Universidade Federal de Minas Gerais Instituto de Ciências Exatas Departamento de Matemática DIVISORES DE ZERO LIA FEITAL FUSARO

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1 Universidade Federal de Minas Gerais Instituto de Ciências Exatas Departamento de Matemática ANÉIS DE FATORAÇÃO ÚNICA COM DIVISORES DE ZERO LIA FEITAL FUSARO Belo Horizonte 2008

2 LIA FEITAL FUSARO ANÉIS DE FATORAÇÃO ÚNICA COM DIVISORES DE ZERO Monografia apresentada ao corpo docente de Pós-Graduação em Matemática do Instituto de Ciências Exatas da Universidade Federal de Minas Gerais, como parte dos requisitos para a obtenção do título de Especialista em Matemática. Orientadora: Cristina Maria Marques Belo Horizonte 2008

3 Aos meus pais, Marco Antônio e Rita.

4 AGRADECIMENTOS ii Agradeço em primeiro lugar à minha orientadora, Professora Cristina Maria Marques, pelo empenho na finalização deste trabalho e por ter me ajudado a persistir. Agradeço também aos meus pais, que me apoiaram em minha decisão de investir em meus estudos; à minha irmã, Marina, que me ajudou muito nas leituras; ao Gustavo pela compreensão na minha ausência e aos colegas da especialização pela força.

5 iii Sumário 1 Principais Definições 2 2 Anéis de Fatoração Única Teorema de Billis Classificação Anéis Quociente Teoremas de Divisibilidade Fatoração Única Conclusão 12 5 Referências Bibliográficas 13

6 SUMÁRIO 1 INTRODUÇÃO O objetivo principal desta monografia é estudar a fatoração única em anéis. Muito já foi estudado sobre a fatoração única em domínios. Por exemplo, é sabido que em Z é válido o algoritmo de Euclides e que todo elemento pode ser escrito de maneira única como um produto de primos. Sabe-se também que todo domínio de ideais principais (DIP) é um domínio de fatoração única (DFU). Neste trabalho será dada, portanto, uma atenção especial aos anéis de fatoração única com divisores de zero, sobre os quais se discute menos. Surgem algumas perguntas importantes, como por exemplo, será que se pode classificar os anéis de fatoração única (AFU) com divisores de zero? Para quais m, Z m é um AFU? Perguntas como essas serão respondidas ao longo do trabalho.

7 2 Capítulo 1 Principais Definições Neste capítulo serão apresentadas algumas definições principais, as quais serão utilizadas durante o trabalho. Seja R um anel comutativo com unidade. Definição 1.1. Um elemento u R é uma unidade de R se existir v R tal que u.v = 1. Denotaremos por U(R) o conjunto de todas as unidades de R. Definição 1.2. Dizemos que dois elementos a e b R são associados se existir u U(R) tal que a = b.u. Definição 1.3. Um elemento r 0 de R é um divisor de zero se existir s 0 em R tal que r.s = 0. Definição 1.4. r 0 em R é um elemento primo se, sempre que r for um divisor de ab, então r é um divisor de a ou r é um divisor de b. Usaremos a notação x y para indicar que x é um fator de y. Definição 1.5. Um elemento r 0 não unidade é irredutível se, sempre que r = ab, então a ou b U(R). Definição 1.6. Dizemos que R é um anel de fatoração única (AFU) se, para cada elemento não nulo r R e não unidade, 1. existirem irredutíveis r 1,, r n tais que r = r 1..r n e

8 CAPÍTULO 1. PRINCIPAIS DEFINIÇÕES 3 2. sempre que r = r 1..r n = s 1..s m, em que r 1,, r n, s 1,, s m são elementos irredutíveis, então n = m, cada r i (1 i n) é associado a algum s j (1 j m) e cada s k é associado a algum r i. Exemplo 1.1. Em Z 4, temos que U( Z 4 ) = { 1, 3} e 2 pode ser escrito como: 2 = 2 1 = 2 3. Logo 2 é irredutível e Z 4 é um AFU, mas não é um domínio, já que 2 2 = 0. Definição 1.7. Em um anel arbitrário, um elemento r é chamado nilpotente se existir um inteiro positivo n tal que r n = 0.

