Departamento de Matemática da Universidade de Coimbra Álgebra Linear e Geometria Analítica Engenharia Civil Ano lectivo 2005/2006 Folha 1.

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1 Departamento de Matemática da Universidade de Coimbra Álgebra Linear e Geometria Analítica Engenharia Civil Ano lectivo 2005/2006 Folha 1 Matrizes 1 Considere as matrizes A = Calcule a matriz 2(A + B) AB e B = Calcule os produtos AB e BA, quando definidos, nos seguintes casos: (a) A = e B = 0 3, (b) A = e B = (c) A = Considere as matrizes A = e B =, B = /3 5 5/2 5/ Verifique que AB = AC e BD = CD 4 Considere as matrizes A =, B = , C =, C = ,, D =, D = Escolha uma maneira de as ordenar de tal modo que o produto das quatro matrizes esteja definido e calcule esse produto 5 Mostre que se os produtos AB e BA estiverem ambos definidos e A for do tipo m n, então B é do tipo n m 6 Calcule o número de multiplicações necessárias para multiplicar uma matriz A do tipo m n por uma matriz B do tipo n p cos α sin α cos β sin β 7 Sejam α e β números reais, calcule o produto sin α cos α sin β cos β 8 Calcule: (a) ; (b) ; (c) ; (d) k (k IN);

2 (e) k cos θ sin θ (k IN); (f) sin θ cos θ k (θ IR, k IN); (g) Calcule: µ µ µ n k (k IN) 10 (a) Verifique que as igualdades (A + B) 2 = A 2 + 2AB + B 2, (A B) 2 = A 2 2AB + B 2, (A + B)(A B) = A 2 B 2 e (AB) 2 = A 2 B 2 nem sempre são verdadeiras quando A e B são matrizes Considere, por exemplo, as matrizes seguintes: (i) A =, B = ; (ii) A = i 1 + i i 2 + i (iii) A =, B = i 1 i 3i 1 i , B = (b) Transforme os segundos membros daquelas igualdades de forma a obter identidades (sempre válidas) para A e B matrizes quadradas quaisquer da mesma ordem (c) Mostre que se duas matrizes A e B verificarem a primeira igualdade referida em (a) então A e B também verificam as outras três igualdades 11 Calcule todas as matrizes permutáveis com A, sendo: (a) A = ; (b) A = ; (c) A = ; (d) A = Em cada uma das alíneas dê exemplos de matrizes reais 2 2 com a propriedade indicada: (a) A 2 = I; (b) A 2 = 0, sendo A não nula; (c) AB = 0, não tendo A nem B nenhum elemento nulo 13 Seja A uma matriz quadrada de ordem n Prove que (a) se A for invertível e C for uma matriz n p tal que AC = 0 n p (0 n p a matriz nula n p), então C = 0 n p ; (b) se A for invertível e D for uma matriz m n tal que DA = 0 m n, então D = 0 m n ; (c) se A for invertível e AC = AD (C e D matrizes n p), então C = D; (d) se A for invertível e EA = F A (E e F matrizes m n), então E = F ;

3 Departamento de Matemática da Universidade de Coimbra Álgebra Linear e Geometria Analítica Engenharia Civil Ano lectivo 2005/2006 Folha 2 14 Calcule os produtos AB e BA nos seguintes casos: cos θ sin θ cos θ sin θ (a) A =, B = sin θ cos θ sin θ cos θ i 1 i 1 (b) A =, B = ; 0 i 0 i 0 i 0 i (c) A =, B = i 0 i 0 15 (a) Determine a inversa da matriz ; (b) Calcule Considere as matrizes E 21 (2) = usando a igualdade e A = = a b c d e f g h i (a) Efectue os produtos E 21 (2)A e AE 21 (2) (b) O que observa relativamente às linhas de E 21 (2)A e às colunas de AE 21 (2)? (c) O que observa relativamente às linhas de E 32 (2)A e às colunas de AE 32 (2) sendo E 32 (2) = 0 1 0? (e) Efectue os produtos P 21 A e AP 21 (f) O que observa relativamente às linhas de P 21 A e às colunas de AP 21? (g) O que observa relativamente às linhas de P 32 A e às colunas de AP 32? (i) Efectue os produtos D 2 ( 1)A e AD 2 ( 1) (j) O que observa relativamente às linhas de D 2 ( 1)A e às colunas de AD 2 ( 1)? (k) O que observa relativamente às linhas de D 3 (2)A e às colunas de AD 3 (2)? (l) Generalize as observações efectuadas

