Matemática - Módulo 1

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1 1. Considerações iniciais Matemática - Módulo 1 TEORIA DOS CONJUNTOS O capítulo que se inicia trata de um assunto que, via-de-regra, é abordado em um plano secundário dentro dos temas que norteiam o ensino médio. Entretanto, para o vestibular do ITA é necessário o conhecimento mais profundo do tema, principalmente no que tange às propriedades em breve indicadas e aos conceitos de complementar e diferença. Embora seja possível resolver todos os exercícios relativos à Teoria dos Conjuntos apenas com noções intuitivas, um dos objetivos desse material é iniciar o aluno em uma linguagem matemática mais elaborada e elegante. Com isso, é possível estabelecer uma base sólida para o melhor entendimento dos capítulos subseqüentes e para a resolução dos exercícios. Feito o parêntese inicial, o ponto de partida da Teoria dos Conjuntos é admitir que conjunto e elemento de um conjunto são conceitos primitivos(aceitamos como conhecidos sem definição), e não conceitos definidos. Para esclarecer a diferença entre os dois: na geometria euclidiana, os conceitos ponto, reta e plano são primitivos; a partir deles, são definidos os demais conceitos (circunferência, segmento de reta, polígono, etc...). Observações: 1) o conceito primitivo elemento de um conjunto deve ser levado ao pé da letra, ou seja, não se discute se x é elemento ou não, mas sim se x é elemento de determinado conjunto ou não. 2) Um conjunto pode ser representado por uma letra maiúscula de nosso alfabeto; ou por uma lista ordenada de todos os elementos desse conjunto (com ou sem repetição) entre chaves;ou pela forma: { x U : A(x) }, em que A(x) é uma propriedade cuja finalidade é selecionar elementos de U; ou ainda pela representação gráfica proposta pelo matemático John Venn( ), conforme expresso abaixo: Verde Vermelho Violeta = { Verde, Vermelho, Violeta } = conjunto das cores cujos nomes se iniciam pela letra V. 3) Existe um conjunto sem elementos denominado CONJUNTO VAZIO, indicado por { } ou. Essa observação consiste em um postulado( = axioma; é uma proposição aceita como verdadeira sem demonstração, ao contrário dos chamados teoremas).

2 2. SUBCONJUNTOS 2.1.Def.: dizemos que A é subconjunto de B se, e somente se, todo elemento de A é elemento de B, isto é: x U, x A x B. Neste caso, diz-se que A está contido em B ou B contém A ( B A ). O conjunto U, denominado CONJUNTO UNIVERSO, é fixo e contém todos os conjuntos que possam ser envolvidos. Convém atentar que, se existir ao menos um elemento de A que não pertença a B, ter-se-á A B. Em outras palavras, temos que A B x U : x A x B. 2.2.Propriedades e observações importantes 1) A, temos A A ( inclusive!!! ) propriedade reflexiva; 2) A, temos A; 3) Se A tem n elementos, então o número de subconjuntos de A é 2 n. Esse é um exercício de Análise Combinatória elementar, tente fazê-lo! 4) A B e A B A = B propriedade anti-simétrica; 5) Atentar para a diferença entre pertinência e inclusão: enquanto um elemento pertence a um conjunto, um subconjunto está contido em um conjunto (mesmo que a esse subconjunto pertença apenas um elemento!). 3. UNIÃO ou REUNIÃO 3.1.Def: Denomina-se União de A com B ao conjunto dos elementos que pertencem a pelo menos um dos conjuntos A ou B. Assim, escrevemos A B = { x U : x A x B }. Essa simples definição traz consigo algumas propriedades interessantes: 1) A B = B A (propriedades comutativa da União)

3 2) (A B) C = A (B C) (propriedade associativa da União) 3) A = A 4) A B A B = B 5) A A = A 6) A B e A B A A B B 4. INTERSECÇÃO 4.1.Def: Chamamos intersecção de A com B ao conjunto dos elementos comuns aos conjuntos A e B. Isso equivale a dizer que A B = { x U : x A x B } Propriedades 1) A B = B A (Propriedade comutativa) 2) (A B) C = A (B C) (Propriedade associativa) 3) A (B C) = (A B) (A C) 4) A (B C) = (A B) (A C) (Propriedades distributivas) 5) A B A B = A 6) A = 7) A B C (A B) (A B) 8) A A = A 5. DIFERENÇA

