(Ciência de Computadores) 2005/ Diga quais dos conjuntos seguintes satisfazem o Princípio de Boa Ordenação

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1 Álgebra (Ciência de Computadores) 2005/2006 Números inteiros 1. Diga quais dos conjuntos seguintes satisfazem o Princípio de Boa Ordenação (a) {inteiros positivos impares}; (b) {inteiros negativos pares}; (c) {inteiros maiores que 7}. 2. Prove por indução que, para qualquer número natural n, se tem n ( ) n 2 n =. k 3. Prove por indução que: k=0 (a) ( n N) : n 3 = (b) ( n N) : n 3 + 2n é divisível por 3. (c) ( n N)( k N) : 10 n ( 1) n = 11k. (d) ( n N \ {1, 2, 3}) : n! > 2 n n < 2 n. ( ) (n+1)n Determine o máximo divisor comum mdc(a, b) de cada um dos pares de inteiros seguintes e exprima-o como combinação linear de a e b, isto é, na forma xa + yb com x e y inteiros. (a) (14, 35); (b) (11, 15); (c) (2873, 6643); (d) (4148, 7684); (e) (1001, 7655).

2 Álgebra (Ciência de Computadores) Sejam a, b e n inteiros. Mostre que existem inteiros x e y tais que n = xa + yb se e só se mdc(a, b) n. 6. Sejam a, b, c, d e m inteiros. Mostre que: (a) se mdc(a, m) = mdc(b, m) = 1, então mdc(ab, m) = 1; (b) se mdc(a, c) = d, a b e c b, então ac bd. 7. Seja b um inteiro positivo não primo. Mostre que existe um primo positivo p que divide b e é tal que p b. 8. Faça uma lista dos primos positivos menores que Descreva um processo sistemático para encontrar o máximo divisor comum e o mínimo múltiplo comum de dois inteiros, conhecidas as suas decomposições em factores primos. 10. Mostre que, se (n 1)! + 1 é divisível pelo inteiro n > 1, então n é primo. 11. Prove que há uma infinidade de primos. [Uma sugestão: Se p 1,..., p n são primos, então p 1 p n + 1 não é divisível por nenhum dos p i (1 i n).] 12. Prove que há uma infinidade de primos da forma 4n + 3. [Sugestão: Observe que o produto de dois inteiros da forma 4n + 1 é um inteiro da forma 4n + 1.] 13. Mostre que se um produto mn de dois inteiros positivos primos entre si é um quadrado, então tanto m como n são quadrados. 14. Comente a afirmação: Dado que , então ou Resolva as congruências seguintes: (a) 3x 2 (mod 5); (b) 7x 4 (mod 10); (c) 243x 101 (mod 725); (d) 2401x (mod 371).

3 Álgebra (Ciência de Computadores) Mostre que se a b (mod m) e c d (mod m), então a + c b + d (mod m) e ac bd (mod m). 17. Determine um critério de divisibilidade por x no sistema decimal para x = 3, x = 9 e x = Se m é um inteiro, mostre que m 2 é congruente com 0, 1 ou 4 módulo Diga, justificando, se a congruência x 2 35 (mod 100) tem alguma solução. 20. Para que inteiros positivos m se tem x 2 0 (mod m) = x 0 (mod m)? 21. (a) Determine o resto da divisão de por 21. (b) Determine o resto da divisão de por Qual é o menor inteiro maior que 7 cujo quadrado termina em 49? 23. Dê exemplo de um divisor primo do inteiro (a) Suponha que 9, 7, 2, 4, 7, 0, 6, 6, 2 são os primeiros 9 dígitos do ISBN que identifica um livro. Qual é o décimo dígito, a 10 do ISBN desse livro? (b) Suponha que pretende adquirir o livro referido na alínea anterior mas que faz a encomenda do livro a 10 (enganando-se num algarismo). Será que a editora lhe envia o livro errado? (c) E se encomendar o livro a 10 (trocando dois dígitos)? [Nota: Recorde que se a 1 a 2 a 3 a 4 a 5 a 6 a 7 a 8 a 9 a 10 é o ISBN de um livro, então 10a 1 + 9a 2 + 8a 3 + 7a 4 + 6a 5 + 5a 6 + 4a 7 + 3a 8 + 2a 9 + 1a 10 0 (mod 11).] 25. Sabe-se que a mensagem 2102; 674; 432 foi obtida por codificação usando o código RSA com a chave pública m = 4589 e c = Sabe-se ainda que para a correspondência entre letras do alfabeto e números foi usado o código ASCII (em particular, as letras minúsculas correspondem, por ordem, aos números 97,..., 122). Por exemplo, a letra o corresponde ao número 111. Uma vez que m é pequeno, não deve ser difícil descodificar a mensagem. Consegue fazê-lo?

