EXERCÍCIOS DE ÁLGEBRA LINEAR E GEOMETRIA ANALÍTICA (sistemas de equações lineares e outros exercícios)

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1 UNIVERSIDADE DO ALGARVE ESCOLA SUPERIOR DE TECNOLOGIA EXERCÍCIOS DE ÁLGEBRA LINEAR E GEOMETRIA ANALÍTICA (sistemas de equações lineares e outros eercícios) ÁREA DEPARTAMENTAL DE ENGENHARIA CIVIL

2 Eercícios sobre sistemas: ÁREA DEPARTAMENTAL DE ENGENHARIA CIVIL Eercício: Uma empresa que presta serviços de engenharia civil tem três tipos de contentores I II e III que carregam cargas em três tipos de recipientes A B e C O número de recipientes por contentor é dado pelo quadro: Tipo de recipiente A B C I II III Quantos contentores e de cada tipo I II e III são necessário se a empresa necessita transportar 8 recipientes do tipo A do tipo B e do tipo C? Resolução: Este problema pode ser resolvido por meio do seguinte sistema de equações lineares Comecemos por classificá-lo como A A o sistema diz-se de Cramer e como tal é possível e determinado Vamos aplicar o método de Gauss para o resolver a condensação da matriz ampliada pode ser [ A B] [ C D] 6 6 Devemos ter em atenção que nesta condensação trocámos algumas colunas portanto como cada uma destas corresponde a uma variável mudámos a posição das mesmas No primeiro passo as colunas e trocaram ou seja a variável passou a estar na ª coluna e a variável passou a estar na ª coluna; no quarto passo a ª coluna trocou com a ª passando a variável para a ª coluna e a variável passou a estar na ª coluna Por isso quando se utiliza o método de Gauss para a resolução de sistema de equações lineares é mais directo condensar a matriz por linhas Qualquer troca de colunas deve ser registada porque é uma troca de incógnitas (ecepto B); qualquer troca de linhas não altera o sistema pois é uma troca de equações /

3 Tendo em conta o que foi dito o sistema original é equivalente a Resposta: Para que a empresa transporte 8 recipientes do tipo A do tipo B e do tipo C são necessários contentores do tipo I 6 do tipo II e do tipo III Eercício: Resolva os sistemas do eercício anterior: ) Condensando a matriz ampliada por linhas ) Utilizando o método da matriz inversa ) Utilizando a regra de Cramer Eercício: Um biólogo colocou três espécies de bactérias (denotadas por I II e III) num tubo de ensaio onde elas serão alimentadas por três fontes diferentes de alimentos (A B e C) Em cada dia serão colocadas no tubo de ensaio 5 unidades de A unidades de B e 5 unidades de C Cada bactéria consome um certo número de unidades de cada alimento por dia como mostra a tabela Quantas bactérias podem coeistir no tubo de ensaio de modo a consumir todo o alimento? Tipo de bactéria I II III Alimento A Alimento B Alimento C 5 Resolução: Sejam e os números de bactérias das espécies I II e III respectivamente Como cada umas das bactérias da espécie I consome uma unidade de A por dia o grupo I consome um total de por dia Analogamente os grupos II e III consomem um total de e unidades do alimento A diariamente Como queremos usar todas as 5 unidades de A temos a equação De modo análogo obtemos as equações + + e para os alimentos B e C respectivamente Assim resulta um sistema de três equações lineares com três variáveis /

