Universidade Estadual de Campinas Departamento de Matemática. Teorema de Jacobson. Adriana Wagner(RA: ) Gustavo Terra Bastos(RA: )

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1 Universidade Estadual de Campinas Departamento de Matemática Teorema de Jacobson Adriana Wagner(RA: ) Gustavo Terra Bastos(RA: ) Campinas - SP

2 Resumo Nesta monografia apresentamos a demonstração do Teorema de Jacobson por meio de cinco lemas e do Teorema de Wedderburn. 2

3 1 Introdução Temos que é um exercício simples mostar que para todo anel R tal que a 2 = a, a R que R é um anel comutativo, basta desenvolvermos (a+b) 2 e observar que cada elemento a R, temos que a = a. De uma maneira análoga, mas não tão simples, dado um anel R tal que a 3 = a, a R, também obtemos que R é um anel comutativo. Assim poderiamos nos perguntar se em geral isso é válido, ou seja, se existir n N tal que a n = a, a R, então R é um anel comutativo? Veremos com o Teorema de Jacobson que isso é ainda mais geral, ou seja, mostraremos que se R é um anel em que para todo elemento r existe um número inteiro n(r) > 1, dependendo de r tal que r n(r) = r, então R é um anel comutativo. 3

4 2 Preliminares Para introduzirmos os lemas, o Teorema de Wedderburn e finalmente o Teorema de Jacobson, necessitaremos dos seguintes fatos, que não apresentaremos suas demonstrações para não fugir do nosso propósito: Teorema 2.1 Um anel de divisão finito R de característica prima p, tem p n elementos, onde n é a dimensão de R sobre o corpo Z p e todos os elementos de R satisfazem x pn = x. Teorema 2.2 Um corpo finito contém no máximo um subcorpo de q elementos, desde que t q t tem no máximo q raízes nesse corpo. Teorema 2.3 Todo subanel não nulo de um anel de divisão finito é um anel de divisão. 4

5 3 Teorema de Wedderburn Nessa seção apresentaremos um lema e o Teorema de Wedderburn que serão necessários para a demonstração do Teorema de Jacbson. Lema 3.1 Se R é um anel não comutativo de característica p contém um corpo finito F, e se x F mas não no centro de R, então existe um elemento não-zero x R tal que wx = x w, para algum x F, com x x. Demonstração: Defina L x R x = δ : r xr rx, onde denotamos L x = xr, r R e R x = rx, r R. Por hipótese, δ 0 e L x R x = R x L x. Consideremos L x o ideal à esquerda gerado por x F e R x o ideal gerado à direita. Como x U(R) R x = L x = R L x R x = RR = R x L x ). Logo δ p = (L x R x ) p }{{} = L p x R p x = L x p R x p, (1) car(r)=p onde L x p = R = L x p (Análogo para R x p ). Logo δ pm = (L x R x ) pm = L pm x onde p m = F. Portanto, δ F. R pm x = L x p m R x p m = L x R x = δ, (2) Verificamos que, dado z F, temos que L z comuta com L x e também comuta com R x, de acordo com o fato que sendo L x o ideal à esquerda gerado por x F e R x o ideal gerado à direita. Como x U(R) R x = L x = R L x R x = RR = R x L x ). Da teoria de corpos finitos, sabemos que dado F [x] f(x) = x pm x, tem-se f(x) = z F(x z). Em particular, 0 = δ pm δ = L z F (δ L z ). (3) Como δ 0, existe um menor índice k em (3) tal que δ(δ L z1 )...(δ L zk ) 0 e δ(δ L z1 )...(δ L zk )(δ L zk+1 ) = 0. Assim, existe r R tal que w = r.δ(δ L z1 )...(δ L zk ) 0, mas w. ( ) δ L zk+1 = 0 w(xr rx zr) = 0, para todo r R e para algum z F tal que z 1 z z k. Logo, xr rx zr = 0 e para r = w, temos wx xw = zr wx = (x z) w = x w, com x F e x x, pois do contrário, z = 0, contradição! F 5

