),p(x 3 )). (a) Mostre que T é uma transformação linear. (b) Mostre que T é injectiva. (c) Mostre que, T 1 (a,b,c) = ap 1 (x) + bp 2 (x) + cp 3 (x), onde p 1 (x) = (x x 2)(x x 3 ) (x 1 x 2 )(x 1 x 3 ), p 2 (x) = (x x 1)(x x 3 ) (x 2 x 1 )(x 2 x 3 ), p 3 (x) = (x x 1)(x x 2 ) (x 3 x 1 )(x 3 x 2 ). 43

44 Parte 7. Valores próprios e vectores próprios 1. Seja A uma matriz 6 6 com equação característica λ 2 (λ 1)(λ 2) 3 = 0. (a) Quais são os valores próprios de A? (b) Quais são as respectivas multiplicidades algébricas? (c) Quais são as possíveis dimensões dos espaços próprios de A? 2. Considere as matrizes [ [ [ A =, B =, C = (a) Determine os valores próprios de A, B e C. (b) Determine os espaços próprios de A, B e C associados a cada valor próprio. (c) Diga, justificando, se as matrizes A, B e C são diagonalizáveis e, em caso afirmativo, determine a matriz diagonalizante. 3. Considere as matrizes D = , E = (a) Determine os valores próprios de D, E e F., F = (b) Determine os espaços próprios de D, E e F associados a cada valor próprio. (c) Diga, justificando, se as matrizes D, E e F são diagonalizáveis e, em caso afirmativo, determine a matriz diagonalizante. 4. Considere as matrizes G = , H = (a) Determine os valores próprios de G e H. (b) Determine os espaços próprios de G e H associados a cada valor próprio. (c) Diga, justificando, se as matrizes G e H são diagonalizáveis e, em caso afirmativo, determine a matriz diagonalizante. 5. Mostre que, se A é uma matriz diagonalizável com matriz diagonalizante S, então A k = SD k S 1 para todo o k N, onde D é a matriz diagonal constituída pelos valores próprios de A. Sugestão: use o método de indução matemática. 44.