4 17 Seja E a matriz elementar 4 4 cujo efeito, quando multiplicada por uma matriz, é adicionar a primeira linha à terceira linha dessa matriz (a) Qual é o efeito de E 50? (b) Escreva por extenso as matrizes E, E 50 e 50E Sendo A = , calcule A Escreva todas as matrizes de permutação 3 3, incluindo P = I, e para cada uma identifique a respectiva inversa (que também é uma matriz de permutação) 20 Quantas matrizes de permutação n n existem? 21 (a) Mostre que se uma matriz quadrada tiver uma linha (ou uma coluna) nula então não pode ser invertível (b) Mostre que se numa matriz quadrada uma linha (ou uma coluna) for múltipla de outra então a matriz não pode ser invertível (c) Mostre que se uma matriz 2 2 for não-invertível, então há, de certeza, uma linha (e uma coluna) que é múltipla da outra (d) Dê um exemplo de uma matriz 3 3 não-invertível na qual nenhuma linha (nem coluna) é múltipla de outra Determinantes 22 Seja A uma matriz quadrada de ordem n Qual a relação com deta de: (a) det(2a)? (b) det( A)? 23 Calcule os seguintes determinantes: 1 3 (a) 2 4 ; (b) ; (c) ; (d) ; (e) ; (f) ; (g) ; (h) Calcule o determinante das matrizes referidas nos exercícios 1, 2(c), 10(a)(i), 10(a)(ii), 11, 14(a), Calcule o determinante de cada uma das matrizes seguintes: a b (a) ; (b) ; (c) ; (d) c d Calcule o determinantes da matriz dos exercício 23 (b), bem como da respectiva matriz inversa Que relação existe entre o determinante de uma matriz e o determinante da matriz inversa? ;

5 Departamento de Matemática da Universidade de Coimbra Álgebra Linear e Geometria Analítica Engenharia Civil Ano lectivo 2005/2006 Folha 3 Sistemas de Equações Lineares 27 Resolva pelo método de eliminação de Gauss o sistema de equações { x y = 0 x + 2y = 6 e desenhe no plano xy as duas rectas cujas equações são as indicadas Desenhe também as rectas que aparecem no final da eliminação 28 Resolva os seguintes sistemas, quando possíveis, usando o método de eliminação Registe os pivots utilizados e as operações que efectuou com as equações 2x 1 x 2 + 3x 3 = 8 (a) 3x 1 + 2x 2 + x 3 = 7 2x 1 + x 2 + 2x 3 = 3 x 1 + x 2 + x 3 = 0 (b) x 1 + 2x 2 + 3x 3 = 0 3x 1 + 5x 2 + 7x 3 = 1 (c) x 1 x 2 3x 3 + 4x 4 = 1 x 1 + x 2 + x 3 + 2x 4 = 1 x 2 2x 3 + x 4 = 1 x 1 + 2x 2 + 3x 3 + x 4 = 2 (d) x 1 2x 2 + 3x 3 4x 4 = 4 x 2 x 3 + x 4 = 3 x 1 + 3x 2 3x 4 = 1 7x 2 + 3x 3 + x 4 = 3 29 Mesmo exercício para os sistemas das alíneas (a) a (f) (Repare nas relações existentes entre esses sistemas e utilize-as para resolver o exercício) x 1 + x 2 + x 3 = 0 (a) x 1 + x 2 + 3x 3 = 0 3x 1 + 5x 2 + 7x 3 = 0 x 1 + x 2 + x 3 + x 4 = 1 (b) x 1 + x 2 + 3x 3 + 2x 4 = 3 3x 1 + 5x 2 + 7x 3 + 3x 4 = 0 x 1 + x 2 + x 3 = 11 (c) x 1 + x 2 + 3x 3 = 23 3x 1 + 5x 2 + 7x 3 = 30 x 1 + x 2 + x 3 = 10 (d) x 1 + x 2 + 3x 3 = 23 3x 1 + 5x 2 + 7x 3 = 30 (e) x 1 + x 2 + x 3 + x 4 = 1 x 1 + x 2 + 3x 3 + 2x 4 = 3 3x 1 + 5x 2 + 7x 3 + 3x 4 = 0 3x 1 + 5x 2 + 9x 3 + 4x 4 = 3 (f) x 1 + x 2 + x 3 + x 4 = 1 x 1 + x 2 + 3x 3 + 2x 4 = 3 3x 1 + 5x 2 + 7x 3 + 3x 4 = 0 3x 1 + 5x 2 + 9x 3 + 4x 4 = 2 (g) Acrescente uma equação ao sistema da alínea (b) de modo que o novo sistema seja possível e determinado

