Apostila Minicurso SEMAT XXVII

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1 Apostila Minicurso SEMAT XXVII Título do Minicurso: Estrutura algébrica dos germes de funções Autores: Amanda Monteiro, Daniel Silva costa Ferreira e Plínio Gabriel Sicuti Orientadora: Prof a. Dr a. Michelle Ferreira Zanchetta Morgado Bolsa do PET/MEC

2 Conteúdo Introdução 3 1 Germes e Jatos 4 2 Estrutura algébrica de E n 9 2

3 Introdução Neste minicurso apresentamos uma breve introdução ao estudo das singularidades de aplicações diferenciáveis. No estudo de funções reais a uma variável (no curso de cálculo I), é visto como descrever estas funções a partir dos seus pontos críticos, que são aqueles onde a primeira derivada se anula. No estudo de aplicações f : U R p, onde U é um aberto de R n e f é de classe C, este conceito se estende naturalmente e dizemos que um ponto x U é um ponto crítico de f se a sua matriz das derivadas parciais calculada no ponto x não tem posto máximo. Estes pontos críticos são as chamadas singularidades de f. Um dos objetivos da Teoria de Singularidades é estudar o comportamento local de funções diferenciáveis, especificamente em uma vizinhança de uma singularidade. Neste sentido, o objeto de estudo são os chamados germes de funções diferenciáveis. Neste minicurso apresentaremos a estrutura algébrica do conjunto dos germes de funções. 3

4 Capítulo 1 Germes e Jatos No conjunto das aplicações diferenciáveis introduzimos a seguinte relação: Definição Considere f 1, f 2 : R n R p aplicações diferenciáveis. Dizemos que f 1 e f 2 são equivalentes quando existir um aberto U R n tal que as restrições f 1 U coincidem. e f 2 U Notação: f 1 f 2 Esta relação é uma relação de equivalência no conjunto X das aplicações diferenciáveis R n R p, ou seja, valem as seguintes propriedades: 4

5 i-) f 1 f 1, f 1 X ii-) f 1 f 2 f 2 f 1, f 1, f 2 X iii-) f 1 f 2 e f 2 f 3 f 1 f 3, f 1, f 2, f 3 X De fato: i-) Para qualquer aberto U R n temos f 1 U = f 1 U. Assim, f 1 f 1. ii-) Se f 1 f 2, então existe um aberto U R n tal que f 1 U = f 2 U. Assim, f 2 U = f 1 U e, portanto, f 2 f 1. iii-) Por hipótese f 1 f 2 e f 2 f 3, então existe um aberto U R n tal que f 1 U = f 2 U e existe também um aberto V R n tal que f 2 V = f 3 V. Seja W = U V, que é um aberto pois é a interseção de dois abertos. Assim, f 1 W = f 2 W e f 2 W = f 3 W. Portanto, existe o aberto W R n tal que f 1 W = f 3 W, ou seja, f 1 f 3. Definição As classes de equivalência desta relação são chamadas de germes de aplicações e um elemento da classe de equivalência é chamado de representante do germe. Notação: Para x U, f : (R n, x) (R p, f(x)) ou f : (R n, x) R p, denota o germe da aplicação f : R n R p em uma vizinhança de x. Definição Para cada germe f : (R n, x) (R p, f(x)), a derivada d x f é o germe em uma vizinhança de x da aplicação derivada em x de qualquer representante. Dizemos que f : (R n, x) (R p, f(x)) é um germe de difeomorfismo se um de seus representantes é um difeomorfismo local e o seu posto é definido como o posto de sua derivada em x. Exemplo Seja f(x, y) = (x 2 y 3, x y 2 ). A matriz das derivadas é 2x 1 3y 2 2y. 5

6 Temos que 2x 1 3y 2 2y 2x 1 0 3y 2 + 4xy As possibilidades de posto para a matriz são posto 0, posto 1 e posto 2. i-) posto 0: Não existe (x, y) tal que f tenha posto 0. ii-) posto 1: Note que (2x, 1) (0, 0), x, e que. 3y 2 + 4xy = 0 y( 3y + 4x) = 0 y = 0 ou (y = 4 3 x). Assim, para (x, 4 x) temos que o posto de f é 1, x. 3 iii-) posto 2: A matriz tem posto 2 para (x, y) com y 4 x, x, ou seja, o posto de f é 3 2 para (x, y) com y 4 3 x. Definição Se o posto de um germe f : (R n, x) (R p, f(x)) é n dizemos que o germe é imersível e se seu posto é p dizemos que o germe é submersível. Quando o germe não é imersível e nem submersível em x dizemos que x é ponto singular do germe. Exemplo No exemplo anterior n = p = 2. Os pontos (x, y) com y 4 3 x são os pontos imersíveis e submersíveis de f e os pontos (x, y) com y = 4 3 singulares de f. x são os pontos Definição O espaço dos jatos J k (n, p) é o espaço vetorial das aplicações f : R n R p onde cada componente f i de f é um polinômio de grau menor ou igual a k nas coordenadas canônicas x 1,..., x n de R n com termo constante nulo. Os elementos de J k (n, p) são chamados de k-jatos. Para cada aplicação suave f : R n R p e cada a R n definimos a aplicação j k f : R n J k (n, p) por j k f(a), que é o polinômio de Taylor de f(x + a) f(a) de ordem k na origem. A aplicação j k f é claramente suave e j k f(a) é chamado de k-jato de f em a. Exemplo Seja f : R R então j k f(a) = f (a)(x a) + f (a) 2! (x a) f (k) (a) (x a) k. k! 6