4 A condensação por linhas da matriz ampliada associada ao sistema fornece [ A B] C D] 5 5 observa-se que r( A) m < n o sistema é possível e indeterminando de grau d A linha de zeros da matriz corresponde a uma equação redundante que consequentemente pode ser eliminada do sistema Neste termos o sistema original é equivalente a Considerámos as variáveis e como principais e a variável como livre Fazendo t obtemos t e 5 t Em qualquer problema aplicado devemos ser cuidadosos para interpretarmos as soluções adequadamente Como é óbvio o número de bactérias não pode ser negativo Assim t e 5 t t 75 temos portanto t 75 O número de bactérias deve ser inteiro logo há eactamente 75 valores (porquê?) de t que satisfazem a desigualdade A epressão geral das soluções do problema é da forma t 5 t 5 + t t o que fornece uma solução particular para cada valor inteiro de t tal que t 75 Assim embora matematicamente este sistema tenha infinitas soluções fisicamente há uma quantidade finita Resposta: Tendo em conta o número de bactérias no tubo de ensaio teremos uma resposta diferente para o problema Por eemplo se eistirem 5 bactérias do tipo I no tubo de ensaio deverão eistir 5 dos tipos II e III (porquê?) de modo a consumir todo o alimento Repare-se que o número de bactérias dos tipos I e III deverão coeistir em igual número Por eemplo se eistirem 75 bactérias dos tipos I e III para o alimento ser todo consumido não deverão eistir bactérias do tipo II Eercício: A soma das idades da Ana do José e da Sara é 6 anos A Ana é mais velha que o José pelo mesmo número de anos que o José é mais velho que a Sara Quando o José tiver a idade que a Ana tem hoje a Ana terá três vezes a idade que a Sara tem hoje Quais são as suas idades? Resposta: Ana: 8; José: ; Sara: /

5 Eercício5: Um comerciante de café vende três misturas de grãos Um pacote com a mistura da casa contém gramas de café colombiano e gramas de café tostado tipo francês Um pacote com a mistura especial contém gramas de café colombiano gramas de café queniano e gramas de café tostado tipo francês Um pacote com mistura gourmet contém gramas de café colombiano gramas de café queniano e gramas de café tostado tipo francês O comerciante tem quilos de café colombiano 5 de café queniano e 5 de café tipo francês Se ele deseja utilizar todos os grãos de café quantos pacotes de cada mistura deve preparar Resposta: Mistura da casa: 65; mistura especial: ; mistura gourmet: 5 Eercício6: Classifique o seguinte sistema em função dos parâmetros reais k e t + ky + z + y + ( k ) z t + y + kz Resolução: Este sistema tem variáveis e equações que dependem do parâmetro k e um dos termos independentes é t Vamos condensar a matriz ampliada k k [ A B] k t k k t [ C D] k k k A partir da matriz [ C D ] vemos que a classificação do sistema depende dos parâmetros k e t Discussão: Se k obtemos [ C D] t t o sistema é possível e determinando qualquer que seja o t (porquê?) Se k vem k k k k t k t [ C D] k k t k k k k ( k )( k ) ( t )( k ) ( k ) k k k k k k ( k )( k ) para se classificar o sistema temos que ter em conta os valores de c k (porquê?) Tendo em conta que ( k )( k ) k k (porquê?): k /

6 i) Se k [ C D] t o sistema é impossível qualquer que seja o t (porquê?) ii) Se k t [ C D] t Esquematizando: Se t o sistema é possível e indeterminando de grau qualquer que seja o t (porquê?); Se t o sistema impossível (porquê?); Se k k o sistema é possível e determinado qualquer que seja o t (porquê?) k sistema impossível t t sistema possível e indeterminado (grau) k se t sistema impossível k k sistema possível e determinado t Eercício7: Caso seja possível resolva o sistema resultante do eercício : 7) Pelo método de Gauss-Jordan; 7) Utilizando o método da matriz inversa; 7) Utilizando a regra de Cramer Eercício8: Uma florista vende três tamanhos de arranjos de flores com rosas margaridas e cravos Cada arranjo pequeno contém uma rosa três margaridas e três cravos Cada arranjo médio contém duas rosas quatro margaridas e seis cravos Cada arranjo grande contém quatro rosas oito margaridas e seis cravos Um dia a florista notou que havia usado um total de rosas 5 margaridas e 8 cravos ao preparas as encomendas desses três tipos de arranjos Quanto arranjos de cada tipo fez a florista? Resposta: Pequenos: ; médios: ; grandes: 5/

