ESCOLA SUPERIOR DE TECNOLOGIA DE VISEU. Apontamentos Teóricos: Matrizes e Sistemas de Equações Lineares

Transcrição

1 INSTITUTO POLITÉCNICO DE VISEU ESCOLA SUPERIOR DE TECNOLOGIA DE VISEU Departamento Matemática Disciplina Matemática I Curso Gestão de Empresas Ano o Ano Lectivo 2007/2008 Semestre o Apontamentos Teóricos: Matrizes e Sistemas de Equações Lineares Autores: Maria Cristina Peixoto Matos Nuno Conceição Joana Fialho Paula Sarabando

2 3. Matrizes e Sistemas de Equações Lineares 3.. Conceito Elementar de Matriz Definição Sejam m e n dois números naturais. Uma matriz real m n é um conjunto de mn números reais distribuídos por m linhas e n colunas do seguinte modo: A a a 2... a j... a n a 2 a a 2j... a 2n a i a i2... a ij... a in a m a m2... a mj... a mn onde a ij IR para todo o i {, 2,..., m} e para todo o j {, 2,..., n}. Dizemos neste caso, que a matriz tem ordem ou dimensão m n. Cada número que compõe a matriz chama-se termo, elemento ou coeficiente da matriz. Notação: Abreviadamente podemos representar a matriz pelo símbolo A a ij i m j n. Neste caso, o símbolo a ij é chamado termo geral da matriz. Cada elemento da matriz é afectado de dois índices, o índice de linha que nos indica a linha a que o elemento pertence e o índice de coluna que indica a coluna a que ele pertence: a ij : i índice de linha; j índice de coluna 2

3 Exemplo : A é uma matriz de dimensão 3 2 a 2, a 2 3, a 2 0, a 22 5, a 3 e a Definição 2 A toda a matriz m, ou seja, a toda a matriz com m linhas e coluna chamamos matriz coluna e a toda a matriz n, ou seja, a toda a matriz com linha e n colunas chamamos matriz linha. Uma matriz coluna é da forma B b b 2... b i... b m Uma matriz linha é do tipo A a a 2... a j... a n Matrizes Especiais Definição 3 Chama-se matriz nula m n a toda a matriz m n com os elementos todos iguais a zero. Chama-se matriz quadrada de ordem n a uma matriz n n, ou seja, a uma matriz com n linhas e n colunas. Definição 4 Seja A a ij uma matriz quadrada de ordem n. Os elementos a, a 22,..., a nn constituem a diagonal principal de A e os elementos a n, a (n )2,..., a n constituem a diagonal não principal ou diagonal secundária de A. 3

4 Exemplo 2: A , matriz quadrada de ordem 3. Diagonal principal é constituída pelos elementos 3, e -5. Diagonal secundária é constituída pelos elementos -,, 0. Definição 5 Uma matriz quadrada em que os elementos situados fora da diagonal principal são todos iguais a zero chama-se matriz diagonal, isto é, A a ij i n é uma matriz diagonal sse a ij 0 para todos os i, j {, 2,..., n} j n tais que i j. Uma matriz quadrada diz-se triangular superior se todos os elementos situados abaixo da diagonal principal são iguais a zero, isto é, A a ij é uma matriz triangular superior sse a ij 0 para i > j. Uma matriz quadrada diz-se triangular inferior se todos os elementos situados acima da diagonal principal são iguais a zero, isto é, que A a ij é uma matriz triangular inferior sse a ij 0 para i < j. Exemplo 3: 0 D 0 2 é uma matriz diagonal. M não é uma matriz diagonal pois a

5 2 3 A 0 2 é uma matriz triangular superior. 5 B é uma matriz triangular inferior. Definição 6 À matriz diagonal de ordem n cujos elementos da diagonal principal são todos iguais a um, chama-se matriz identidade de ordem n e denota-se habitualmente por I n. I n Exemplo 4: I I I Definição 7 Seja A uma matriz m n. Chama-se transposta de A, e denota-se por A T, à matriz n m cujas linhas coincidem com as colunas de A. Sendo A a ij i m, temos j n a a 2... a i... a m a 2 a a i2... a m2 A T a j a 2j... a ij... a mj a n a 2n... a in... a mn 5