7 Exemplo Sejam f : R R, f(x) = sen(x). origem: Vamos calcular o 3-jato de f na j 3 f(0) = f (0)x + f (0) 2! x 2 + f (0) 3! x 3 = cos(0)x sen(0) 2 x 2 cos(0) x 3 = x x Lembremos que dado f : R 2 R 3 onde f = (f 1, f 2, f 3 ), temos que k d k (0,0) f(x, y) = k l=0 l k f 1 k x k l y l (0, 0)xk l y l, k l=0 l k f 2 k x k l y l (0, 0)xk l y l, k l=0 l k f 3 x k l y l (0, 0)xk l y l. Exemplo Seja f : R 2 R 3, f(x, y) = (x, y 2, xy). Vamos determinar a série de Taylor até ordem 3 de f em (0, 0) R 2, ou seja, j 3 f(0, 0) = d (0,0) f(x, y) d2 (0,0)f(x, y) d3 (0,0)f(x, y). Como f 1 = x, f 2 = y 2, f 3 = xy, temos j 3 f(0, 0) = (x, 0, 0) (0, 2y2, 2xy) (0, 0, 0) = ( x, y 2, xy ). Definição Sejam f e g germes de aplicações suaves. Dizemos que estes germes possuem d-jatos equivalentes se existem germes de difeomorfismo h : (R n, 0) (R n, 0) e k : (R p, 0) (R p, 0) tais que: j d (f h) = j d (k g). Esta relação induz uma relação de equivalência nos espaços dos jatos J d (n, p). De fato: i-) Dado f J d (n, p), existem germes de difeomorfismo h = id R n e k = id R p tais que j d (f id R n) = j d (f) = j d (id R p f). Portanto a relação é reflexiva. 7

8 ii-) Para f, g J d (n, p), vamos mostrar que se f g então g f. Como f g existem germes de difeomorfismo h : (R n, 0) (R n, 0) e k : (R p, 0) (R p, 0) tais que para todo a R n, j d (f h)(a) = j d (k g)(a). Logo, d i (f h)(a) = d i (k g)(a), i = 1,..., n. Pela Regra da Cadeia temos: d i f(h(a))d i h(a) = d i k(g(a))d i g(a) d i f(h(a))d i h(a)(d i h(a)) 1 = d i k(g(a))d i g(a)(d i h(a)) 1 d i f(h(a)) = d i k(g(a))d i g(a)d i h 1 (h(a)) d i f(h(a)) = d i k(g(a))d i (g h 1 )(h(a)) d i (k(g(a))) 1 d i f(h(a)) = d i (g h 1 )(h(a)) d i k 1 ((f h)(a))d i f(h(a)) = d i (g h 1 )(h(a)) d i (k 1 f)(h(a)) = d i (g h 1 )(h(a)) d i (k 1 f) = d i (g h 1 ) Portanto, g f. iii-) De maneira análoga ao item ii-) obtemos a propriedade transitiva, ou seja, se f g e g l então f l. 8

9 Capítulo 2 Estrutura algébrica de E n Denotamos por E n,p o conjunto dos germes de aplicações f : R n, 0 R p suaves. Quando p = 1 este conjunto é denotado por E n. Vamos nesta seção descrever a estrutura algébrica E n,p quando p = 1 e observar que se estende de maneira natural para p > 1. Proposição f E n é invertível se, e somente se, f(0) 0. Demonstração: ( ) Seja f E n invertível. Então existe g E n tal que fg = 1, onde 1 é o elemento identidade de E n. Em particular, f(0).g(0) = 1. Se f(0) = 0 teríamos 0 = 1, o que não ocorre jamais. Logo, f(0) 0. ( ) Consideremos f(0) 0. Pelo Teorema da Conservação do Sinal, existe uma vizinhança aberta U R n contendo 0 tal que f(x) 0, para todo x U. Assim, para x U, existe g(x) = 1, assim, f(x).g(x) = 1. Portanto, f é invertível. f(x) Neste momento, para não causar confusão, denotaremos um germe em E n por [f]. Considerando as operações [f] + [g] := [f + g] e [f].[g] := [f.g] temos claramente que (E n, +,.) é um anel. Proposição E n é um anel local cujo ideal maximal é M n = {f E n f(0) = 0}. 9

