ANÉIS. Professora: Elisandra Bär de Figueiredo

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1 Professora: Elisandra Bär de Figueiredo ANÉIS DEFINIÇÃO 1 Um sistema matemático (A,, ) constituído de um conjunto não vazio A e duas leis de composição interna sobre A, uma adição: (x, y) x y e uma multiplicação (x, y) x y, é chamado anel se: ˆ (A, ) é um grupo abeliano, cujo elemento neutro é denotado por 0 A ; ˆ a multiplicação é associativa; ˆ a multiplicação é distributiva em relação a adição. OBSERVAÇÃO 1 Sendo e leis de composição interna elas devem ser operações fechadas em A. NOTAÇÃO 1 Denotamos um anel por (A,, ) ou as vezes dizemos apenas anel A e as operações estarão subentendidas. DEFINIÇÃO 2 Dizemos que um anel é comutativo se a multiplicação é comutativa. EXEMPLO 1 São exemplos clássicos de anéis: 1. Anel dos inteiros (Z, +, ) 2. Anel dos racionais (Q, +, ) 3. Anel dos reais (R, +, ) 4. Anel dos complexos (C, +, ) 5. Anel das classes de resto m (Z m, +, ) EXEMPLO 2 (nz, +, ), n N, sendo a adição e multiplicação usual de números inteiros. 1

2 EXEMPLO 3 Anel das matrizes de ordem n (M n (A), +, ), sendo (A,, ) um anel. EXEMPLO 4 Anéis de funções (A X, +, ) em que A X = {f : X A} sendo (A,, ) um anel e dadas f, g A X tem-se (f + g)(x) = f(x) g(x) e (f g)(x) = f(x) g(x). EXEMPLO 5 Produto Direto: Sejam (A, +, ) e (B, +, ) anéis quaisquer. A soma e produto denidos em A B por: ˆ (a 1, b 1 ) (a 2, b 2 ) = (a 1 + a 2, b 1 +b 2 ) ˆ (a 1, b 1 ) (a 2, b 2 ) = (a 1 a 2, b 1 b 2 ) constituem o anel (A B,, ) chamado anel produto direto externo de A por B. DEFINIÇÃO 3 Dados dois elementos a e b de um anel A, a diferença entre a e b, que indicaremos por a b, é o elemento a + ( b). DEFINIÇÃO 4 Dados a A (A um anel) e n N, dene-se a n por recorrência: ˆ a 1 = a 2

3 ˆ a n = a n 1 a para todo n > 1. Propriedades de um anel Considere um anel (A, +, ) tem-se 1. o zero do anel é único. 2. para cada a A existe um único simétrico aditivo. 3. dados a 1, a 2,, a n A, n 2, vale: (a 1 +a 2 +, a n ) = ( a 1 )+( a 2 )+ +( a n ). 4. para todo a A, vale ( a) = a. 5. para todo a, x, y A vale a + x = a + y x = y. 6. o conjunto solução da equação a + x = b, em que a, b são elementos em A e x é variável em A, é { a + b}. 7. para todo a A vale a 0 A = 0 A a = 0 A. 8. para todo a, b A vale a( b) = ( a)b = (ab). 9. para todo a, b A vale ( a)( b) = ab. 10. para todo a, b, c A vale a(b c) = ab ac. 11. para todo a A e para todo n, m N valem ˆ a m a n = a m+n. ˆ (a m ) n = a mn. DEFINIÇÃO 5 Um anel (A,, ) em que o conjunto A é nito é dito um anel nito. OBSERVAÇÃO 2 Se A é um anel nito as tábuas da adição e da multiplicação deste anel são instrumentos úteis para visualizar algumas características do anel. EXEMPLO 6 Os anéis Z m são exemplos importantes de anéis nitos. 3

4 SUBANÉIS DEFINIÇÃO 6 Seja (A, +, ) um anel. Dizemos que um subconjunto não vazio L A é um subanel de A se ˆ L é fechado para ambas as operações de A; ˆ (L, +, ) também é um anel EXEMPLO 7 ˆ Z é subanel de Q, R, C. ˆ M n (Z) é subanel de M n (Q) que é de M n (R) que é de M n (C). ˆ nz, n N é subanel de Z. PROPOSIÇÃO 1 Sejam A um anel e L um subconjunto não vazio de A. Então, L é um subanel de A se, e somente se, para todo a, b L tem-se a b L e a b L. EXEMPLO 8 Verique se L = {( a b 0 0 ) } / a, b Z é subanel de M 2 (R). EXEMPLO 9 Considere o anel A = R R. Seja L = {f A/ f(1) = 0}. Verique se L é um subanel de A. 4

