Alguns exercícios amais para vocês (as resoluções dos exercícios anteriores começam na próxima pagina):

Transcrição

1 Alguns exercícios amais para vocês (as resoluções dos exercícios anteriores começam na próxima pagina): Seja A um domínio. Mostre que se A[X] é Euclidiano então A é um corpo (considere o ideal (a, X) onde a A {0}). Sejam I, J dois ideais de um anel comutativo unitário A, e defina IJ := { n i k j k k=1 I + J := {i + j : i I, j J} : n N, i 1,..., i n I, j 1,..., j n J}. Mostre que I +J e IJ são ideais de A. Os ideais I e J são ditos coprimos se I + J = A. Mostre que se I, J são coprimos então IJ = I J. Usando o teorema de isomorfismo mostre que se I, J são coprimos então A/IJ = A/I A/J (teorema chinês dos restos). Em Q[X], calcule o inverso de X 6 2 modulo 2X e viceversa. Seja v i : Q[X] C definido por v i (P (X)) := P (i). Mostre que Im(v i ) = 1 Q[i] é um corpo. Dica: escreva a+ib = a ib (a+ib)(a ib). Seja I = {α Z[i] : N(α) é par}, o conjunto dos inteiros gaussianos de norma par (lembre-se que N(a + ib) := a 2 + b 2 e mostrei hoje que Z[i] é Euclidiano com ϕ = N). Mostre que I Z[i] e encontre um gerador de I (que é um ideal principal pois Z[i] é Euclidiano). Mostre que (2) não é um ideal maximal de Z[i] (Dica: 2 = (1 + i)(1 i)). Seja f : A B um homomorfismo de aneis comutativos unitários e suponha que A, B {0}. Mostre que se A é um corpo então f é injetiva. Seja f : C C um homomorfismo de aneis tal que f(r) = r para todo r R. Mostre que tem somente dois casos: f é a identidade ou f(a+ib) = a ib. Dica: calcule f(i) Seja A {0} um anel comutativo unitário tal que A/I é um domínio de integridade para todo ideal I de A diferente de A. Mostre que A é um corpo. Dica: dado a A diferente de zero considere o ideal (a 2 ). 1

2 Resoluções /04/16. Seja G um grupo abeliano aditivo e seja R = End(G) o conjunto dos homomorfismos de grupo G G (os endomorfismos de G). Mostre que R é um anel (em geral não comutativo) com as operações +, definidas por (f + g)(x) := f(x) + g(x) e (f g)(x) := f(g(x)) (soma e composição). A soma é associativa pois ((f + g) + h)(x) = (f + g)(x) + h(x) = (f(x) + g(x)) + h(x) = f(x) + (g(x) + h(x)) = f(x) + (g + h)(x) = (f + (g + h))(x) para todo x G, logo (f + g) + h = f + (g + h). O elemento neutro de + é a função nula, f(x) = 0 para todo x G. O oposto de f é f definido por ( f)(x) := f(x). Se trata de endomorfismos de G. A composição é associativa pois ((f g) h)(x) = (f g)(h(x)) = f(g(h(x))) = f(g h(x)) = (f (g h))(x). O elemento neutro de é a função identidade, f(x) = x para todo x G (é um endomorfismo de G). Propriedades distributivas: (f (g+h))(x) = f((g+h)(x)) = f(g(x)+h(x)) = f(g(x))+f(h(x)) = (f g)(x) + (f h)(x), logo f (g + h) = f g + f h. Observe que usamos o fato que f respeita a operação de G. ((f +g) h)(x) = (f +g)(h(x)) = f(h(x))+g(h(x)) = (f h+g h)(x), logo (f +g) h = f h+g h. Observe que aqui usamos simplesmente a definição de soma em R /04/16. Seja G o grupo aditivo cíclico Z/nZ = {0, 1, 2,..., n 1}. Mostre que End(G) (definido no exercício acima) é um anel comutativo. Sabemos pelo exercício anterior