9 4 Capítulo 2 Anéis de Fatoração Única Vamos estudar agora especificamente os anéis de fatoração única com divisores de zero e encontrar alguns resultados que nos levarão a classificar esses anéis. Para todo este capítulo, chamaremos R um anel de fatoração única com divisores de zero. 2.1 Teorema de Billis Os três seguintes lemas serão úteis para demonstrar o teorema de Billis, um importante resultado que identifica para quais m o anel Z m é um AFU. Lema 2.1. Todo elemento irredutível em R é primo. Demonstração. Seja r R um elemento irredutível. Suponha que r ab, em que a, b R e ab 0. Então, ry = ab para algum y R. Decompondo y, a e b em irredutíveis, temos que ry 1..y n = a 1..a m b 1..b s, em que y i, a j, b k são irredutíveis em R. Como R é um AFU, então r é associado a algum a j ou a algum b k, ou seja, r a ou r b. Logo, r é primo. Em domínios, é válido que todo primo é irredutível. Mas em geral o Lema 2.1 é falso para domínios. Exemplo 2.1. Considere o domínio Z[ 3]. Um elemento em Z[ 3] é da forma a + b 3 e a + b 3 = a 2 + 3b 2. O elemento é irredutível em Z[ 3], mas não é primo. De fato, suponha que pudéssemos fatorar como um produto x.y, em que x e y não são unidades.

10 CAPÍTULO 2. ANÉIS DE FATORAÇÃO ÚNICA 5 Então, teríamos x. y = x.y = = 4 = 2.2. Logo, teríamos que x = 2 = a + b 3, para algum a, b Z mas não existem inteiros a e b satisfazendo a 2 + 3b 2 = 2. Assim, x ou y é uma unidade e é irredutível. Para mostrar que não é primo, observe que (1 + 3)(1 3) = 4 = 2.2, o que mostra que Por outro lado, para existirem inteiros a e b tais que 2 = (a + b 3)(1 + 3) = (a 3b) + (a + b) 3, deveríamos ter a 3b = 2 e a + b = 0, o que é impossível. Lema 2.2. Todo elemento irredutível em R é um divisor de zero. Demonstração. Suponha que exista um elemento irredutível s de R que não é um divisor de zero e seja r um irredutível de R divisor de zero. Então, rx = 0 para algum x R não nulo. Chame z = r + s. Sabemos que s r (s não divide r), pois, se dividisse, r e s seriam associados e s seria um divisor de zero. Logo, s z. Temos que zx = rx + sx = sx 0. Decompondo x e z em irredutíveis, temos z 1..z m.x 1..x n = s.x 1..x n, em que z i e x j são irredutíveis. Como R é um AFU, então m = 1 e s é associado a z 1 = z. Ou seja, s z. Absurdo. Concluímos, então, que não existe elemento irredutível s que não é um divisor de zero. Lema 2.3. Todo elemento irredutível em R é nilpotente. Demonstração. Pelo Lema 2.2, se r é um elemento irredutível de R, então rx = 0 para algum x R não nulo. Chame r = r 1 e decomponha x = r 2.r 3..r m como produto de irredutíveis, em que r 1, r 2,, r m não são associados. Logo, r 1.r 2..r m = 0. Isso implica que r a 1 1.r a 2 2..rm am = 0. Se m = 1, então r a 1 1 = 0 e r é nilpotente. Se m > 1, então chame z = r a (r a 2 2..rm am ). Como x 0, então r a 2 2..rm am 0. Se r 1 dividir z, então r 1 r a 2 2..rm am e pelo Lema 2.1, r 1 r i para algum i = 2,, m. Absurdo, pois r 1 não está associado a nenhum r i. Portanto, r 1 z. Mas, r a 1 1.z = r 2a (r a 1 1.r a 2 2..rm am ) = r 2a 1 + rx = r 2a 1, o que viola a fatoração única, a não ser que r 2a 1 = 0. O que significa dizer que r é nilpotente. Corolario 2.1. Todo elemento não unidade em R é nilpotente. Demonstração. Como R é um AFU, temos que todo elemento r não unidade pode ser escrito de maneira única como um produto de irredutíveis. Pelo Lema 2.3, todo irredutível é nilpotente. Logo, r pode ser escrito de forma única como um produto de nilpotentes. Escreva r = n a 1 1.n a 2 2..n am m, em