7 Eercício9: Classifique o sistema o + z t y + t + y z + t utilizando o método dos determinantes y z t y z t Resolução: Relativamente a este sistema tendo em conta a matriz dos coeficientes A o maior determinante que se pode etrair é de ordem (porquê?) Se eistir um determinante de ordem diferente de zero esse será o determinante principal Como consideramos este como sendo o determinante principal Tendo em conta as primeiras equações do sistema e todas as incógnitas são principais Como a última equação não é principal apenas há um determinante característico (porquê?) que corresponde ao determinante da matriz ampliada Por outro lado como det[ A B] c 8 o sistema é possível (a característica da matriz ampliada é igual à característica de A r r porquê?) Uma vez que todas as incógnitas são principais o sistema é possível e determinando Até aqui apenas classificámos o sistema para a sua resolução deveremos utilizar um dos processo referido com a desvantagem da matriz dos coeficientes estar na sua forma original Para a resolução do sistema podemos desprezar a 5ª equação vindo y z e t Obs: Repare-se que a última linha é uma combinação linear das restantes Ficando assim patente que para se calcular o determinante principal basta que um da mesma ordem seja diferente de zero Quantos determinantes de ordem poderíamos calcular neste caso? 6/

8 Eercício: Resolva os sistemas que resultam de desprezar cada uma das outras equações do sistema do eercício9 pode começar por resolver todos os determinantes de ordem Eercício: Classifique e resolva o sistema + y + z + t y z t + t 5 y z + t Eercício: Classifique e resolva o sistema + y + z + w y + z + w + z + w + y + z w Resolução: Neste sistema temos variáveis y z e w e equações ou seja m n (que tipo de sistema podemos ter?) Vamos utilizar o método de Gauss que classifica e resolve o sistema A matriz dos coeficientes é quadrada ( ) após condensação resulta da matriz ampliada [ A B] [ C D] A matriz [ C D ] tem duas linhas de zeros (que podem ser eliminadas) as linhas que restam m são linearmente independentes e dão a característica de A r( A ) que é menor que o número de variáveis isto é r( A) m < n Portanto através da condensação da matriz ampliada vimos que podemos eliminar duas equações do sistema (que se dizem redundantes uma vez que não vão ter influência na resolução do sistema) portanto o sistema é possível e indeterminado de grau d n r O sistema original é equivalente a + y + z + w ( z w + ) z w + z + w z w (livres) y z w y z w y z w + O que significa o sistema ser possível e indeterminado? Eercício: Troque algumas equações do sistema anterior e estude-o 7/

9 Eercício: Classifique o sistema anterior pela regra de Cramer e pelo método dos determinantes Resolva-o pela regra de Cramer Eercício5: Resolva pela regra de Cramer o sistema Resolução: O sistema tem mais incógnitas do que equações (há variáveis secundárias) portanto pode ser indeterminado ou impossível A matriz do sistema é A O maior determinante que se pode etrair é de ordem se eistir algum diferente de zero será o determinante principal Como não eistem determinantes característicos (porquê?) o sistema é possível (teorema Rouché) e por haver variáveis secundárias o sistema é indeterminado Uma vez que usámos as colunas e no cálculo de as variáveis principais são e (claro que poderiam ser outras desde que o determinante que envolve os seus coeficientes seja diferente de zero) e as variáveis livres (não principais) são e 5 Na resolução do sistema as primeiras vêm em função das livres Como queremos resolver o sistema pela regra de Cramer neste conteto podemos considerar: A a matriz dos coeficientes das variáveis principais; A a matriz dos coeficientes das variáveis não principais; X a matriz das variáveis principais e X a matriz das variáveis livres 5 8/

10 Como o sistema é possível e indeterminado para a aplicação da regra de Cramer devemos passar para o º membro as variáveis não principais Assim o sistema original é equivalente a e pela regra de Cramer tem-se donde ( ) e ( ) Repare-se que 5 AX B ou seja AX B A X B A X como as variáveis principais estão em X resolvemos como vem ou seja X A B A A X A X B A X X A B A A X (porquê?) A /