6 30 Determine os números complexos z e w que satisfazem { iz + (1 + i)w = 3 + i (1 i)z (6 i)w = 4 31 Determine os valores de α para os quais o conjunto das soluções do sistema é { αx + y = 1 x + αy = 1 (i) vazio; (ii) singular; (iii) infinito 32 Considere o sistema de equações onde β é um parâmetro real: x + βy + βz = 0 βx + y + z = 0 x + y + βz = β 2 (a) Discuta o sistema em função de β (b) Considere o sistema homogéneo associado a β = 0 e determine a solução (ou soluções) do sistema 33 Considere o sistema de equações nos parâmetros reais a, b e c: ax 1 +bx 2 = c bx 2 x 3 = 1 x 1 +x 3 = 2 Determine a relação entre a, b e c de forma que o sistema só tenha uma variável livre 34 Considere o sistema de equações: 2x 1 + 4x 2 = 16 5x 1 2x 2 = 4 3x 1 + ax 2 = 9 4x 1 + bx 2 = 7 Determine a e b de forma que o sistema seja possível e determine a solução nesse caso 35 Determine as decomposições LU e LDU das seguintes matrizes: (a) ; (b) ; (c) ; (e) ; (f) (d) Que relação nota entre os factores triangulares da decomposição LDU nas alíneas (d) e (e)? (Ver-se-á adiante que isto está relacionado com a estrutura das matrizes dessas alíneas) ;

7 Departamento de Matemática da Universidade de Coimbra Álgebra Linear e Geometria Analítica Engenharia Civil Ano lectivo 2005/2006 Folha 4 Sistemas de Equações Lineares 36 Mediante a resolução de sistemas triangulares resolva os sistemas Ax = b 1 e Ax = b 2 onde, (a) A é a matriz da alínea (c) do exercício anterior e com b 1 = T e b2 = T ; (b) A é a matriz da alínea (e) do exercício anterior e com b 1 = T e b2 = T ; (c) A é a matriz da alínea (f) do exercício anterior e com b 1 = T e b2 = T 37 Seja A = (a) Determine a decomposição LU de A (b) Determine a matriz inversa de L e a matriz inversa de U (c) Usando os resultados obtidos na alínea anterior calcule A 1 38 Sendo A quadrada não singular, mostre que a matriz D nas decomposições LDU de A e A T é a mesma (Por outras palavras, A e A T têm os mesmos pivots) 39 Sendo A = determine uma matriz de permutação P para a qual exista a decomposição LU de P A e determine os factores dessa decomposição 40 Determine as decomposições P A = LDU sendo: (a) A = ; (b) A = Para cada uma das matrizes A = γ ; (c) A = e B = α β 3 0 a b 0 0 c d e f, a, c, d 0, diga que valores dos parâmetros tornam necessárias trocas de linhas no processo de factorização, e que valores dos parâmetros tornam a matriz singular Determine a decomposição A = LU para A = e resolva Ax = b para os três segundos membros indicados:

