Topologia de Zariski. Jairo Menezes e Souza. 25 de maio de Notas incompletas e não revisadas RASCUNHO

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1 Topologia de Zariski Jairo Menezes e Souza 25 de maio de 2013 Notas incompletas e não revisadas 1

2 Resumo Queremos abordar a Topologia de Zariski para o espectro primo de um anel. Antes vamos definir os conceitos de Anéis, Ideais e Ideais Primos. Este é um assunto de Álgebra Comutativa que é utilizado na visão moderna da Geometria Algébrica. Sumário 2

3 1 Introdução 1.1 Anéis Definição 1. Um anel ou anel comutativo com identidade (A, +, ) é um conjunto A com pelo menos dois elementos, munido de uma adição (+) e uma multiplicação ( ) que satisfazem as condições seguintes: (A) (A, +) é um grupo abeliano. (M.1) A multiplicação é associativa.. x, y, z A, (x y) z = x (y z) (AM) A adição é distributiva relativamente à multiplicação. (M.2) A multiplicação é comutativa. x, y, z A, x (y + z) = x y + x $ x, y A, x y = y x (M.3) Existe elemento neutro com respeito à multiplicação. 1 Atal que, x A, 1 x = xex 1 = x Definição 2. Um anel (D, +, ) é um domínio ou domínio de integridade se satisfaz a seguinte condição: (M.4) Se x, y D e x y = 0 então ou x = 0 ou y = 0. Um anel (K, +, ) é um corpo se ele satisfaz a seguinte condição: (M.4 ) Todo elemento não nulo tem um inverso multiplicativo. x K \ {0}, y Ktal quex y = 1 Exemplo 1. Nos três primeiros exemplos + a adição em C e a multiplicação em C. 1. (Z, +, ) é um domínio. 2. (Q, +, ), (R, +, ), (C, +, ) são corpos. 3. ( Z nz,, ) é um anel para todo n Z. Onde e são a adição e multiplicação induzida. 3

4 1.2 Ideais e anéis quociente Definição 3. Seja A um anel e a um subconjunto não vazio de A. Dizemos que a é um ideal de A se: ˆ x + y a, x, y a ˆ a x a, x a e a A Exemplo 2. Alguns exemplos de ideais 1. se K é corpo seus únicos ideais são {0} e K. 2. O conjunto 2Z = {2k : k Z} é um ideal de Z. Mais geralmente o conjunto nz, para n Z são ideais de Z. Teorema 1.1. Seja A um anel e a um ideal de A. Definimos a relação: x y x y a. Então esta é uma relação de equivalência. Ainda mais definimos no conjunto quociente as operações x ȳ = x + y e x ȳ = x y. Estas operações são bem definidas e (A/a,, ) é um anel. Exemplo 3. Seja A = Z e a = 2Z temos que A/a = Z 2Z = { 0, 1}. 1.3 Ideais Primos e Ideais Maximais Definição 4. Seja A um anel. Um ideal p de A é dito um ideal primo se p A e se para x, y A com xy p implica que ou x p ou y p. Exemplo 4. 2Z é ideal primo de Z, mas 4Z não é ideal primo de Z. Definição 5. Um ideal m de A é dito ideal maximal se m A e se para todo a ideal de A com m a A temos que a = m ou a = A. Exemplo 5. 2Z é ideal maximal de Z. Teorema 1.2. Seja A um anel e a um ideal de A. Então: i se a é ideal maximal então a é ideal primo. ii a é ideal primo se e somente se A/a é um domínio. iii a é ideal maximal se e somente se A/a é um corpo. Teorema 1.3. Todo anel A possui ao menos um ideal maximal. Corolário 1.4. Se a (1) é um ideal de A então existe um ideal maximal de A conténdo a. 4