11 Finalmente a epressão geral das soluções sistema Esta representação indica que as variáveis e são principais e que as variáveis e 5 são livres Eercício6: Resolva o sistema anterior pelo método de Gauss Eercício7: Considere o seguinte sistema de equações lineares relação entre a b e c de forma que o sistema admita uma única variável livre a + b c b Determine a c Resolução: Para que o sistema proposto contenha apenas uma variável livre é necessário que tenha grau de indeterminação d Para isso terá de se verificar r( A) r( A B) < n (porquê?) Condensando a matriz ampliada do sistema vem Para que r( A B ) a relação pretendida é a b c c [ A B] b b c ac a + c ac a a + a a b a + c c a + c c Eercício8: Discuta em função dos parâmetros reais a b e c os seguintes sistemas de equações: + y + z 8) + ( a + ) y + ( a ) z Solução: a (SPI); a (SI); a e a (SPD) + y + ( a ) z a + ( a + ) y bz a b : (SPI); a b : (SI); 8) + bz Solução: b a : (SPI); b a : (SI); + y + bz b a b : (SPD) a + by + z a b : (SPI); a b : (SI); 8) + aby + z b Solução: a b : (SPI); a b : (SI); + by + az a b : (SI); a b : (SPD) /

12 8) + y + z y + cz + ay Solução: + ay + ( a c) z b a b : (SI) c; a b c : (SI); a b c : (SPI); a : (SPD) b c + y + bz + ( a + ) y 85) Solução: c b a c b a c a b (SPI); a b a c b c + y + az + y c (SPD) 86) + ay + a z a + by + b z b + cy + c z c Solução: c b a c b a c a b (SPI); a b a c b c (SPD) Eercício9: Considere a função polinomial f ( ) a b c d Determine os coeficientes a b c e d por forma a que o gráfico da função passe pelos pontos P ( ) P ( ) P ( ) e P ( ) Resolução: Substituindo os pontos na função obtemos o seguinte sistema Portanto o gráfico da função verificar na seguinte figura 5 a + b c + d a a + b + c + d b 8a + b + c + d c 8a b c d d 5 6 f ( ) passa nos pontos referidos como se pode /

13 + y + z + t y z t Eemplo: Considere o sistema + t 5 y z + t ) Calcule o determinante principal do sistema ) Com base na alínea anterior determine a característica da matriz do sistema ) Calcule caso eista os determinantes característicos do sistema ) Com base nas alíneas anteriores determine a característica da matriz ampliada do sistema 5) Classifique o sistema pelo teorema de Rouché 6) Resolva o sistema Resolução: ) A matriz dos coeficientes é A ( ) Como ( ) A o maior determinante que se pode etrair é de ª ordem A Prova-se que (verifique!) Passemos aos determinantes de ordem vamos considerar por eemplo o determinante que envolve as incógnitas z e t nas primeiras equações Como 6 o determinante principal é de ª ordem Assim consideramos a ª a ª e a ª como equações principais e z e t como as incógnitas principais (o que significa?) Repare-se que há outros determinantes de ª ordem diferentes de zero e consequentemente outras equações e incógnitas principais ) Como A ( ) então r( A) Contudo r( A) < e como o determinante principal é de ordem ( ) temos r( A ) ) Como e eiste um determinante característico de ordem (porquê?) c 5 /