8 (a) b = 1 0 0, (b) b = 0 1 0, (c) b = Calcule as inversas das seguintes matrizes: (a) ; (b) ; (c) ; (d) Efectue a factorização LDL T das seguintes matrizes: (a) ; (b) ; (c) Para cada uma das seguintes matrizes A, - determine uma factorização LU, onde L é triangular inferior com elementos diagonais iguais a 1 e U é uma matriz em escada (se tal não for possível, faça-o para P A, onde P é uma matriz de permutação adequada); - registe os pivots usados na eliminação e indique a característica de A; - determine relativamente ao sistema Ax = 0, as incógnitas básicas e as incógnitas livres e escreva a solução geral como combinação linear de um número de vectores tão pequeno quanto possível: (a) ; (b) (d) a transposta da matriz da alínea anterior; (e) 0 1 ; (f) ; (c) ; (g) Para cada um dos seguintes sistemas, escreva a solução geral como soma de uma solução particular, caso exista, com a solução geral do sistema homogéneo correspondente: { x1 + x (a) 2 + x 3 = 1 x 1 + x 2 + x 3 = 2 ; (b) 2x x 1 x 3 = x 2 + x 3 = 3 ; 3x 1 + x 2 + x 3 = 4 ; x 1 + x 2 + x 3 = 2 (c) 2x 1 + x 2 + x 3 = 3 3x 1 + x 2 + x 3 = 5 ; (d) x 1 + 8x 2 + 6x 3 = 2 x 1 + 7x 2 + 5x 3 = 3 2x 1 9x 2 + 5x 3 = 7 x x x 3 = 16

9 Departamento de Matemática da Universidade de Coimbra Álgebra Linear e Geometria Analítica Engenharia Civil Ano lectivo 2005/2006 Folha 5 47 Para α, β IR, considere a matriz A = (a) Determine a factorização LU da matriz A (b) Indique para que valores de α e β se tem i car(a) = 2; ii car(a) = 3 (c) Faça α = 1 e β = α α 4 1 β i Determine uma base para o espaço das colunas de A ii Mostre que (0, 1, 1) pertence ao espaço das colunas de A, C(A) iii Resolva o sistema homogéneo Ax = 0 iv Usando o resultado obtido na alínea iii, indique a solução geral de Ax = T Espaços Vectoriais 48 Diga quais dos seguintes subconjuntos de IR 4 são subespaços de IR 4 : (a) {(x 1, x 2, x 3, x 4 ) : x 1 + x 2 = 0 e x 3 = x 4 }; (b) (x 1, x 2, x 3, x 4 ) : x 1 + x 2 + x 3 = 0 e x 4 é um inteiro não nulo}; (c) {(x 1, x 2, x 3, x 4 ) : x 2 = 0}; (d) {(x 1, x 2, x 3, x 4 ) : x 1 + x 2 + x 3 + x 4 = 1} 49 Diga quais dos seguintes subconjuntos de M n (IR) são subespaços de M n (IR) : (a) o conjunto das matrizes triangulares superiores; (b) o conjunto das matrizes simétricas; (c) o conjunto das matrizes ortogonais 50 Diga se o vector (2, 5, 3) pertence ao subespaço de IR 3 gerado pelos vectores (1, 4, 2) e ( 2, 1, 3) 51 Determine α e β de modo que o vector (1, 1, α, β) pertença ao subespaço de IR 4 gerado pelos vectores (1, 0, 2, 1) e (1, 1, 2, 2) 52 Considere os seguintes vectores de IR 3 : v 1 = (1, 0, 2), v 2 = (1, 1, 1), v 3 = (0, 1, 1), v 4 = (1, 1/2, 3/2) Prove que o subespaço gerado por v 1 e v 2 coincide com o subespaço gerado por v 3 e v 4 53 Descreva geometricamente o subespaço de IR 3 gerado por: (a) (0, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 2, 0); (b) (0, 0, 1), (0, 1, 1), (0, 2, 1); (c) os seis vectores indicados em (a) e (b)

