ÁLGEBRA LINEAR. Transformações Lineares. Prof. Susie C. Keller

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1 ÁLGEBRA LINEAR Transformações Lineares Prof. Susie C. Keller

2 É um tipo especial de função (aplicação), onde o domínio e o contradomínio são espaços vetoriais. Tanto a variável independente quanto a variável dependente são vetores. As funções vetoriais lineares são denominadas transformações lineares. Representa-se uma transformação do espaço vetorial V no espaço vetorial W por: T:V W Sendo T uma função, cada vetor v V tem um só vetor imagem w W, que será indicado por w = T(v).

3 Uma transformação de T:IR 2 IR 3, associa vetores v=(x,y) IR 2 com vetores w=(x,y,z) IR 3. Sendo T:IR 2 IR 3 T(x,y) = (3x, -2y, x-y) Exemplo: T(2,1) = (3. 2, -2. 1, 2 1) = (6, -2, 1)

4 T:IR 2 IR 3 T(x,y) = (3x, -2y, x-y)

5 Definição: Sejam V e W espaços vetoriais. Uma aplicação T: V W é chamada transformação linear de V em W se: I) T(u + v) = T(u) + T(v) II) T( u) = T(u) para u, v V e IR. Obs.: Uma transformação linear de V em V (é o caso de V = W) é chamado operador linear sobre V.

6 Exemplos: 1) T: IR 2 IR 3, T(x,y) = (3x, -2y, x-y). I ) Sejam u = (x 1, y 1 ) e v = (x 2,y 2 ) vetores genéricos do IR 2 :

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8 II ) Para todo IR e para qualquer u = (x 1, y 1 ) IR 2, tem-se:

9 II ) Para todo IR e para qualquer u = (x 1, y 1 ) IR 2, tem-se:

10 II ) Para todo IR e para qualquer u = (x 1, y 1 ) IR 2, tem-se:

11 II ) Para todo IR e para qualquer u = (x 1, y 1 ) IR 2, tem-se:

12 2) T: IR IR x 3x. I) Sejam u = x 1 e v = x 2 vetores genéricos do IR: T(u + v) = T(x 1 + x 2 ) T(u + v) = 3(x 1 + x 2 ) T(u + v) = 3x 1 + 3x 2 T(u + v) = T(u) + T(v)

13 II ) IR e u = x 1 IR, tem-se: T( u) = T( x 1 ) T( u) = 3( x 1 ) T( u) = (3x 1 ) T( u) = T(u)

14 3) T: IR IR T(x) = 3x + 1. I) Sejam u = x 1 e v = x 2 vetores quaisquer do IR: T(u + v) = T(x 1 + x 2 ) T(u + v) = 3(x 1 + x 2 ) + 1 T(u + v) = 3x 1 + 3x T(u + v) = (3x 1 + 1) + 3x 2 Mas T(u) + T(v) = (3x 1 + 1) + (3x 2 + 1) Logo T(u + v) T(u) + T(v)

15 Propriedade: Em toda transformação linear T:V W, a imagem do vetor 0 V é o vetor 0 W, isto é T(0) = 0. Exemplos: 4) T: IR 2 IR 2 T(x,y) = (x 2, 3y). I) Sejam u = (x 1, y 1 ) e v = (x 2, y 2 ) vetores genéricos do IR 2 : T(u + v) = T(x 1 + x 2, y 1 + y 2 )

16 T(u + v) = ((x 1 + x 2 ) 2, 3(y 1 + y 2 )) 2 2 T(u v) (x1 2x1x 2 x 2, 3y1 3y2) Mas 2 2 T(u) T(v) (x1, 3y1) (x 2, 3y2) 2 2 T(u) T(v) (x1 x 2, 3y1 3y2) Logo T(u + v) T(u) + T(v)

17 Outros exemplos de transformações lineares: 1. A transformação identidade I: V V v v ou I(v) = v é linear. De fato: I) I(u + v) = u + v = I(u) + I(v) II) I( u) = u = I(u)

18 2. A transformação nula (ou zero) T: V W T(v) = 0 é linear. De fato: I) T(u + v) = 0 = = T(u) + T(v) II) T( u) = 0 = 0. = T(u)