4 Álgebra (Ciência de Computadores) Grupos 26. À semelhança do que foi feito na aula teórica com as simetrias do quadrado, descreva o grupo D 3 das simetrias de um triângulo equilátero. 27. Resolva o mesmo problema para D 5, o conjunto das simetrias de um pentágono regular. 28. Mostre que o conjunto M das matrizes quadradas 2 2 com entradas em R é um grupo com a adição usual. 29. Seja S = R\{ 1}. Em S define-se a operação binária como se segue: a b = a + b + ab. (a) Mostre que S, é um grupo. (b) Resolva em S a equação 2 x 3 = Considere o conjunto R \ {0} com a operação binária associativa definida por a b = a b. (a) Mostre que existe elemento neutro à esquerda para e inverso direito para cada elemento de R \ {0}. (b) Diga se (R \ {0}, ) é um grupo? (c) Que conclusão retira deste exercício? 31. Diga, justificando, quais das afirmações seguintes são verdadeiras e (a) O conjunto Z dos inteiros com a subtracção é um grupo. (b) O conjunto dos inteiros pares com a adição é um grupo. (c) O conjunto dos inteiros ímpares com a adição é um grupo. (d) Existe um grupo com 23 elementos. (e) O conjunto vazio pode ser considerado um grupo. (f) A associatividade é válida em qualquer grupo. (g) Todo o subgrupo de um grupo abeliano é abeliano. 32. Dê dois exemplos de grupos com 24 elementos.

5 Álgebra (Ciência de Computadores) Construa a tabela de Cayley para U(8). 34. Mostre que, se num grupo G se tem (ab) 2 = a 2 b 2, a, b G, então G é abeliano. 35. Para cada um dos grupos listados a seguir, indique a respectiva ordem, bem como a ordem de cada um dos seus elementos. Procure encontrar alguma relação entre a ordem do grupo e a de cada um dos seus elementos. Z 12, U(8), U(12), U(20), D 4, Z. 36. Mostre que, em qualquer grupo, um elemento e o seu inverso têm a mesma ordem. 37. Indique três subgrupo do grupo Z dos inteiros com a adição. 38. Diga se o centro de um grupo é necessariamente comutativo. E o centralizador de um elemento de um grupo? 39. O mais pequeno subgrupo de um grupo G contendo um subconjunto X diz-se o subgrupo gerado por X e denota-se por X. Determine o subgrupo do grupo aditivo Z gerado por (a) 6 e 14; (b) 7 e 9; (c) 12, 18 e Mostre que um grupo infinito tem necessariamente uma infinidade de subgrupos. 41. Diga, justificando, quais das afirmações seguintes são verdadeiras e (a) O grupo Z 223 com a adição módulo 223 é um subgrupo do grupo Z com a adição. (b) Todo o grupo é um subgrupo de si mesmo. (c) Qualquer elemento de um grupo cíclico é gerador desse grupo. (d) Existem grupos não abelianos.

6 Álgebra (Ciência de Computadores) (e) Todo o subconjunto de um grupo é um subgrupo com a operação induzida. (f) Se A e B são subgrupos de um grupo G, então A B é um subgrupo de G. (g) Se A e B são subgrupos de um grupo G, então A B é um subgrupo de G. (h) Todo o elemento de um grupo gera um subgrupo cíclico desse grupo. 42. Seja a um elemento de ordem 15 de um grupo qualquer G. Determine a ordem dos seguintes elementos de G: a 2, a 3, a 4, a 5, a Quantos subgrupos tem Z 20? Indique um gerador para cada um desses subgrupos. 44. Considere ( as permutações em S σ = ), e τ = ( (a) Calcule: στ, στ 2, τσ 2 e στσ 1. (b) Determine: ord σ e seguidamente calcule σ Diga, justificando, quais das afirmações seguintes são verdadeiras e (a) Uma função injectiva é uma permutação. (b) Toda a função de um conjunto finito em si próprio é injectiva. (c) O grupo simétrico S 10 tem 10 elementos. (d) O grupo simétrico S 3 é cíclico. (e) Se G é um grupo tal que todo o seu subgrupo próprio é abeliano, então G é abeliano. 46. Sejam G um grupo, a um elemento fixo de G e λ a : G G uma aplicação definida por λ a (g) = ag. Mostre que λ a é uma permutação do conjunto G. ).