que End(G) é um anel com + e. Se f End(G) e m + nz G então m é uma soma logo (identificando m com a classe m + nz) f(m) = f( ) = f(1) + f(1) f(1) = mf(1), assim f é completamente determinado pela imagem de 1, f(1) (observe que mf(1) é um produto em Z/nZ visto como anel). Se f, g End(G) então f g(m) = f(g(m)) = f(mg(1)) = mg(1)f(1), e g f(m) = g(f(m)) = g(mf(1)) = mf(1)g(1), então como g(1)f(1) = f(1)g(1) (pois Z/nZ, visto como anel, é comutativo) obtemos f g = g f. Isso mostra que End(G) é um anel comutativo. Observe também que End(Z/nZ) (o anel dos endomorfismo do grupo aditivo Z/nZ) é isomorfo a Z/nZ (o anel quociênte Z/nZ) via o isomorfismo ϕ : End(Z/nZ) Z/nZ definido por ϕ(f) := f(1) /04/16. Mostre que Z/nZ com as operações (x + nz) + (y + nz) := (x + y) + nz e (x + nz) (y + nz) := xy + nz é um anel comutativo. É um domínio de integridade? Já vimos em sala de aula que Z/nZ é um anel quociênte comutativo. Observe que se n não é primo então existem a, b inteiros maiores de 1 tais que ab = n, assim no quociênte (a + nz)(b + nz) = n + nz = 0, logo Z/nZ não é um domínio de integridade. Por outro lado se n = p é primo então 2

3 Z/nZ é um domínio de integridade, pois um produto (a + pz)(b + pz) é igual a zero se e somente se ab pz, isto é, p divide ab. Mas como p é primo, e divide ab, p divide um entre a e b, logo uma das classes a + pz e b + pz é zero. Isso mostra que Z/nZ é um domínio de integridade se e somente se n é um número primo (e nesse caso se trata de um corpo pois um domínio de integridade finito é sempre um corpo: veja o próximo exercício) /04/16. Seja A um domínio de integridade de cardinalidade finita. Mostre que A é um corpo. [Dica: dado a A diferente de zero considere a função A A dada pela multiplicação por a.] Dado a A diferente de zero, queremos mostrar que a tem inverso em A, em outras palavras, que existe b A tal que ab = 1. Considere a função f : A A dada por f(x) := ax. Ela é injetiva pois se f(x) = f(y) então ax = ay logo a(x y) = 0 e como a 0 e A é um domínio de integridade, obtemos x y = 0, isto é, x = y. Isso mostra que f é injetiva. Como A é um conjunto finito, o princípio da casa dos pombos mostra que f é sobrejetiva, assim existe b A tal que f(b) = 1, isto é, ab = /04/16. Sejam A, B aneis e seja A B o produto direto de A e B, com as operações (a, b) + (c, d) = (a + c, b + d) e (a, b)(c, d) = (ac, bd), elementos neutros (0, 0) e (1, 1). Mostre que A B é um anel e que não é um domínio de integridade. A verifica que A B é um anel é facil. Não é um domínio pois (1, 0) (0, 0), (0, 1) (0, 0) mas (1, 0)(0, 1) = (0, 0) /04/16. Dado um domínio de integridade A, mostre que f : A K(A), a a 1 é um homomorfismo injetivo de aneis. Temos f(1) = 1/1, f(a + b) = a/1 + b/1 = (a + b)/1 e f(ab) = ab/1 = (a/1)(b/1), logo f é homomorfismo de aneis. É injetivo pois ker(f) = {0}, de fato se f(a) = 0 então a/1 = 0, isto é, a 1 = 1 0 logo a = /04/16. Seja f : A B um homomorfismo de aneis e seja J um ideal de B. Mostre que f 1 (J) = {a A : f(a) J} é um ideal de A. É verdade que se I é um ideal de A então f(i) é um ideal de B? Seja I := f 1 (J). É