6 Teorema 3.1 (Wedderburn) Todo anel de divisão finito é um corpo. Demonstração: Suponha que existam anéis de divisões não comutativos finitos e seja R um desses com o menor número de elementos. Então R tem característica prima p e todo subanel próprio de R é um anel de divisão menor que R e assim comutativo ( pois caso contrário, o subanel próprio seria R). Nos referimos a esses subanéis como subcorpos. Um desses subcorpos será o conjunto E = {c c R, cr = rc inr}, chamado o centro de R. Vamos mostrar que: (1) Todo subcorpo de R é auto-conjugado de R; (2) Todo comutador r 1 s 1 rs está em E; (3) R é realmente comutativo. Assim (1) Consideremos F um subcorpo maximal de R, como E e F geram um subanel comutativo de R contendo F, mas como F é maximal temos que E e F geram apenas F, assim F contém E. Como E não é maximal, pois todo extensão E[r] é comutativa, assim E F. Considere x F E, então pelo Lema 1, existe w R com wx = x w, x F, x x. Sendo R anel de divisão, podemos multiplicar wx = x w por w 1 a direita, assim (wx)w 1 = (x w)w 1 wxw 1 = x (ww 1 ) wxw 1 = x Logo wxw 1 = x F, w F. Como wxw 1 = x temos que x = w 1 x w, ou seja, x w 1 F w F. Se o corpo w 1 F w contivesse um elemento não pertencente a F, esses dois corpos gerariam R: mas então x comuta com ambos desses corpos, assim x E, o que contrário o fato de que x F E. Portanto, w 1 F w = F, para um elemento w F. Assim o normalizador N R (F ) = {r r R, rf = F r} é um subanel de R contendo F, assim N R (F ) = R, pois F é maximal. Se K é qualquer subcorpo de R, ele encontra-se em um subcorpo maximal F, e assim r R temos que r 1 Kr r 1 F r = F. Assim K e r 1 Kr são subcorpos de F com o mesmo número de elementos, assim K = r 1 Kr. Portanto todo subcorpo de R é auto-conjugado de R. (2) Suponha que r 1 s 1 rs 1, então r(r 1 s 1 rs) r1 (rr 1 )s 1 rs r s 1 rs r s(s 1 rs) sr (ss 1 )rs sr rs sr 6

7 Assim os corpos E[r] e E[s] juntos geram R, pela minimalidade de R. Mas E[r] E[s] = E, assim qualquer elemento comum comuta com todos os elementos de R. Como (r 1 s 1 r)s E[s] e r 1 (s 1 rs) E[r] temos que r 1 s 1 rs E. Portanto todo comutador r 1 s 1 rs está em E, o centro de R. (3) Como R é não comutativo, existem x and y com xy yx, assim xy = cyx ( ). Também de (2) temos que x(x + y) = c (x + y)x, c E ( ). Subtraindo ( ) de ( ) obtemos xx + xy xy = c xx + c yx cyx xx = c xx + (c c)y xx c x = (c c)y (1 c )x = (c c)y que implica que x e y comutam a menos que os elementos centrais 1 c e c c são ambos zero. Como xy yx, temos que 1 c = 0 e c c = 0 e assim 1 = c = c. Mas de ( ) teríamos que xy = yx, o que é uma contradição. Assim R é comutativo. Portanto, todo anel de divisão finito é um corpo. 4 Resultados essencias para a prova do Teorema de Jacobson Nessa seção apresentaremos mais quatros lemas que utilizaremos na demonstração do Teorema de Jacobson. Entenderemos por condição de Jacobson em um anel R, se R satisfizer as condições assumida no Teorema de Jacobson. Para mostrar que R é comutativo, provaremos que todo subanel x, y, onde x, y denota o subanel gerado por x e y, consiste de somas finitas geradas por x e y. Lema 4.1 Um anel R finitamente gerado com condição de Jacobson tem característica livre de quadrados p 1...p s, para algum p i e algum s, e é a soma direta de subaneis R i de característica p i. Demonstração: Se r n = r e s m = m, então para k = (m 1)(n 1) + 1, temos r k = r e s k = s. De fato, vejamos que r k = r (s k = s é análogo): rrr...rrrr...r (m 1)(n 1)+1 termos = rrr...rrrr...rr n (m 2)(n 1)+1 termos = rrr... r n r n...r n k 1 termos (m k)(n 1)+1 termos 7 =... = r n...r n n termos = }{{} r...r = r. n termos