5 Corolário 1.5. Todo elemento de A que não é uma unidade está contido em um ideal maximal. Proposição 1.6. Seja A um anel, então o conjunto dos ideais primos de A tem um elemento minimal com respeito a inclusão. 1.4 Homomorfismos de Anéis Definição 6. Sejam A e B anéis uma função f : A B é um homomorfismo de anéis, se para todos x, y A valem: 1. f(x + y) = f(x) + f(y). 2. f(xy) = f(x)f(y). 3. f(1) = 1. Exemplo 6. Para A um anel e a um ideal de A então temos o homomorfismo (chamado homomorfismo canônico) ϕ : A A /a dado por ϕ(x) = x. Teorema 1.7. Sejam A e B anéis, b B um ideal e f : A B um homomorfismo. temos que: 1. f 1 (b) A é um ideal. 2. Se b é primo então f 1 (b) também é primo. Definição 7. Seja f : A B um homomorfismo de anéis. Definimos o núcleo de f por: ker(f) = {x A : f(x) = 0}. Como ker(f) = f 1 (0) temos que ker(f) é um ideal de A. Teorema 1.8 (Teorema dos homomorfismos). Seja f : A B um homomorfismo de anéis. Então a função f : A /ker(f) B x f(x) está bem definida e é um homomorfismo injetor. Portanto A /ker(f) = Img(f) Teorema 1.9 (Correspondência de Ideais). Seja A um anel e a ideal de A. Então o homomorfismo canônico ϕ : A A /a induz uma correspondência biunívuca entre os conjuntos {ideais b A tais que b a} {ideais de A /a} b ϕ(b) 5

6 1.5 Nilradical e Jacobson Radical Dado um anel A dizemos que um elemento x A é nilpotente se existe n Z, n > o tal que x n = 0. Um anel que tenha um elemento nilpotente diferente de 0 não é domínio. Chamamos de uma unidade de A um elemento u A que divide 1, isto é, existe v A com uv = 1. O elemento v é unicamente determinado por u, e chamamos v = u 1. Chamamos A ao conjunto das unidades de A, temos que (A, ) é um rupo. Definição 8. Seja A um anel, o conjunto R = {x A : chamado de nilratical de A. x é nilpotente} é Teorema Seja A um anel o conjunto nilradical R é um ideal de A e A /R não tem nenhum elemento nilpotente não nulo. Teorema O nilradical de um anel A é a interseção de todos os ideais primos de A. Definição 9. O Jacobson radical J do anel A é a interseção de todos os ideais maximais de A. Teorema x J 1 xy é uma unidade em A y A 1.6 Operações com Ideais Definição 10. Sejam a, b ideais de um anel A. Definimos a soma a + b = {x + y : x a e y b}. Mais geralmente podemos definir a soma λ L a λ, onde L é um conjunto de índices, como o conjunto dos elementos λ L x λ onde x λ a λ e no máximo um número finito de x λ é diferente de zero. Temos que a soma de dois ideais é um ideal. Este é o menor ideal contendo a e b. Do mesmo modo a soma infinita de ideais é um ideal. A interseção de uma família de ideais {a λ } λ L é um ideal. Definição 11. O produto de dois ideais a, b em A é o conjunto ab = { x λ y λ : com x λ a, y λ b e a soma é finita}. Recursivamente definimos o produto de uma família finita de ideais. Assim a n é o conjunto das somas finitas onde as parcelas são x 1 x 2 x n onde x i a. O produto de ideais é um ideal. Exemplo Se A = Z, a = mz,, b = nz então a + b = dz onde d = mdc(m, n). a b = lz onde l = mmc(m, n). E ab = mnz. Neste caso ab = a b m, n são coprimos. 6

7 2. Seja A = k[x, y] e a = (x, y). Então a n é o conjunto dos polinômios que não têm termos de grau menor que n. Em geral a união a b de dois ideais não é um ideal. Teorema Sejam p 1,... p n ideais primos de um anel A e a um ideal tal que a n i=1 p i. Então a p i para algum i. 2. Sejam a, b ideais e p ideal primo com (a b) p. Então p a ou p b. Se p = (a b), então p = a ou p = b. Demonstração. Para provarmos (1) vamos mostrar por indução que a p i para 1 i n a n p. Para n = 1 a implicação vale. Suponha então que vale para n 1 então existem x 1,..., x n a com x i / p j para todo 1 j n, com i j. Se existir algum i com x i / p i então temos o que queríamos. Se não então x i p i para todo i. Considere o elemento n y = x 1 x i x n i=1 temos que y / p i para 1 i n. Assim a n i=1 p i. Agora para vermos (2) suponha que a p e b q daí existe x a e y b com x, y / p. Agora xy (a b) p, o que contradiz a hipótese de p ser primo. i=1 Definição 12. Seja A um anel e a um ideal de A, o radical de a é definido por a = {x A : x n a para algum n > 0}. Proposição a a. 2. a = a. 3. ab = a b = a b. 4. a + b = a + b. 5. Se p é ideal primo, p n = p para todo n > 0. Teorema O radical do ideal a é a interseção de todos os ideais primos que contém a 7