4 5.1.Def.:Dados dois conjuntos A e B, chamamos diferença entre A e B ao conjunto dos elementos de A que não são elementos de B (veja figura acima), isto é: A B = { x U : x A x B }. 5.2.Propriedades 1) (A B) A 2) (A B) (B A) = 3) A - = A e - A = 4) A (A B) = A B 6.COMPLEMENTARIDADE 6.1.Def.: Dados dois conjuntos A e X com A X (atenção!!), denomina-se complementar de A em relação a X ao conjunto: C X A = { x X : x A }.Verificar as diferenças entre complementaridade e diferença! Obs.: se o conjunto X não for especificado, infere-se que X = U e neste caso é usual indicar o complemento de A por _ A ou A C. 1) A A C = 6.2.Propriedades importantíssimas!

5 2) A A C = U 3) (A C ) C = A 4) A B C = A B 5) (A B) C = A C B C (relações de Morgan prove!) 6) (A B) C = A C B C 7) B A A B = C A B 8) ( ) C = U 9) A B C = A A B = 7.PRODUTO CARTESIANO E RELAÇÃO 7.1.Def.: Dados os conjuntos A e B, chamamos produto cartesiano de A por B ao conjunto de todos os pares ordenados (x;y) em que x e y pertencem, respectivamente, a A e B: A X B = { (x;y) : x A y B }. 7.2.Observações e propriedades 1) Se A = ou B =, por convenção tem-se A X B = 2) para o produto cartesiano não existe comutação, ou seja, A X B pode não ser igual a B X A. Entretanto, esta operação possui propriedades distributivas : i) A X (B C) = (A X B) (A X C) ii) A X (B C) = (A X B) (A X C) iii) (A B) X C = (A X C) (B X C) 7.3.Def.: Dados os conjuntos A e B, denomina-se relação de A em B a qualquer subconjunto de A X B. As mais importantes relações são as chamadas FUNÇÕES, mas este é um assunto para o capítulo seguinte. Antes disso, alguns exercícios: 8.Questões do ITA de 1969 a 2001

6 1- (ITA-1969) Sejam R o conjunto dos números reais e C um subconjunto de R. Definimos SUPREMO de C(sup(C)) como sendo o número real L satisfazendo às seguintes condições: i) L é maior ou igual a qualquer número pertencente a C; ii) Dado um número real L < L, existe sempre um número x de C tal que x >L. Seja C o conjunto dos números naturais menores do que 11. Uma das afirmações abaixo, relativas ao conjunto C, é verdadeira. Assinale-a. a) L = 9 b) L = 10 c) L = 11 d) L = 12 e) não existe sup(c) 2- (ITA-1974) Sejam A, B e C conjuntos contidos num mesmo conjunto U. Seja x um elemento de U. Seja C B A = { x U : x B e x A }, então C C (A B) é igual a: a) C C A C C B b) C C A C C B c) C A B d) e) nda 3- (ITA-1985) Seja X um conjunto não vazio e sejam A e B dois subconjuntos de X. Define-se A C = { x X : x A } e A B = {x A:x B}. Dadas as sentenças: 1. A B = A B C B A C ; 2. Se X = R; A = {x R; x 3 1 = 0} ; B = { x R ; x 2 1 = 0 } ; C = { x R; x 1 = 0 }, então A = C = B. 3. A - = A 4. A B A B C Podemos afirmar que está(ão) correta(s): a) As sentenças 1 e 3. b) As sentenças 1, 2 e 4.

