(j) f(x) = (w) h(x) = x. (y) f(x) = sin(2x) (z) h(x) = 2 sin x. > 0 x 2 4x (g) x + 4 2x 6 (h)

Transcrição

1 Professora: Elisandra Bär de Figueiredo Lista : Funções - Cálculo Diferencial e Integral I. Determine o domínio e construa o gráco das seguintes funções. A seguir identique como estão relacionados os grácos das funções do mesmo tipo. (a) f() = 4 (n) g() = log( ) (b) g() = 4 + (o) h() = log (c) h() = 4 ( ) (p) p() = ln (d) p() = 6 ( ) (q) f() = (e) f() = 3 (r) g() = (f) g() = ( + ) 3 (s) h() = (g) h() = ( + ) 3 + (t) p() = + (h) p() = 3 (u) q() = e 4 (i) q() = 3 (v) f() = (j) f() = (w) h() = () p() = (k) g() = + (l) h() = + (m) f() = log () f() = sin() (z) h() = sin. Resolva as inequações e apresente seus resultados usando a notação de intervalos. (a) + 7 > (b) + (c) > (d) < (e) 0 < < (f) > 0 4 (g) (h) (i) + < 0 (j) 5 < 4 < (k) > (l) + < (m) Seja f() =. Determine os valores indicados sendo a um número real. + 4 (e) f( a) (a) f(/a) (b) /f(a) (c) f(a ) (d) [f(a)] (f) f(a) f(a + h) f(a) (g), com h 0 h 4. Determine quais das funções abaio, de R em R, são injetoras e quais são sobrejetoras. Justique suas respostas. (a) = + (b) = (c) =

2 (d) = {, se 0 0, se = 0 5. Seja f() = determine a lei das seguintes funções e o seu domínio. ( + ) (a) g() = f (b) h() = (f f)() + 6. Sejam f() = ln e g() = 3 determine a lei das seguintes funções e o seu domínio. (a) h() = (f g)() (b) u() = (g f)() 7. Use a denição de módulo para reescrever as funções abaio e a seguir esboce seu gráco. (a) f() = + + (b) f() = 9 8. Sejam f e g duas funções de R em R assim denidas: f() = { +, se 0 +, se < 0 e g() = 3. Determine f g e g f. 9. Sendo f : R R denida por: f() = { +, se 0, se > 0. Determine f f. 0. Determine quais das funções abaio são pares ou ímpares. (a) f() = 5 3 (b) f() = + + (c) f() = (d) f() = a + a (e) f() = ln( + + ) ( ) + (f) f() = ln. Mostre que se f e g são funções ímpares, então (f + g) e (f g) também são funções ímpares.. Mostre que se f e g são funções ímpares, então f g e f g são funções pares. 3. Mostre que a função [f() + f( )] é par e que a função [f() f( )] é ímpar. 4. Prove que qualquer função f : R R pode ser epressa como a soma de uma função par com uma função ímpar. 5. Se f() =, mostre que f( + 3) f( ) = 5 f(). 6. Se f() = e, verique que f()f() = f( + ). 7. Se f() = ln, verique que: (a) f() + f() = f() (b) f( ) = f() (c) f( u v ) + f(v u ) = 0

3 8. Determine o domínio das seguintes funções. (a) f() = e (b) f() = ( e )( + ) (c) f() = + (d) f() = ln( ) (e) f() = e ln(sin ) (f) f() = (g) f() = (h) f() = ( ) cosh ( ) sinh( 5 ) ( ln + ) (i) f() = e 3 sinh( ) (j) f() = arcsin ( ) ln( ) 9. Nos itens abaio determine a função inversa e construa o gráco de f e f. (a) f() =, (b) f() = + (c) f() = +, 0. Determine a função f() de primeiro grau que satisfaz f() = e f( ) = 7.. Seja f() = cos e g() = +. Classique a função h() = g () (g f)() como função par ou ímpar.. Sejam f e g as funções denidas por f() = 3 3 e g() = (a) Verique se a função h() = (g f)() é par ou ímpar. 3. (b) Determine todos os valores reais de que satisfazem a inequação + g() f() Seja g a função denida por g() = ln( ). Determine a inversa da função g() e o domínio e imagem desta. 3, se > 4. Considere a função denida por f() =, se =., se < (a) Construa o gráco de f(). (b) f : R R é bijetora? Justique. (c) Determine f (), restringindo domínio e contradomínio se necessário, e construa o seu gráco. 5. Considere a função denida por f() = { ln( + ), se 0 e, se < 0. (a) Construa o gráco de f(). 3

