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1 Solução dos Exercícios de ALGA 2ª Avaliação EXEMPLO 8., pág. 61- Uma reta L passa pelos pontos P 0 (, -2, 1) e P 1 (5, 1, 0). Determine as equações paramétricas, vetorial e simétrica dessa reta. Determine também os pontos em que a reta intercepta os planos coordenados. Solução: Vetor diretor v = P1 P0 = (5,1,0) (,-2,1) = (2,, - 1) Equação Paramétrica: x = 2t + { y = t 2 z = t + 1 Equação Vetorial: (x,y,z) = (,-2,1) + t(2,,-1) Equação Simétrica: x = y+2 = 1+z 2 1 Pontos em que a reta intercepta os planos coordenados: Fazendo x=0, na equação paramétrica encontraremos t = -/2. Substituindo este t em y e z, obtemos y = -1/2 e z= -1/2. Então a reta intercepta o plano y0z em (0, -1/2, -1/2). Fazendo y=0, na equação paramétrica encontraremos t = 2/. Substituindo este t em x e z, obtemos x = 1/ e z= 1/. Então a reta intercepta o plano x0z em (1/, 0, 1/). Fazendo z=0, na equação paramétrica encontraremos t = 1. Substituindo este t em x e y, obtemos x = 5 e y = 1. Então a reta intercepta o plano x0y em (5, 1, 0). Resolução do exemplo 8.6a - pág 61 Apresente, analítica e geometricamente, a solução dos seguintes sistemas lineares. x + 2y + z = 1 { 5y 2z + x = 1 Solução: Encontraremos a solução do sistema escrevendo a matriz ampliada desse sistema e encontrando sua forma escada: ( 5 1 ) L 2 -> L 2 L 1 ( ) L 2 -> L 2 /- ( ) L 1 -> L 1-2L 2 ( ) Como p a =p c =2 e nul=-2=1, o sistema é possível e indeterminado. Ficando uma variável livre, digamos x, da última matriz obtemos a solução do sistema: x z = 1 x = 1 + z { => { y + 2z = 1 y = 1 2z Essas são as equações reduzidas de uma reta. Para representar esta reta, calculamos e marcamos dois pontos: Se x= => =1+z => z= 1 e y = = - 1 = - 5. Então um ponto da reta é (, -5, 1). Se x= 1 => 1=1+z => z=0 e y = = -1.

2 Então outro ponto da reta será (1, - 1, 0). Marcando esses pontos obtemos a representação gráfica de todos os pontos que são solução do sistema: os pontos que estão sobre a reta. Resolução do exemplo 8.6b - pág 61. Apresente, analítica e geometricamente, a solução dos seguintes sistemas lineares. 2x + y + 11w = 2 { x + w = 1 2x + z + w = Partindo da matriz ampliada do sistema, vamos encontrar sua forma escada: ( ) L 1 <-> L 2 ( ) L 2 -> L 2 2L 1 ( ) L -> L 2L 1 ( ) Como p a =p c = e nul=-=1, o sistema é possível e indeterminado. Ficando uma variável livre, digamos w, que será o parâmetro, da última matriz obtemos a solução do sistema: x = 1 w { y = 5w z = 2w que representa uma reta no espaço passando pelo ponto (1, 0, -) e com vetor diretor (-, -5, 2). Podemos marcar dois pontos dessa reta e ligá-los para fazer a representação geométrica. Assim tomando w=1, obteremos um novo ponto da reta (-2, -5, -2).

3 Resolução do exemplo pág 6 Temos na reta r o ponto A (1,0,1) e o vetor v1= (1,0,-1) e na reta s, o ponto B(0,0,2) e o vetor v2: (,2,1). Assim vamos primeiramente escrever as equações simétricas e depois reduzidas de cada uma das retas Equação simétrica das retas. r: y=0; x-1=(z-1)/(-1) s: x/ = y/2 = z-2 Equação reduzida r: (x-1)= (z-1)/(-1) => x-1= -z+1 => x -1-1= -z => x-2= -z => z = 2 x y=0 s: 2x=y => y= 2x/ x/= z 2 => z = x/ +2 O ponto de intersecção de r e s é o ponto I, cujas coordenadas satisfazem as equações reduzidas das duas retas: y = 0 z = 2 - x y = 2x/ z=x/ +2 Resolvendo esse sistema, já sabemos que y=0. Substituindo na outra equação, obtemos x=0. Da última equação, substituindo x, obtemos z=2. Então o ponto de interseção das duas retas é o ponto I(0, 0, 2). Exercício 1.a Dados P= (, 0, -2) e v = (1,, -2) determinar as equações da reta.

