Álgebra Linear AL. Luiza Amalia Pinto Cantão. Depto. de Engenharia Ambiental Universidade Estadual Paulista UNESP

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1 Álgebra Linear AL Luiza Amalia Pinto Cantão Depto. de Engenharia Ambiental Universidade Estadual Paulista UNESP Determinantes 1 Permutação e Inversão 2 Determinantes de matriz de ordem n 3 Propriedades dos determinantes 4 Expansão em co-fatores: desenvolvimento de Laplace

2 Permutação Definição: Seja S = 1, 2,..., n o conjunto de números inteiros de 1 a n, arranjados em ordem crescente. Uma reordenação j 1 j 2... j n dos elementos de S é uma permutação de S. Por exemplo, S = 1, 2, 3, 4, então 4132 é uma permutação de S. Podemos colocar qualquer um dos n elementos na 1 a posição, qualquer um dos outros n 1 elementos na 2 a posição, e assim por diante até n-ésima posição poder ser preenchida apenas pelo último elemento remanescente. Assim, há permutações de S. n(n 1)(n 2) 2 1 Notação de Fatorial: Lê-se fatorial de n a expressão acima e representamos por: n! = n(n 1)(n 2) 2 1

3 Inversão Definição: Uma permutação j 1 j 2... j n tem uma inversão se um inteiro j r precede outro inteiro menor j s. Exemplo: Considere a tabela abaixo: Permutações Número de Classificação Inversões (1 2 3) 0 Par (1 3 2) 1 Ímpar (2 1 3) 1 Ímpar (2 3 1) 2 Par (3 1 2) 2 Par (3 2 1) 3 Ímpar

4 Determinantes Definição: Seja A = [a ij ] uma matriz n n. Definimos o determinante de A (det(a) ou A ) por: det(a) = A = (±)a 1 j1 a 2 j2 a n jn onde o somatório varia por todas as permutações j 1 j 2... j n do conjunto S = {1, 2,..., n}. O sinal é positivo (+) ou negativo ( ) conforme a permutação j 1 j 2... j n seja par ou ímpar, respectivamente. [ ] a11 a Exemplo (1) Se A = 12, para obter o det(a), escrevemos a 21 a 22 os termos a seguir a 1 a 2 e a 1 a 2 e preenchemos os vazios com todos os elementos possíveis de S 2 ; os índices tornam-se 12 e 21. Como 12 é uma permutação par, o termo a 11 a 22 tem um sinal + associado; e como 21 é uma permutação ímpar, o termo a 12 a 21 tem um sinal negativo associado. Logo: det(a) = a 11 a 12 = a11 a a 21 a 22 a 12 a 21 22

5 Exemplo (2) Se A = Determinantes: Continuação (1) a 21 a 12 a 22 a 13 a 23 a 31 a 32 a 33, então: det(a) = a 11 a 22 a 33 + a 12 a 23 a 31 + a 13 a 21 a 32 a 11 a 23 a 32 a 12 a 21 a 33 a 13 a 22 a 31 Verifique!!!! Exemplo (3) Calcule det(a), para A = (Flechas)

6 Propriedades do Determinantes (1) Teorema (1) Os determinantes de uma matriz e de sua transposta são iguais, isto é, det(a) = det(a T ). Exemplo (4) Sejam A = a 21 a 12 a 22 a 13 a 23 a 31 a 32 a 33 e A T = a 12 a 21 a 22 a 31 a 32 a 13 a 23 a 33 det(a) = a 11 a 22 a 33 + a 12 a 23 a 31 + a 13 a 21 a 32 a 11 a 23 a 32 a 12 a 21 a 33 a 13 a 22 a 31 det(a T ) = a 11 a 22 a 33 + a 13 a 21 a 32 + a 12 a 23 a 31 a 11 a 23 a 32 a 13 a 22 a 31 a 12 a 21 a 33 :

7 Propriedades do Determinantes (2) Teorema (2) Se a matriz B é obtida da matriz A trocando-se de posição duas linhas (colunas) de A, então det(b) = det(a). Exemplo (5) Sejam A = a 21 a 12 a 22 a 13 a 23 a 31 a 32 a 33 e B = a 13 a 21 a 23 a 31 a 33 a 12 a 22 a 32 det(a) = a 11 a 22 a 33 + a 12 a 23 a 31 + a 13 a 21 a 32 a 11 a 23 a 32 a 12 a 21 a 33 a 13 a 22 a 31 det(b) = a 11 a 23 a 32 + a 12 a 21 a 33 + a 13 a 22 a 31 a 13 a 21 a 32 a 11 a 22 a 33 a 12 a 23 a 31 :

8 Propriedades do Determinantes (3) Teorema (3) Se duas linhas (colunas) de A são iguais, então det(a) = 0. Exemplo (6) Seja A = a 11 a 12 a 12 a 13 a 13 a 31 a 32 a 33 det(a) = a 11 a 12 a 33 + a 12 a 13 a 31 + a 11 a 13 a 32 a 11 a 12 a 33 a 12 a 13 a 31 a 11 a 13 a 32 = 0 :

9 Propriedades do Determinantes (4) Teorema (4) Se uma linha (coluna) de A é nula, então det(a) = 0. Exemplo (7) Seja A = a 21 a 12 a 22 a 13 a : det(a) = a 11 a a 12 a a 21 a 13 0 a 13 a 22 0 a 12 a 21 0 a 11 a 23 0 = 0