6 Propriedade da Matriz Transposta: A T T (A T ) T A. Exemplo 5: 4 A A T A a a 2... a j... a n A T a a 2... a j... a n (I n ) T I n Definição 8 A matriz A diz-se simétrica se coincide com a sua transposta, isto é, A A T. Exemplo 6: A AT A é simétrica. Definição 9 A matriz A diz-se anti-simétrica sse A A T Exemplo 7: A AT A anti-simétrica. 6

7 3.3. Operações com Matrizes: Propriedades Adição de Matrizes Denotemos por M m n (IR) o conjunto de todas as matrizes reais de dimensão m n. Definição 0 Sejam A a ij e B b ij duas matrizes de M m n (IR). Chama-se soma de A com B à matriz C c ij de M m n (IR), cujo termo geral é c ij a ij + b ij, i, 2,..., m e j, 2,..., n. Isto é, a + b a 2 + b 2... a n + b n C A + B a ij + b ij a 2 + b 2 a 22 + b a 2n + b 2n a m + b m a m2 + b m2... a mn + b mn Exemplo 8: A + B ( 2) ( ) ( 3) + ( 4) Sendo A e B 4 2 não podemos obter A + B porque as matrizes não têm a mesma dimensão. 7

8 Propriedades da Adição de Matrizes: Sejam A, B e C M m n (IR). Então: A + B B + A (comutatividade). (A + B) + C A + (B + C) (associatividade). O M m n (IR) tal que A + O O + A A (existência de um elemento neutro). A M m n (IR) tal que A+A A +A O (existência de um simétrico). (A + B) T A T + B T. Nota: A matriz A cuja existência está garantida na 4 a propriedade chama-se matriz simétrica de A e denota-se habitualmente por A Multiplicação de uma Matriz por um Escalar Definição Dada uma matriz A M m n (IR) e um escalar α IR, chamamos produto da matriz A pelo escalar α à matriz B αa M m n (IR) cujo termo geral é definido por b ij αa ij. 3 Exemplo 9: A e α 3 αa 3A 3. Propriedades da Multiplicação Escalar: Sejam A, B M m n (IR) e α, β IR. Então (α + β)a αa + βa. α(a + B) αa + αb. (αβ)a α(βa). 8

9 Exemplo 0: A 3 4 e B A 3 B 3 (A B) Exercício : Considere as matrizes A 2 3, B 4 6. Sem efectuar cálculos, mostre que 3(2A + 2B) T 6(A T + B T ) Multiplicação de matrizes Definição 2 Sejam A a ij uma matriz m n e B b jr uma matriz n p. O produto de A por B (por esta ordem) é a matriz m p cujo termo geral c ir obtém-se somando os produtos dos elementos da linha i da matriz A pelos elementos coluna r da matriz B, isto é, c ir a i a i2... a in b r b 2r... b nr a ib r + a i2 b 2r a in b nr n a ik b kr. k Consequentemente AB n n n a k b k a k b k2... a k b kp k n a 2k b k k k n a 2k b k2... k k n a 2k b kp k n a mk b k n a mk b k2... n a mk b kp k k k 9

10 Nota: Da definição resulta que só se podem multiplicar matrizes quando o número de colunas da matriz da esquerda for igual ao número de linhas da matriz da direita. Exemplo : Calcule, quando possível, o produto A B a) A 2 0 e B 3 AB b) A 0 2 e B 3 0 AB c) A e B AB ( ) ( ) Note que nestes casos não é possível calcular B A pois o número de colunas de B não coincide com o número de linhas de A. 0

11 Propriedades da Multiplicação de Matrizes: Sejam A, B e C matrizes de dimensão convenientes e α IR. Então (AB)C A(BC) (associatividade). (A + B)C AC + BC e A(B + C) AB + AC (distributividade). α(ab) (αa)b A(αB). AI A e IB B (existência de elemento neutro). AO O e OB O. (AB) T B T A T. A multiplicação de matrizes não é, em geral, comutativa, isto é, geralmente A B B A. 0 Exemplo 2: A 0 e B 0 AB 0 0 AB BA BA As matrizes tais que A B B A dizem-se matrizes permutáveis. Não é válida a lei do anulamento do produto AB O A O B O no caso de multiplicação de matrizes.