14 ) Como A ( ) então r( A B) uma vez que e c temos r( A B ) 5) Como c o sistema é possível por outro lado eistem incógnitas não principais r( A) r( A B) < n donde o sistema é possível e indeterminando 5 7 6) A solução do sistema é S {( y z t) ( y y + ) y } (verifique!) Como considerámos y como a incógnita livre as outras vêm em função desta Eercício: Utilizando o teorema de Rouché verifique se a equação + + é compatível com o sistema Resolução: Uma equação é compatível com um sistema se verifica a solução do sistema Poderíamos resolver o sistema e verificar se a equação verifica a sua solução que eiste (porquê?) Como o sistema é possível pelo teorema de Rouché ou não eistem determinantes característicos ou se eistem são nulos O determinante principal do sistema é de ordem (porquê?) com a equação dada formamos um determinante característico c Uma vez que c a equação não é compatível com o sistema porque não se verifica o teorema de Rouché De facto a solução do sistema é S {( )} que não verifica a equação + + Considerando esta equação no sistema o sistema é impossível r( A) < r( A B) Por outro lado a equação verifica a solução S {( )} ou seja a equação é compatível com o sistema De facto c (verifique!) Verifique que substituindo qualquer equação do sistema por esta última a sua solução não se altera (porquê?) Portanto se quisemos resolve o sistema envolvendo as equações basta utilizar delas (porquê?) /

15 Eercício: Calcule o núcleo do sistema AX + B + Resolução: Pretendemos calcular N A X AX ( ) { : } ou seja a solução do sistema AX associado Condensando a matriz do sistema obtemos donde AX A Fazendo t e s vem t s t s t s t s t s t s + + AX X + t + s t t t s s s ou seja X t + s é a solução geral do sistema homogéneo AX constitui portanto o núcleo do sistema AX B Por eemplo considerando t s obtemos uma solução particular do sistema homogéneo X [ ] T (um elemento de N( A ) ) Observe-se que AX T T [ ] [ ] O /

16 Eercício:Resolva o sistema + z t y + t + y z + t + y z t + y z + t Resolução: Repare-se que m > n (o número que equações é superior ao nº de variáveis o que significa?) Tratando-se de um sistema homogéneo é sempre possível admite pelo menos a solução trivial Da condensação da matriz ampliada resulta: [ A B] [ ] C D O sistema é possível determinado admite a solução trivial y z e t (porquê?) + ay + az Eercício: Considere o seguinte sistema de equações lineares a + y + z + y + az a ) Discuta o sistema em função do parâmetro a ) Considere o sistema homogéneo associado fazendo a e determine dois conjuntos fundamentais de soluções Resolução: ) Condensando a matriz ampliada do sistema vem Discussão: a a a a a a a a a a a Se a como r( A ) e r( A B ) o sistema é impossível porque r( A B) > r( A) ; Se a r( A B) r( A) e o sistema é possível e indeterminado com grau de indeterminação d n r ; Para os restantes valores de a a ± tem-se um sistema de Cramer pois r( A B) r( A) O sistema é então possível e determinado 5/

17 ) Neste caso o sistema homogéneo associado ao sistema dado com a é y z + y + z + y z Para obter um conjunto fundamental de soluções é necessário resolver o sistema homogéneo y z k k y z z + y + z z k y y + y z y resolvendo o sistema deste modo considerámos as variáveis e y como principais e a variável z como não principal O grau de indeterminação é d e consequentemente um conjunto fundamental de soluções é constituído por uma solução Fazendo z como { } T e y obtém-se um conjunto fundamental de soluções [ ] qualquer solução do sistema proposto é combinação linear desta solução Fazendo z como T T [ y z] λ[ ] λ { T } e do y outro conjunto fundamental de soluções é [ ] mesmo modo qualquer solução do sistema proposto é combinação linear desta solução T T [ y z] α[ ] α Eercício5: Considere o seguinte sistema de equações lineares + + a + b c 5) Classifique o sistema tendo em conta os valores dos parâmetros a b e c 5) Determine a solução geral do sistema indicado sabendo que uma solução particular é / e Resolução: 5) A matriz ampliada do sistema é a b [ A B] b 6 6 b + a c a b + c 6/