10 54 Sendo A m n, mostre que o espaço das colunas de A é o conjunto {Av : v IR n } 55 Escreva o vector (2, 3) de IR 2 como combinação linear dos vectores (a) (1, 0) e (0, 1); (b) (1, 1) e (1, 2); (c) (0, 1) e (2, 3) 56 (a) Escreva o vector nulo de IR 2 como combinação linear dos vectores (2, 3) e ( 4, 6) de várias maneiras diferentes (b) Pode o vector nulo de IR 2 escrever-se como combinação linear dos vectores (2, 3) e (4, 6) em mais do que uma maneira? 57 Verifique que o conjunto dos números complexos {1 + i, 2 i} é (a) linearmente independente no espaço vectorial real C; (b) linearmente dependente no espaço vectorial complexo C 58 Diga quais dos seguintes conjuntos de vectores IR 3 são linearmente independentes e em caso de dependência escreva um dos vectores como combinação linear dos outros: (a) {(1, 2, 3), (3, 6, 9)}; (b) {(1, 2, 3), (3, 2, 1)}; (c) {(0, 1, 2), (1, 1, 1), (1, 2, 1)}; (d) {(0, 2, 4), (1, 2, 1), (1, 4, 3)}; (e) {(1, 1, 1), (2, 3, 1), ( 1, 4, 2), (3, 1, 2)} 59 Considere os vectores de IR 4 : v 1 = (1, 0, 1, 0), v 2 = (1, 1, 1, 1), v 3 = ( 2, 0, 1, 2), v 4 = (3, 1, 3, 1) (a) Mostre que {v 1, v 2, v 3 } é linearmente independente (b) Mostre que {v 1, v 2, v 4 } é linearmente dependente 60 Discuta segundo os valores de µ a dependência ou independência linear dos vectores de IR 4 v 1 = (1, 2, 5, 8), v 2 = ( 1, 1, 1, 5), v 3 = (1, 2, 11, µ) 61 Diga para que valores de α, β e γ, o conjunto dos vectores {(0, γ, β), ( γ, 0, α), (β, α, 0)} é linearmente independente 62 Considere os seguintes vectores de IR 3 : v 1 = (2, 3, 1), v 2 = (0, 1, 2), v 3 = (1, 1, 2) (a) Mostre que {v 1, v 2, v 3 } é uma base de IR 3 (b) Determine as coordenadas do vector (3, 2, 1) relativamente a essa base 63 Determine a dimensão e indique duas bases diferentes para o subespaço de IR 3 gerado pelos vectores (1, 2, 3), (4, 5, 6), (7, 8, 9)

11 Departamento de Matemática da Universidade de Coimbra Álgebra Linear e Geometria Analítica Engenharia Civil Ano lectivo 2005/2006 Folha 6 64 Para cada um dos subespaços de IR 4 encontrados no exercício 48, determine a dimensão e indique uma base 65 Para cada um dos seguintes subconjuntos de IR n, prove que se trata de um subespaço, determine a dimensão e indique uma base (a) O conjunto dos vectores com a primeira e a última coordenadas iguais (b) O conjunto dos vectores cujas coordenadas de índice par são nulas (c) O conjunto dos vectores cujas coordenadas de índice par são todas iguais (d) O conjunto dos vectores da forma (α, β, α, β, α, β, ) 66 Considere os subespaços de IR 4 : F={(x 1, x 2, x 3, x 4 ) : x 1 = x 3 e x 4 = 2x 2 } e G = L{(1,0,1,0),(0,2,0,1), (-1,2,-1,1)} Determine a dimensão e indique uma base para F e G 67 Indique uma base de IR 4 que contenha os vectores v 1 = (1, 0, 1, 0) e v 2 = (0, 1, 2, 1) 68 Considere v 1 = (1, α, 1), v 2 = (1, α 1, 1), v 3 = (1, α + 1, 1), v 4 = (α, 1, 1) Determine os valores de α IR para os quais o subespaço gerado por estes quatro vectores de IR 3 tenha dimensão 2 69 Considere as bases B 1 = {(5, 2), (7, 3)} e B 2 = {(3, 2), (1, 1)} de IR 2 (a) Determine a matriz de mudança da base B 1 para a base B 2 (b) Se as componentes de um vector v em relação à base B 2 forem 1 e 4, quais são as componentes de v em relação à base B 1? 70 Seja B 1 = {e 1, e 2, e 3 } a base canónica de IR 3 e v = αe 1 + βe 2 + δe 3 um vector arbitrário de IR 3 Considere os vectores f 1 = (1, 1, 0), f 2 = (1, 0, 1), f 3 = (1, 1, 1) (a) Verifique que B 2 = {f 1, f 2, f 3 } é uma base de IR 3 (b) Determine a matriz de mudança da base B 1 para a base B 2 (c) Escreva, usando matrizes de mudança de base, o vector v como combinação linear da base B Determine a característica e o espaço nulo das matrizes e Para cada uma das matrizes do exercício 71: i indique a característica e a nulidade; ii determine uma base para o espaço das linhas e uma base para o espaço das colunas

