CARACTERÍSTICA DE UM ANEL

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1 Professora: Elisandra Bär de Figueiredo CARACTERÍSTICA DE UM ANEL PROPOSIÇÃO 1 Seja A um anel com unidade. Se m, n Z, então (mn)1 A = (m1 A )(n1 A ). Seja A um anel. Considere o seguinte subconjunto de N : S = {n N / n a = 0 A, a A}. Se S = dizemos que o anel A tem característica zero e escrevemos c(a) = 0. Se S, então existe o mínimo de S. Sendo h = mins > 0, dizemos que o anel A tem característica h > 0 e escrevemos c(a) = h. EXEMPLO 1 Mostre que c(z m ) = m. PROPOSIÇÃO 2 Seja A um anel com unidade. período da unidade no grupo (A, +). Então, a característica de A é igual ao PROPOSIÇÃO 3 A característica de um anel de integridade ou é zero ou é um número primo. EXEMPLO 2 Considere o anel A formado por todas sequências innitas de elementos de Z 2 com a adição e multiplicação denidas componente a componente. Determine c(a). 1

2 EXEMPLO 3 A característica de um anel com unidade nito é maior que zero. EXEMPLO 4 Seja A um anel com unidade e considere o conjunto Z1 A = {m 1 A / m Z}. Prove que este conjunto é um subanel de A. PROPOSIÇÃO 4 Seja A um anel com unidade. Se a característica de A é h > 0, então Z1 A é isomorfo a Z h. Se a característica de A é zero, então Z1 A é isomorfo a Z. 2

3 CARACTERÍSTICA DE UM CORPO Se K é um corpo, então K é um anel de integridade, logo, ou c(k) = 0 ou c(k) = p sendo p um número primo. No caso em que c(k) = p, temos que K contém um subanel isomorfo a Z p. Como p é primo temos que Z p é um corpo, consequentemente Z1 A é um subcorpo de K isomorfo a Z p. Além disso, se L é um subcorpo de K, então 1 K L, logo, m 1 K L, para todo m Z, ou seja, Z1 K L, donde Z1 K é o menor subcorpo de K. Justique as passagens deste parágrafo. No caso em que c(k) = 0, temos que Z1 K K é um subanel isomorfo a Z. Porém, Z1 K não é subcorpo (Porque?). Entretanto, podemos mostrar que o menor subcorpo de K (quando c(k) = 0) é isomorfo a Q. Sugestão: Considere f : Q K dada por ( m ) f n = m 1 K n 1 K, m, n Z, n 0. Prove que f é aplicação, é injetora e homomorsmo de anéis. deste parágrafo. Justique as passagens Os corpos Z p e Q são chamados corpos primos e sobre eles se assentam todos os corpos de característica maior que zero no primeiro caso e os de característica zero no segundo caso. 3

4 IDEAIS NUM ANEL COMUTATIVO DEFINIÇÃO 1 Seja A um anel comutativo. Um subconjunto I A, I, será chamada de ideal em A se para quaisquer x, y I e para qualquer a A valem as seguintes relações: (i) x y I; (ii) ax I. EXEMPLO 5 No anel dos números inteiros os subconjuntos nz em que n é um número inteiro dado são ideais. EXEMPLO 6 Seja A = R R. Mostre que I = {f A/ f(1) = 0}é um ideal em A. EXEMPLO 7 Mostre que o núcleo de um homomorsmo de anéis f : A B é um ideal de A. Observação: Todo ideal num anel A é um subanel de A, porém a recíproca é falsa. Dê um contra exemplo. PROPOSIÇÃO 5 Seja I um ideal num anel comutativo A. Então: (a) 0 A I; 4

5 (b) a I a I, a I; (c) para quaisquer a, b I a + b I; (d) se o anel A possui unidade e se existe um elemento inversível u A tal que u I, então I = A. EXEMPLO 8 Seja A um anel comutativo e sejam a 1, a 2,, a n A (n 1). Mostre que o conjunto é um ideal em A. < a 1, a 2,, a n >= {x 1 a 1 + x 2 a x n a n / x 1, x 2,, x n A} DEFINIÇÃO 2 O ideal < a 1, a 2,, a n > é chamado ideal gerado por a 1, a 2,, a n. Um ideal gerado por somente um elemento a A recebe o nome de ideal principal gerado por a. Neste caso usam-se as notações < a > ou a A. Se todos os ideais de um anel de integridade são principais, então este anel é chamado de anel principal. EXEMPLO 9 Se I é um ideal em Z, então I = nz, para algum n N. 5

6 PROPOSIÇÃO 6 Sejam m 1, m 2,, m k Z e J =< m 1, m 2,, m k >. Se d Z é tal que J = dz, (por que existe tal d?) então valem as seguintes armações: (i) existem r 1, r 2,, r k Z tais que d = m 1 r 1 + m 2 r m k r k ; (ii) d é um divisor comum de m 1, m 2,, m k, ou seja, d m i para todo i {1, 2,, k}; (iii) Se d é um divisor comum de m 1, m 2,, m k, então d também é divisor de d. Observação: O número d da proposição acima é chamado mdc de m 1, m 2,, m k em Z. 6

7 PROPOSIÇÃO 7 Seja A um anel comutativo com unidade. somente se, os únicos ideais em A são os triviais. Então, A é um corpo se, e 7

8 IDEAIS PRIMOS E MAXIMAIS ˆ Interseção Dados dois ideais I e J num anel comutativo A, então I J é um ideal em A. Além disso, I J é o maior ideal contido em I e em J. Prove estes fatos. ˆ Adição: Se I e J são ideais em A, então I + J = {x + y/ n I, y J é um ideal em A. Além disso, é o menor ideal que contém I e J. DEFINIÇÃO 3 Seja P um ideal num anel comutativo A. Dizemos que P é um ideal primo se P A e se para todo a, b A vale o seguinte: ab P a P ou b P. EXEMPLO 10 Verique quais dos ideais abaixo são primos. 1. I = {0} em Z. 2. I = 3Z em Z. 3. I = 6Z em Z. 4. I = {0} Z em Z Z. 8

9 DEFINIÇÃO 4 Seja M um ideal num anel comutativo A. Dizemos que M é um ideal maximal se M A com a seguinte propriedade: o único ideal em A que contém M e é diferente de M é o próprio anel A. Ou seja, M é um elemento maximal em relação à inclusão no conjunto dos ideais em A que são diferentes de A. EXEMPLO 11 Verique quais dos ideais abaixo são maximais. 1. I = 3Z em Z. 2. I = 6Z em Z. 3. I = Z 2Z em Z Z. PROPOSIÇÃO 8 Seja A um anel comutativo com unidade. Então, todo ideal maximal em A é primo. EXEMPLO 12 A recíproca da última proposição é falsa. Observe que I = {0} Z em Z Z é um ideal primo, porém não é maximal. 9