claro que 0 I pois f(0) = 0 J. Se x, y J então f(x + y) = f(x) + f(y) J pois f(x), f(y) J logo x + y I, e se x I e a A então f(ax) = f(a)f(x) J pois f(a) B, f(x) J e J é um ideal de B, logo ax I. Em particular escolhendo a = 1 obtemos que se x I, x I. Isso mostra que I é um ideal. Se I é um ideal qualquer de A então em geral f(i) não é um ideal de B, por exemplo considere a inclusão f : Z Q, f(z) := z. É claro que Z é ideal de Z mas f(z) = Z não é ideal de Q (pois os únicos ideais de Q são (0) e Q, sendo Q um corpo). 3

4 8. 26/04/16. Seja f : A[X] A a função definida por f(p (X)) := P (0). Mostre que f é um homomorfismo de aneis e que Mostre que A[X]/I = A. I = ker(f) = {XP (X) : P (X) A[X]}. f é homomorfismo de aneis pois f(0) = 0, f(1) = 1 e f(p (X) + Q(X)) = P (0) + Q(0) = f(p (X)) + f(q(x)) e f(p (X)Q(X)) = P (0)Q(0) = f(p (X))f(Q(X)). f é sobrejetivo pois se a A então visto a como polinômio (constante) temos f(a) = a. Vamos mostrar que I = ker(f) = {XP (X) : P (X) A[X]}. A inclusão é facil pois f(xp (X)) = 0P (0) = 0, vamos mostrar a inclusão. Seja F (X) I = ker(f) (isto é, F (0) = 0), escrevemos F (X) = a 0 + a 1 X + a 2 X a n X n, assim F (0) = 0 significa a 0 = 0, logo F (X) = a 1 X+a 2 X a n X n = X(a 1 + a 2 X a n X n 1 ). Logo escolhendo P (X) = a 1 + a 2 X a n X n 1 obtemos que F (X) pertence a {XP (X) : P (X) A[X]}. O fato que A[X]/I = A segue do teorema de isomorfismo /04/16. Sejam A(X) = 6X 4 + X 2 + 1, B(X) = X 2 2 em Z[X]. Faça a divisão com resto de A(X) por B(X). 6X 4 + X X 2 2 6X 4 12X 2 6X X X Obtemos que A(X) = B(X)Q(X)+R(X) onde Q(X) = 6X (quociênte) e R(X) = 27 (resto) /04/16. Sejam A(X) = 2X 5 2X 4 6X 3 X 2 X 3, B(X) = X 2 X 3 em Z[X]. Faça a divisão com resto de A(X) por B(X). 2X 5 2X 4 6X 3 X 2 X 3 X 2 X 3 2X 5 2X 4 6X 3 2X X 2 X 3 X 2 X 3 0 Obtemos que A(X) = B(X)Q(X)+R(X) onde Q(X) = 2X 3 +1 e R(X) = 0. Em outras palavras B(X) divide A(X) /04/16. Seja A um domínio de integridade e sejam P (X), Q(X) A[X]. Mostre que o grau(p (X)Q(X)) = grau(p (X)) + grau(q(x)). Escrevemos P (X) = a n X n + P (X) e Q(X) = b m X m + Q (X) com grau(p ) = n, grau(q) = m assim a n 0, b m 0 e grau(p ) < n, grau(q ) < m. Fazendo o produto P (X)Q(X) obtemos a n b m X n+m + 4

5 R(X) com grau(r(x)) < n + m, e como A é um domínio de integridade e a n 0, b m 0, obtemos a n b m 0 logo grau(p (X)Q(X)) = n + m /04/16. Escreva e demonstre o teorema de isomorfismo para espaços vetoriais sobre R. Se V é um espaço vetorial e W é um subespaço, V/W = {v + W : v V } é um espaço vetorial com a multiplicação por escalar dada por a(v + W ) := av + W (para todo a R, v V ). Consegue calcular dim(v/w )? Um homomorfismo de espaços vetoriais (sobre um corpo k) é uma função linear f : V U entre espaços vetoriais V, U. Seja W = ker(f). V/W = {v +W : v V } é um espaço vetorial com multiplicação por escalar dada por a(v + W ) := av + W (observe que para definir V/W não precisamos de nenhuma condição ulterior em W, basta que W seja um subespaço). Temos que ϕ : V/W U dada por ϕ(v + W ) := f(v) é um isomorfismo de espaços vetoriais: de fato, é um isomorfismo de grupos