MA14 - Aritmética Unidade 22 Resumo. Aritmética das Classes Residuais

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1 MA14 - Aritmética Unidade 22 Resumo Aritmética das Classes Residuais Abramo Hefez PROFMAT - SBM

2 Aviso Este material é apenas um resumo de parte do conteúdo da disciplina e o seu estudo não garante o domínio do assunto. O material completo a ser estudado encontra-se no do livro texto da disciplina: Capítulo 11 - Seção 11.3 Aritmética, A. Hefez, Coleção PROFMAT. Colaborou na elaboração desses resumos Maria Lúcia T. Villela. PROFMAT - SBM Aritmética - Unidade 22 - Resumo - Aritmética das Classes Residuais slide 2/18

3 Classes Residuais As congruências módulo um número natural m > 1 permitem definir novas aritméticas. Atualmente, essas aritméticas são a base de quase todos os procedimentos de cálculo dos computadores e possuem muitas aplicações na própria matemática e na tecnologia. Dado um inteiro m > 1, vamos repartir o conjunto Z dos números inteiros em subconjuntos, onde cada um deles é formado por todos os números inteiros que possuem o mesmo resto quando divididos por m. Isto nos dá a seguinte partição de Z: [0] = {x Z; x 0 mod m}, [1] = {x Z; x 1 mod m},. [m 1] = {x Z; x m 1 mod m}. Paramos em [m 1], pois tem-se que [m] = [0], [m + 1] = [1], etc. PROFMAT - SBM Aritmética - Unidade 22 - Resumo - Aritmética das Classes Residuais slide 3/18

4 O conjunto [a] = {x Z ; x a mod m} é chamado de classe residual módulo m do elemento a de Z. O conjunto de todas as classes residuais módulo m será representado por Z m. Portanto, Z m = { [0], [1],..., [m 1] }. Note que Z m é um conjunto de conjuntos. Por mais estranho que isto possa parecer, o conjunto Z m tem uma aritmética própria e tem a vantagem de ser finito, algo muito desejável em computação. PROFMAT - SBM Aritmética - Unidade 22 - Resumo - Aritmética das Classes Residuais slide 4/18

5 Exemplos Exemplo 1. Seja m = 2. Então, [0] = {x Z ; x 0 mod 2} = {x Z ; x é par}, e [1] = {x Z ; x 1 mod 2} = {x Z ; x é ímpar}. Temos também que [a] = [0] se, e somente se, a é par e [a] = [1] se, e somente se, a é ímpar. Exemplo 2. Seja n = 3. Então [0] = {3t ; t Z} [1] = {3t + 1 ; t Z} [2] = {3t + 2 ; t Z} Tem-se que [0], se a é múltiplo de 3 a [1], se a tem resto 1 quando dividido por 3 [2], se a tem resto 2 quando dividido por 3. PROFMAT - SBM Aritmética - Unidade 22 - Resumo - Aritmética das Classes Residuais slide 5/18

6 Representante de uma classe residual Dado [x] Z m, um número inteiro a tal que [x] = [a] será denominado de representante de [x]. Observe que [x] é determinado por a, mas há infinitos números inteiros b tais que [x] = [b], pois qualquer inteiro b [a] = {a + km; k Z} é tal que [b] = [a]. Exemplo 3. Se m = 2, então qualquer inteiro par é representante da classe residual [0] e qualquer inteiro ímpar é representante da classe residual [1]. Assim, 0, 2, 4, 6, 2, 4, 6 são representantes da classe residual [0], enquanto que 1, 3, 5, 1, 3, 5 são representantes da classe residual [1]. PROFMAT - SBM Aritmética - Unidade 22 - Resumo - Aritmética das Classes Residuais slide 6/18