4 Equação Vetorial: (x, y, z)= (, 0, -2) + t(1,, -2) Equação Paramétrica: x = + t { y = t z = 2t Equação Simétrica: x- = y-0 = z Equação Reduzida: (x-)=y => y = x 12 e (z+ 2)= -2(x-) => z +2 = -2x +6 => z = -2x => z = - 2x + Exercício 1.b: Escreva as equações vetorial, paramétricas, simétricas e reduzidas para a reta que passa pelo ponto (,0,-2) e é paralela a reta x/ = (y+7)/-1 = (z-)/6. Solução: Como a reta que iremos construir é paralela a reta dada, elas tem a mesma direção, então podemos usar o mesmo vetor diretor v = (, -1, 6). Assim a) (x, y, z) = (a1, a2, a) + t (v1, v2, v) t:parâmetro (x, y, z) = (, 0, -2) + t (, -1, 6) (x, y, z) = (, 0, -2) + (t, -t, 6t) equação da reta vetorial b) x = +t y = -t equação paramétrica z = -2-6t c) x equação simétrica = y = z d) Igualamos a fração que contém x com a de y: (x-)/ = y/-1 => (-x + )/ = y => y = (-x+) / Igualamos a fração que contém x com a de z: ( x-)/ = (z+2)/6 => 6x 18 = z +6 => 6x 18 6 = z => (6x 2)/ = z => z = 2x-8 Exercício 1.c: Escreva as equações vetorial, paramétricas, simétricas e reduzidas para a reta que passa pelo ponto (, 0, -2) e é paralela a reta x = 2t, y = 2t, z = 5t. Solução: como a reta a ser construída deve ter a mesma direção da reta dada, usamos o mesmo vetor diretor que é v =(2, -2, 5) (que são os coeficientes de t). Assim as equações da reta são: Vetorial: (x, y, z)=(, 0, -2) + t(2, -2, 5). Paramétricas: x = 2t + y = 2t z = 5t 2 Simétricas: x 2 = y = z+2 5 Reduzidas:

5 y = -x + z = 5x/2-19/2 Exercício 2a. Escreva as equações simétricas da reta que passa pelos pontos (2,-1, ) e (5, 2, -2) RESPOSTA: Como temos os pontos P 0 (2, -1, ) e P 1 (5, 2, -2), escrevemos o vetor diretor v = P o P 1 = P 1 - P 0 = (,, -5) E assim a equação vetorial fica na forma: (x, y, z) = (2, -1, ) + t(,, -5) Equação paramétrica: x = 2 + t y = -1 + t z = 5t Equação simétrica: x = y+1 = z 5 Exercício 2b. Escreva as equações simétricas da reta que passam pelos pontos (7,, -1) e (, -1, ). Solução: Construímos primeiramente o vetor diretor da reta: v = AB = B - A = (, -1, ) (7,, -1) = (-, -, ). Assim a equação vetorial é (x, y, z) = (7,, -1) + t(-,-, ) e a equação simétrica: x 7 = y = z+1. Exercício. Mostre que as retas se interceptam e descubra seu ponto de interseção. r: { x = 1 + t y = 2t z = 1 + t s: { x = s y = 2s z = 2 + s Resolução Da reta r temos A = (1,0,1), u =(1,2,) e da reta s, B= (0,0,2), v = (,2,1). Calculando w = AB = B A = ( 1,0,1), podemos verificar se as retas são coplanares: 1 2 (,, ) = 2 1 = 2+(-2)+0-(-6)-0-6=0, logo as retas são coplanares. u v w =( ++)=10, não são perpendiculares. v u As retas também não são paralelas, pois a razão entre as coordenadas de seus vetores diretores não é igual:

6 Então elas se interceptam. Para calcular o ponto de interseção, escrevemos as equações reduzidas de cada uma das retas: x 1 r: = y => 2x 2 = y e x 1 = z 1 => z 1 = x => z = x s: x = y => y = 2x => y = 2x e x = z => z = x Juntando todas as equações ficamos então com o sistema y = 2x 2 z = x 2 y = 2x { z = x + 2 Cuja solução é (/2, 1, 5/2).

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