12 73 Considere a matriz A = 1 α 2 α 1 3α , onde α é um parâmetro real Determine para que valores de α a característica de A é, respectivamente, 1, 2 e 3 Em cada caso, determine bases para o espaço das colunas e para o espaço nulo de A 1 2α 1 74 O mesmo que no exercício anterior para a matriz A = α 1 α 0 1 α 75 Construa uma matriz cujo espaço nulo seja gerado pelo vector (1, 0, 1) 76 Existirá uma matriz cujo espaço das linhas contenha o vector (1, 1, 1) e cujo espaço nulo contenha o vector (1, 0, 0)? 77 Se A for uma matriz com característica 11, quantos vectores linearmente independentes satisfazem Ax = 0? E quantos vectores linearmente independentes satisfazem A T y = 0? 78 Será sempre verdade que nul(a) = nul(a T )?

13 Departamento de Matemática da Universidade de Coimbra Álgebra Linear e Geometria Analítica Engenharia Civil Ano lectivo 2005/2006 Folha 7 Transformações Lineares 79 Para cada uma das seguintes aplicações, diga se é ou não linear (a) T : IR 2 IR 2 (x, y) (x + 1, y) (c) T : IR 3 IR 2 (x, y, z) (2x, y + z) (e) T : IR 3 IR 3 (x, y, z) (x, 3x y + z, 0) (b) T : IR 2 IR 2 (x, y) (x, y 2 ) (d) T : IR 2 IR 3 (x, y) (x y, 1, x) (f) T : C C C C z z 80 Sejam T e P as aplicações de IR 2 em IR 2 definidas por T (x, y) = (y, x) e P (x, y) = (x, 0) (a) Prove que T e P são lineares 81 Seja T : IR 3 IR 2 a transformação linear definida por (a) Determine T (1, 2, 3) (b) Descreva T e P geometricamente T (1, 0, 0) = (1, 3), T (0, 1, 0) = (3, 1) e T (0, 0, 1) = (1, 1) (b) Determine os vectores x de IR 3 tais que T (x) = (1, 2) 82 Seja T : IR 3 IR 2 definida por T (1, 1, 1) = (1, 2), T (1, 1, 0) = (2, 1), T (1, 0, 0) = (1, 1) Determine T (1, 1, 1) e T ( 1, 1, 1) 83 Diga, justificando, se existe alguma transformação linear T : IR 2 IR 2 tal que T (1, 1) = (1, 0), T (2, 1) = (0, 1) e T (8, 5) = (4, 7) 84 Para cada uma das transformações lineares encontradas no exercício 79, calcule uma matriz A tal que T (v) = Av para todo o v (escrito como matriz coluna) do domínio 85 Escreva a matriz da transformação linear T : IR 3 IR 3 definida por T (x, y, z) = (2x y z, 2y x z, 2z x y) relativamente à: (a) base canónica; (b) base {(1, 1, 1), (1, 1, 0), (1, 0, 0)} 86 Determine a matriz que representa a transformação linear T : IR 3 IR 2 definida por T (x, y, z) = (x + y, x z) relativamente às bases {(1, 0, 1), (1, 2, 1), ( 1, 1, 1)} e {(1, 1), (2, 1)}

14 87 Seja T : IR 3 IR 3 a transformação linear que é representada pela matriz A = relativamente à base {(1, 0, 0), (1, 1, 0), ( 1, 1, 1)} de IR 3 Calcule T (1, 1, 0) 88 Seja E um espaço de dimensão 3 sobre IR, {e 1, e 2, e 3 } uma base de E e f : E E uma aplicação linear cuja matriz relativamente a essa base é M(f; {e 1, e 2, e 3 }) = Sejam e 1 = e 2, e 2 = e 1 + e 3, e 3 = 2e 1 + 3e 2 Prove que B = {e 1, e 2, e 3} é uma base de E e determine M(f; B) 89 Seja {e 1, e 2, e 3, e 4 } uma base de um espaço vectorial real de dimensão 4, e f um endomorfismo desse espaço tal que (a) Determine M(f; {e 1, e 3, e 2, e 4 }) M(f; {e 1, e 2, e 3, e 4 }) = (b) Determine M(f; {e 1, e 1 + e 2, e 1 + e 2 + e 3, e 1 + e 2 + e 3 + e 4 }) 90 Sejam B = {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)} e B = {(1, 1, 1), (1, 1, 0), (1, 0, 0)} bases de IR 3 Seja T a transformação linear T : IR 3 IR 3 definida por T (x, y, z) = (2y + z, x 4y, 3x), (x, y, z) IR 3 (a) Usando a definição de matriz de uma transformação linear relativamente a uma dada base, determine: i a matriz A que representa a transformação linear T relativamente à base B de IR 3, A = M(T ; B); ii a matriz A que representa a transformação linear T relativamente à base B de IR 3, A = M(T ; B ) (b) Verifique que para todo o v IR 3 A v B = T (v) B (c) Calcule a matriz de mudança da base B para a base B, P = M (B,B ) (d) Confirme que A = P 1 AP