7 Representante de uma classe residual Exemplo 4. Se m = 3, então qualquer múltiplo de 3 é representante da classe residual [0]. Temos que 1, 4, 7, 10, etc, são representantes da classe residual [1], enquanto 2, 5, 8, 11, etc., são representantes da classe residual [2]. Proposição Para cada a Z existe um, e somente um, r Z, com 0 r < m, tal que [a] = [r]. Corolário Existem exatamente m classes residuais distintas módulo m, a saber, [0], [1],..., [m 1]. Uma característica importante das classes residuais é que transformam a congruência a b mod m na igualdade [a] = [b]. PROFMAT - SBM Aritmética - Unidade 22 - Resumo - Aritmética das Classes Residuais slide 7/18

8 As Operações de Adição e Multiplicação de Z m Em Z m podemos definir as seguintes operações: Adição: [a] + [b] = [a + b] Multiplicação: [a] [b] = [a b] Note que, tendo sido definidas estas operações usando os representantes a e b para as classes residuais [a] e [b], respectivamente, temos que verificar que ao mudarmos os representantes das classes [a] e [b], não mudam os valores de [a + b] e de [a b]. Para verificar que isto acontece, basta notar que se a a mod m e b b mod m, então [a + b] = [a + b ] e [a b] = [a b ], o que se segue diretamente dos itens (i) e (ii) da Proposição 9.3 PROFMAT - SBM Aritmética - Unidade 22 - Resumo - Aritmética das Classes Residuais slide 8/18

9 Propriedades das Operações de Z m As operações que acabamos de definir, gozam das seguintes propriedades: Propriedades da Adição Para todos [a], [b], [c] Z m, temos A 1 ) Associatividade ([a] + [b]) + [c] = [a] + ([b] + [c]); A 2 ) Comutatividade [a] + [b] = [b] + [a]; A 3 ) Existência de zero [a] + [0] = [a] para todo [a] Z m ; A 4 ) Existência de simétrico [a] + [ a] = [0]. PROFMAT - SBM Aritmética - Unidade 22 - Resumo - Aritmética das Classes Residuais slide 9/18

10 Propriedades das Operações de Z m Propriedades da Multiplicação Para todos [a], [b], [c] Z m, temos M 1 ) Associatividade ([a] [b]) [c] = [a] ([b] [c]); M 2 ) Comutatividade [a] [b] = [b] [a]; M 3 ) Existência de unidade [a] [1] = [a]. AM) Distributividade [a] ([b] + [c]) = [a] [b] + [a] [c]. PROFMAT - SBM Aritmética - Unidade 22 - Resumo - Aritmética das Classes Residuais slide 10/18

11 Recorde que, no Capítulo 1, chamamos de anel a todo conjunto munido de uma operação de adição e de uma operação de multiplicação com as propriedades acima. Portanto, Z m, com as operações acima, é um anel, chamado anel das classes residuais módulo m, ou anel dos inteiros módulo m. Um elemento [a] Z m será dito invertível, quando existir [b] Z m tal que [a][b] = 1. Neste caso, diremos que [b] é o inverso de [a]. Exemplo 5. Em Z 7 temos, pela definição da multiplicação, que logo [2][4] = [8] = [1] [5][3] = [15] = [1] e [6][6] = [36] = [1], [4] é o inverso de [2], [3] é o inverso de [5] e [6] é o inverso de [6]. PROFMAT - SBM Aritmética - Unidade 22 - Resumo - Aritmética das Classes Residuais slide 11/18

12 Tabuada de Z 2 As tabelas da adição e da multiplicação em Z 2 = {[0], [1]} são + [0] [1] [0] [0] [1] [1] [1] [0] [0] [1] [0] [0] [0] [1] [0] [1] PROFMAT - SBM Aritmética - Unidade 22 - Resumo - Aritmética das Classes Residuais slide 12/18