12 Exemplo 3: 0 AB 0 com 0 A 0 e B Não é válida a lei do corte AX AY, com A O X Y no caso de multiplicação de matrizes. 2 Exemplo 4: A, B 2 e C 3 2 e AB AC B 2 C Resolução de Sistemas de Equações Lineares Matrizes em Escada Definição 3 Uma matriz em escada de linhas é uma matriz tal que, por baixo do primeiro elemento não nulo de cada linha, e por baixo dos elementos anteriores da mesma linha, todas as entradas são nulas. Numa matriz em escada de linhas, chama-se pivot ao primeiro elemento não nulo de cada linha. 2

13 Exemplo 5: A matriz em escada com pivots, - e. 0 2 B matriz em escada com pivots, -3 e 5. C não é uma matriz em escada Eliminação de Gauss Definição 4 Dada uma matriz, designam-se por operações elementares sobre linhas, as seguintes transformações: Troca de duas linhas i e j (L i L j ); Multiplicação de uma linha i por um número α diferente de zero (αl i ); Substituição de uma linha j pela que se obtém adicionando-lhe o produto de outra linha i por um número real α (L j + αl i ). Nota: De forma análoga se definem as operações elementares sobre colunas e representam-se por C i C j, αc i e L j + αl i. 3

14 Exercício 3: Identifique as operações elementares efectuadas em cada caso: Definição 5 A condensação ou eliminação de Gauss de uma matriz consiste em efectuar operações elementares sobre linhas e/ou colunas de modo a transformar a matriz dada numa matriz em escada de linhas. Exercício 4: Utilize a eliminação de Gauss para transformar as matrizes seguintes em matrizes em escada: Característica de uma Matriz Chama-se característica de A, e denota-se por car(a), ao número de linhas não nulas da matriz em escada de linhas que se obtém de A através da sua condensação. 4

15 Em síntese temos: A a a 2... a k... a n a 2 a a 2k... a 2n a k a k2... a kk... a kn a m a m2... a mj... a mn O.E. ā ā 2... ā k... ā n 0 ā ā 2k... ā 2n ā kk... ā kn car(a) k Nota: Como é óbvio, car(a) min{m, n}. Exemplo 6: Calcule a característica das seguintes matrizes: A L 2 2L L 3 + L L 3 + L car(a) 3 B L L L 3 2L L 4 3L car(b) 2 5

16 Exercício 5: Calcule a característica da matriz Definição 6 Uma matriz A quadrada de ordem n diz-se singular se Exercício 6: Verifique se a matriz car(a) < n é singular Algoritmo de Gauss Consideremos um sistema de m equações lineares a n incógnitas: a x + a 2 x a n x n b a 2 x + a 22 x a 2n x n b 2... a m x + a m2 x a mn x n b m a a 2... a n a 2 a a 2n a m a m2... a mn x x 2... x n b b 2... b m AX b Na resolução de sistemas de equações lineares vamos considerar a matriz ampliada A b, onde A é a matriz dos coeficientes do sistema, x é a matriz das incógnitas e b é a matriz dos termos independentes. Algoritmo de Gauss: Ao proceder à eliminação de Gauss da matriz ampliada A b (efectuando operações elementares sobre linhas e/ou troca de colunas), de modo a obtermos uma matriz em escada de linhas, ficamos com um novo sistema de equações de mais simples resolução. 6