10 Propriedades do Determinantes (5) Teomera (5) Se B é obtida de A pela multiplicação de uma linha (coluna) de A por um número real k, então det(b) = k det(a). Exemplo (8) Seja B = k a 12 a 21 k a 22 a 31 k a 32 a 13 a 23 a 33 : det(b) = a 11 ka 22 a 33 + a 12 ka 23 a 31 + a 13 ka 21 a 32 a 11 ka 23 a 32 a 12 ka 21 a 33 a 13 ka 22 a 31 = k (a 11 a 22 a 33 ) + k (a 12 a 23 a 31 ) + k (a 13 a 21 a 32 ) k (a 11 a 23 a 32 ) k (a 12 a 21 a 33 ) k (a 13 a 22 a 31 ) = k det(a)

11 Propriedades do Determinantes (6) Teorema (6) Se B é obtida de A pela adição a cada elemento da r-ésima linha (coluna) de A de uma constante k vezes o elemento correspondente da s-ésima linha (coluna) r s de A, então det(a) = det(b). Exemplo (9) Seja B = a 11 a 21 a 31 a 21 + ka 11 a 22 + ka 12 a 23 + ka 13 a 13 a 23 a 33 : det(b) = + a 11 (a 22 + ka 12 ) a 33 + a 12 (a 23 + ka 13 ) a 31 + a 13 (a 21 + ka 11 ) a 32 a 11 (a 23 + ka 13 ) a 32 a 12 (a 21 + ka 11 ) a 33 a 13 (a 22 + ka 12 ) a 31 det(b) = + a 11 a 22 a 33 + k a 11 a 12 a 33 + a 12 a 23 a 31 + k a 12 a 13 a 31 + a 13 a 21 a 32 + k a 13 a 11 a 32 a 11 a 23 a 32 k a 11 a 13 a 32 a 12 a 21 a 33 k a 12 a 11 a 33 a 13 a 22 a 31 k a 13 a 12 a 31 det(b) = det(a)

12 Propriedades do Determinantes (7) Teorema (7) Se uma matriz A é triangular superior (inferior) então det(a) = a 11 a a nn isto é, o determinante de uma matriz triangular é igual ao produto dos elementos da diagonal principal. Exemplo (10) Sejam A = a 11 a 12 a 13 0 a 22 a 23 e B = b b 21 b 22 0 : 0 0 a 33 b 31 b 32 b 33 Verifiquem!!!! det(a) = a 11 a 22 a 33 det(b) = b 11 b 22 b 33 Corolário (1) O determinante de uma matriz diagonal é igual ao produto dos elementos de sua diagonal principal.

13 Propriedades do Determinantes (8) Teorema (8) O determinante de um produto de duas matrizes é igual ao produto de seus determinantes; isto é: Exemplo (11) Sejam A = [ ] 4 3 (verifiquem!): 10 5 det(ab) = det(a) det(b) Atenção: det(ab) det(ba)! [ det(a) = 2 det(b) = 5 ], B = [ det(ab) = ( 2) (5) = 10 det(c) = 10 ] e C = A B = Corolário (2) Se A é invertível, então det(a) 0 e det(a 1 ) = 1. (Resultado para o futuro próximo :-) det(a)

14 Expansão em co-fatores: desenvolvimento de Laplace Definição: Seja A uma matriz n n. Seja M uma submatriz (n n) (n n) de A obtida pela eliminação da i-ésima linha e da j-ésima coluna de A. O determinante det(m ij ) é chamado de determinante menor de a ij. O co-fator A ij de a ij é definido como: A ij = ( 1) i+j det(m ij ) Exemplo (12) Seja A = Então: det (M 12 ) = = 8 42 = 34 Assim: A 12 = ( 1) 1+2 det (M 12 ) = ( 1)( 34)

15 Expansão em co-fatores: desenvolvimento de Laplace Cont. (2) Teorema (9): Seja A uma matriz n n. Então para cada 1 i n: det(a) = a i1 A i1 + a i2 A i2 + + a in A in (expansão de det(a) em relação a i-ésima linha); e para cada 1 j n det(a) = a 1j A 1j + a 2j A 2j + + a nj A nj (expansão de det(a) em relação a j-ésima coluna);

16 Expansão em co-fatores: desenvolvimento de Laplace Cont. (3) Demonstração: Seja A = a 21 a 12 a 22 a 13 a 23 a 31 a 32 a 33 : Sendo: det(a) = a 11 a 22 a 33 + a 12 a 23 a 31 + a 13 a 21 a 32 a 11 a 23 a 32 a 12 a 21 a 33 a 13 a 22 a 31 = a 11 (a 22 a 33 a 23 a 32 ) + a 12 (a 23 a 31 a 21 a 33 ) + a 13 (a 21 a 32 a 22 a 31 ) A 11 = ( 1) 1+1 a 22 a 23 a 32 a 33 = (a22 a 33 a 23 a 32 ) A 12 = ( 1) 1+2 a 21 a 23 a 31 a 33 = (a23 a 31 a 21 a 33 ) A 13 = ( 1) 1+3 a 21 a 22 a 31 a 32 = (a21 a 32 a 22 a 31 ) Logo, det(a) = a 11 A 11 + a 12 A 12 + a 13 A 13 (expansão de det(a) em relação a 1 a linha):

17 Expansão em co-fatores: desenvolvimento de Laplace Cont. (4) Exemplo (13): Seja A =. Calcule o seu determinante usando co-fatores