Álgebra Linear e Geometria Anaĺıtica. Matrizes e Sistemas de Equações Lineares

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1 universidade de aveiro departamento de matemática Álgebra Linear e Geometria Anaĺıtica Agrupamento IV (ECT, EET, EI) Capítulo 1 Matrizes e Sistemas de Equações Lineares

2 Geometria anaĺıtica em R 3 [1 01] Fixamos um sistema de coordenadas: z O origem Ox Oy Oz eixos coordenados O y xoy xoz yoz planos coordenados x

3 Pontos e vetores em R 3 [1 02] x 1, x 2, x 3 coordenadas do ponto P z Associamos ao segmento de reta orientado OP o vetor X = x 1 x 2 x 3 y 1, y 2, y 3 coordenadas do ponto Q e seja Y o vetor associado a OQ Ao segmento de reta orientado P Q fica associado o vetor Z = x 1 x x 3 O X P Y x 2 Z Q y y 1 x 1 y 2 x 2 y 3 x 3

4 Adição, multiplicação por escalar e combinação linear [1 03] Sejam X e Y vetores em R 3 e α, β R escalares X Y Adição: Z = X + Y = x 1 x 2 + y 1 y 2 x 3 y 3 Multiplicação por escalar: αx = α x 1 + y 1 = x 2 + y 2 x 3 + y 3 x 1 x 2 αx 1 = αx 2 2X Z=X+Y Y X Y = ( 1)Y x 3 αx 3 αx 1 + βy 1 Combinação linear: Z = αx + βy = αx 2 + βy 2 αx 3 + βy 3 2X Z=2X Y Y

5 Vetores em R n [1 04] Os vetores em R 2 e R 3 generalizam-se a vetores em R n : X = x 1 x 2 x n R n Chamam-se componentes do vetor X aos números reais x 1, x 2,, x n Operações em R n adição de vetores: X + Y + Z multiplicação de um vetor por um escalar: 2X, Y, αz combinação linear de vetores: 2X Y + αz

6 Matrizes em R m R n [1 05] Os vetores em R n generalizam-se a vetores em R m R n a que chamamos MATRIZES A = a 11 a 1j a 1n a i1 a ij a in a m1 a mj a mn A é uma matriz com m linhas e n colunas, tem m n elementos diz-se matriz m n, de ordem m n, de dimensão m n

7 Matriz m n [1 06] A = a 11 a 1j a 1n a i1 a ij a in linha i a m1 a mj a mn coluna j a ij é o elemento ou entrada (i, j) da matriz A Notação abreviada: A = A m n = [a ij ] m n = [a ij ]

8 Matriz nula, matriz coluna e matriz linha [1 07] Matriz nula (m n), cujas entradas são todas iguais a 0, denota-se por O (ou O m n ) Matriz linha (1 n) [ a 11 a 1j a 1n ] Matriz coluna (m 1) a 11 a i1 a m1

9 Matriz quadrada de ordem n [1 08] matriz com o mesmo número de linhas e de colunas A = a 11 a 1i a 1n a i1 a ii a in a n1 a ni a nn diagonal principal

10 Matriz diagonal e matriz identidade [1 09] Uma matriz quadrada A = [a ij ] diz-se diagonal se a ij = 0, i j, ou seja, A = a a ii a nn Chama-se a matriz identidade de ordem n e denota-se por I (ou I n ) a uma matriz diagonal n n com a 11 = = a nn = 1

11 Matriz triangular [1 10] Uma matriz quadrada A = [a ij ] é triangular superior se a ij = 0, para i > j: a 11 a 1i a 1n A = 0 a ii a in, 0 0 a nn triangular inferior se a ij = 0, para i < j

12 Transposta de uma matriz [1 11] A transposta da matriz m n A = [a ij ] é a matriz n m A T = [a ji ] obtida por troca da posição relativa das linhas pelas colunas da matriz A, por exemplo A = a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 A T = a 11 a 21 a 12 a 22 a 13 a 23 Propriedade: (A T ) T = A Uma matriz A diz-se simétrica se A = A T (Nota: toda a matriz simétrica é quadrada)

