Álgebra Linear AL. Luiza Amalia Pinto Cantão. Depto. de Engenharia Ambiental Universidade Estadual Paulista UNESP

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1 Álgebra Linear AL Luiza Amalia Pinto Cantão Depto. de Engenharia Ambiental Universidade Estadual Paulista UNESP Sistemas Lienares 1 Sistemas e Matrizes 2 Operações Elementares e Sistemas Equivalentes 3 Solução de Sistemas Lineares

2 Sistemas Lineares Não-Homogêneos Equação Linear: com n variáveis x 1, x 2,..., x n é da forma: a 1 x 1 + a 2 x a n x n = b onde a 1, a 2,..., a n e b são constantes reais. Sistema de Equações Lineares: ou Sistemas Lineares é um conjunto de equações lineares da forma: a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n = b a m1 x 1 + a m2 x a mn x n = b m sendo a ij e b i são constantes reais para i = 1 : m e j = 1 : n.

3 Forma Matricial Forma Matricial Usando o produto de matrizes, reescrevemos o sistema acima como: AX = B onde: Matriz Aumentada a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n... } a m1 a m2 a mn {{ } A [A B] = x 1 x 2. x n } {{ } X = a 11 a a 1n b 1 a 21. a a 2n.... b 2. a m1 a m2... a mn b m b 1 b 2. b n } {{ } B

4 Sistemas Lineares: Exemplo Exemplo Seja: { x + 2y = 1 2x + y = 0 Forma Matricial Podemos escrever este exemplo de duas maneiras: [ ] [ ] [ ] [ ] 1 2 x = ou 2 1 y Solução: x = 1 3 e y = 2 3, ou X = Solução do Sistema: Um Sistema Linear é: Incompatível quando não há nenhuma solução. Determinado quando admite uma única solução. Indeterminado há mais de uma solução (infintas soluções).

5 Operações Elementares Idéia Obter um sistema linear que possua o mesmo conjunto de soluções do primeiro, mas que seja mais fácil de resolver. Operações Elementares sobre as linhas de uma matriz é uma das três operações: 1. Trocar a posição de duas linhas da matriz (L r L s ); 2. Multiplicar uma linha da matriz por um escalar diferente de zero (L r kl s ), k R ; 3. Somar a uma linha da matriz um múltiplo escalar de outra linha (L r L r + kl s ). Teorema (Sistemas Equivalentes): Se dois sistemas lineares AX = B e CX = D, são tais que a matriz aumentada [C D] é obtida de [A B] apliando-se uma operação elementar, então os dois sistemas possuem as mesmas soluções.

6 Exemplo Operações Elementares: Exemplo L 3 L 3 +( 3) L 2 L 2 L L 2 L 2 +( 1) L 1 L 3 L 3 +( 6) L Exemplo 2 [ ] L 1 L 2 [ ] L L 1 [ ] L 2 L 2 L 1 [ ] L 2 ( 2 3) L 2 [ ] L 1 L 1 +( 1 2) L 2 [ ]

7 Solução de Sistemas Lineares Matriz Escalonada (ou matriz na forma escada) está na forma escalonada reduzida quando satisfaz as condições abaixo: 1. Todas as linhas nulas, se existirem, ocorrem abaixo de todas as linhas não nulas; 2. O primeiro elemento não-nulo, elemento pivô, de cada linha diferente de zero é igual a O pivô de cada linha não-nula ocorre à direita do pivô da linha anterior. 4. Se uma coluna contém um pivô, então todos os outros elementos naquela coluna são iguais a zero. Observação Uma matriz na forma escalonada, os primeiros coeficientes das linhas não-nulas formam uma escada. Se uma matriz satisfas as propriedades (1) e (3), mas não necessariamente (2) e (4), dizemos que ela está na forma escalonada.

8 Solução de Sistemas: Exemplos Exemplo 3: No exemplo (1) temos uma matriz escalonada e no exemplo (2), uma matriz escalonada reduzida. Exemplo 4: Use a forma escalonada reduzida para resolver os sistemas abaixo. x 1 x 2 + x 3 = x 1 + x 2 + 2x 3 = 0 3x 1 x 2 + x 3 =

9 Sistemas Lineares Homogêneos Definição Um sistema na forma a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n = 0 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n = a m1 x 1 + a m2 x a mn x n = 0 sendo a ij constantes reais para i = 1 : m e j = 1 : n, ou ainda, AX = 0 é um sistema homogêneo. Solução Todo sistema homogêneo admite pelo menos a solução X = x 1 0 x 2. = 0. chamada de solução trivial. x n 0 O sistema possui somente a solução trivial ou tem infinitas soluções. Para resolver AX = 0, basta escalonarmos a matriz A do sistema.

10 Sistemas Lineares Homogêneos: Teorema Teomera Se A m n é tal que m < n, então o sistema homogêneo AX = 0 tem solução diferente da solução trivial, ou seja, todo sistema homogêneo com menos equações do que incógnitas tem infinitas soluções. Demonstração Como m < n, o número de linhas não-nulas r da forma escalonada reduzida da matriz aumentada do sistema também é tal que r < n. Assim, temos r pivôs e n r variáveis (incógnitas) livres, que podem assumir todos os valores reais. Logo, o sistema admite solução não trivial e portanto infinitas soluções.

11 Sistemas Lineares Homogêneos: Proposição Proposição Seja A m n : 1. Se X e Y são soluções do sistema AX = 0, então X +Y também o é. 2. Se X é solução do sistema AX = 0, então kx também o é. Demonstração 1. Se X e Y são soluções do sistema AX = 0, então AX = 0 e AY = 0 e portanto X + Y também o é pois, A(X + Y ) = AX + AY = = Se X é solução do sistema AX = 0, então kx também o é, pois A(kX) = kax = k0 = 0.

12 Sistemas Lineares Homogêneos: Exemplo Exemplo 5 Resolva o sistema homogêneo usando a forma escalonada reduzida: Exemplo 6 Resolva o sistema homogêneo usando a forma escalonada reduzida:

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