17 A b a a 2... a k... a n b a 2 a a 2k... a 2n b a k a k2... a kk... a kn b k O.E. ā ā 2... ā k... ā n b 0 ā ā 2k... ā 2n b ā kk... ā kn bk... a m a m2... a mj... a mn b m bm Classificação de sistemas O sistema Ax b de m equações a n incógnitas, pode ser classificado da seguinte forma: Se car(a) car(a b) n, o sistema é possível determinado Se car(a) car(a b) < n, o sistema é possível indeterminado Se car(a) < car(a b), o sistema é impossível. Exercício 7: Classifique e resolva, quando possível, os seguintes sistemas u- sando o algoritmo de Gauss. 7.. x + y + 2z 7 x 2y 3z x y + z x + 2x 2 + x 3 x 2x 2 5 2x 4x 2 2x x + x 2 + x 3 x + x 2 x 3 2x + 2x 3 2 7

18 INSTITUTO POLITÉCNICO DE VISEU ESCOLA SUPERIOR DE TECNOLOGIA DE VISEU Departamento Matemática Disciplina Matemática I Curso Gestão de Empresas Ano o Ano Lectivo 2007/2008 Semestre o Caderno de Exercícios: Matrizes e Sistemas de Equações Lineares Autores: Maria Cristina Peixoto Matos Nuno Conceição Joana Fialho Paula Sarabando 8

19 . Considere as matrizes A e B Calcule a matriz 2(A + B) AB Considere A 2, B e C. Calcule (B T A + C T A) T. 3. Calcule os produtos AB e BA, quando definidos, nos seguintes casos: a)a e B b) A 0 e B 3 2 c) A e B /3 5 5/2 5/3 4. Considere as matrizes A , B Verifique que AB AC e BD CD , C e D Considere as matrizes A 0, B, C 2, D Escolha uma maneira de as ordenar de tal modo que o produto das quatro matrizes esteja definido e calcule esse produto Mostre que se os produtos AB e BA estão ambos definidos e A é do tipo m n, então B é do tipo n m. 7. Calcule: (a) ; (b) ; (c) 0 k ; (d) k. 9

20 8. Considere que a ESTV, no ano lectivo de 2006/2007, começa uma nova licenciatura, com numeros clausus de 00 alunos por ano, e duração de três anos. Considere que, em cada ano lectivo, 70% dos estudantes transitam de ano (ou terminam o curso caso estejam no 3 o ano), e 30% ficam retidos no mesmo ano. Representemos por um vector estado, X k x k x k2 x k3, os alunos que frequentam a licenciatura no ano lectivo k, divididos por ano escolar (assim, por exemplo, o número x k2 representa o número de alunos que frequentam o segundo ano no ano lectivo k). Tomemos k 0 para representar o ano lectivo 2006/2007, em que a licenciatura arranca. Temos X 0 (a) Encontre uma matriz A, 3 3, tal que, X k+ X 0 +AX k (isto é, somando os alunos novos ao resultado de multiplicar A pelo vector estado de um determinado ano lectivo, obtemos o vector estado do ano lectivo seguinte). (b) Escreva a fórmula da alínea anterior, que permite obter o vector estado para determinado ano lectivo n, mas sem ser por recorrência, ou seja, uma fórmula em função de X 0 e das potências de A. (c) Em Agosto de 2009/200, quantos alunos têm o diploma desta nova licenciatura?. 9. (a) Verifique que as identidades algébricas (A ± B) 2 A 2 ± 2AB + B 2, (AB) 2 A 2 B 2, (A + B)(A B) A 2 B 2 nem sempre são verdadeiras quando A e B são matrizes. Considere, por exemplo, os casos seguintes: (a) A 0 2, B 0 2 ; (b) A 2 0, B (b) Transforme os segundos membros das identidades anteriores de forma a obter identidades sempre válidas para A e B matrizes quadradas quaisquer da mesma ordem. 0. Em cada uma das alíneas dê exemplo de matrizes reais 2 2 com a propriedade indicada: (a) A 2 I; (b) A 2 0, sendo A não nula; (c) AB 0, não tendo A nem B nenhum elemento nulo. 20