8 Assim, para um número finito de elementos x de R, podemos associar um k = n(x). Para r R e qualquer inteiro k > 1, existe n > 1 tal que r n = r e kr = (kr) n = k n r n = k n r (k n k) r = k n r n kr = 0. Assim, se R = x 1,..., x m,por (1), existem (1) inteiros k i > 1 tal que k i x i = 0, para todo 1 i m.. Sabemos que os inteiros comutam com os elementos de R, o que nos leva a concluir (k 1,.., k m ) R = {0}. Assim, concluímos s que a característica de R é k = k 1...k m = p j i i. Para r R, existe n > 1, tal que i=1 p 1...p s r = (p 1...p s r) n = (p 1...p s r) 1+N(n 1) = (p 1...p s ) 1+N(n 1).r 1+N(n 1) = 0, (4) onde N esgota todos os j i, 1 i s. Agora, os inteiros P i = p 1...p s p i são relativamente primos entre si, ou seja, existem inteiros u i tais que u 1 P u s P s = 1 r r s = r, onde r i = ru i P i, para todo 1 i s e r R. Logo R = R R s, (5) onde R i = P i R é um subanel de R de característica p i. Dados r i e r j em R i e R j, respectivamente, com i j, temos de acordo com (4). Logo r i r j = (P i r i) ( P j r j) = Pi P j r ir j = 0, s r i ri 2 = i=1 s r i r k = 0 ri 2 = 0. (6) k=1 i k Portanto, r i = r n(r i) i = ri 2.r n(r i) 2 i = 0, e assim concluímos que R = R 1... R s, ou seja a soma dos R i é uma soma direta. Lema 4.2 Seja R um anel com condição de Jacobson x R e x n = x. Então a identidade r = x n 1 r + (r x n 1 ) expressa R como uma soma de anéis ortogonais R = I x + A x onde I x = x n 1 R e A x = {r x n 1 r r R}, também I x contém x e tem elemento identidade x n 1, enquanto xa x = A x x = {0}. A soma I x + A x é direta. Demonstração: Como x n = x, multiplicando ambos os lados por x 1 temos que xx 1 = x n x 1, ou ainda e = x n 1. Assim e 2 = (x n 1 ) 2 = x 2n 2 = (x n ) 2 x 2 = x 2 x 2 = e, ou seja, e 2 = e. Vamos mostrar que e comuta com todos os elementos de R. De fato, temos que (ere er) 2 = (ere er)(ere er) = ereere ereer erere erer 8

9 = erere erer erere erer = 0 Logo ere er = 0, pela condição de Jacobson. De maneira análoga, (ere er) 2 = 0 e assim ere er = 0. Então er = ere = re ou seja, e comuta com todos os elementos de R. Agora mostremos que I x e A x são subanéis de R. Temos que I x e A x são fechados para a adição e multiplicação de R, pois se a, b I x e c, d A x, logo a = er 1, b = er 2, c = r 3 er 3 e d = r 4 er 4 e assim a + b = er 1 + er 2 = e(r 1 + r 2 ) I x ab = (er 1 )(er 2 ) = e(r 1 e)r 2 = e(er 1 )r 2 = (ee)(r 1 r 2 ) = e(r 1 r 2 ) I x c + d = (r 3 er 3 ) + (r 4 er 4 ) = (r 3 + r 4 ) e(r 3 + r 4 ) A x cd = (r 3 er 3 )(r 4 er 4 ) = r 3 r 4 r 3 er 4 er 3 r 4 +eer 3 r 4 = r 3 r 4 er 3 r 4 er 3 r 4 +er 3 r 3 = r 3 r 4 er 3 r 4 A x Temos também que I x e A x são ortogonais, pois dados a = er 1 I x e c = r 2 er 2 temos que ac = er 1 (r 2 er 2 ) = er 1 r 2 er 1 er 2 = er 1 r 2 eer 1 r 2 = er 1 r 2 er 1 r 2 = 0 ca = (r 2 er 2 )er 1 = r 2 er 1 er 2 er 1 = er 2 r 1 eer 2 r 1 = er 2 r 1 er 2 r 1 = 0 Agora como x = x n = x n 1 x = ex, obtemos que x I x. Assim e(er) = (ee)r = er, logo e = 1 I x. Também temos que xa x = A x x = {0}, pois como x I x obtemos que x(r x n 1 r) = xr xx n 1 r = xr xx n 1 r = xr x n r = xr xr = 0. Analogamente (r x n 1 r)x = 0.Notemos também que para x 0 temos que I x {0}, enquanto que A x {0} se x n 1 = 1 R. Finalmente, para todo r R temos que r = x n 1 r+(r x n 1 ) I x +A x. E se x I x A x temos que x = x n 1 r = x n 2 xr = 0. Assim R = I x A x, onde denota a soma direta. Lema 4.3 Um anel R, R {0}, que satisfaz a condição de Jacobson r = r n(r) e é finitamente gerado, é uma soma direta de corpos finitos. ( ) Demonstração: Pela comutatividade e pela Condição de Jacobson x n(x i) i = x i para cada gerador de R, temos que R possui um número finito de elementos. Pelo Lema 4.1, temos que R possui característica finita, é finito e pode ser escrito como soma direta finita de anéis (R i ) comutativos de característica prima (p i ). Para provarmos o resultado, basta mostrarmos que cada um dos R i pode ser escrito como uma soma direta de corpos finitos. Consideremos R um desses anéis com característica p e vamos utilizar 9