7 Álgebra (Ciência de Computadores) Exprima a permutação (4 5 6)(3 4 5)(2 3 4)(1 2 3) como produto de ciclos disjuntos. 48. Determine a ordem de cada uma das seguintes permutações. (a) ( ); (b) (4 5)(2 3 7); (c) (1 4)( ). 49. Mostre que se σ é um ciclo cujo comprimento é um inteiro ímpar, então σ 2 é um ciclo. 50. Exprima cada uma das permutações do conjunto {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} a seguir indicadas como produto de ciclos disjuntos e, em seguida, como produto de transposições. ( ) (a) ; ( ) (b) ; (c) ( ). 51. Construa a tabela da multiplicação do grupo alterno A Diga, justificando, quais das afirmações seguintes são verdadeiras e (a) Qualquer permutação é um ciclo. (b) Todo o ciclo é uma permutação. (c) A definição de permutação par poderia ser dada logo a seguir à definição de transposição. (d) As permutações ímpares de S 8 formam um subgrupo de S 8. (e) A 5 tem 120 elementos. (f) S n não é cíclico para nenhum n 1. (g) A 3 é abeliano. 53. Mostre que num subgrupo H de S n (n 2) ou todas as permutações são pares ou metade são pares.

8 Álgebra (Ciência de Computadores) Sejam G e G grupos e seja ϕ : G G um isomorfismo. Mostre que: (a) a imagem por ϕ de um subgrupo de G é um subgrupo de G ; (b) a imagem por ϕ de um elemento de ordem n de G é um elemento de ordem n de G ; (c) se G é abeliano, então G é abeliano. 55. Mostre que um grupo G é abeliano se e só se a aplicação ϕ : G G, definida por ϕ(x) = x 1, for um automorfismo. 56. Construa a tabela da multiplicação do subgrupo cíclico de S 5 gerado por ( ) ρ = Diga se o grupo que obteve é isomorfo a S Represente por A o conjunto de todos os elementos não nulos de A. Indique uma partição da seguinte colecção de grupos em subcolecções de grupos isomorfos. Z, + ; Z 6 ; Z 2 ; S 6 ; 17Z, + ; Q, + ; 3Z, + ; R, + ; S 2 ; R, ; R +, ; Q, ; C, ; o subgrupo π de R, ; o subgrupo de S 8 gerado por (1 3 4)(2 6). 58. Diga, justificando, quais das afirmações seguintes são verdadeiras e (a) Quaisquer dois grupos de ordem 3 são isomorfos. (b) A menos de isomorfismo, há apenas um grupo cíclico de uma ordem finita dada. (c) Dois grupos finitos com o mesmo número de elementos são isomorfos. (d) Um grupo aditivo não pode ser isomorfo a um grupo multiplicativo. (e) R, + é isomorfo a um grupo de permutações. 59. Determine o número de classes laterais esquerdas dos subgrupo 18 de Z 36.

9 Álgebra (Ciência de Computadores) Mostre que se H é um subgrupo de um grupo abeliano G, então toda a classe lateral esquerda de H é também uma classe lateral direita. 61. Diga, justificando, quais das afirmações seguintes são verdadeiras e (a) Todo o subgrupo de um grupo tem classes laterais esquerdas. (b) O número de classes laterais esquerdas de um subgrupo de um grupo finito divide a ordem do grupo. (c) Todo o grupo finito cuja ordem é um número primo é abeliano. (d) Um subgrupo de um grupo é uma classe lateral esquerda de si mesmo. (e) Todo o grupo abeliano finito de ordem divisível por 5 contém um subgrupo cíclico de ordem 5. (f) A n tem índice 2 em S n, para n > 1. (g) Um grupo quociente de um grupo abeliano é um grupo abeliano. (h) Qualquer grupo quociente de um grupo não abeliano é não abeliano. 62. Diga qual é a ordem dos grupos quociente seguintes: (a) Z 6 / 3 ; (b) (Z 4 Z 12 )/( 2 2 ). 63. Qual é a ordem da classe lateral do grupo quociente Z 12 / 4? 64. Seja G um grupo finito. Mostre que se G tem exactamente um subgrupo H de uma ordem dada, então H G. 65. Faça uma lista dos elementos de Z 2 Z 4. Determine a ordem de cada um deles e diga se o grupo dado é cíclico. 66. Mostre que o produto directo externo de grupos abelianos é abeliano. 67. A menos da ordem dos factores, escreva de todos os modos possíveis produtos directos de dois ou mais factores da forma Z n de tal modo que o produto resultante seja isomorfo a Z 60.

