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1 1 Universidade de São Paulo/Faculdade de Educação Seminários de Ensino de Matemática (SEMA-FEUSP) Coordenador: Nílson José Machado novembro/2010 Instabilidade em Sistemas de Equações Lineares Marisa Ortegoza da Cunha Dizemos que um problema é estável, ou bem-condicionado, quando pequenos erros nos dados de entrada provocam erros também pequenos, nos dados de saída; não nos afastamos muito da solução correta. Por outro lado, um problema é dito ser mal-condicionado, quando pequenas perturbações nos dados de entrada acarretam grandes alterações nos resultados. O problema mal condicionado amplifica erros iniciais. Num sistema de equações lineares (AX = B), os dados de entrada são a matriz A dos coeficientes e o vetor independente B e o dado de saída é o vetorsolução X, e sabemos que um sistema de n equações lineares, a n incógnitas (ou seja, no caso em que A é uma matriz quadrada), possui solução única se, e somente se, o determinante da matriz A é diferente de zero. Vejamos os exemplos abaixo: 10 a) Se A = e B= 23, como det A = 1, o sistema AX=B é determinado e sua solução única é o vetor 1 1. (A verificação é imediata.) 1 1

2 2 321, b) Mantendo A e considerando B = 229, 331, 309,, o sistema AX = B possui solução 9, 2 única 126,. 4, 11, (De fato: 10.9,2 + 7.(-12,6) + 8.4, + 7.(-1,1) = 92 88, ,7 = 128 9,9 = 32,1 7.9,2 +.(-12,6) + 6.4, +.(-1,1) = 64, , = 91,4 68, = 22,9 8.9,2 + 6.(-12,6) , + 9.(-1,1) = 73,6 7, ,9 = 118,6 8, = 33,1 7.9,2 +.(-12,6) + 9.4, + 10.(-1,1) = 64, , 11 = 104,9 74 = 30,9) 10 c) Finalmente, considerando A = 7, , 99 7, 04, 98 4, 99 81, 6 9, , 2 9 9, 98, e mantendo o vetor B, temos det A = 0,0186 e o sistema A X = B possui solução única (Verificando: 10.(-81) ,1.(-34) + 7,2.22 = ,4 + 18,4 = 1117,4-108,4 =32 7,08.(-81) +, (-34) +.22 = -73, , =800,48 777,48 = 23 8.(-81) +, ,89.(-34) = ,26 336, = 1017,26-984,26=33 6,99.(-81)+4, (-34)+9,98.22 =-66, , ,6= 903,19-872,19=31) Logo, pequenas perturbações em alguma dado de entrada sofreram considerável ampliação ao longo da resolução do sistema. A que se deve tal comportamento? E como avaliar pequena ou grande perturbação? Para mensurar o quanto dada matriz ou vetor se distanciou de sua formatação original, necessitamos de uma medida de distância entre matrizes ou vetores, ou seja, precisamos definir uma norma. Por exemplo, qual vetor do plano é mais próximo do vetor v = (1, 1): u=(1,0) ou w=(1,1; 09)? Como vamos comparar esses vetores?

3 3 A distância euclidiana entre dois pontos é a medida do raio da circunferência de centro num dos pontos e que passa pelo outro. Claro que, quanto menor o raio dessa circunferência, mais próximos estão os pontos considerados. Identificando cada vetor do plano com seu ponto extremidade (quando aplicado à origem), temos, então, no exemplo acima: d(v,u) = [(1-1) 2 + (1-0) 2 ] 1/2 = ( ) 1/2 = 1 d(v,w) = [(1-1,1) 2 +(1-0,9) 2 ] 1/2 = [(-0,1) 2 +(0,1) 2 ] 1/2 = (0,01 + 0,01) 1/2 =0,02 1/2 = 0,14 e concluímos que o vetor w está mais próximo de v, do que o vetor u. A definição de norma euclidiana pode ser naturalmente generalizada para uma matriz A, de elementos a ij, de ordem m x n:: A = [ 2 ] 1/2. Além disso, as alterações, quando consideradas em seu valor absoluto, pouco informam sobre o grau de perturbação provocada. Temos que relativizar essa alteração, considerando a razão entre a diferença observada e o valor original. E, ao fim, comparar o percentual de perturbação na entrada com o da saída. No exemplo de início, quando trocamos o vetor B pelo vetor B, temos: 321, B - B = 229, - 331, 309, = ,1 0,1 0,1 0,1 Logo, 0,0033 = 0,33% B - B = 0,2 e B = 60,02 Por outro lado, temos: 9, 2 X - X = 126, - 4, 11, 1 1 = 1 1 8,2 13,6 X - X = 10,4 e X = 2 3, 2,1 Então =,27 = 27% (!) O uso de uma norma, porém, impediria a apresentação do tema na Escola Básica. Qual poderia ser, então, a abordagem? Resolver um sistema de duas equações lineares significa determinar a interseção de duas retas do plano euclidiano. Como a solução única ocorre quando

4 4 as retas concorrem num único ponto, o mal condicionamento do sistema está relacionado com o quase paralelismo das retas consideradas, o que acarretaria um determinante próximo de zero (relativamente aos valores dos elementos da matriz). Ou seja, quando estivermos próximos de um sistema que não admite solução (retas paralelas distintas) ou admite uma infinidade de soluções (retas paralelas coincidentes). Vejamos alguns exemplos, acreditamos que possíveis de serem explorados na Escola Básica. 1) O sistema possui solução x = 0 e y =. Neste caso, o determinante da matriz de coeficientes é.3 3.,01 = 1 1,03 = - 0,03. O sistema possui solução x = 3 e y = 0. Neste caso, o determinante da matriz de coeficientes é.3,01 3. = 1,0 1 = 0,0. 2) Sejam as retas r: x + 3y = 11 s: 1,x + 4,01y = 16,03 t: 1,x + 4,01y = 16, As retas r e s se encontram (unicamente) no ponto X = (2,3). As retas r e t se encontram (unicamente) no ponto X = (10,28 ; 0,24). A matriz A = possui determinante igual a 0,001. Essa proximidade do zero é a responsável pela instabilidade do sistema. A figura abaixo ilustra (sem escala, visto que as retas estão todas muito próximas entre si) o que está ocorrendo:

5 3) O sistema. = possui solução. O sistema. = possui solução. O sistema. = possui solução. 4) Um sistema parecido com o anterior, porém bem condicionado: Se. =, o vetor solução é. Se. =, a nova solução é o vetor. Se =, a solução é. Número de condicionamento Como as razões e estão relacionadas? Consideremos os sistemas AX = B e AX = B, com A inversível (ou seja, com determinante não nulo). Então temos: B B = AX AX= A(X X) (X X) = A -1 (B B).

6 6 Usando uma propriedade das normas, podemos escrever: X -X A -1. B B A -1. Como B = AX, temos B A.X e, portanto,. Conclusão: A -1.A alteração relativa fator de ampliação valor relativo da da solução provocada (número de condicionamento) perturbação feita pela perturbação de B no sistema Chama-se número de condicionamento de uma matriz quadrada inversível A ao número c(a) = A -1. A, Pode-se provar que c(a) 1 e dizemos que um sistema linear AX = B é bem-condicionado se c(a) 1. No exemplo, do início do texto, temos c(a) = Bibliografia Stark, Peter A. Introdução aos Métodos Numéricos. Rio de Janeiro: Interciência, Sistemas mal condicionados Curso de Cálculo Numérico Professor Raymundo de Oliveira. Camponogara, Eduardo /Slides/l14-linsys-gauss-refine.pdf

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