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1 Universidade Federal de Goiás Regional Catalão - IMTec Disciplina: Álgebra I Professor: André Luiz Galdino Gabarito da 1 a Lista de Exercícios 11/03/ Prove que G é um grupo com a operação de multiplicação de matrizes usual. G = 1 0, 1 0, 1 0, Solução: Dizemos que um conjunto G não vazio, onde esta definida uma operação binária, é um grupo se, e somente se: 1) a, b G a b G. (fechado) 2) a, b, c G a (b c) = (a b) c. (associativa) 3) e G : a G a e = e a = a. (elemento neutro) 4) a G a 1 G : a a 1 = a 1 a = e. (elemento inverso) Com o intuito de simplificar, considere no conjunto de matrizes G dado acima A = 1 0, B = 1 0, C = 1 0 e D = Observe que: 1) O conjunto G dado é fechado, pois, i) AA = A G, AB = BA = B G, AC = CA = C G, AD = DA = D G. ii) BB = A G, BC = CB = D G, BD = DB = C G. iii) CC = A G, CD = DC = B G. iv) DD = A G. 2) Como já é sabido, a multiplicação de matrizes usual é associativa, ou seja: X, Y, Z G (XY )Z = X(Y Z). Pág. 1 de 6

2 3) Como a matriz A é a matriz identidade, temos que X G X A = A X = X. Portanto A é o elemento neutro de G. 4) Pelo item 1) acima vemos que: AA = A, BB = A, CC = A e DD = A. Logo, toda matriz em G é inversa dela mesma. Portanto, G é um grupo. 2. Se (G, ) é um grupo, mostre que existe um único elemento e G tal que para todo a G implica que a e = a. Solução: Suponhamos que existem dois elementos neutros e 1 e e 2 em G. Dessa forma temos: e 1 e 2 = e 1 e e 1 e 2 = e 2 Portanto, e 1 = e 2 e consequentemente o elemento neutro é único. 3. Se (G, ) é um grupo, mostre que para todo a G existe um único elemento a 1 G tal que a a 1 = e. Solução: Seja a G. Suponhamos que existem dois elementos inversos c e b de a em G, ou seja, a b = b a = e e a c = c a = e Consequentemente, b = b e = b (a c) = (b a) c = e c = c. Portanto, existe um único elemento inverso a 1 G tal que a a 1 = e. 4. Se (G, ) é um grupo e a G, então (a 1 ) 1 = a. Solução: Pelo Exercício 3, temos que o elemento inverso de um elemento em G é único. Sendo assim, como a a 1 = e, vem que a é o inverso de a 1, ou seja, (a 1 ) 1 = a. 5. Sejam (G, ) um grupo e a, x, y G. Mostre que valem as seguintes leis do cancelamento: a) a x = a y x = y. Pág. 2 de 6

3 b) x a = y a x = y. 6. Seja (G, ) um grupo e a G. Mostre que para todo n, m IN, a) (a n ) n = a nm. b) (ab) 1 = b 1 a Mostre que se G é um grupo abeliano, então para todo a, b G e para todo n IN temos que: (ab) n = a n b n. 8. Verifique se (IR, ) é um grupo abeliano, onde é dada por: a b = a + b Seja G um grupo. Mostre que se x 2 = e para todo x G, então G é abeliano. 10. Mostre que se (ab) 2 = a 2 b 2 para todo a, b G, então G é um grupo abeliano. 11. Considere os grupos ZZ e IQ sob a operação + de adição usual. a) Sendo nzz = {nx x ZZ}, mostre que (nzz, +) é um subgrupo de ZZ. b) Mostre que o conjunto dos números naturais IN não é um subgrupo de ZZ. c) Mostre que ZZ é um subgrupo de IQ. Solução: Primeiramente observe que nos grupos (ZZ, +) e (IQ, +) temos o 0 como elemento neutro. Além disso, para todo a ZZ ou a IQ temos a 1 = a. a) (nzz, +) é um subgrupo de ZZ. De fato, 1) nzz, pois, n.0 = 0 nzz. 2) Para todo a, b nzz implica que a + b 1 nzz, pois, sendo a, b nzz existem x, y ZZ tais que a = nx e b = ny. Logo, a + b 1 = a + ( b) = nx + ( ny) = nx ny = n(x y) nzz. b) O conjunto dos números naturais IN não é um subgrupo de ZZ, pois dado qualquer n IN não existe um elemento n 1 IN tal que n + n 1 = 0. Em outras palavras, não existe n IN tal que n + ( n) = 0. c) Como (ZZ, +) e (IQ, +) são grupos e ZZ IQ, temos sem dúvida nenhuma que ZZ é um subgrupo de IQ. Pág. 3 de 6