15 Departamento de Matemática da Universidade de Coimbra Álgebra Linear e Geometria Analítica Engenharia Civil Ano lectivo 2005/2006 Folha 8 Ângulos e Distâncias em IR n 91 No espaço IR 3, considere os vectores u = (1, 2, 3) e v = ( 3, 0, 1) (a) Verifique que u e v são ortogonais (b) Calcule as normas de u e de v (c) Escreva os vectores u e u v v 92 Calcule o ângulo que o vector (1, 1,, 1) IR n faz com os vectores da base canónica 93 Mostre que o triângulo em IR 3 cujos vértices são u = ( 2, 0, 2), v = (1, 2, 1) e w = ( 1, 2, 1) é rectângulo e isósceles 94 Que múltiplo de v 1 = (1, 1) devemos subtrair de v 2 = (4, 0) para que o resultado seja ortogonal a v 1? Interprete geometricamente 95 Seja F o subespaço de IR 4 constituído pelos vectores ortogonais a (1, 1, 1, 1) e a (2, 3, 1, 2) Determine uma base ortonormada para F 96 Utilizando o processo de ortogonalização de Gram-Schmidt, obtenha uma base ortonormada para IR 3 a partir dos vectores (1, 0, 1), (1, 0, 1), (0, 3, 4) 97 Seja F o subespaço de IR 4 gerado pelos vectores (1, 1, 1, 2), ( 2, 1, 5, 11), (0, 3, 3, 7) e (3, 3, 3, 9) Determine a dimensão de F e encontre uma base ortonormada para F 98 Projecte o vector b = (1, 3, 2) sobre os vectores (não ortogonais) v 1 = (1, 0, 0) e v 2 = (1, 1, 0) Mostre que, ao contrário do caso ortogonal, a soma das duas projecções não é igual à projecção ortogonal de b sobre o subespaço gerado por v 1 e v 2 99 Calcule a projecção ortogonal do vector (2, 2, 1) sobre o plano gerado pelos vectores (1, 1, 1) e (0, 1, 3) 100 (a) Determine a solução no sentido dos mínimos quadrados do sistema x 1 = 1 x 2 = 1 x 1 + x 2 = 0 (b) Designando por A a matriz do sistema, por b o vector dos segundos membros, e por x a solução encontrada, determine a projecção p = Ax de b sobre o espaço das colunas de A (c) Calcule o erro Ax b (d) Verifique que b p é perpendicular às colunas de A 101 Mesmo exercício para o sistema x 1 + 2x 2 = 1 2x 1 + 5x 2 = 0 3x 1 + 7x 2 = 2