11 CAPÍTULO 2. ANÉIS DE FATORAÇÃO ÚNICA 6 que cada n i é nilpotente e suponha sem perda da generalidade que n k 1 = 0. Temos, então, que r k = n ka 1 1..n kam m = 0 e r é nilpotente. Corolario 2.2. Teorema de Billis. Z m é um AFU se, e somente se, m é uma potência de um primo. Demonstração. ( ) Z m é um AFU. Suponha que m não seja uma potência de um primo. Seja p um primo que divide m. Então, p não é nilpotente de Z m, pois, se fosse, teríamos que p k = 0 para algum k positivo e dessa forma m dividiria p k, o que contradiz m não ser potência de um primo. Encontrando um primo que não é nilpotente, concluímos pelos Lemas 2.1 e 2.3 que Z m não é um AFU. Absurdo. Logo, m é potência de um primo. ( ) m é uma potência de um primo. Suponha que Z m não seja um AFU. Seja p Z m um primo. Então, p não é nilpotente, ou seja, p k 0 k Z. Logo, m p k e m não é uma potência de um primo, o que contradiz a hipótese. 2.2 Classificação O objetivo desta seção é classificar os anéis de fatoração única com divisores de zero. Proposição 2.1. Seja M o conjunto de todos os elementos não unidades de R. Então, M é o único ideal maximal de R. Demonstração. Temos que mostrar primeiramente que M é ideal, ou seja, se x, y M, então x + y M e rx M r R. Se x, y M, então eles não são unidades e o Corolário 2.1 garante que existem m, n Z tais que x m = 0 = y n. Temos então que x m + y n = 0 e pelo teorema binomial, (x + y) m+n = 0. Se x + y é nilpotente, então não é uma unidade, logo pertence a M. Temos também que x m = 0. Então (rx) m = 0 r R, ou seja, rx é nilpotente, o que implica que não é unidade e rx M. Portanto, M é um ideal de R. Para mostrar que M é maximal, suponha que exista I, ideal de R, tal que M I R. Se I tem uma unidade, então ele é o todo (I = R). Se I não tem nenhuma unidade, então I M I = M. Logo, M é maximal. Falta mostrar que M é único. Seja H um ideal maximal de R. H não contém nenhuma unidade, pois se tivesse, seria o todo. Então, H M. Mas H maximal H = M.