aditivos pelo teorema de isomorfismo de grupos, e é k-linear pois ϕ(a(v +W )) = ϕ(av + W ) = f(av) = af(v) = aϕ(v + W ). Logo V/W = Im(f). Lembre-se que dim(v ) = dim(ker(f)) + dim(im(f)) e ker(f) = W, logo dim(v/w ) = dim(im(f)) = dim(v ) dim(w ) /04/16. Usando o algoritmo de Euclide encontre um gerador do ideal (360, 12705) de Z (ideal gerado) Os quociêntes são 35, 3, 2. O algoritmo terminou pois o próximo resto seria zero (15 divide 45). Obtemos que ( 247) = 15 = MDC(12705, 360) /04/16. Usando o algoritmo de Euclide encontre um gerador do ideal (X 5 + 2X 3 + X 2 + 1, X 2 + X 2) de Q[X] (ideal gerado). Em outras palavras, encontre o maior divisor comum dos dois geradores. X 5 + 2X 3 + X X 2 + X X 5 + 2X 3 + X X 2 + X 2 1 X 3 + X 2 5X 6X X X X2 5 6 X X 11 6 A(X) B(X) 1935/384 5

6 onde A(X) = ( 9 4 X ) e B(X) = X3 + X 2 5X ( 1 6 X X2 5 6 X + 1)( 9 4 X ). Observe também (mesmo que não seja pedido do exercício) que A(X) é o inverso de X 5 + 2X 3 + X no anel Q[X]/(X 2 + X 2) e B(X) é o inverso de X 2 + X 2 no anel Q[X]/(X 5 + 2X 3 + X 2 + 1). O maior divisor comum entre X 5 + 2X 3 + X e X 2 + X 2 é 1 (observe que o maior divisor comum é definido a menos de multiplicar por um elemento invertível, isto é, uma constante não nula). Eles são polinômios coprimos. Isso implica que (X 5 + 2X 3 + X 2 + 1, X 2 + X 2) = (1) = Q[X] /04/16. Seja A um anel (comutativo unitário) e seja f : A[X] A a função definida por f(p (X)) := P (0), isto é, f(a 0 + a 1 X a n X n ) := a 0. Usando o teorema de isomorfismo, mostre que A[X]/(X) = A (onde (X) é o ideal principal gerado por X). Se trata do exercício 8, pois (X) = {XP (X) : P (X) A[X]}. A única coisa diferente é a notação (X) /04/16. Seja B um anel (comutativo unitário) e seja A um subanel de B. Dado b B considere a função v b : A[X] B definida por v b (P (X)) := P (b): v b (a 0 + a 1 X a n X n ) := a 0 + a 1 b a n b n. Mostre que se trata de um homomorfismo de aneis. Considere agora o caso A = R e B = C, b = i (assim i 2 = 1). Mostre que ker(v i ) é o ideal principal gerado por X (Dica: dado P (X) ker(v i ) faça a divisão com resto de P (X) por X 2 +1). Usando o teorema de isomorfismo, deduza que C = R[X]/(X 2 + 1). Esse exercício foi resolvido em sala de aula (notas de aula do dia 3 de maio) /05/16. Qual é o núcleo de v i : Z[X] C, P (X) P (i)? Aplique o teorema de isomorfismo para escrever Z[i] como quociênte de Z[X]. Vamos mostrar que ker(v i ) = (X 2 + 1). Para fazer isso mostraremos as duas inclusões. Se P (X) (X 2 + 1) então P (X) = (X 2 + 1)A(X) com A(X) Z[X] e v i (P (X)) = v i ((X 2 + 1)A(X)) = (i 2 + 1)A(i) = 0 pois i 2 = 1. Isso mostra. Agora mostraremos a inclusão. Seja P (X) ker(v i ), e fazemos a divisão com resto de P (X) por X (pode ser feita, embora Z[X] não seja um domínio Euclidiano, pois o coeficiente de grau máximo de X 2 +1 é 1, que é invertível em Z!), obtendo P (X) = Q(X)(X 2 + 1) + R(X) com R(X) = 0 ou grau(r(x)) < 2. Se R(X) 0 então grau(r(x)) < 2 logo R(X) = a + bx com a, b Z, assim R(i) = P (i) Q(i)(i 2 + 1) = 0 (pois P (X) ker(v i )) implica que 0 = R(i) = a+bi. Se b = 0 então a+bi = 0 implica a = 0 assim R(X) = 0, 6