21 . Foi feito um estudo com o objectivo de detectar que parte do rendimento destinam os indivíduos para a sua formação e informação. O preço de revistas, livros, jornais e cd s é dado respectivamente pelo seguinte vector (em unidades monetárias. Em três grupos seleccionados (A, B e C) verificou-se que o consumo dos quatro produtos era o seguinte: R L J CD A B C Utilize o cálculo matricial para determinar a despesa de cada um dos grupos. 2. Uma companhia de navegação tem três tipos de recipientes A, B e C e carrega cargas em contentores de três tipos I, II e III. As capacidades dos recipientes são dadas pela matriz: I II III A B C Utilizando a teoria das matrizes determine o número de recipientes x, x 2 e x 3 de cada categoria A, B e C, se a companhia deve transportar 42 contentores do tipo I, 27 do tipo II e 33 do tipo III. 3. As firmas A, B e C partilham o mercado de um certo produto. Cada uma detém a seguinte quota de marcado: A detém 20% do mercado, B detém 60% do mercado e C detém 20% do mercado. No ano seguinte ocorreram as seguintes alterações: A mantém 80% dos clientes, perde 0% para B e 0% para C; B mantém 40% dos clientes, perde 0% para A e 50% para C; C mantém 70% dos clientes, perde 20% para A e 0% para B. Associando o número à firma A, 2 à firma B e 3 à firma C determine a matriz de transição, T, definida da seguinte forma: T t ij, i,j,2,3 com t ij percentagem de clientes da firma j, que se tornam clientes da firma i no próximo ano. Com a mesma associação de valores às firmas, determine a matriz coluna, s, designada por matriz quota de mercado, que se caracteriza por ter todas as componentes positivas e soma igual a : s i percentagem de mercado inicial que a firma i detém. Depois de determinadas ambas as matrizes, calcule T s. Verifique tratar-se de uma matriz coluna de quotas de mercado e interprete o resultado. Justifique. 2

22 4. Resolva e classifique os seguintes sistemas de variáveis reais usando o método de eliminação de Gauss. 2x x 2 + 3x 3 8 x + x 2 + x 3 0 (a) 3x + 2x 2 + x 3 7 2x + x 2 + 2x 3 3 (b) x + 2x 2 + 3x 3 0 3x + 5x 2 + 7x 3 (c) x x 2 3x 3 + 4x 4 x + x 2 + x 3 + 2x 4 x 2 2x 3 + x 4 (d) x + 2x 2 + 3x 3 + x 4 2x 3x 2 x 3 + 2x 4 7 x 5x 2 + 2x 3 x 4 4 (e) 2x + 3x 2 x 3 + 5x 4 0 3x x 2 + 2x 3 7x 4 0 4x + x 2 3x 3 + 6x 4 0 x 2x 2 + 4x 3 7x 4 0 x + x 2 x + x 2 + x 3 2 2x + 2x 2 + 8x 3 6 (f) x + x 3 3 x 2x 2 3 x 2x 2 + 3x 3 4x 4 + 2x 5 2 (g) x + x 2 + x 3 4 x 2 + x 3 + x 4 3 (h) x + 2x 2 x 3 x 5 3 x x 2 + 2x 3 3x 4 0 x 3 + x 4 + x 5 2 x 4 + x 5 x 2 x 3 + x 4 2x 5 5 2x + 3x 2 x 3 + x 4 + 4x 5 5. (a) Usando o método de eliminação de Gauss encontre a parábola f(x) ax 2 + bx + c que passa pelos pontos (,4), (2,7) e (3,4). (b) Verifique, usando derivadas, que a parábola referida na alínea anterior tem o vértice em (2,7). (c) Faça um esboço para uma possível função l(x) tal que l (x) f(x). 6. Determine os valores de α para os quais o sistema { αx + y x + αy (a) não tem solução; (b) tem uma solução; (c) tem uma infinidade de soluções. 7. Discuta os seguintes sistemas em função dos respectivos parâmetros x + x 2 + x 3 β + x + x 2 + ( β)x 3 β + (a) x + βx 2 + x 3 βx + x 2 β + 2β 2 (b) ( + β)x x 2 + 2x 3 0 2x βx 2 + 3x 3 β + 2 x + x 2 + x 3 0 x + 2x 2 + x 3 5 (c) βx + x 2 + βx 3 γ x + γx 3 β (d) βx x 2 + 3x 3 6 2x + x 2 x 3 γ 22