8 Definição 13. Dois ideais a, b são coprimos se a + b = (1). Para ideais coprimos nós temos que a b = ab. Teorema Seja a, b ideais em um anel A tais que a, b são coprimos. Então a, b são coprimos. 2 O Espectro Primo de um Anel 2.1 O espectro primo de um anel Definição 14. Seja A um anel, chamamos de Spec(A) (espectro primo de A) ao conjunto de todos os ideais primos de A. Se ϕ : A B é um homomorfismo de anéis definimos Spec(ϕ) : Spec(B) Spec(A) q ϕ 1 (q) Exemplo 8. (0) Spec(A) se e somente se A é domínio. Exemplo 9. Se A é um Domínio Fatorial e x é irredutível, então (x) é um ideal primo. Exemplo 10. Se A é um Domínio de Ideais Principais, então. Deste modo Spec(A) = (0) {(x) : x é irredutível} Spec(Z) = (0) {(p) : p é primo} (1) Spec(C[X]) = (0) {(X a) : a C} (2) Exemplo 11. Se A é um DIP então todo ideal primo não nulo é maximal. Exemplo 12. Se a é um ideal de A Exemplo 13. Seja a um ideal de um anel A e ϕ : A A /a o homomorfismo canônico. Então o teorema da correspondência nos diz que Spec(ϕ) : Spec( A /a) Spec(A) é injetor com imagem dada pelos primos b que contém a. Daí temos que: Spec( Z ) = {( p) : p primo, p n} nz Spec( C[X] ) = {(X a); (X a) f(x)} (f(x)) 8

9 Teorema 2.1. Para todo anel A existe um ideal maximal m A. Como consequência para todo ideal próprio a A, temos que a m para algum m maximal. 2.2 A topologia de Zariski Espaços Topológicos Definição 15. Seja X um conjunto e T = {A λ : λ I} uma coleção de subconjuntos de X para I um conjunto de íncices quaisquer. Dizemos que o par (X, T ) é um espaço topológico, para os abertos A λ se: (i) T e x T (ii) α L A α T para qualquer L I. (Uniões quaisquer de abertos é um conjunto aberto). (iii) Se A T e B T então A B T. (Interseção finita de abertos é um conjunto aberto). Chamamos o conjunto T de uma topologia para X. Exemplo 14. Tome X = R o conjunto dos números reais, seja T = {uniões de intervalos abertos}. Então temos que (R, T ) é um espaço topológico. Esta topologia tem uma propriedade interessante, é que se dermos x, y R com x y então existem abertos A, B T com x A, y B e A B =. Uma topologia que satisfaz essa condição é chamada de separável por Hausdorff. Definição 16. Seja (X, T ) um espaço topológico. Um conjunto F X é dito fechado se existe A T com F = X \ A. Temos que um conjuto é fechado numa topologia se for o complentar de um aberto. Usando as leis de De Morgan para conjuntos podemos enuciar as propriedades para os conjuntos fechados em uma topologia. Proposição 2.2. Seja (X, T )um espaço topológico e seja F = {F X : F é fechado}. Então (i) F e x F 9

10 (ii) α L F α F para qualquer família {F α } α L em F. (Interseções quaisquer de fechado é um conjunto fechado). (iii) Se A F e B F então A B T. (União finita de fechados é um conjunto fechado). Demonstração. Basta usar as leis de De Morgan: (A B) c = A c B c (A B) c = A c B c Esta proposição implica que para definirmos uma topologia em um conjunto X podemos começar dizendo quem são os conjuntos fechados satisfazendo as condições da proposição. Assim os conjuntos abertos serão os complementares dos fechados Topologia de Zariski Teorema 2.3. Para cada subconjunto E de A, seja V (E) o conjunto de todos ideais primos de A que contem E. (i) Se a é o ideal gerado por E, então V (E) = V ((a)) = V ( a) (ii) V ({0}) = Spec(A), V ({1}) =. (iii) Se {E λ } λ L é uma família de subconjuntos de A, então ( ) V E λ = V (E λ ) λ I. (iv) V (a b) = V (ab) = V (a) V (b) para qualquer a, b de A. λ I Demonstração. Primeiro note que V reverte inclusões, isto é, paraf E A temos que V (E) V (F ). De fato, se p V (E) então p E F, logo p V (F ). Então para provarmos (1), já que E a = (E) então V (a) V (E). Recíprocamente tome p V (E), então E p como a = (E) é o menor ideal que contém E então a p, e daí p V (a). Agora para provarmos a igualdade V (a) = V ( a), temos primeiro que a a daí V ( a) V (a). 10