13 Tabuada de Z 3 As tabelas da adição e da multiplicação em Z 3 = {[0], [1], [2]} são + [0] [1] [2] [0] [0] [1] [2] [1] [1] [2] [0] [2] [2] [0] [1] [0] [1] [2] [0] [0] [0] [0] [1] [0] [1] [2] [2] [0] [2] [1] Note que todo elemento não nulo de Z 3 é invertível pois, pela definição da multiplicação, [1][1] = [1] e [2][2] = [4] = [1]. PROFMAT - SBM Aritmética - Unidade 22 - Resumo - Aritmética das Classes Residuais slide 13/18

14 Tabuada de Z 4 Em Z 4 = {[0], [1], [2], [3]} temos + [0] [1] [2] [3] [0] [0] [1] [2] [3] [1] [1] [2] [3] [0] [2] [2] [3] [0] [1] [3] [3] [0] [1] [2] [0] [1] [2] [3] [0] [0] [0] [0] [0] [1] [0] [1] [2] [3] [2] [0] [2] [0] [2] [3] [0] [3] [2] [1] É interessante notar que em Z 4 existem dois elementos não nulos cujo produto é nulo: [2] [0] e, no entanto, [2] [2] = [4] = [0]. Os elementos [1] e [3] são invertíveis em Z 4 pois, pela definição da multiplicação, [1][1] = [1] e [3][3] = [9] = [1]. PROFMAT - SBM Aritmética - Unidade 22 - Resumo - Aritmética das Classes Residuais slide 14/18

15 Tabuada de Z 5 Em Z 5 = {[0], [1], [2], [3], [4]} temos + [0] [1] [2] [3] [4] [0] [0] [1] [2] [3] [4] [1] [1] [2] [3] [4] [0] [2] [2] [3] [4] [0] [1] [3] [3] [4] [0] [1] [2] [4] [4] [0] [1] [2] [3] [0] [1] [2] [3] [4] [0] [0] [0] [0] [0] [0] [1] [0] [1] [2] [3] [4] [2] [0] [2] [4] [1] [3] [3] [0] [3] [1] [4] [2] [4] [0] [4] [3] [2] [1] Note que todo elemento não nulo de Z 5 é invertível, pois [1][1] = [1], [2][3] = [1] e [4][4] = [1]. PROFMAT - SBM Aritmética - Unidade 22 - Resumo - Aritmética das Classes Residuais slide 15/18

16 Note que em Z 2, Z 3 e Z 5, todo elemento distinto de [0] é invertível. Mas isto não ocorre em todos os Z m. Por exemplo, em Z 4 temos que [2] não é invertível. Um anel onde todo elemento não nulo possui um inverso multiplicativo é chamado de corpo. Portanto, Z 2, Z 3 e Z 5, com as operações acima definidas, são corpos; mas Z 4 não é um corpo. As classes residuais permitem resolver as congruências do seguinte modo: Resolver uma congruência ax b mod m se reduz a resolver em Z m a seguinte equação: [a]z = [b]. PROFMAT - SBM Aritmética - Unidade 22 - Resumo - Aritmética das Classes Residuais slide 16/18

17 Exemplo 6. Resolver a congruência 4X 3 mod 5 equivale a resolver em Z 5 a equação [4]Z = [3]. (1) Pela definição da multiplicação de Z 5, temos que [4] [4] = [16] = [1]. Logo, [4] é invertível em Z 5 com inverso [4]. Portanto, multiplicando ambos os membros da equação (1) por [4] obtemos [1]Z = [4][4]Z = [4][3] = [2]. Portanto, Z = [2], o que nos diz que as soluções de (1) são x = 2 + t5, onde t Z. PROFMAT - SBM Aritmética - Unidade 22 - Resumo - Aritmética das Classes Residuais slide 17/18

18 Vemos, portanto, a importância de saber se um determinado elemento de Z m é invertível. Esses elementos serão caracterizados a seguir. Proposição Um elemento [a] Z m é invertível se, e somente se, (a, m) = 1. Corolário Z m é um corpo se, e somente se, m é primo. PROFMAT - SBM Aritmética - Unidade 22 - Resumo - Aritmética das Classes Residuais slide 18/18