7 o que é falso, então b 0 e a + bi = 0 implica i = a/b Q, contradição. Logo R(X) = 0 e P (X) = Q(X)(X 2 + 1) (X 2 + 1). Isso mostra que ker(v i ) = (X 2 + 1), logo pelo teorema de isomorfismo Z[i] = Im(v i ) = Z[X]/(X 2 + 1) /05/16. Calcule o núcleo de v i+1 : Q[X] C, v i+1 (P (X)) := P (i + 1). Seja α := i + 1. Observe que (α 1) 2 = 1, logo α é raiz do polinômio (X 1) 2 +1 = X 2 2X+2. Por outro lado, α não é raiz de um polinômio de grau 1 pois se ax +b Q[X] tem α como raiz, aα+b = 0 implica que α = b/a Q, contradição. Logo X 2 2X +2 é um polinômio de grau mínimo entre os polinômios que têm i+1 como raiz, logo ker(v i+1 ) = (X 2 2X +2) (veja a demonstração do fato que os ideais de um domínio Euclidiano são principais, notas de aula do dia 28 de abril). Pode-se mostrar que ker(v i+1 ) = (X 2 2X + 2) também mostrando as duas inclusões como feito no exercício anterior /05/16. Seja A um domínio de integridade e sejam a, b A. Mostre que (a) = (b) se e somente se existe um elemento invertível u A tal que b = au. Suponha (a) = (b), assim a divide b e b divide a. Escrevemos b = ac e a = bd, assim a = bd = acd logo a(1 cd) = 0. Como A é um domínio de integridade, isso implica que tem dois casos: a = 0 ou 1 cd = 0. No primeiro caso a = 0 assim (a) = (0) = {0} e (a) = (b) implica que b = 0 logo b = a 1 (pois a = b = 0) e podemos escolher u = 1. Suponha agora que a 0, assim estamos no segundo caso, 1 cd = 0, assim cd = 1, logo c é invertível. Como b = ac, podemos escolher u = c. Agora suponha que b = au com u invertível. Para mostrar que (a) = (b) basta mostrar que a divide b e b divide a. Como b = au, é claro que a divide b. Por outro lado como u é invertível a = bu 1 logo b divide a /05/16. Conte os ideais de Z/12Z. Pelo teorema de correspondência, os ideais de Z/12Z = Z/(12) correspondem aos ideais de Z que contêm (12), e como os ideais de Z são principais (sendo Z um domínio Euclidiano), um ideal que contem (12) tem a forma (a) onde a é um divisor de 12, isto é, a {±1, ±2, ±3, ±4, ±6, ±12}. Como 1 e 1 são invertíveis, pelo exercício anterior (a) = ( a) logo as possibilidades para (a) são (1), (2), (3), (4), (6), (12), assim Z/12Z tem 6 ideais. O mesmo argomento mostra que o número de ideais de Z/nZ é igual ao número de divisores positivos de n (isso é razoavel pois no caso de Z/nZ todos os subgrupos aditivos são ideais, e o número de subgrupos de um grupo cíclico C n é o número de divisores positívos de n) /05/16. Mostre que Z/nZ é um corpo se e somente se n é um número primo. Veja o exercício 3 acima. 7

8 22. 03/05/16. Mostre que se n > 1 é um inteiro, (n, X) Z[X] não é um ideal principal. Suponha por contradição que (n, X) seja principal, (n, X) = (P (X)) para algum P (X) Z[X]. Em particular P (X) divide n e X, logo a única possibilidade é P (X) = 1 (como no caso já visto de n = 2), em particular (n, X) = (P (X)) = (1) = Z[X], logo existem A(X), B(X) Z[X] tais que na(x) + XB(X) = 1. Substituindo X = 0 obtemos na(0) = 1, contradição pois n é um inteiro maior doque 1 e A(0) é um inteiro (os únicos inteiros invertíveis são 