4 (b) f : R R é bijetora? Justique. (c) Determine f (), restringindo domínio e contradomínio se necessário, e construa o seu gráco. 6. Seja f() = cos(). Determine: (a) o período de f(). (b) f () com restrição de domínio e imagem. (c) o gráco de f() e f (). 7. Seja f() = sin(). Determine: (a) o período de f(). (b) f () com restrição de domínio e imagem. (c) o gráco de f() e f (). 8. Considere as funções f e f g denidas por f() = ln( 3 ) e (f g)() = +. Determine as funções g e g. A seguir determine o domínio e a imagem de g. 9. Seja f() = e e. Respostas: (a) Prove que se f(a) = f(b), então a = b. (b) Prove que dado R eiste R tal que f() =. (c) Determine D(f ), Im(f ) e a lei de f.. Respostas em grupo. (a)-(d) D = R (e)-(i) D = R 4

5 (m)-(p) D f = D g = D p = (0, + ), D h = (, + ) (j)-(l) D f = D g = [0, + ), D h = [, + ) (q)-(u) D = R (v)-() D f = D h = R, D p = (0, + ) () e (z) D = R.. (a) S = (, 8) ( 7, + ) (b) S = (, ) (0, + ) (c) S = [, + ) (d) S = (0, ) (e) S = (, ) (, + ) 3 (f) S = (, 0) (, 3) (4, + ) (g) S = (, ] [0, + ) 3 (h) S = [ 9, 5 ] 3 (i) S = (, 0) (j) S = ( 4, 3] (3, 4) (k) S = (, + ) (l) S = [0, 3 5 ) (m) S = (, + ) { 3, } 5

6 3.. a (a) + 4a (b) a + 4 (c) a (d) (e) (a + 4) a + 4 (f) a + 4 a + h (g) [(a + h) + 4](a + 4) (a) Bijetora (b) Nem -, nem sobrejetora (c) - (d) Bijetora (a) g() = + e D g = R {, } (b) h() = e D h = R { } (a) h() = 3 ln e D h = R + (b) u() = ln 3 e D u = R , se < 0 +, se 0 < (a) f() =, se < 4, se { 9 (b) f() =, se [ 3, 3] 9, se (, 3) (3, + ) 8. (f g)() = (g f)() = +, se, se < 0 9. (f f)() = + 4, se 0 < <, se 0. Função Par: (c) e (d); Função Ímpar: (a) e (f). Use a denição. { 3, se , se < 3 { 3 +, se 0 3 +, se < 0. 6

7 . Use a denição. 3. Use a denição. 4. Use o eercício (a) D f = R (b) D f = R {, 0} (c) D f = (, + ) (d) D f = R [, ] (e) D f = (0, ] (f) D f = R {5} (g) D f = {0} [, + ) {5} (h) D f = (, ) [, + ) (i) D f = [, + ) (j) D f = (, ) 9.. (a) f : [0, + ) [, + ) denida por f () = + (b) f : R\{} R\{} denida por f () = (+) 7

8 (c) f : [, + ) (, ] denida por f () = + 0. f() = 4 3. h é uma função par.. (a) h é uma função ímpar. (b) S = (0, + ) {3} 3. g () = e, D g = R e Im(g ) = (, ). 4. Temos que f é injetora, porém não é sobrejetora (Justique!), f () = { 5. Temos que f é injetora, porém não é sobrejetora (Justique!), f () = + 3, se >, se = +, se < 0 e, se 0 ln( ), se < < 0 Figura : E. 6 Figura : E T = π, f : [, ] [0, π] dada por f () = arccos ( ). 7. T = π, f : [, ] [ π, ] π 4 4 dada por f () = arcsin() g() = e 3 ; g () = (3 ln() ) ; g : [e 3, + ) [, + ). 8

9 Figura 3: E. 8 Figura 4: E f : R R e f () = ln( + + ). 9