12 CAPÍTULO 2. ANÉIS DE FATORAÇÃO ÚNICA 7 Definição 2.1. Dizemos que A é um anel local se ele tem exatamente um ideal maximal. A Proposição 2.1 nos diz que todo anel de fatoração única com divisores de zero é um anel local cujo ideal maximal M é o conjunto de todos os elementos não unidades de R. O teorema a seguir nos permite classificar qualquer AFU com divisores de zero em dois grupos. Teorema 2.1. Para cada anel de fatoração única com divisores de zero R, M é principal ou rs = 0 para todos irredutíveis r, s R (não necessariamente distintos). Demonstração. Seja R um AFU com divisores de zero e M seu ideal maximal formado por todos os elementos não unidades de R. Suponha que M = r. Como todos os irredutíveis de R são não unidades, todos os irredutíveis pertencem a M e então r divide qualquer irredutível. Assim, todos os irredutíveis de R são associados a r e r é irredutível. Logo, todos os irredutíveis são associados entre si. Suponha agora que R possua irredutíveis r e s não associados. Como eles são nilpotentes, sejam m e n os menores naturais tais que r m = 0 = s n. Suponha que rs 0. Então, 0 rs = r(r m 1 + s). Como s é primo, temos que s (r m 1 + s) e então s r m 1 s r. Absurdo, já que eles não são associados. Assim, se r e s são irredutíveis não associados, então rs = 0. Com as mesmas hipóteses sobre r e s, suponha que m < n. Então, como rs = 0, temos que (r + s) m = r m + s m = s m 0. Assim, s (r + s) e, portanto, s r, contradição. De forma análoga, se m > n também chegamos a uma contradição. Se m = n > 2, então r(r + s) = r 2 0, o que implica que r (r + s) e portanto r s, absurdo. Assim, concluímos que se r e s são irredutíveis não associados, temos que r 2 = s 2 = 0 e rs = 0. Observação 2.1. Isto falhará quando o anel não tiver irredutíveis. É o caso de Z 6. Estudaremos estes casos no capítulo seguinte. Exemplo 2.2. Z p n, com n 3 tem M principal. Exemplo 2.3. Em Z p 2 acontecem ambos: M é principal e rs = 0 para todos irredutíveis r, s R.

13 8 Capítulo 3 Anéis Quociente Até agora estávamos estudando casos em que R era um AFU. Mas observe os dois seguintes exemplos: Exemplo 3.1. Z 6. As unidades de Z 6 são U( Z 6 ) = { 1, 5}. Os demais elementos podem ser escritos como um produto de não-unidades: 2 = 2 4, 3 = 3 3, 4 = 2 2. Logo, Z 6 não possui elementos irredutíveis e, portanto, não é um AFU. Exemplo 3.2. Z 15. As unidades de Z 15 são U( Z 15 ) = {1, 2, 4, 7, 8, 11, 13, 14}. Os demais elementos podem ser escritos como um produto de não-unidades: 3 = 3 6, 5 = 10 5, 6 = 12 3, 9 = 9 6, 10 = 10 10, 12 = 3 9. Logo, Z 15 não possui elementos irredutíveis e, portanto, não é um AFU. A classificação vista no capítulo anterior funciona apenas para os casos em que R é um AFU com divisores de zero. Mas e nos casos que R não é um AFU, o que podemos dizer sobre esses anéis? Estes dois exemplos nos mostram que vamos precisar de uma nova definição de irredutibilidade para que possamos estudar esses tipos de anéis. 3.1 Teoremas de Divisibilidade Definição 3.1. Seja p 0 um elemento não unidade de um anel arbitrário A. Dizemos que p é um irredutível fraco se, sempre que p = ab, então p e a são associados ou p e b são associados.