13 Igualdade, adição e multiplicação por escalar de matrizes [1 12] Sejam A = [a ij ], B = [b ij ] matrizes m n e α R As matrizes A e B são iguais, A = B, se a ij = b ij, i = 1,, m, j = 1,, n A soma de A e B é a matriz m n A + B = C = [c ij ] tal que c ij = a ij + b ij, i = 1,, m, j = 1,, n O produto de A pelo escalar α é a matriz m n αa = D = [d ij ] tal que d ij = α a ij, i = 1,, m, j = 1,, n A matriz m n A é uma combinação linear das matrizes A 1,, A k m n se A = α 1 A α k A k, α 1,, α k R

14 Propriedades da adição e da multiplicação por escalar [1 13] Propriedades da adição de matrizes comutativa: A + B = B + A, associativa: (A + B) + C = A + (B + C), admite elemento neutro: A + O = O + A = A, A possui simétrico aditivo: A + ( A) = ( A) + A = O, (A + B) T = A T + B T, para quaisquer matrizes m n A, B, C Propriedades da multiplicação por escalar de matrizes associativa: α (β A) = (α β) A, distributiva: (α + β) A = α A + β A, distributiva: α(a + B) = α A + α B, (αa) T = α A T, para quaisquer matrizes m n A, B, e α, β R

15 Multiplicação de matrizes caso 1 [1 14] Multiplicação de uma matriz linha por uma matriz coluna Dadas A = [a 1 a 2 a n ] e B = b 1 b 2 b n o produto da matriz linha A pela matriz coluna B é A B = a 1 b 1 + a 2 b a n b n = n a i b i i=1 Operação bem definida só se A e B possuem igual número de elementos!

16 Multiplicação de matrizes caso 2 [1 15] Caso geral: multiplicação de A matriz m n e B matriz n p sendo A = a 11 a 1j a 1n a i1 a ij a in e B = b 11 b 1j b 1p b i1 b ij b ip a m1 a mj a mn b n1 b nj b np o produto de A por B é a matriz m p AB = [c ij ] cuja entrada (i, j) resulta da multiplicação da linha i de A pela coluna j de B: c ij = a i1 b 1j + + a in b nj, i = 1,, m, j = 1,, p

17 Propriedades da multiplicação de matrizes [1 16] associativa: (AB)C = A(BC), distributiva à esquerda e à direita, em relação à adição: (A + Ã)B = AB + ÃB e A(B + B) = AB + A B, admite elemento neutro à esquerda e à direita: I m A = A = AI n, (αa)b = α (AB) = A(αB), (AB) T = B T A T, para quaisquer matrizes A, Ã m n, B, B n p, C p q e α R Nota importante: A multiplicação de matrizes não é comutativa!

18 Potência de uma matriz quadrada [1 17] Sejam A uma matriz n n e p N A potência p de A é a matriz n n dada por em que A 0 = I n, por convenção A p = A A p 1, Propriedades da potência de matrizes (A p ) q = A pq A p A q = A p+q Nota: Em geral (AB) p A p B p

19 Sistema de m equações lineares com n incógnitas [1 18] a 11 x a 1n x n = b 1 a m1 x a mn x n = b m A = a 11 a 1n X = x 1 B = b 1 a m1 a mn x n b m matriz dos coeficientes coluna das incógnitas coluna dos termos independentes

20 Forma matricial de um sistema linear [1 19] a 11 x a 1n x n = b 1 AX = B, a m1 x a mn x n = b m em que A é a matriz (m n) dos coeficientes do sistema, X é a coluna (n 1) das incógnitas, B é a coluna (m 1) dos termos independentes e a 11 a 1n b 1 M = [ A B ] = a m1 a mn b m é dita a matriz ampliada, aumentada ou completa m (n + 1) do sistema

