Lista 6: transformações lineares.

Transcrição

1 Lista 6: transformações lineares. 1) Diga, justificando, quais das seguintes funções constituem transformações lineares. a) T : R 2 R 2 tal que T (x 1, x 2 ) = (x 1 + x 2, 3x 1 x 2 ) b) T : R 2 R 2 tal que T (x 1, x 2 ) = (1 + x 2, 3x 1 1) c) T : R 3 R 2 tal que T (x 1, x 2, x 3 ) = (2x 1 x 2 + x 3, x 2 4x 3 ) d) T : R 3 R 3 tal que T (x 1, x 2, x 3 ) = (x 1 x 2 x 3, 3x 2 2, x 1 4x 3 ) e) T : R 3 R 2 tal que T (x 1, x 2, x 3 ) = (x 1 + x 2 x 3, 5x 2 2) f) T : R 3 R 2 tal que T (x 1, x 2, x 3 ) = (x 1 + 2x 3, x 2 x 3 ) g) T : R 2 R 3 tal que T (x 1, x 2 ) = (x 1 x 2, 3x 2, x 1 + 5x 2 ) 2) a) Sejam U e V espaços lineares reais e seja T : U V uma transformação linear. Mostre que T 0 = 0. b) Seja T : R 3 R 3 uma transformação linear definida por (x, y, z) (2x y, x, x + z), e considere o triângulo de vértices (1, 1, 1), ( 1, 1.1) e (0, 0, 0). Determine a imagem do triângulo através da transformação T. 3) Seja W um espaço linear e sejam v 1, v 2, v 3 vectores desse espaço. Considere uma transformação linear T : W R 3 tal que T (v 1 ) = (1, 1, 2), T (v 2 ) = (0, 3, 2), T (v 3 ) = ( 3, 1, 2) Calcule T (2v 1 3v 2 + 4v 3 ). 4) Seja a base B = {v 1, v 2 } de R 2, em que v 1 = ( 2, 1) e v 2 = (1, 3) e seja T : R 2 R 3 a transformação linear tal que: T (v 1 ) = ( 1, 2, 0) e T (v 2 ) = (0, 3, 5) Encontre a fórmula para T (x 1, x 2 ) e use-a para calcular T (2, 3). 5) Determine a matriz que representa cada uma das transformações lineares seguintes relativamente às bases canónicas. a) T (x 1, x 2 ) = (2x 1 x 2, x 1 + x 2 ) b) T (x 1, x 2 ) = (x 1, x 2 ) c) T (x 1, x 2, x 3 ) = (x 1 + 2x 2 + x 3, x 1 + 5x 2, x 3 ) 1/5

2 d) T (x 1, x 2, x 3 ) = (4x 1, 7x 2, 8x 3 ) e) T (x 1, x 2 ) = (x 2, x 1, x 1 + 3x 2, x 1 x 2 ) f) T (x 1, x 2, x 3, x 4 ) = (7x 1 + 2x 2 x 3 + x 4, x 2 + x 3, x 1 ) g) T (x 1, x 2, x 3 ) = (0, 0, 0, 0) h) T (x 1, x 2, x 3, x 4 ) = (x 4, x 1, x 3, x 2, x 1 x 3 ) 6) Seja T : R 2 R 2 a transformação linear definida por T (x 1, x 2 ) = (x 1 2x 2, x 1 + x 2 ) e seja B 1 = (v 1, v 2 ) a base ordenada de R 2 formada por v 1 = (1, 1) e v 2 = ( 1, 0). a) Determine a matriz A = M(T, B c (2), B c (2) ) que representa T relativamente à base canónica de R 2. b) Calcule a matriz B = M(T, B 1, B 1 ) que representa T relativamente à base B 1 no espaço de partida e no espaço de chegada. c) Relacione a matriz A com a matriz B através da matriz mudança de base. d) Calcule a imagem do vector v = (1, 1) através da transformação T, usando a matriz A. e) Calcule a imagem do vector v = (1, 1) através da transformação T, usando a matriz B. 7) Determine a matriz que representa cada transformação linear relativamente às bases canónicas e use-a para calcular as imagens seguintes: a) A reflexão de ( 1, 2) relativamente ao eixo dos xx e a reflexão do mesmo vector relativamente à recta x = y; b) A reflexão de (2, 5, 3) relativamente ao plano-xy e a reflexão do mesmo vector relativamente ao plano-yz; c) A projecção ortogonal de (2, 5) no eixo dos xx e a projecção ortogonal do mesmo vector no eixo dos yy; d) A projecção ortogonal de ( 2, 1, 3) sobre o plano-xy e a projecção ortogonal do mesmo vector no plano-xz; e) A rotação de (3, 4) em torno da origem no sentido contrário aos ponteiros do relógio (sentido positivo) por um ângulo de π/2 e a rotação do mesmo vector no mesmo sentido por um ângulo de π/6; 2/5