4 12. Seja IQ o grupo dos números racionais não nulos sob a operação de multiplicação usual. Considere o conjunto H é um subgrupo de IQ? H = { } 1 2 m ZZ. m Solução: Observe que H, pois, 1 = H. Lembre-se que para todo b IQ vem que b 1 = 1. Sendo assim, sejam a, b H, ou seja, existem b n, m ZZ tais que Consequentemente, ab 1 = a 1 b = 1 2 m n = Portanto, H é um subgrupo de IQ. a = 1 2 m e b = 1 2 n. 1 2 m 2n = 1 2 m 2 = 1 H. n 2m n 13. Seja GL(2, IR) o conjunto das matrizes inversíveis 2 2 com entradas reais. a) Mostre que GL(2, IR) é um grupo com a operação de multiplicação de matrizes usual. b) Mostre que o conjunto D dado a seguir é um subgrupo de GL(2, IR). D = a 0 a IR e a 0 0 a. c) Mostre que o conjunto SL(2, IR) das matrizes 2 2 cujo determinante é igual a 1, é um subgrupo de GL(2, IR). Solução: Lembre-se de que uma matriz é chamada de inversível se, e somente se, seu determinante é diferente de zero, ou seja, A GL(2, IR) det(a) 0. Além disso, det(a 1 ) = 1 det(a). a) Mostremos então que GL(2, IR) é um grupo com a operação de multiplicação de matrizes usual. Pág. 4 de 6

5 i) A, B GL(2, IR) temos que det(a) 0 e det(b) 0. Como as matrizes A e B são quadradas de mesma ordem 2, vem que det(ab) = det(a)det(b). Sendo, det(a) 0 e det(b) 0 concluimos que det(ab) 0 e, portanto, AB GL(2, IR). ii) Já é sabido que em geral a multiplicação de matrizes satisfaz a propriedade associativa. iii) É fácil ver que a matriz identidade I = 1 0 é o elemento neutro do conjunto GL(2, IR). iv) Por definição do conjunto GL(2, IR) temos que para toda matriz A GL(2, IR) existe uma matriz A 1 GL(2, IR) tal que AA 1 = I. Portanto, GL(2, IR) é um grupo. b) O conjunto D dado é um subgrupo de GL(2, IR), pois, i) D, pois, I = 1 0 D. ii) Note que se B = b 0 D então sua inversa B 1 = 1 b 0 D. 0 b b Sendo assim, provemos que dadas as matrizes A, B D então AB 1 D. Para isto, suponhamos que A = a 0 e B = b 0. Donde obtemos 0 a 0 b AB 1 = a 0 0 a Portanto, D é um subgrupo de GL(2, IR). 1 b 0 b = a b 0 0 a b D. 14. Seja {H a } a A uma família de subgrupos de um grupo G. Mostre que a interseção H = a A H a, da família de subgrupos {H a } a A, ainda é um subgrupo. 15. Seja IR 2 o produto cartesiano de IR por ele mesmo. Considerando a soma de vetores usual em IR 2, ou seja, (x, y) + (a, b) = (x + a, y + b), responda: a) (IR 2, +) é um grupo? b) A = {(a, 0) a IR} é um subgrupo de IR 2? c) B = {(0, b) b IR} é um subgrupo de IR 2? d) A B é um subgrupo de IR 2? Pág. 5 de 6

6 SUGESTÃO: Estude as definições de grupos, subgrupos e etc, os exemplos e os resultados (propriedades) apresentados em sala de aula. Pesquise por outros exemplos de grupos, subgrupos seja pela internet, seja na biblioteca. Procure estudar e ou rever o conteúdo dado em sala de aula, nem que seja 5 minutinhos, todos os dias. Pág. 6 de 6 Fim do Gabarito

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