21 Matriz escalonada por linhas [1 20] A primeira entrada não nula de cada linha é designada por pivot 0 a a a 3, a 1, a 2, a 3, = Abaixo de cada pivot só ocorrem zeros, Dadas duas linhas não nulas consecutivas, o pivot da linha i + 1 está numa coluna à direita da coluna que contém o pivot da linha i, As linhas nulas, caso existam, ocorrem só na parte inferior da matriz

22 Matriz escalonada por linhas reduzida [1 21] A matriz está na forma escalonada por linhas, Os pivots são todos iguais a 1, Acima de cada pivot só ocorrem zeros

23 Operações elementares nas linhas de uma matriz [1 22] 1 Troca da posição relativa de duas linhas, pe i e j: L i L j 2 Multiplicação de uma linha, pe i, por um escalar α 0: L i := α L i 3 Substituição de uma linha, pe i, pela que dela se obtém adicionando-lhe outra linha, pe j, multiplicada por um escalar β R: L i := L i + β L j Matrizes equivalentes por linhas Duas matrizes A e C são equivalentes por linhas e escreve-se A C se C resulta de A por aplicação de uma sequência finita de operações elementares nas linhas de A

24 Obtenção de uma matriz escalonada por linhas (reduzida) 1 [1 23] Teorema Toda a matriz m n é equivalente por linhas a uma matriz escalonada por linhas (reduzida) Exemplo ilustrativo do teorema anterior Passo 1: Encontrar, na 1 a coluna não nula, o 1 o elemento não nulo pivot A =

25 Obtenção de uma matriz escalonada por linhas (reduzida) 2 [1 24] Passo 2: Trocar linhas para colocar o pivot como 1 o elemento da coluna L 1 L 3 Passo 3: Operar com as linhas para obter zeros abaixo do pivot L 4 := L 4 L 1

26 Obtenção de uma matriz escalonada por linhas (reduzida) 3 [1 25] Passo 4: Considerar a submatriz que se obtém eliminando a 1 a linha e aplicar os passos 1 a 4 até esgotar as linhas Fim Passo 4: Obtém-se uma matriz escalonada por linhas equivalente a A

27 Obtenção de uma matriz escalonada por linhas (reduzida) 4 [1 26] Passo 5: Multiplicar as linhas não nulas pelos inversos dos pivots de modo a obter pivots iguais a L 1 := 1 2 L 1 L 2 := 1 2 L 2 L 3 := 1 2 L 3

28 Obtenção de uma matriz escalonada por linhas (reduzida) 5 [1 27] Passo 6: Operar com as linhas de modo a obter zeros acima dos pivots L 2 := L L 3 L 1 := L 1 L 2 L 1 := L L Obtém-se uma matriz escalonada por linhas reduzida equivalente a A

29 Aplicação à resolução de sistemas [1 28] Teorema Se as matrizes ampliadas de dois sistemas lineares são [ A B ] e [ C D ], tais que [ A B ] [ C D ], então os dois sistemas têm o mesmo conjunto de soluções Nota: Se B = D = 0, basta que A C para que os sistemas possuam o mesmo conjunto de soluções

30 Métodos de eliminação [1 29] Método de eliminação de Gauss 1 Dado o sistema AX = B, formar a sua matriz ampliada [ A B ] 2 Transformar [ A B ] numa forma escalonada por linhas [ C D ] 3 Escrever o sistema CX = D, ignorando as linhas nulas, e resolver por substituição ascendente Método de eliminação de Gauss-Jordan 1 Dado o sistema AX = B, formar a sua matriz ampliada [ A B ] 2 Transformar [ A B ] numa forma escalonada por linhas reduzida [ E F ] 3 Escrever o sistema EX = F, ignorando as linhas nulas, e resolver