10 indução na cardinalidade de R, que é maior ou igual a p. Se R = p, então o anel R = {0, 1r,..., (p 1)r} é um anel de divisão pois se 0 = kr.k r = kk r 2 p kk p k ou p k, ou r 2 = 0, contradizendo a hipótese de Jacobson. Assim, dados dois elementos não nulos em R temos kr.k r = kk r 2 = kr e o resultado segue. Portanto R = F q. Se R > p,de acordo com o Lema 3, consideremos R = I x + A x, para cada x R. A hipótese de indução aplicada a I x e A x nos garante que cada um desses subanéis pode ser escrito como soma direta de corpos finitos, a menos que um deles seja {0}; neste caso, como I x {0} A x = {0} R = I x, onde x n 1 = 1 R, para todo x R. Assim, todos os elementos não nulos são invertíveis, o que nos leva a concluir que R é um corpo finito. Isto completa a indução. Lema 4.4 Se R é um anel finito em que cada elemento r existe correspondência um inteiro n(r) > 1 com r = r n(r), então R é comutativo. Demonstração: Primeiramente, pelo Lema4.1 2, podemos considerar apenas o caso de que R tem característica prima p. Assim usando indução sobre (R), como no Lema 4.3, se (R) = p obtemos que R = GF [p], ou seja, R é comutativo, obtendo sucesso na indução a menos que A x = {0}. Agora se R é um anel de divisão finito, pelo Teorema de Wedderburn, R é um corpo, e assim comutativo. Portanto em ambos os casos obtemos que R é comutativo. 5 Teorema de Jacobson Após os resultados apresentados estamos prontos para provar o Teorema de Jacobson. Teorema 5.1 (Jacobson) Seja R uma anel em que para todo elemento r existe um inteiro n(r) > 1, dependendo de r, tal que r = r n(r), então R é comutativo. Demonstração: Para mostrar que xy = yx, x, y R, precisamos apenas provar o Teorema de Jacobson para x, y, assim do Lema 4.1, R será uma soma direta de subaneis de características primas. Como esses elementos a elementos. Desde que esses comutam elemento a elemento, basta mostrar cada comutatividade, para que possamos assumir car(r) = p. Vamos supor que xy yx e chegaremos a uma contradição. Considere o anel x, temos que este satisfaz as condições do Lema 4, logo é soma direta de corpos finitos, esses corpos não podem todos comutar elemento a elemento com y, ou isso seria x. Então, sem perda de generalidade, podemos supor que x pertence a um subcorpo finito de R, 10

11 digamos x F = Z p [x]. Agora vamos aplicar o Lema 4.2 para x, y : todos os elementos de A x comutam com x, assim nem todos os elementos de I x podem comutar com x. Indo do anel I x para o anel R que contém o corpo F,estamos no caso em que x n 1 = 1 R. Como F = Z p [x] temos que 1 R F, que resulta 1 R = 1 F e todo elemento de F é inversível em R. Pelo Lema 3.1, existe um elemento w R com wx = x w, com x x, x F. Assim para p(x) Z p [x], temos que wp (x) = P (x )w, e em geral w i P (x) = Q(x)w i para p(x), q(x) Z p [x]. Assim, obtemos que x, y = Z p [x, w] que é o conjunto de todas as somas finitas de elementos da forma x j w i, com 0 j < n(x) e 0 i < n(w). Logo, do Lema 4.4, x, y é finito e assim comutativo. Ou seja, wx = xw = x w, que resulta que xw x w = 0, ou ainda, (x x )w = 0. Como x x, x x F, pois x, x F e todo elemento não nulo de F é inversível em R, obtemos que da equação (x x )w = 0 que w = 0. O que é uma contradição, pois do Lema 3.1 temos que w 0. E a contradição está em supor que xy yx. Portanto R nas condições do Teorema de Jacobson é comutativo. 11

12 Referências [1] K. Rogers: An Elementary Proof of a Theorem of Jacobson [2] I.N. Hernstein: Topics in Algebra, 2 ed- University of Chicago- Editora John Wiley e Sons. [3] T.W. Hungerford: Algebra- Springer,

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