1 e 1) /05/16. Mostre que (X) é um ideal maximal de Q[X] (considere v 0 ). Usando v 0 (o homomorfismo de substituição v 0 (P (X)) := P (0)), já vimos que Q[X]/(X) = Q (nos exercícios 8 e 15). Logo Q[X]/(X) é um corpo (sendo um anel isomorfo a Q, que é um corpo), então (X) é um ideal maximal de Q[X] (lembre-se que A/I é um corpo se e somente se I é um ideal maximal) /05/16. Mostre que (X 2 1) não é um ideal maximal de Q[X] (quantos ideais tem o quociênte?). Como visto em sala de aula, o quociênte Q[X]/(X 2 1) tem quatro ideais (correspondentes aos divisores 1, X 1, X + 1, X 2 1 de X 2 1), logo não é um corpo (um corpo tem somente dois ideais, os dois ideais triviais (0) e (1)), logo (X 2 1) não é um ideal maximal (lembre-se que A/I é um corpo se e somente se I é um ideal maximal) /05/16. Seja a R. Mostre que R[X]/(X a) = R. Queremos aplicar o teorema de isomorfismo. Para fazer isso, considere v a : R[X] R, o homomorfismo de substituição v a (P (X)) := P (a). Ele é sobrejetivo pois se r R então r é um polinômio constante e v a (r) = r. Para deduzir que R[X]/(X a) = R usando o teorema de isomorfismo falta mostrar que ker(v a ) = (X a). Vamos mostrar isso mostrando as duas inclusões. Se P (X) (X a) então P (X) = Q(X)(X a) para algum Q(X) R[X] logo v a (P (X)) = v a (Q(X)(X a)) = Q(a)(a a) = 0, assim P (X) ker(v a ). Isso mostra que (X a) ker(v a ). Mostraremos agora que ker(v a ) (X a), seja então P (X) ker(v a ). Queremos mostrar que X a divide P (X), e para fazer isso fazemos a divisão com resto de P (X) por X a (no domínio Euclidiano R[X] - lembre-se que se k é um corpo, k[x] é um domínio Euclidiano) esperando que o resto seja 0. Sejam então Q(X), R(X) in R[X] tais que P (X) = (X a)q(x)+r(x) e grau(r(x)) < 1 ou R(X) = 0. Temos então R(X) = P (X) (X a)q(x) logo R(a) = P (a) (a a)q(a) = P (a) = 0 pois P (X) ker(v a ). Mas se R(X) 0 então como grau(r(x)) < 1, R(X) é um polinômio constante não nulo com a como raiz, o que não é possível. Isso mostra que R(X) = 0 assim P (X) = (X a)q(x) pertence ao ideal principal (X a) /05/16. Encontre o inverso de I no anel Z/I, onde I = (1039). 8

9 Aplicando o algoritmo de Euclide temos Os quociêntes são 1, 1, 1, 68, 1, 1. Logo = 1, assim o inverso de I no anel Z/I é 415. De maneira analoga, se J = (691) o inverso de J em Z/J é J /05/16. Encontre o inverso de X I no anel Q[X]/I, onde I = (X 2 + 2). Aplicando o algoritmo de Euclide temos X 5 3 X X X X 3 + 2X 4X 3 (X/4 + 3/16) 1 + (X/4 + 3/16)(X 3 2X) 41/16 Os quociêntes são X 3 2X, X/4 + 3/16. O algoritmo termina aqui pois o próximo resto seria zero, de fato 4X 3 = (4X 3) (observe que u = 41/16 é invertível em Q[X], então ele divide todo polinômio). Logo (X/4 + 3/16)(X 5 3) + (1 + (X/4 + 3/16)(X 3 2X))(X 2 + 2) = 41/16 assim reduzindo modulo X obtemos que (X/4 + 3/16)(X 5 3) 41/16 modulo X Multiplicando pelo inverso de 41/16 obtemos que (X/4 + 3/16)(X5 3) 1 modulo X (na verdade seria modulo (X2 + 2), mas observe que os ideais ( (X2 + 2)) e (X 2 + 2) são iguais pois é invertível - veja o exercício 19 acima). Logo o inverso de X5 3+I no anel Q[X]/I é (X/4 + 3/16) + I. 9