10 Demonstração: Vamos mostrar que E n possui um único ideal maximal: M n. Temos que M n pois o germe da função nula está em M n. Além disso, ([f 1 ] + [f 2 ])(0) = [(f 1 + f 2 )(0)] = [f 1 (0) + f 2 (0)] = [0 + 0] = [0], [f 1 ], [f 2 ] M n e ([f].[f 1 ])(0) = [(f.f 1 )(0)] = [f(0)f 1 (0)] = [f(0).0] = [0], [f] E n e [f 1 ] M n. Assim, M n é um ideal de E n. Seja I um ideal em E n tal que M n I. Queremos mostrar que I = M n. Se M n I, então existe [f] I tal que [f] / M n. Assim, f(0) 0, o que garante que f é invertível, pela proposição anterior. Logo 1 I, o que assegura que I = E n e portanto M n é um ideal maximal. Seja J um ideal maximal de E n com J M n. Assim existe [f] J tal que f(0) 0. Novamente pela proposição anterior [f] é invertível e, portanto, J = E n. Assim M n é o único ideal maximal de E n e, portanto, E n é um anel local. Lema (Lema de Hadamard) Sejam U uma vizinhança convexa de 0 em R n e f : U R q R suave tal que f(0, y) = 0, para qualquer y R q. Então existem funções f 1,..., f n definidas em U R q tais que f(x 1,..., x n, y 1,..., y q ) = x 1 f x n f n. Demonstração: Sejam x = (x 1,..., x n ), y = (y 1,..., y q ) e γ(t) = (tx 1,..., tx n, y 1,..., y q ). Notemos que df dt (tx 1,..., tx n, y 1,..., y q ) = (f γ) (t). Pelo Teorema Fundamental do Cálculo temos 1 0 (f γ) dt = f(γ(1)) f(γ(0)) = f(x, y) f(0, y) = f(x, y) 0 = f(x, y). Pela Regra da Cadeia temos que (f γ) (t) = f (γ(t)).γ (t). Notemos que f (γ(t)) = ( f x 1 (γ(t)),..., f x n (γ(t)), f y 1 (γ(t)),..., f y n (γ(t))) e γ (t) = (x 1,..., x n, 0,..., 0). 10

11 1 0 Assim, f (γ(t))γ (t) = f x 1 (γ(t))x f x n (γ(t))x n. Logo, (f γ) dt = 1 0 ( f (γ(t))x f ) 1 f (γ(t))x n dt = x 1 (γ(t))dt+...+x n x 1 x n x f x n (γ(t))dt. Portanto, f(x, y) = queríamos. 1 0 (f γ) dt = x 1 f x n f n, onde f i = 1 0 f x i (γ(t))dt, como Proposição O ideal M n é gerado por {x 1,..., x n }. Demonstração: Seja f M n. Aplicando o Lema de Hadamard para o caso q = 0, temos que existem f 1,..., f n tais que f = x 1 f x n f n e, assim, f x 1,..., x n. Logo M n x 1,..., x n. Seja f x 1,..., x n, ou seja, f = x 1 f x n f n. Temos que f M n pois f(0) = 0f f n = 0. Logo x 1,..., x n M n e, portanto. M n = x 1,..., x n. Proposição Se E k = {f E n j k 1 f(0) = 0} então E k = M k n. Demonstração: Como M n = x 1,..., x n, temos que M k n é gerado pelos monômios em n variáveis de grau k. Seja f M k n. Logo, todas as derivadas parciais de f de ordem menor que k se anulam em 0 e, portanto, f E k. Assim, M k n E k. Vamos mostrar por indução que E k M k n, para todo k 1. Temos que E 1 = {f E n j 0 f(0) = 0} = {f E n f(0) = 0} = M n. Suponha que E l M l n, para l > 1. Seja f E l+1. Em particular f(0) = 0 e, pelo Lema de Hadamard, f = x 1 f x n f n, 1 f onde f i = (γ(t))dt. 0 x i Note que cada f i E l e, pela hipótese de indução, temos que f i M k n. Assim, x i f i M k+1 n, i e, portanto, f M l+1 n. Logo, concluímos que E l M l n. 11