19 3. A simetria em relação à origem T: IR 3 IR 3 T(v) = -v é linear. z v De fato: - v x I) T(u + v) = (u + v) = u v = T(u) + T(v) II) T( u) = u = ( u) = T(u) y

20 4. Seja V = P n. Aplicação da derivada D: P n P n que leva f P n em sua derivada f, isto é D(f) = f é linear. De fato, pelas regras de derivação sabe-se que: I) D(f + g) = D(f) + D(g) II) D( f) = D(f)

21 5. Seja V = P n e W = IR. A transformação T: P n IR definida por T(u) a b udt com a,b IR que a cada polinômio de u V associa sua integral definida em T(u), é linear.

22 De fato, sabe-se que: I) T(u v) a b (u v)dt a b udt a b vdt T(u) T(v) II) T( u) a b ( u)dt a b udt T(u)

23 Seja a matriz A que determina a transformação T: IR 2 IR 3 T A (v) = Av que é linear. De fato: I) T A (u + v) = A(u + v) = Au + Av = T A (u) + T A (v) II) T A ( u) = A( u) = (Au) = T A (u)

24 T A (x, y) = (x +2y, -2x + 3y, 4y)

25 Observações: a) Uma matriz A(m n) sempre determina uma transformação linear T A : IR n IR m onde a imagem T A (v) = Av é o produto da matriz A pelo vetor v IR n considerado como uma matriz de ordem n 1. Esse tipo de transformação linear chama-se multiplicação por A. b) A interpretação geométrica da transformação linear no plano pode ser visualizada por meio do exemplo a seguir.

26 Ex.: Seja o operador linear T: IR 2 IR 2 definido por: T(x,y)=(-3x + y, 2x + 3y) e os vetores u=(-1,1) e v=(0,1). Portanto, T(u) = T(-1,1) = (-3. (-1) + 1, 2. (-1) ) = (4,1) T(v) = T(0,1) = ( , ) = (1,3) T(u + v) = T(-1,2) = (-3. (-1) + 2, 2. (-1) ) = (5,4) Como pode-se notar T preserva a adição de vetores: T(u + v) = T(u) + T(v)

27 Se multiplicarmos o vetor u por 2, sua imagem T(u) fica também multiplicada por 2. T(2u) = T(-2,2) = (-3. (-2) + 2, 2. (-2) ) = (8,2) 2. T(u) = 2. T(-1,1) = 2. (-3. (-1) + 1, 2. (-1) ) = 2. (4,1) = (8,2) Esse fato vale para qualquer real, isto é, T( v) = T(v) Diz-se que T preserva a multiplicação por escalar.

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29 Propriedade: Se T: V W for uma transformação linear, então T(a 1 v 1 + a 2 v 2 ) = a 1 T(v 1 ) + a 2 T(v 2 ) para v 1, v 2 V e a 1, a 2 IR. De forma análoga, tem-se: T(a 1 v 1 +a 2 v a n v n ) = a 1 T(v 1 ) + a 2 T(v 2 ) a n T(v n ) para v i V e a i R, i = 1, 2,..., n. Isto é, a imagem de uma combinação linear de vetores é uma combinação linear das imagens desses vetores, com os mesmos coeficientes.

30 Suponhamos que {v 1, v 2,..., v n } seja uma base do domínio V e que sejam conhecidas as imagens T(v 1 ), T(v 2 ),..., T(v n ) dos vetores dessa base: Sempre é possível obter a imagem T(v) de qualquer v V, pois sendo v uma combinação linear dos vetores da base: v = a 1 v 1 + a 2 v a n v n e pela relação acima, vem: T(v) = a 1 T(v 1 ) + a 2 T(v 2 ) a n T(v n ) Assim, uma transformação linear T:V W fica complemente definida quando se conhecem as imagens dos vetores de uma base de V.

31 Exemplo: Seja T:IR 3 IR 3 uma transformação linear e B={v 1,v 2,v 3 } uma base do IR 3, sendo v 1 =(0,1,0), v 2 =(1,0,1) e v 3 =(1,1,0). Determinar T(5,3,-2), sabendo que T(v 1 ) = (1,-2), T(v 2 ) = (3,1) e T(v 3 ) = (0,2).

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