18 Discussão: 8 Se a b + c o sistema é possível r( A) r( A B) mas é indeterminado porquê? 8 Se a b + c o sistema é impossível porquê? Obs: Um sistema de equações com mais incógnitas do que equações ou é indeterminado ou é impossível 5) Determine a solução geral do sistema indicado sabendo que uma solução particular é / e Sabe-se que todas as soluções do sistema AX B podem obter-se somando uma solução particular deste sistema com cada solução do sistema homogéneo associado Como / e é uma solução particular do sistema AX B vamos resolver AX O Condensando a matriz ampliada resulta [ A O] [ C O] 8 8 portanto r( A) r( A O) Daqui sai que a ª equação é redundante as incógnitas e são livres ou seja o sistema homogéneo original é equivalente a Fazendo e obtém-se o seguinte conjunto fundamental de soluções e A solução do sistema é - + λ + λ com λ λ 7/

19 Outros Eercícios: (Alguns eercícios poderão ser de difícil ou trabalhosa resolução!) a b a Eercício: Considere as matrizes A e a a a a a + a a + B a b a a b ) Discuta o sistema associado à equação matricial AX B em função dos parâmetros a e b ) Determine o conjunto solução do sistema AX B B T a em que [ ] a Eercício: Considere a matriz A a Determine o conjunto a a a a + a + solução do sistema AX B em que B [ 6] T para todos os valores de a Eercício: Considere o sistema + y + az + ay + z a a + y + z a a ) Estude a característica da matriz do sistema em função do parâmetro a ) Indique para que valor do parâmetro a a matriz do sistema é invertível ) Resolva o sistema pelo método da matriz inversa para a + y z b Eercício: Considere o sistema de equações lineares y + z a b a + y ) Discuta o sistema em função dos parâmetros a e b ) Resolva-o pelo método de Cramer para a e b calculando a inversa da matriz do sistema pelo método da matriz adjunta Eercício5: Considere a seguinte matriz A a a a + a 5) Determine os valores de a para os quais a matriz A admite inversa 5) Considere a e sejam B [ ] T e [ y z] T W com y z resolva o sistema de equações lineares AW AB 8/

20 β + β z Eercício6: Considere o sistema y + z β y + z β 6) Em função de β determine o determinante da matriz do sistema 6) Em função de β determine a característica das matrizes do sistema e ampliada 6) Discuta o sistema em função dos valores reais do parâmetro β 6) Para β calcule a inversa da matriz do sistema 65) Resolva o sistema pelo método de eplicitação e pelo o método de Jordan para β z + y bz Eercícios7: Considere os sistema lineares a z b e ay z b a b + y bz y z 7) Indique para que valores dos parâmetros a e b as matrizes dos sistemas são invertíveis 7) Discuta os sistemas em função dos valores dos parâmetros a e b 7) Se possível para a e b resolva os sistemas usando os métodos: de Gauss; de Gauss- Jordan; da eplicitação; Regra de Cramer a a Eercício8: Considere as matrizes M e a a B b a b 8) Usando o teorema de Laplace calcule o determinante da matriz M para a 8) Tendo em conta o parâmetro a indique a característica da matriz M 8) Discuta o sistema correspondente à equação matricial MX B 8) Para a determine b tal que [ ] T seja solução do sistema MX B Eercício9: Considere A a a a 5 a a a a B e 5 C 9) Usando o teorema de Laplace calcule o determinante da matriz C 9) Utilizando a matriz ampliada [ C I ] determine a inversa da matriz C 9) Tendo em conta o parâmetro a calcule a característica da matriz A 9) Classifique o sistema correspondente à equação matricial AX B 9/