14 CAPÍTULO 3. ANÉIS QUOCIENTE 9 Observe que um elemento irredutível na definição usual continua sendo um irredutível fraco. Com a nova definição, o universo dos irredutíveis foi ampliado. A definição irredutível fraco aparece em [6]. A partir desse ponto, R passa a denotar um domínio de ideais principais (DIP) e R/I um anel quociente, em que I = m é um ideal de R gerado por um elemento m redutível em R. Dizer que m é redutível em R significa que existem a, b R tais que m = ab ā. b = 0 em R/I, isto é, R/I é um anel com divisores de zero. Z m é um exemplo de anel quociente R/I. Usando a definição de elemento irredutível fraco, estudaremos agora as propriedades destes elementos em anéis quocientes R/I. Proposição 3.1. São equivalentes as seguintes afirmações: 1. ā é irredutível fraco em R/I. 2. ā = p, em que p é um divisor de m irredutível em R. 3. ā e p são associados, em que p é um divisor de m irredutível em R. 4. ā é um ideal maximal de R/I. 5. ā é um ideal primo de R/I. Demonstração. (1) (2): Pelo Teorema de Dirichlet (ver [1], Proposition 3.1), temos que ā é associado a d em R/I, em que d = mdc(a, m). Suponha que d não seja irredutível em R. Então, existem b, c R tais que d = bc, sendo que b e c não são unidades em R. Então, d e b não são associados em R e d e c também não são. Como d, b e c são todos divisores de m, então nem d e b, nem d e c são associados em R/I, pois, se fossem, teríamos que d = x b e b = ȳ d para algum x, y R. Isto significa que d xb m e b yd m e d e b seriam associados em R. Análogo para d e c. Temos, então que d não é um irredutível fraco, o que implica que ā também não é. Contradição. Logo, d é irredutível e divisor de m, isto é, se d = p, então ā = p, já que são associados. (2) (3): ā = p implica que existem µ e λ tais que ā = µ p e p = λā. Então, p = λ µ p p, λ e µ são associados. Analogamente, temos que ā = λ µā ā, λ e µ são associados. Se ā é associado a µ e µ é associado a p, então ā e p são associados. (3) (4): Seja ϕ : R R/I o homomorfismo canônico. Como ā e p são associados, então, ϕ( p ) = p = ā. Como p é irredutível, então p é um

15 CAPÍTULO 3. ANÉIS QUOCIENTE 10 ideal maximal de R. Se p é um divisor de m, então I = m p. Logo, como o homomorfismo canônico leva ideais maximais que contém I em ideais maximais de R/I, temos que ϕ( p ) = ā é um ideal maximal de R/I. (4) (5): Seja bc ā. Temos que ā ā + b R/I. Mas ā é maximal. Se ā + b = R/I, então a 1 + λ b = 1 para algum a 1 ā e λ R/I. Logo, a 1 c = λ b c = c. Mas bc ā c ā. Se ā + b = ā, então b ā. Logo, ā é ideal primo de R/I. Observe que esse fato é válido para todo anel comutativo com unidade. (5) (1): Se ā é um ideal primo, então ā = R/I, e isso nos dá que ā não é unidade. Como R/I tem divisor de zero, então ā não é o elemento nulo. Suponha que ā = b c. Então ā b ou ā c. Como ā é um ideal primo, então b = λā ou c = µā para algum λ, µ R, ou seja, b ā ou c ā. Logo, ā e b são associados ou ā e c são associados e ā é irredutível fraco. A partir da Proposição 3.1, utilizando a difinição de irredutível fraco, todos os teoremas de divisibilidade também fazem sentido em R/I. Corolario 3.1. Seja ā, b e c elementos de R/I tais que ā b c e a e b são primos entre si. Então, ā c. Corolario 3.2. Seja p R/I um elemento irredutível fraco. Suponha que p não é um divisor de b R/I. Então, p e b são primos entre si. Corolario 3.3. Seja p R/I um elemento irredutível fraco. Suponha que p ā b, em que ā, b R/I. Então, p ā ou p b. O Corolário 3.3 é uma generalização do importante Lema de Euclides para anéis quocientes com divisores de zero, utilizando a definição deirredutível fraco. 3.2 Fatoração Única Nesta seção tentaremos ampliar o universo dos anéis de fatoração única. Proposição 3.2. Se m = p f 1 1.p f 2 2..p fs s é a fatoração irredutível de m em R, então, p i é irredutível em R/I se, e somente se, f i 2 i. Demonstração. ( ) p i é irredutível em R/I. Se f i = 1, então, p i 2 não divide m. Logo, mdc(p 2 i, m) = p i. Pelo teorema de Dirichlet, temos que p i 2 = p i, ou seja, existe a R tal que p i = āp i.p i. Absurdo, pois p i é

