Diagrama de Impedâncias e Matriz de Admitância de um Sistema Elétrico

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1 Sistemas Elétricos de Potência Diagrama de Impedâncias e Matriz de Admitância de um Sistema Elétrico Professor: Dr. Raphael Augusto de Souza Benedito disponível em:

2 Diagrama Unifilar Embora os Sistemas Elétricos de Potência em corrente alternada sejam trifásicas, é comum representá-los utilizando apenas uma das fase e o neutro (ou terra). Dessa forma todos os componentes (ou os mais importantes) de um sistema elétrico são agrupados em um diagrama unifilar e representados através de símbolos padronizados. Veja alguns exemplos (Stevenson, 1986):

3 Diagrama Unifilar A figura a seguir mostra um exemplo de diagrama unifilar para um sistema elétrico simples: Fig. 1: Diagrama unifilar representando um Sistema Elétrico trifásico Neste exemplo, temos: - três geradores, dois aterrados através de reator e um através de resistência; - dois transformadores, sendo T1 Y-Y aterrado e T2 Y-Δ com Y aterrado; - uma linha de transmissão de alta tensão (por ex.: 230 KV); - duas cargas conectadas aos barramentos de baixa tensão (por ex.: 13,8 KV); - 9 disjuntores de potência.

4 Diagrama de Impedância e Reatância Para efeito de cálculos e análise em Sistemas Elétricos, torna-se conveniente apresentar o diagrama unifilar com os componentes essenciais do sistema e suas respectivas impedâncias ou reatâncias. Para o sistema elétrico da fig.1, temos o seguinte diagrama unifilar dos componentes e suas impedâncias, ou simplesmente, diagrama de impedância: Fig. 2: Diagrama unifilar de impedância representando o Sistema Elétrico da fig. 1

5 Diagrama de Impedância e Reatância Em estudos de curto-circuito, por exemplo, costuma-se desprezar as resistências dos componentes do SEP, acarretando num diagrama unifilar de reatâncias. Além disso, caso o valor das admitâncias ou susceptâncias em derivação (shunt) de linhas de transmissão ou trafos sejam relativamente pequenos, estas podem ser desprezadas também. Para o diagrama unifilar da figura 1 ou figura 2, temos o seguinte diagrama unifilar de reatância (desprezando todas as resistências e admitâncias shunt): Fig. 3: Diagrama unifilar de reatância representando o Sistema Elétrico da fig. 1

6 Diagrama de Impedância e Reatância Exercício: Um gerador trifásico de 300 MVA, 20KV, tem uma reatância subtransitória de 20%. O gerador alimenta 2 motores síncronos através de uma linha de transmissão de 64 km, tendo transformadores em ambas as extremidades, como mostra o diagrama unifilar da figura 4. Os motores, todos de 13,2 kv, estão representados por dois motores equivalentes. As entradas nominais para os motores são 200 MVA para M1 e 100 MVA para M2. Para ambos os motores X = 20%. O trafo trifásico T1, 350 MVA, 230/20 kv, apresenta reatância de 10%. O trafo T2 (composto de 3 trafos monofásicos cada um de 100 MVA, 127/13,2 kv) apresenta potência nominal de 300 MVA, tensões nominais de 220/13,2 kv e reatância de 10%. A linha de transmissão apresenta reatância de 0,5 Ohm/km. Obtenha o diagrama de reatâncias com todas as reatâncias assinaladas em p.u., considerando os valores nominais do gerador como base deste circuito. Fig. 4: Diagrama unifilar o Sistema Elétrico do exercício acima

7 Diagrama de Impedância e Reatância Resposta: Veja o diagrama de reatâncias abaixo. Fig. 5: Diagrama de reatância

8 Diagrama de Impedância e Reatância Exercício: Em regime permanente, se os motores M1 e M2 do exercício anterior tiverem entradas de 120 e 60 MVA, respectivamente, com tensão de 13,2 kv, e ambos operarem com fator de potência unitário, determine: a) a tensão fasorial fase-terra em p.u. em um dos terminais do gerador; b) a tensão eficaz de linha nos terminais do gerador (em p.u. e em Volts). Observação: em regime permanente a reatância sub-transitória do gerador não é considerada nos cálculos; considere os mesmos valores de base do exercício anterior Resposta: a) 0, ,23 º pu; b) 0,9826 pu e 19,652 kv