11 Agora tome p V (a) então a p, se t a então t n a p para algum n > 0, logo t p. Daí a p e p V ( a). Agora temos que (0) p para todo ideal p. Daí, V (0) = Spec(A). Agora se 1 p então p = A, logo p não é primo. Temos que V (1) =. Provamos (ii). p V ( λ L E ) λ λ L E λ p E λ p, para todo λ L p V (E λ ), para todo λ L p V ( λ L E λ). Provando (iii) Para provarmos (iv) observamos que ab a b segue que V (a b) V (ab). Agora temos que se p V (ab) então ab p Seja t a b, daí t 2 ab p daí t p pois p é primo. Portanto temos a igualdade V (ab) = V (a b). Agora temos que a b a e a b b portanto V (a) V (a b) e V (b) V (a b) e daí (V (a) V (b)) V (a b). Por outro lado se p V (a b) então (a b) p pelo 1.13 a p ou b p então p V (a) ou p V (b). Logo V (a b) (V (a) V (b)). Este teorema mostra que os conjuntos V (E) satisfazem as condições para conjuntos fechados em um espaço topológico. A topologia de Spec(A) dada pelos fechados V (E) é chamada de Topologia de Zariski Proposição 2.4. Dado t A seja X t = [V (t)] c, então os conjuntos X t são abertos e formam uma base para a topologia de Zariski em Spec(A) Demonstração. Vamsos mostrar que os conjuntos X t, para t A formam uma base para a topologia de Zariski em Spec(A). Dado X um aberto de Spec(A) então X = Spec(A) \ V (a) para algum a Spec(A). Então [ ( c [ ] c X = V {t})] = V (t) = t a t a t a V (t) c = t a X t Proposição 2.5. Os abertos X t gozam das seguintes propriedades: 1. X t X v = X tv 2. X t = t é nilpotente. 3. X t = Spec(A) t é uma unidade. 4. X t = X v (t) = (v). 5. Spec(A) é quasi-compacto (isto é, toda cobertura de Spec(A) por abertos tem uma subcobertura finita). 11

12 6. Mais geralmente, cada X t é quasi-compacto. 7. Um aberto de Spec(()A) é quasi-compacto se e somente se é uma união finita de conjuntos X t. Demonstração. 1. X t X v = V (t) c V (v) c = [V (t) V (v)] c = [V ((t)(v))] c = [V (tv)] c = X tv. 2. X t = V (t) c = V (t) = Spec(A) t R. Pelo teorema 1.11 (onde R é o nilradical de A). 3. X t = Spec(A) V (t) = p Spec(A), t / p t / p para p maximal (p, (t)) = (1), para todo p maximal t é uma unidade. 4. Seja {X i } i L uma coleção de abertos com i L X t i = Spec(A) Temos que Spec(A) = i L X t i = i L [V (t i)] c = [ i L V (t i) ] c [ = V ( i L {t i} )] c V ( i L {t i} ) = i L {t i} p, para p maximal (1) = ( i L {x i} ) 1 = n j=1 v jt ij para i 1,..., i n L com v j A (1) = ( n ) (t i1,..., t in ) = V (1) = V j=1 t i j = n j=1 V (t i j ) Spec(A) = [ n ] c j=1 V (t i j ) = n j=1 X t ij 5. Seja X t = i L X t i é uma cobertura aberta de X t, podemos completar esta cobertura até termos uma cobertura de Spec(A). Assim Spec(A) = ( i L X ) ( ) t i j L 0 X tj como Spec(A) é quasi-compacto ( n ) ( temos uma subcobertura finita, Spec(A) = l=1 X m ) t il l=1 X t jl o que implica que X t = Spec(A) X t = ( n ( m [( n ) X t = l=1 X t il X t ) l=1 X t jl X t = que é uma cobertura finita de X t. ( m ) l=1 X t il l=1 X t jl )] ) ( m ) ( n l=1 X t il t l=1 X t jl t Por razões psicológicas, as vezes é conveniente denotar um ideal primo de A com a letra x ou y pensando em um ponto de Spec(A). Quando pensarmos em x como um ideal primo de A, denotamos por p x. É claro que x e p x é a mesma coisa. Proposição O conjunto {x} é fechado em Spec(A) se e somente se p x é maximal. 12