31 Classificação de sistemas [1 30] Um sistema linear representado matricialmente por AX = B, tal que [ A B ] [ C D ], com a matriz [ C D ] escalonada por linhas, classifica-se em impossível se não possui solução; possível e determinado se possui uma única solução (todas as colunas de C têm pivot e não há pivot na coluna D); possível e indeterminado se possui uma infinidade de soluções (sendo o grau de indeterminação do sistema = n o de incógnitas livres = n o de colunas de C sem pivot)

32 Caraterística e classificação de sistemas [1 31] A caraterística da matriz A, car(a), é o número de pivots de uma matriz C escalonada por linhas equivalente, por linhas, a A O sistema linear AX = B com A m n e B m 1 é 1 impossível car(a) < car([a B]); 2 possível e determinado car(a) = car([a B]) = n; 3 possível e indeterminado de grau n car(a) car(a) = car([a B]) < n

33 Espaço das colunas de uma matriz [1 32] O espaço das colunas de uma matriz A m n, C(A), é o conjunto de todas as combinações lineares das colunas C 1,, C n de A, C(A) = { α 1 C α n C n, α 1,, α n R} Se X = [α 1 α n ] T, então AX = α 1 C α n C n, logo C(A) = {AX R m : X R n } Teorema Dada A m n e B m 1, temos B C(A) AX = B é um sistema possível

34 Espaço das linhas de uma matriz [1 33] O espaço das linhas de uma matriz A m n, L(A), é o conjunto de todas as combinações lineares das colunas L T 1,, LT m que resultam da transposta das linhas L 1,, L m de A, L(A) = { α 1 L T α ml T m, α 1,, α m R} Proposição Se A C, então L(A) = L(C) Como L(A) = C(A T ), temos B L(A) A T X = B é um sistema possível

35 Sistema homogéneo e nulidade [1 34] Um sistema diz-se homogéneo se os termos independentes são todos nulos: A X = 0 Todo o sistema homogéneo é possível pois possui pelo menos a solução nula, dita solução trivial Se A é m n e m < n, então AX = 0 admite uma solução não trivial A nulidade de A, nul(a), é o número de incógnitas livres do sistema AX = 0, nul(a) = n car(a)

36 Espaço nulo de uma matriz [1 35] O espaço nulo de A, N (A), é o conjunto de todas as soluções do sistema homogéneo associado a A m n, N (A) = {X R n : AX = 0} O espaço nulo de A, N (A), pode escrever-se como o conjunto de todas as combinações lineares de n car(a) colunas obtidas usando colunas da forma escalonada reduzida de A Teorema Dada A m n e B m 1, se o sistema AX = B é possível e se X é uma sua solução, então o conjunto de soluções do sistema é {X + Y : Y N (A)}

37 Inversa de uma matriz quadrada [1 36] Uma matriz A n n diz-se invertível se existe B n n tal que A B = B A = I n À única matriz B satisfazendo a relação anterior chama-se inversa de A e denota-se por A 1 Caso contrário (não existe B), A diz-se singular ou não invertível Teorema Se A n n é invertível, então a inversa de A é única Teorema Se A, B n n e B A = I n, então A B = I n

38 Propriedades da inversa e método para obter a inversa [1 37] Propriedades 1 (A 1 ) 1 = A; 2 (AB) 1 = B 1 A 1 ; 3 (A T ) 1 = (A 1 ) T ; para quaisquer A, B n n invertíveis Método prático para determinar a inversa [A I n ] [I n A 1 ] método de eliminação de Gauss-Jordan Teorema Uma matriz A n n é invertível se e só se A é equivalente por linhas a I n

39 Critérios de invertibilidade de uma matriz [1 38] Teorema Dada A n n, são equivalentes as afirmações 1 A é invertível 2 A I n 3 car(a) = n 4 nul(a) = 0 5 AX = B tem uma única solução X = A 1 B para cada B n 1 6 AX = 0 possui apenas a solução trivial 7 C(A) = R n 8 L(A) = R n 9 N (A) = {0}

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