12 Portanto, pelo Princípio da Indução Finita, E k = M k n, para todo k 1. Vamos agora relacionar os germes do espaço F n com suas séries de Taylor, que estão naturalmente inseridas no espaço das séries formais de potência C[[x 1,..., x n ]], denotado por F n. Antes do próximo resultado, é preciso a seguinte definição: Definição Seja A um anel comutativo com unidade. Um A-módulo é um grupo abeliano M (aditivo) sobre o qual A atua linearmente: de maneira mais precisa, é um par (M, µ), onde M é um grupo abeliano e µ é uma aplicação µ : A M M tal que, denotando µ(a, x) por ax (a A, x M), temos satisfeitas as seguintes propriedades: i-) a(x + y) = ax + ay; ii-) (a + b)x = ax + bx; iii-) (ab)x = a(bx); iv-) 1x = x, com a, b A e x, y M. Exemplo Um ideal I de um anel A é um A-módulo. É possível mostrar que E n,p é um E n -módulo. Lema (Lema de Nakayama) Sejam R um anel comutativo com unidade 1 e M um ideal de R com a propriedade de que 1 + x é invertível em R para todo x M. Sejam M um R-módulo e A e B R-submódulos com A finitamente gerado. Se A (B + M.A), então A B. Demonstração: Como A é finitamente gerado, consideremos a 1,..., a t geradores de A. Pela hipótese, existem b 1,..., b t B e λ ij M tais que para i {1,..., t} podemos escrever t a i = b i + λ ij a j. 12 j=1

13 Considerando a notação matricial a = (a 1,..., a t ), b = (b 1,..., b t ) e Λ = (λ ij ), onde Λ é a matriz formada pelos elementos λ ij, a igualdade descrita anteriormente pode ser reescrita como (I d Λ)a = b, com I d sendo a matriz identidade. Para mostrar que A B, temos que mostra que (I d λ) é inversível. Mas isso ocorre se, e somente se, seu determinante é diferente de zero. 1 λ 11 λ 12 λ 1t λ Note que det (Id Λ) = 21 1 λ 22 λ 2t... λ t1 λ t2 1 λ tt = 1 + λ α 1 i k1 j l1 λ αr i kr j lr. Logo o determinante de (Id Λ) é da forma 1 + x, com x M. Assim, por hipótese, 1 + x é não nulo e, portanto, A B. Antes dos próximos resultados estabeleceremos a seguinte notação: Sejam M um E n -módulo livre finitamente gerado, ou seja, M = E n F n... E n, e I um sub-módulo. Assim podemos considerar a estrutura de espaço vetorial real de M e I um subespaço vetorial de M. Definição I tem codimensão finita em M se o espaço quociente M/I tem dimensão finita como espaço vetorial sobre E n. A codimensão de I é definida como a dimensão deste espaço. Lema (Lema de Borel) A aplicação ϕ : E n Ên, que a cada f associa a sua série de Taylor em torno do zero, denotada por f, é um epimorfismo de anéis. A demonstração pode ser encontrada em [3, p. 228]. Observação O Lema de Borel é importante para este trabalho pois garante que 1. ker ϕ = k=1 Mk n := M n é um ideal em E n. 2. E n M n Ên. 13

14 3. E n M k n De fato: tem codimensão finita. Denotemos ϕ(m k n) := M k E n e seja ψ : n M k n que é claramente um isomorfismo. Ên M k n dada por ψ(f + M k n) := ϕ(f) + M k n, Como M n = x 1,..., x n, o isomorfismo anterior nos permite concluir que En M k n codimensão finita. tem Proposição I tem codimensão finita em M se, e somente se, existe um inteiro k 1 tal que M k nm I. Demonstração: ( ) Existe um inteiro k 1 tal que M k nm I. Então M/I M/M k nm e, assim, dim M/I dim M/M k nm. Temos que M/M k nm = E n /M k n... E n /M k n tem dimensão finita (Observação item (3)). Portanto M/I tem dimensão finita. ( ) Podemos escrever a sequência: I + M I + M n M I + M 2 nm I + M 3 nm... I + M k nm... e consequentemente: M/(I + M) M/(I + M n M) M/(I + M 2 nm)... M/(I + M k nm)... Como a codimensão de I é finita existe k 1 tal que I + M k nm = I + M k+1 n M e como M k n é finitamente gerado, podemos aplicar o Lema de Nakayama para concluir que M k n I. 14

15 Bibliografia [1] R. G. Atique e M. J. Saia, Singularidades de germes de funções diferenciáveis, Notas Didáticas - Universidade de São Paulo, São Carlos, [2] H. Domingues e G. Iezzi, Álgebra moderna, 3 ed., São Paulo, Atual, [3] C. G. Gibson, Singular points of smooth mappings, Pitman Publishing - London (1979). [4] T. Farid, Singularidades de aplicações diferenciáveis, n o 34, notas didáticas do ICMC. 15