7 c) As sentenças 3 e 4. d) As sentenças 2, 3 e 4. e) Apenas a sentença (ITA-1987) Sejam F e G dois subconjuntos não vazios de R. Assinale a alternativa correta: a) Se F G e G F, então necessariamente F = F G. b) Se F G é o conjunto vazio, então necessariamente F = R. c) Se F G e G F, então F G = F G. d) Se F G = F, então necessariamente G F. e) Se F G e G R, então (F G) G = R. 5- (ITA-1988) Sejam A, B e C subconjuntos dos números reais. Então: a) (A B) C = A C B C b) (A B) C = A C B C c) Se A B, então A C B C d) (A B) C C = (A C C) C (B C C) C e) A (B C) C = (A B C ) (A C C ) 6- (ITA-1989) Sejam A, B e C subconjuntos não vazios de R. Dadas as igualdades abaixo: 1. (A B) X C = (A X C) (B X C) 2. (A B) X C = (A X B) (B X C) 3. (A B) A (B A) B 4. A (B C) = (A B) (A C) 5. (A B) (B C) = (A C) (A B) Podemos afirmar que: a) 2 e 4 são verdadeiras b) 1 e 5 são verdadeiras c) 3 e 4 são verdadeiras d) 1 e 4 são verdadeiras e) 1 e 3 são verdadeiras 7- (ITA-1995) Seja o conjunto: A (-1) n! n sen n! 6 ; n N

8 Qual o conjunto abaixo é tal que sua intersecção com A é o próprio A? a) (-, -2] [2, ) b) (-, -2] c) [-2, 2] d) [-2, 0] e) [0,2) 8- (ITA-1995;questão convidada ) Visto que, para todo x 1 e n N, vale a desigualdade x n > n(x 1), temos como conseqüência que, para 0 < x < 1 e n N, tem-se: a) x n - 1 < [n(x + 1)] -1 b) x n - 1 < [(n + 1)(1 + x)] -1 c) x n - 1 < [n 2 (1 - x)] -1 d) x n - 1 < [(n + 1)(1 x)] -1 e) x n - 1 < [n(1 x)] (ITA-1996) Sejam A e B subconjuntos não vazios de R, e considere as seguintes afirmações: i) (A B) C (B A C ) C = ii) (A B C ) C = B A C iii) [(A C B) (B A)] C = A Sobre essas afirmações podemos garantir que: a) apenas a afirmação (i) é verdadeira. b) apenas a afirmação (ii) é verdadeira. c) apenas a afirmação (iii) é verdadeira. d) todas as afirmações são verdadeiras. e) apenas as afirmações (i) e (iii) são verdadeiras. 10- (ITA-1999) Sejam E, F, G e H subconjuntos não vazios de R. Considere as afirmações: (i) Se (E X G) (F X H), então E F e G H. (ii) Se (E X G) (F X H), então (E X G) (F X H) = F X H. (iii) Se (E X G) (F X H) = (F X H), então (E X G) (F X H). Então: a) Apenas a afirmação (i) é verdadeira. b) Apenas a afirmação (ii) é verdadeira.

9 c) Apenas as afirmações (ii) e (iii) são verdadeiras. d) Apenas as afirmações (i) e (ii) são verdadeiras. e) Todas as afirmações são verdadeiras. 11- (ITA-2000) Denotemos por n(x) o número de elementos de um conjunto finito X. Sejam A, B e C conjuntos tais que n(a B) = 8, n(b C) = 10, n(a C) = 9, n(a B C) = 11 e n(a B C) = 2. Então n(a)+n(b)+n(c) é igual a: a) 11 b) 14 c) 15 d) 18 e) (ITA-2001) Sejam X, Y e Z subconjuntos próprios de R, não vazios. Com respeito às afirmações: (I) X { [ Y ( X Y ) C ] [ X ( X C Y C ) C ] } = X (II) Se Z X então ( Z Y ) [ X ( Z C Y ) ] = X Y (III) Se ( X Y ) C Z então Z C X. temos que: a) apenas (I) é verdadeira. b) apenas (I) e (II) são verdadeiras. c) apenas (I) e (III) são verdadeiras. d) apenas (II) e (III) são verdadeiras. e) todas são verdadeiras. GABARITO 01 - B 02 - B 03 - A 04 - C 05 - E 06 - D

10 07 - C 08 - E 09 - A 10 - E 11 - D 12 - B

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