21 Eercício: Considere as matrizes ÁREA DEPARTAMENTAL DE ENGENHARIA CIVIL a a A e 8a a b b 8b 9 a b 5a b ) Tendo em conta os parâmetros a b calcule a característica da matriz A ) Classifique em função dos parâmetros a b o sistema AX B 6a + b b B a ) Calcule o determinante da matriz A para a e b o que pode concluir quanto à classificação do sistema AX B ) Determine a inversa da matriz A para a e b 5) Resolva o sistema AX B fazendo a e b Eercício: Considere as matrizes a a a A a a B b e C ) Usando o teorema de Laplace calcule o determinante da matriz C ) Calcule a característica da matriz A em função do parâmetro a ) Classifique o sistema AX CB em função dos parâmetros a b? ) Se a determine o valor de b tal que T seja solução do sistema AX B a b Eercício Considere as matrizes A a e B b a b a b ) Tendo em conta o parâmetro a determine a característica da matriz A ) Discuta o sistema de equações correspondente à equação matricial AX B tendo em conta os parâmetros reais a e b ) Para a determine o valor de b tal que [ ] T seja solução do sistema AX B a a + b a Eercício: Para a b A b B e a a a a + b M 8 ) Discuta o sistema correspondente à equação matricial AX B em função de a b ) Faça a e b em A e determine utilizando o teorema de Laplace o seu determinante ) Considere a matriz C obtida de M por eliminação da ª linha e da ª coluna Determine a sua inversa utilizando o método da matriz adjunta /

22 Eercício: Considere as seguintes matrizes + b A a b a b a a b b b ) Tendo em conta os parâmetros a e b indique o determinante da matriz A ) Tendo em conta a alínea anterior indique a característica da matriz A e B a + ) Tendo em conta os parâmetros a e b indique a característica da matriz ampliada do sistema ) Discuta o sistema AX B de acordo com os parâmetros a b 5) Para a e b calcule o determinante da matriz A 6) Para a e b calcule a inversa da matriz A pelo método da matriz ampliada Eercício5: Considere as seguintes matrizes a a a + A e 5a a a a a 5) Calcule o valor do determinante de A em função de a 5) Tendo em conta a alínea anterior determine a característica de A 5) Determine a característica da matriz ampliada em função de a b a B + a a + b 5) Utilizando o teorema de Rouché discuta o sistema AX B em função de a b 55) Para a calcule determinante da matriz A e a sua característica 56) Para a e b calcule a característica da matriz ampliada do sistema 57) Para a e b resolva se possível o sistema AX B pela regra Cramer b Eercícios6: Considere as matrizes a A e B a a a a b + 6) Discuta o sistema correspondente à equação matricial AX B em função de a b 6) Para a e b usando o teorema de Laplace calcule o determinante da matriz A a a a + b Eercícios7: Considere as seguintes matrizes A e a a 7) Indique a característica da matriz A em função dos valores de a e b a B b 7) Discuta o sistema correspondente à equação matricial AX B em função de a b 7) Resolva o sistema para a e b pelo método de eplicitação e pelo método de Jordan /

23 a a a a Eercício8: Considere as seguintes matrizes A e a a b B a 8) Indique a característica da matriz A e de [ A B ] em função dos valores de a e b a b 8) Discuta o sistema correspondente à equação matricial AX B em função de a b 8) Resolva o sistema AX B para a e b pelo método de Gauss-Jordan 8) Discuta em função de a o sistema homogéneo associado 85) Calcule o núcleo do sistema AX B em função de a 86) Para a determine na matriz A os valores λ tais que X que satisfaz AX λx 87) Para cada valor de λ encontrados na alínea anterior encontre a solução geral do sistema AX λ X a a a + Eercício9: Para as matrizes A B e C a a ( a ) a a + b 9) Indique a característica da matriz A e da matriz ampliada em função dos valores de a e b 9) Discuta o sistema AX B em função dos valores de a b 9) Considere a matriz D obtida de B por eliminação da quarta linha Classifique e resolva o sistema correspondente à equação matricial CX D utilizando a regra de Cramer 9) Discuta em função de a o sistema homogéneo associado 95) Calcule o núcleo do sistema AX B em função de a 96) Determine na matriz C os valores λ tais que X que satisfaz AX λx 97) Para cada valor de λ encontrados na alínea anterior encontre a solução geral do sistema AX λ X 98) Para a determine na matriz A os valores λ tais que X que satisfaz AX λx 99) Para cada valor de λ encontrados na alínea anterior encontre a solução geral do sistema AX λ X /

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