23 (e) x + z + 2v 2x + 3y + 2z + 3w + αv 0 y + w + v γ 2x + y 2z + w + βv 2 (f) x + y + z + w 2x + 2y + 4z 2w 0 x y + z + αw β x + y + 3z 3w γ 8. (Exame Época Especial, ) Considere o sistema Ax b com A 0 α α α + γ 0 2α, b (a) Discuta o sistema em função dos parâmetros considerados. (b) Considere α, β 0, e γ 2. Resolva o sistema anterior através do método de Gauss. 0 β + β, α, β, γ IR 9. Determine um sistema A b com duas equações e três incógnitas cuja solução geral seja + α Considere o seguinte sistema AX B de equações lineares com parâmetros reais a, b: a a + x 0 a 2a. y (a) Seja Y 4 5 T. Calcule A.Y e diga, justificando, os valores dos parâmetros a, b para os quais Y é solução do sistema. z (b) Classifique o sistema para todos os valores reais dos parâmetros a, b. (c) Resolva o sistema quando a 2 e b 0. b Determine um sistema A b com três equações e três incógnitas cuja solução geral seja a mesma do exercício anterior e que não tenha solução quando b + b 2 b Determine todas as matrizes permutáveis com A, sendo: 2 (a) A ; (b) A Uma empresa produtora de componentes para automóveis fez uma pesquisa de mercado e concluiu que para maximizar os seus lucros deveria, apenas, passar a produzir três produtos: pneus, volantes e jantes. A diferença entre o número de pneus e o número de jantes a produzir deve ser igual ao dobro do número de volantes produzido. O número de volantes a produzir deve ser a quarta parte das jantes fabricadas. Utilizando a teoria das matrizes, determine duas quantidades possíveis para cada um dos produtos que a empresa fabrica de forma que responda às condições deduzidas da pesquisa de mercado. 23

24 24. No centro de uma cidade há um conjunto de ruas de um só sentido e que se intersectam como na figura. O volume de tráfego que entra e sai nessa zona durante a hora de ponta é o indicado na figura. Que conclui quanto ao volume de tráfego en cada um dos 4 cruzamentos? 25. Uma empresa explora simultaneamente duas minas, A e B. Num dia de trabalho na mina A extrai 20 toneladas de cobre e 550 quilos de prata enquanto que, num dia de trabalho na mina B extrai 30 toneladas de cobre e 500 quilos de prata. a) Supondo que a empresa explora a mina A durante x dias e a mina B durante y dias, estabeleça um sistema de equações lineares que permita determinar o número de dias necessários à extracção de 90 toneladas de cobre e 4250 quilos de prata. b) Escreva o sistema da alínea anterior na forma matricial e resolva-o utilizando o método de eliminação de Gauss. 26. Considere as matrizes A k 0 k 0 0 k 0 e b n a) Discuta em função dos parâmetros k e n o sistema A k x b n b) Determine, se possível, uma matriz D tal que: i) A 0 D 2I 3 A ii) A 0 D seja uma matriz simétrica iii) A 0 D seja uma matriz triangular inferior iv) A 0 D seja uma matriz diagonal 0 0 n 27. Indique, justificando, qual o valor lógico das seguintes afirmações: a) Se A M 3 4 (IR) e B M 4 3 (IR) então é possível efectuar os produtos AB e BA mas AB BA. 0 b) A matriz é ortogonal. 0 c) Todo o sistema homogéneo é possível. 24

25 d) O produto de matrizes ortogonais é ainda ortogonal. e) Todo o sistema de n equações e n incógnitas cuja característica da matriz dos coeficientes é igual ao número de equações do sistema é sempre possível determinado. f) Se A M n n (IR) e x e y são matrizes n então a igualdade Ax Ay x y 28. Sabendo que A(0, 0), B(, 7), C(3, ) e D(4, 4), determine os coeficientes a, b, c, e d de modo que a figura abaixo possa representar o gráfico da função y ax 3 + bx 2 + cx + d, y 0 A B y f(x) x 0 C 20 D 25