a 21 a a 2n... a n1 a n2... a nn

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1 Projeto TEIA DO SABER 2006 UNESP Campus de Guaratinguetá Secretaria de Estado da Educação, SP. Diretoria de Ensino da Região de Guaratinguetá Coordenador Prof. Dr. José Ricardo Zeni Metodologias de Ensino de Disciplinas da Área de Ciências da Natureza, Matemática e suas Tecnologias do Ensino Médio: Matemática I (Curso Inicial) Prof a Dr a Ana Paula Marins Chiaradia DETERMINANTES O determinante de uma matriz quadrada A, de ordem n, onde: a 11 a a 1n A a 21 a a 2n a n1 a n2... a nn nxn é denotado por deta ou A, e é definido como sendo o número obtido pela soma algébrica dos n! (n fatorial) produtos possíveis constituídos por um elemento de cada linha e de cada coluna de A multiplicado por 1 ou por -1, de acordo com a seguinte regra : Seja o produto escrito na seguinte forma: a 1i a 2j a 3k...(n termos). Se a seqüência dos índices i, j, k é um permutação par em relação a 1, 2, 3,...., n, então o produto deve ser multiplicado por 1; do contrário, o produto deverá ser multiplicado por -1. Entenda-se por permutação, o número de trocas necessárias para se ordenar uma seqüência i, j, k... n. Dessa forma, o determinante de uma matriz quadrada de ordem 2: A a 11 a 12 será definido pelo produto: a 21 a 22 2x2 deta a 11 a 12 a 21 a 22 a 11 a 22 a 12 a 21 E o determinante de uma matriz quadrada de ordem 3: A a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 será definido pelo produto: a 31 a 32 a 33 3x3 deta a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 a 11a 22a 33 a 21a 32a 13 a 31a 23a 12 a 13a 22a 31 a 23a 32a 11 a 33a 21a 12 Quando A 0, a matriz A é dita singular. 1

2 Exercício 1: Calcule os determinates: Propriedades As seguintes propriedades permitem facilitar o problema do cálculo de determinantes: 1. O determinante é nulo, se todos os elementos de uma linha ou coluna da matriz são nulos; Exemplo: O determinante não se altera se todas as linhas i são permutadas com todas as colunas i, isto é, deta deta T. Exemplo: Seja a matriz A com deta Trocando a linha 1 pela coluna 1, linha 2 pela coluna 2 e linha 3 pela coluna 3, isto é, calculando a matriz transposta de A: A T Então, o determinante de A T O determinante muda de sinal se uma linha da matriz é permutada com outra linha, ou se uma coluna é permutada com outra coluna; Exemplo: Seja a matriz A. Trocando a linha 2 com a linha 3, temos 2

3 B. Então, o determinante de B 27 4.Se os elementos de uma linha ou coluna são multiplicados por um número, o determinante fica também multiplicado por este número; Exemplo: Seja a matriz A Multiplicando a linha 2 da matriz A por -2, temos B e deta Multiplicando a coluna 3 da matriz A por 3, temos C e deta Multiplicando a matriz A por 2, isto é, cada linha ou coluna será multiplicada por 2, temos: D 2 0 6, então o detd deta De uma forma geral, detk A k n deta, onde k é uma constante real. 3

4 5. O determinante é nulo se os elementos de duas linhas ou duas colunas são iguais ou proporcionais entre si; Exemplo: Duas colunas iguais Duas linhas proporcionais 6. Se A é uma matriz triangular (triangular superior ou inferior ou diagonal) de ordem n, então deta é o produto dos elementos da diagonal principal da matriz, ou seja, deta a 11 a 22...a nn. Exemplo: O determinante da matriz identidade é 1 seja qual for a sua ordem, isto é, deti n 1. Exemplo: O determinante não se altera se somarmos aos elementos de uma linha ou coluna os respectivos elementos de outra linha ou coluna multiplicados por um número. Exemplo: Seja a matriz A.Substituindo a linha 2 pela soma da linha 2 mais o três vezes a linha 1, isto é, L 2 L 2 3 L 1, temos: Então,

5 9.detA B deta detb, em geral. Exemplo: Sejam as matrizes A e B 0 1 Calcule deta detb 0 1 A B 0 1 deta B 10. deta B deta detb detba Exemplo: Sejam as matrizes A e B 0 1, as matrizes do exemplo anterior. Calcule A B 0 1 deta B 11) deta n deta n Exemplo: Seja a matrizes A. Calcule Calcule A 2 e deta 2 e deta 2 5