5 DEFINIÇÃO 7 Um anel é dito ser um anel com unidade se a operação de multiplicação tem elemento neutro. Esse elemento neutro será indicado por 1 A e chamado unidade do anel. OBSERVAÇÃO 3 1 A 0 A, caso contrário A = {0 A }. EXEMPLO 10 Se A é um anel com unidade, prove que a a aplicação u : X A, dada por u(x) = 1 A, é a unidade do anel A X. OBSERVAÇÃO 4 Num anel com unidade dene-se a 0 = 1 A n 1. e a n = a n 1 a para todo natural Subanéis unitários Sejam A um anel e L um subanel de A. Se A, então ˆ ou L não tem unidade; ˆ ou L tem unidade igual de A; ˆ ou L tem unidade e esta é diferente da de A. EXEMPLO 11 O que pode-se concluir sobre os subanéis abaixo quanto a unidade: 1. 2Z como subanel de Z. 2. Z como subanel de Q. 3. {0} Z como subanel de Z Z. 5

6 4. {0} Z como subanel de 2Z Z. 5. 4Z como subanel de 2Z. DEFINIÇÃO 8 Se A é um anel com unidade e se B é um subanel de A que tem a mesma unidade de A, isto é, 1 A = 1 B, diz-se que B é um subanel unitário de A. EXEMPLO 12 Z é um subanel unitário de Q. Seja (A, +, ) um anel. Temos que ANÉIS DE INTEGRIDADE a 0 A = 0 A = 0 A a, a A. Porém a recíproca não é sempre verdadeira. Por exemplo em Z 4 : 2 2 = 4 = 0 e 2 0. Ou seja, num anel A pode ocorrer a b = 0 A com a, b A {0 A }. DEFINIÇÃO 9 Seja (A, +, ) um anel. Um elemento a A é chamado divisor próprio de zero quando a 0 A e existe b A, b 0 A, tal que ab = 0 A ou ba = 0 A. Observe que b (da denição acima) também é divisor próprio de zero. EXEMPLO 13 Dê exemplos de anéis que possuem divisores próprios de zero (cite alguns divisores próprios de zero). DEFINIÇÃO 10 Dizemos que o anel A é um anel sem divisores próprios de zero se a, b A, ab = 0 A a = 0 A ou b = 0 A. 6

7 OBSERVAÇÃO 5 A propriedade: é chamada lei do anulamento do produto. a, b A, ab = 0 A a = 0 A ou b = 0 A EXEMPLO 14 Dê exemplos de anéis sem divisores próprios de zero. DEFINIÇÃO 11 Um anel de integridade é um anel comutativo, com unidade e sem divisores próprios de zero. OBSERVAÇÃO 6 Podemos dizer que um anel de integridade é um anel comutativo, com unidade em que vale a lei do anulamento do produto. OBSERVAÇÃO 7 Um anel de integridade também é chamado de domínio de integridade ou simplesmente domínio. EXEMPLO 15 Dê exemplos de anéis de integridade. PROPOSIÇÃO 2 Um anel A comutativo com unidade é um anel de integridade se, e somente se, todo elemento não nulo de A é regular para a multiplicação. 7

8 PROPOSIÇÃO 3 O anel Z m é um anel de integridade se, e somente se, m é primo. CORPOS Fato: Os anéis Z e Q são anéis de integridade. Mas, enquanto no anel dos números inteiros somente os elementos 1 e -1 possuem simétrico multiplicativo, no anel dos números racionais todo elemento não nulo admite simétrico multiplicativo. Assim, denimos: DEFINIÇÃO 12 Um anel K, comutativo com unidade, recebe o nome de corpo se todo elemento não nulo de K admite simétrico multiplicativo, ou seja, a K, a 0 K, b K/ ab = 1 K. Notação: O elemento b que aparece na denição de corpo é chamado inverso de a e denotado por a 1. Num anel com unidade indicaremos por U(A) o subconjunto de A formado pelos elementos para os quais existe simétrico multiplicativo (inverso). Esses elementos são chamados inversíveis. Assim, um corpo K é um anel, comutativo com unidade, tal que U(K) = K = K {0 K }. EXEMPLO O anel dos números inteiros não é um corpo; 2. Os anéis Q, R e C são corpos. 3. O anel das funções f : R R não é um corpo. Por que? 8