16 102 Determine a solução no sentido dos mínimos quadrados do sistema (com m equações e uma incógnita) x = β 1, x = β 2,, x = β m 103 Determine a solução no sentido dos mínimos quadrados do sistema do exercício 46(d) subs-tituindo o segundo membro da última equação por Determine a linha recta que melhor se ajusta, no sentido dos mínimos quadrados, aos seguintes pontos (e represente graficamente): (a) (0, 0), (1, 0), (3, 12); (b) ( 1, 2), (1, 3), (2, 5), (0, 0) 105 Deduza uma fórmula geral para o cálculo do declive e da ordenada na origem da recta que melhor se ajusta, no sentido dos mínimos quadrados, aos pontos (α 1, β 1 ),, (α m, β m ) 106 Considere os pontos (0, 0), (1, 0), (0, 1) de IR 2 (a) Determine a recta que melhor se ajuste, no sentido dos mínimos quadrados, aos pontos dados (b) Seja F = L{(0, 1, 0), (1, 1, 1)} Usando a alínea anterior, determine o ponto de F mais próximo de b = (0, 0, 1) Considere a matriz (a) Determine uma base para o espaço das colunas de A, C(A) (b) Calcule a projecção ortogonal de b = (0, 1, 3) sobre C(A) (c) Determine a solução no sentido dos mínimos quadrados do sistema Ax = b 108 Seja A a matriz do tipo 3 3 que admite a seguinte decomposição P A = LU, sendo P = 0 0 1, L = 1 1 0, U = (a) Determine uma base ortogonal para o plano F gerado pelas colunas de A (b) Indique o ponto W de F cuja distância ao ponto (1, 1, 1) seja mínima (c) Indique, justificando, a distância de W ao ponto Az de IR 3 onde z representa a solução, no sentido dos mínimos quadrados, do sistema Ax = T 109 Considere as matrizes A = , b = (a) Determine, para a matriz A, a respectiva factorização P A = LU (b) Indique uma base e a respectiva dimensão para cada um dos espaços N(A) e C(A) (c) Determine uma base ortogonal para C(A) (d) Mostre que b não pertence a C(A) e determine o vector de C(A) mais próximo de b (e) Usando a alínea anterior, determine a solução, no sentido dos mínimos quadrados, do sistema Ax = b 0 1 1

17 Departamento de Matemática da Universidade de Coimbra Álgebra Linear e Geometria Analítica Engenharia Civil Ano lectivo 2005/2006 Folha 9 Valores Próprios e Vectores Próprios 110 Calcule os valores próprios e os respectivos espaços próprios de cada uma das seguintes matrizes (indicando uma base para os espaços próprios) (a) ; (b) ; (c) ; (d) ; (e) ; (f) ; (g) ; (h) Sabe-se que matrizes semelhantes têm os mesmos valores próprios Verifique que a recíproca não é verdadeira através das matrizes e (a) Determine os valores e os vectores próprios da matriz (b) Generalize para uma matriz diagonal qualquer 113 Quais são os valores próprios de uma matriz triangular? Determine os vectores próprios das seguintes matrizes: α 1 0 (a) ; (b) 0 α 1 (estude os casos α = β e α β) β 115 Diga se cada uma das matrizes do exercício 106 é ou não diagonalizável, e em caso afirmativo determine uma matriz diagonalizante Considere a matriz A = (a) Determine os valores próprios de A (b) Determine um vector próprio de A, associado ao valor próprio 0, que tenha norma 1 (c) Diga se A é diagonalizável e, em caso afirmativo, indique duas matrizes diagonalizantes diferentes

18 117 Considere a matriz A = (a) Determine os valores próprios de A (b) Diga se A é diagonalizável e, em caso afirmativo, indique duas matrizes diagonalizantes diferentes Calcule Considere a matriz A = (a) Calcule os valores próprios de A (b) Sem calcular os vectores próprios de A, mostre que A não é diagonalizável 120 Para cada uma das seguintes matrizes simétricas reais A, determine uma matriz ortogonal Q tal que Q t AQ seja diagonal (a) A = (b) A = (c) A = Seja A = (a) Determine a característica da matriz A I e conclua que A I é uma matriz não invertível (b) Sem efectuar cálculos, diga, justificando, qual o valor lógico da seguinte afirmação: O número 1 é valor próprio de A (c) Justifique o facto de A ser uma matriz diagonalizável Indique uma matriz diagonalizante de A 122 Seja T uma transformação linear em IR 3 tal que A = M(T ; B) = onde B = {e 1, e 2, e 3 } é a base canónica de IR (a) Recorrendo à definição de valor-próprio, mostre que λ = 3 é um valor-próprio de A, a que está associado o vector-próprio x = ( 3, 3, 1) (b) Determine os valores-próprios da matriz A e os respectivos subespaços-próprios associados (c) Indique uma matriz diagonal que seja semelhante à matriz A e uma matriz P tal que P 1 AP seja a matriz diagonal determinada (não necessita calcular P 1 )