9 Matriz de Admitância de um Sistema Elétrico A determinação da matriz de admitância nodal (Y) da rede tem grande importância para os cálculos de rede elétrica em Sistemas de Potência. A matriz Y relaciona as tensões elétricas nodais com as correntes elétricas injetadas ao sistema através de geradores (Lei de Kirchhoff das Correntes): sendo: I é o vetor de injeção de corrente na rede por fontes independentes (N x 1); V é o vetor de tensão nodal, desconsiderando a barra de referência (N x 1); Y é a matriz de Admitância nodal ou de admitância de barra (N x N); N é o número de barras ou nós da rede. Outra forma de relacionar as tensões e correntes elétricas de uma rede é através da matriz de Impedância da rede: sendo

10 Matriz de Admitância de um Sistema Elétrico Construção da matriz de Admitância para uma Rede Elétrica Fig. 6: Diagrama unifilar de impedância (reatância) de uma Rede Elétrica

11 Matriz de Admitância de um Sistema Elétrico Construção da matriz de Admitância para uma Rede Elétrica Fig. 7: Equivalência entre os Diagramas de Impedância e Admitância unifilar da Rede Elétrica da figura 6

12 Matriz de Admitância de um Sistema Elétrico Construção da matriz de Admitância para uma Rede Elétrica - Elementos fora da diagonal principal: - Elementos da diagonal principal: - Elementos da diagonal principal: sendo: Ωk o conjunto que engloba as barras adjacentes à barra k; a admitância de possíveis elementos ligados na barra k e o nó terra; a admitância de elementos em derivação (susceptância capacitiva da linha).

13 Matriz de Admitância de um Sistema Elétrico Construção da matriz de Admitância para uma Rede Elétrica Para a rede elétrica da figura 7, a matriz de Admitância fica: Exercício: Encontre as tensões nodais da rede da figura 7

14 resposta: Matriz de Admitância de um Sistema Elétrico

15 Redução de Redes Elétricas Nas diversas análises de Sistemas Elétricos de Potência é comum utilizar técnicas de redução de redes elétricas para efetuar a análise desejada numa pequena porção da rede. Entretanto, tais porções da rede devem levar em conta o efeito elétrico do restante do sistema conectado, assim como o equivalente de Thevenin (ou Norton). Dentre as técnicas mais utilizadas de redução (ou de equivalentes) de redes em Sistemas Elétricos em regime permanente, pode-se destacar: Método de Eliminação de Gauss (MEG); Equivalente Ward (linear, não linear, estendido); Redução de Kron (ou Gauss em blocos).

16 Redução de Redes Elétricas Redução de Kron Este método é muito utilizado para eliminar barras dos sistemas com injeção de corrente nula (ou nós passivos), isto é, barras que: estejam conectadas à cargas representadas como impedância. não estejam conectadas à fontes geradoras. O método pode ser aplicado eliminando-se nó por nó (como o MEG): Assim, para uma matriz quadrada (n x n), o k-ésimo nó pode ser eliminado recalculando (ou substituindo) os demais elementos das outras n 1 linhas e colunas através do seguinte processo: Para i = 1,.., k-1, k+1,..., n e para j = 1,.., k-1, k+1,..., n.

17 Redução de Redes Elétricas Redução de Kron Este método é muito utilizado para eliminar barras dos sistemas com injeção de corrente nula (ou nós passivos), isto é, barras que: estejam conectadas à cargas representadas como impedância. não estejam conectadas à fontes geradoras. Ou ainda, em forma matricial eliminando vários nós (em bloco): Assim, para uma matriz quadrada (n x n), vários nós podem ser eliminados em bloco recalculando os demais elementos do bloco a ser reduzido; Por exemplo, para a matriz Y abaixo, pode-se reduzi-la aos primeiros m nós da seguinte forma :

18 Redução de Redes Elétricas Exercício 1: Para a matriz Y abaixo, elimine a barra 4, isto é, reduza a rede aos três primeiros nós dessa rede. Resultado:

19 Redução de Redes Elétricas Exercício 2: Para a matriz Y abaixo, elimine as barras 4, 5 e 6, isto é, reduza a rede aos três primeiros nós dessa rede. Resultado:

20 Referências Bibliográficas [1] MONTICELLI, A. J.; GARCIA, A. Introdução a Sistemas de Energia Elétrica. Editora UNICAMP, 1ª. Edição, Campinas, [2] STEVENSON, W. D. Elementos de Análise de Sistemas de Potência. 2ª ed. Editora MacGraw-Hill do Brasil. São Paulo [3] FUCHS, RUBENS DARIO. Transmissão de Energia Elétrica: linhas aéreas; teoria das linhas em regime permanente. 2ª. Edição; Editora Livros Técnicos e Científicos, Rio de janeiro, [4] ZANETTA Jr., LUIZ CERA. Fundamentos de Sistemas Elétricos de Potência. 1ª. Edição; Editora Livraria da Física, São Paulo, 2005.

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