9 PROPOSIÇÃO 4 Todo corpo é um anel de integridade. Observação: A recíproca desta proposição é falsa. Por que? PROPOSIÇÃO 5 Todo anel de integridade nito é um corpo. EXEMPLO 17 Prove que (Z m, +, ) é um corpo se, e somente se, m é primo. 9

10 HOMOMORFISMOS DEFINIÇÃO 13 Sejam A e B anéis. Uma aplicação f : A B é um homomorsmo de anéis de A em B se valem: (i) x, y A, f(x + y) = f(x) + f(y); (ii) x, y A, f(xy) = f(x)f(y). Observação: Estamos usando o mesmo símbolo para adição e multiplicação em A e em B, porém não são necessariamente operações iguais. ˆ Se f é um homomorsmo de anéis e f é injetora, então f é dito monomorsmo de anéis. ˆ Se f é um homomorsmo de anéis e f é sobrejetora, então f é dito epimorsmo de anéis. ˆ Se f é um homomorsmo de anéis e f é bijetora, então f é dito isomorsmo de anéis. Observação: Como (A, +) e (B, +) são grupos, então um homomorsmo de anéis f : A B também é um homomorsmo do grupo aditivo A no grupo aditivo B. EXEMPLO 18 Verique se as aplicações dadas abaixo são homomorsmos de anéis. 1. f : Z Z Z dada por f(x) = (x, 0). 2. p m : Z Z m dada por p m (x) = x. 3. g : A A, sendo A = Z[ 2] = {m + n 2/ m, n Z}, dada por g(m + n 2) = m n 2. 10

11 DEFINIÇÃO 14 Dado um homomorsmo de anéis, f : A B, o núcleo de f é o subconjunto ker(f) = N(f) A denido por N(f) = ker(f) = {x A/ f(x) = 0 B }. EXEMPLO 19 Determine o núcleo dos homomorsmos do exemplo anterior. PROPOSIÇÃO 6 Seja f : A B um homomorsmo de anéis. Então, (i) f(0 A ) = 0 B ; (ii) f( a) = f(a), a A; (iii) f(a b) = f(a) f(b), a, b A. PROPOSIÇÃO 7 Seja f : A B um homomorsmo de anéis. Então, (i) N(f) é um subanel de A; (ii) f é um monomorsmo de anéis se, e somente se, N(f) = {0 A }. 11

12 PROPOSIÇÃO 8 Seja f : A B um epimorsmo de anéis e suponha que A possui unidade 1 A. Então, (i) f(1 A ) é unidade de B, ou seja, B também é um anel com unidade e 1 B = f(1 A ). (ii) Se a A é inversível, então f(a) B é inversível e (f(a)) 1 = f(a 1 ). 12

13 EXEMPLO 20 Observe que para f : Z Z Z, dada por f(x) = (x, 0), f(1) = (1, 0) (1, 1). PROPOSIÇÃO 9 (i) Se f : A B é um homomorsmo de anéis e L é um subanel de A, então f(l) é um subanel de B. (ii) Se f : M N é um homomorsmo de corpos, f(1 M ) 0 N e K é um subcorpo de M, então f(k) é um subcorpo de N. Demonstração: Exercício! PROPOSIÇÃO 10 Sejam f : A B e g : B C homomorsmos de anéis. Então, g f : A C também é um homomorsmo de anéis. Demonstração: Exercício! DEFINIÇÃO 15 Seja f : A B um homomorsmo de anéis. bijetora, então f será chamado um isomorsmo de anéis. Se f for uma aplicação PROPOSIÇÃO 11 Seja f : A B um isomorsmo de anéis. Então, f 1 : B A também é um isomorsmo de anéis. Demonstração: Exercício! Terminologia: Se f : A B é um isomorsmo de anéis, dizemos que A e B são isomorfos e denotamos por A B. EXEMPLO 21 Verique que a relação f : Z 6 Z 2 Z 3, denida por f(a 6 ) = (a 2, a 3 ) é um isomorsmo de anéis, sendo : ˆ a 6 = classe de restos módulo 6 determinada por a; ˆ a 2 = classe de restos módulo 2 determinada por a; ˆ a 3 = classe de restos módulo 3 determinada por a; Construa as tábuas das operações para observar as semelhanças. EXEMPLO 22 Mostre que Z 4 e Z 2 Z 2 não são isomorfos. Observação: Seja f : A B um homomorsmo injetor de anéis (corpos). Se L é subanel (subcorpo) de A, então f(l) é um subanel (subcorpo) de B. Além disso, f(l) é isomorfo a L. Porquê? Disto concluímos que existindo um homomorsmo injetor de A em B, então o anel B contém uma cópia de cada um dos subanéis de A. 13