13 2. {x} = V (p x ). 3. y {x} p x p y. 4. Spec(A) é um espaço T 0 ( Isto é, para x, y pontos distintos de Spec(A), então ou existe um aberto contendo x e que não contenha y, ou existe um aberto contendo y que não contenha x). Demonstração. 1. se {x} = V (a) para algum a ideal de A. Temos que a m para algum ideal maximal m. Logo p x = m. Agora se p x é maximal então V (p x ) = x. 2. {x} V (p x ) {x} V (p x ). Se {x} V (a) então para y V (p x ) temos que a p x p y Daí y V (a). Assim temos que V (p x ) é o menor fechado que contém x. 3. Consequência imediata do item anterior. 4. Sejam x y em Spec(A), então p x p y. Isto é ou p x p y ou p y p x, então y / V (p x ) = {y} ou x / V (p x ) = {x}. Daí x [{x}] c ou y [{x}] c. Definição 17. Um espaço topológico X é dito irredutível se não se decompõe como união de fechados próprios. Isto é X é irredutível se e somente se X = X 1 X 2, com X 1, X 2 fechados X 1 = ou X 2 =. Proposição 2.7. Para um espaço topológico X são equivalentes: 1. X é irredutível. 2. Quaisquer dois abertos não vazios em X se intersectam. 3. Todo aberto não vazio em X é denso. Demonstração. (1) (2) Sejam A 1 e A 2 abertos não vazios de X com A 1 A 2 = então X = [A 1 A 2 ] c = A c 1 A c 2. Assim X 1 = A c 1 X e X 2 X são fechados com X = X 1 X 2. (2) (3) Seja A aberto de X com Ā X, então A 0 = X \ Ā é aberto com A 0 A =. (3) (1) Sejam X 1 X e X 2 X, fechados com X = X 1 X 2. Tome A = X \ X 1 então Ā X 2 X. Teorema 2.8. Spec(A) é irredutível se e somente se o nilradical de A é um ideal primo. 13

14 Demonstração. Vamos mostrar que Spec(A) é redutível se e somente se o nilradical de A não é primo. Spec(A) é redutível existem dois abertos básicos X t e X v não vazios com X tv = X t X v = v é nilpotente mas t e v não são nilpotentes. R não é primo. Proposição 2.9. Seja X um espaço topológico. 1. Se Y é um subespaço irredutível de X então o fecho Y de Y em X é irredutível. 2. Todo subespaço irredutível de X está contido em um subespaço irredutível maximal. 3. Os subespaços irredutíveis maximais são fechados e cobrem X. 4. Se A é um anel e X = Spec(A), então as componentes irredutíveis de X são os conjuntos fechados V (p), onde p é um ideal primo minimal de A. Demonstração. 1. Tome Y = Y 1 Y 2 com Y 1 e Y 2 fechados em Y. Daí Y = (Y 1 Y ) (Y 2 Y ). Se (Y 1 Y ) = então Y 1 Y. Com isto Y = Y 2 Y. E então Y = (Y 2 Y ) (Y 2 Y ) = Y 2. Então Y = Y 2 e Y 1 =. 2. Seja Y um subespaço irredutível, tome o conjunto P dos subespaços irredutíveis Z Y, ordenado pela inclusão. Se temos uma cadeia em P dada por Y Z 1 Z 2 Z n, vamos mostrar que n=1 Z i. é irredutível. Tome A ( n=1 Z n) aberto, A = ( n=1 (Z n A). Assim A = ) ( n=1 (Z ) n A) n=1 (Z n A) = n=1 Z n. Logo A é denso. Daí pelo Lema de Zorn temos que todo subespaço irredutível Y está contido num subespaço irredutível maximal. 3. Se Y é um subespaço irredutível maximal temos que Y Y que é irredutível. Logo Y = Y. Temos que o subespaço x dado por um ponto é irredutível. Então X = ( x X {x}) x X Y (x) onde Y (x) é a componente irredutível maximal que contém x. 4. Vejamos que V (p x ) é irredutível para p x primo. Se V (p x ) = V (a) V (b) = V (ab) é a união de dois fechados, então x V (p x ) = V (ab), daí ab p x logo a p x ou b p x. E então V (p x V (a) ou V (p x ) V (b). Portanto ou V (p x ) = V (a) ou V (p x ) = V (b). Agora se p x p y então V (p y ) V (p x ). Assim as componentes irredutíveis são V (p) com p ideal primo minimal. 14

15 Teorema Seja ϕ : A B um homomorfismo de anéis. A aplicação ϕ : Spec(B) Spec(A) satisfaz as seguintes condições: 1. Para t A temos que Spec(ϕ) 1 (X t ) = Y ϕ(t). Daí Spec(ϕ) é contínua. Demonstração. 1. Tome qã 15