3 f) A rotação de ( 2, 1, 2) por um ângulo de π/2 no sentido positivo relativamente ao semi-eixo positivo dos zz; g) A rotação de ( 2, 1, 2) por um ângulo de π/4 no sentido positivo relativamente ao semi-eixo positivo dos yy. 8) Seja T : R 3 R 3 a transformação linear definida por: T (x 1, x 2, x 3 ) = (x 1 2x 2 + x 3, 5x 1 x 2 + 3x 3, 4x 1 + x 2 + 2x 3 ) a) Determine o núcleo e a imagem da transformação linear. b) Indique um vector de R 3 que não esteja na imagem da transformação. c) Verifique o teorema da dimensão. 9) Considere a transformação linear T : R 2 R 2 definida por: [ ] [ ] [ ] x 0 1 x T = y 1 0 y a) Determine os espaços próprios da transformação T. b) Determine os subespaços de R 2 que são invariantes para T. 10) Para as seguintes transformações lineares de R 3 em R 3, diga em que casos se tem T 1 T 2 = T 2 T 1. a) T 1 é a expansão por um número c (c > 1) e T 2 é a rotação de um ângulo θ no sentido positivo relativamente ao semi-eixo positivo dos zz. b) T 1 é a rotação de um ângulo θ 1 no sentido positivo em relação ao semieixo positivo dos xx e T 2 é a rotação de um ângulo θ 2 no sentido negativo relativamente ao semi-eixo positivo dos zz. 11) Para cada uma das seguintes transformações lineares T = T 2 T 1 de R 2 em R 2, determine,sempre que seja possível, os valores próprios e os espaços próprios. a) T 1 é a projecção ortogonal no eixo dos xx e T 2 é a reflexão relativa ao eixo dos yy. b) T 1 é a rotação em torno da origem de ângulo de π/2 radianos no sentido contrário ao dos ponteiros do relógio e T 2 é a rotação em torno da origem de um ângulo de π/4 radianos no sentido dos ponteiros do relógio. c) T 1 é a reflexão relativamente ao eixo dos xx e T 2 é a reflexão relativamente ao eixo dos yy. 3/5

4 12) Determine o núcleo e a imagem da transformação linear T 2 T 1, e determine uma expressão para (T 2 T 1 )(x, y). a) T 1 (x, y) = (2x, 3y) T 2 (x, y) = (x y, x + y). b) T 1 (x, y) = (2x, 3y, x + y) T 2 (x, y, z) = (x y, y + z). c) T 1 (x, y) = (x y, y + z, x z) T 2 (x, y, z) = (0, x + y + z). 13) Quais das seguintes transformações lineares T são isomorfismos? a) A projecção ortogonal de (x, y) R 2 no eixo dos xx. b) A reflexão de (x, y) R 2 relativamente à recta x = y. c) A projecção ortogonal de (x, y, z) R 3 sobre o plano-xy. d) A reflexão de (x, y, z) R 3 relativamente ao plano-yz. e) A rotação de (x, y, z) R 3 no sentido positivo por um ângulo de π/2 radianos relativamente ao semi-eixo positivo dos zz. 14) Em relação ao problema 13), considere as questões seguintes. a) Qual é a transformação linear inversa de cada um dos isomorfismos? b) Determine o núcleo e a imagem de cada uma das transformações. c) Nos casos das alíneas 13a) e 13c), mostre que se tem T T = T 2 = T. 15) Sejam T 1 : R 2 R 2 e T 2 : R 2 R 2 tais que T 1 (x, y) = (x + y, x y) T 2 (x, y) = (2x + y, x 2y). Mostre que a transformação linear T 2 T 1 é invertível, e determine a matriz que a representa. 16) Considere o espaço linear P 2 dos polinómios reais de variável real de grau menor ou igual a 2 e a transformação linear T : P 2 P 2 definida por onde f designa a derivada de f. f(t) 2f (t) f(t) a) Determine a matriz que representa a transformação linear T em relação à base ordenada canónica (1, t, t 2 ) de P 2. A transformação linear T é invertível? b) Encontre o polinómio p P 2 tal que (T p)(t) = (t + 1) 2, t R. 4/5

5 17) No espaço vectorial M 2 2 (R) das matrizes reais 2 2, considere as transformações lineares T 1 : M 2 2 (R) M 2 2 (R) T 2 : M 2 2 (R) M 2 2 (R) definidas por T 1 (A) = A + AT 2 T 2 (A) = A AT 2. a) Determine as matrizes que representam T 1 e T 2, respectivamente, relativamente à base canónica de M 2 2 (R) no espaço de partida e de chegada. ([ ]) ([ ]) b) Calcule T 1 e T c) Determine os valores próprios e os espaços próprios das transformações lineares T 1 e T 2. 18) Encontre uma matriz S ortogonal, que é diagonalizante relativamente a A, e calcule S 1 AS. [ ] [ ] (a) A = (b) A = (c) A = (d) A = (e) A = ) Em relação ao problema anterior, considere que cada uma das matrizes representa uma transformação linear relativamente à base canónica apropriada. Relacione cada uma das matrizes com a matriz diagonal correspondente através da matriz de mudança de base. 5/5