6 Exercício 2: Calcule os determinantes, procurando usar as propriedades. Especifique a propriedade utilizada Menores: O menor de um elemento a ij de uma matriz A de ordem n é definido como sendo o determinante da submatriz M ij gerada pela retirada de i-ésima linha e da j-ésima coluna desta matriz. Notação: M ij. Exemplo: Seja A uma matriz de ordem 3: A determinante da submatriz M 21 gerada pela retirada da linha 2 e coluna 1, isto é, M O menor do elemento a 21 é o Uma matriz de ordem n possui nxn menores, cada um associado a um elemento desta matriz. Cofatores: O cofator de um elemento a ij de uma matriz A de ordem n é definido como sendo o "menor com sinal" de a ij e é dado pela seguinte relação: Cofa ij 1 ij M ij Exemplo: Em relação ao exemplo anterior: Cofa M Matriz de Cofatores: é definida como sendo a matriz cujos elementos são os cofatores dos 6

7 elementos da matriz original, ou seja: a 11 a a 1n Se A a 21 a a 2n a n1 a n2... a nn nxn, então a matriz dos cofatores é dada por: CofA cofa 11 cofa cofa 1n cofa 21 cofa cofa 2n cofa n1 cofa n2... cofa nn nxn Matriz Adjunta: é definida como sendo a matriz de cofatores transposta, ou seja, AdjA CofA T. Exemplo: A matriz dos cofatores de A é Exemplo: E a matriz adjunta de A é: Calculando Determinantes ao longo de linhas ou colunas O determinante de uma matriz quadrada de ordem n pode ser expandido em função de cofatores, mediante uma das seguintes expressões: n A a ik cofa ik,desenvolvendo através da linha i,ou k1 n A a kj cofa kj,desenvolvendo através da coluna j. k1 2 Exemplo: Seja A uma matriz de ordem 3: A O determinante calculado ao longo da primeira coluna é dado por: 7

8 deta O determinante calculado ao longo da segunda linha é dado por: deta Seja qual for a linha ou coluna utilizada para calcular o determinante, o resultado será o mesmo: det DICA: Calcular o determinante ao longo da linha ou coluna que tenha o maior número de zeros. Exercício 3: Usando expansão de cofatores por qualquer linha ou coluna que pareça conveniente cos sen tg 4. 0 cos sen 0 sen cos (lembrando que cos 2 sen 2 1)

9 Exercícios de Fixação 1. Calcule os determinantes: a) a b 0 0 a b a 0 b b) 0 a 0 b c d 0 e 0 c) a 0 0 b c 0 d e f g h i j d) cos sen 0 sen cos 2. Resolva a equação x x x Encontre os determinantes, assumindo que a b c d e f g h i 4. a) 2a 2b 2c d e f g h i b) 3a b 2c 3d e 2f 3g h 2i c) d e f a b c g h i d) a g b h c i d e f g h i e) 2c b a 2f e d 2i h g Exercícios de aplicação 1. Calcule a área do paralelogramo determinado pelos pontos: a) (-2,-2), (0,3), (4,-1) e (6,4) b) (0,0), (5,2), (6,4), (11,6) c) (0,0), (-1,3), (4,-5), (3,-2) 2. Calcule a área do triângulo de vértices: a) (0,0), (3,4), (-2,3) b) (2,-1), (3,3), (-2,5) c) (-3,-1), (1,4), (3,-2) 3. Determine o volume do paralelepípedo que tem os seguintes vértices: a) (0,0,0), (1,0,-2), (1,2,4) e (7,1,0) b) (0,0,0), (1,4,0), (-2,-5,2) e (-1,2, -1) Resp: a) 22 b) 15 4) Determine a equação da reta que passa pelos pontos dados: a) (2,0) e (0,3) b) (2,3) e (-1,0) c) (1,2) e (4,3) 9

10 d) (-2,1) e (4,3) 10

11 Respostas dos exercícios Ex. 3 1) 6 2) 7 3) -12 4) cos 5) 4 6) 8 Exercícios de fixação 1) 1) ab 2 a 2 b b 0 c) abdg d 1 2) x 0 ou x 1 ou x ½ 3) a) 8 b) -24 c) -4 d) 4 e) -8 Exercícios de aplicação 1) a) 28 b) 8 c) 7 2) a) 17/2 b) 11 c) 17 3) a) 22 b) 15 4) a) y 3-3x/2 b) y 1x c) yx/35/3 d) y-5/3-4x/3 11