16 CAPÍTULO 3. ANÉIS QUOCIENTE 11 irredutível. Portanto, f i 2 i. ( )f i 2 implica que p 2 i é um divisor de m. Logo, p i 2 = p i, já que p i também é divisor de m. Se p i = ā b, com ā, b R/I, então p i ā e p i b. Suponha que nem ā nem b são unidades. Pela Proposição 3.1, temos que p i é um ideal maximal, então p i = ā = b. Ou seja, ā = xp i e b = ȳp i para algum x, y R. Logo, p i = ā b = xȳp i 2 p i = p i 2 e chegamos a uma contradição. Portanto, ou ā ou b é uma unidade e p i é irredutível. A importância da Proposição 3.2 é determinar, a partir da fatoração irredutível de m no domínio R, quais elementos de R/I são irredutíveis. A proposição seguinte nos dá um análogo à fatoração única para anéis quocientes com divisores de zero e é um dos principais resultados deste trabalho. Proposição 3.3. Seja ā 0 um elemento não unidade de R/I. Então, e ā pode ser escrito como ā = x.p 1 e 1.p 2 e 2..p s s, em que x é uma unidade de R/I, 0 e i f i, i = 1, 2,, s e m = p f 1 1.p f 2 2..p fs s é a fatoração irredutível de m em R. Além disso, esta fatoração é única. Demonstração. Existência: Escolhendo um elemento a 0 e não unidade de R/I, pelo teorema de Dirichlet temos que ā e d são associaods, em que d = mdc(a, m). Como d m, então d = p e 1 1.p e 2 2..p es s, para 0 e i f i, i = 1,, s. Mas como ā e d são associados, então ā pode ser escrito como ā = x d, em que x é uma unidade de R/I. Ou seja, ā = e x.p 1 e 1.p 2 e 2..p s s. Unicidade: Suponha que ā também possa ser escrito e como ā = ȳ.p 1 1 e.p2 2. e.ps s, em que ȳ é uma unidade de R/I. Chame e r = p 1 1 e.p2 2. e.ps s. Como r e d são divisores de m e também r e d são associados, então r e d são associados. Portanto, e i = e i, i = 1, 2,, s, já que R é um DIP, logo um AFU e a fatoração é única.

17 12 Capítulo 4 Conclusão Na parte inicial deste trabalho, estudamos os anéis de fatoração única com divisores de zero para tentar classificá-los de alguma forma. Os principais resultados que obtivemos foram, primeiramente, conseguir descobrir para quais m, o anel Z m é um AFU. Após isso, conseguimos classificar os anéis de fatoração única com divisores de zero em dois grupos. Ainda pensando em anéis com divisores de zero, vimos que muitos deles não são anéis de fatoração única. Para conseguir algum resultado sobre esses anéis, tivemos que ampliar a definição de irredutibilidade. Descobrimos, então, para os anéis R/I, com I = m, m redutível em R, formas análogas para os teoremas de divisibilidade e para a fatoração única.

18 13 Capítulo 5 Referências Bibliográficas [1 ] MARQUES, Cristina & ZUMPANO, Antônio. Greatest common divisor and factorization in quotient rings. Universidade Federal de Minas Gerais. Belo Horizonte. [2 ] GALOVICH, Steven. Unique factorization rings with zero divisors. Mathmatics Magazine, V. 51, n 5. Nothfield, (1978). [3 ] ARTIN, Michael. Algebra. New Jersey: Prentice Hall, (1991). [4 ] GALLIAN, Joseph A. Contemporary Abstract Algebra. 6 ed. Houghton Mifflin, (2006). [5 ] MARQUES, Cristina Maria. Introdução à teoria de anéis. Departamento de Matemática - UFMG. Belo Horizonte, (2005). [6 ] ANDERSON, D.D. & Valdes-Leon, Factorization in commutative rings with zero divisors. Rocky Mountain Journal of Math. 26, pp (1996).