10 Álgebra (Ciência de Computadores) Diga, justificando, quais das afirmações seguintes são verdadeiras e (a) Só se pode formar o produto directo externo de grupos finitos. (b) Se G 1 e G 2 são grupos, G 1 G 2 é um grupo isomorfo a G 2 G 1. (c) Um grupo finito de ordem prima não pode ser o produto directo interno de dois subgrupos próprios não triviais. (d) Z 2 Z 4 é isomorfo a Z 8. (e) Z 2 Z 4 é isomorfo a S 8. (f) Z 4 Z 9 é isomorfo a Z 6 Z 6. (g) A ordem de Z m Z n é mn. (h) Z 4 Z 4 é isomorfo a Z 2 Z 8. (i) Todo o grupo abeliano finito de ordem divisível por 4 contém um subgrupo cíclico de ordem 4. (j) Todo o grupo abeliano finito de ordem divisível por 6 contém um subgrupo cíclico de ordem Considere os grupos aditivos Z e R, o grupo multiplicativo R = R \ {0}, e os grupos Z 2, Z 6 e Z 9. Diga quais das aplicações seguintes são homomorfismos e em caso afirmativo determine a imagem e o núcleo. (a) (b) (c) (d) (e) ϕ : Z R n n. ϕ : R Z x [x] (característica de x). ϕ : R R x x. ϕ : Z 6 Z 2 x x. ϕ : Z 9 Z 2 x x. 70. Seja G um grupo. Sendo ϕ : Z Z G um homomorfismo tal que ϕ(1, 0) = h e ϕ(0, 1) = k, determine ϕ(m, n).

11 Álgebra (Ciência de Computadores) Diga, justificando, quais das afirmações seguintes são verdadeiras e (a) Um homomorfismo é um isomorfismo do domínio sobre a imagem se e só se o seu núcleo se reduz ao elemento neutro. (b) A imagem de um grupo de 6 elementos por um homomorfismo pode ter 4 elementos. (c) A imagem de um grupo de 6 elementos por um homomorfismo pode ter 12 elementos. (d) Existe um homomorfismo de um grupo de 6 elementos num grupo de 12 elementos. (e) Existe um homomorfismo de um grupo de 6 elementos num grupo de 10 elementos. (f) Não existe um homomorfismo de um grupo infinito num grupo finito. 72. Determine os seguintes subgrupos de Z 12 : (a) 2, 3 ; (b) 4, 6 ; (c) 8, 6, Determine as classes de isomorfismo dos grupos abelianos de ordem 540. Exprima os grupos obtidos nas duas formas canónica do teorema fundamental. 74. Determine, a menos de isomorfismo, todos os grupos abelianos de ordem 720 e de ordem Exprima-os nas duas formas canónicas do teorema fundamental. 75. Quantos grupos abelianos (a menos de isomorfismo) existem de ordem: (a) 24? (b) 25? (c) 24 25?

12 Álgebra (Ciência de Computadores) Diga, justificando, quais das afirmações seguintes são verdadeiras e (a) Todo o grupo abeliano de ordem prima é cíclico. (b) Todo o grupo abeliano cuja ordem é potência de um número primo é cíclico. (c) Todo o grupo abeliano finito de ordem divisível por 5 contém um subgrupo cíclico de ordem 5. (d) Todo o grupo abeliano finito de ordem divisível por 4 contém um subgrupo cíclico de ordem 4 (e) Todo o grupo abeliano finito de ordem divisível por 6 contém um subgrupo cíclico de ordem 6. (f) Z 8 é gerado por {4, 6}. (g) Z 8 é gerado por {4, 5, 6}. 77. Mostre que o conjunto dos números reais {a + b 2 a, b Z} munido da soma e produto usuais de números reais constitui um anel. 78. Seja A, +, um anel com elemento um e seja U o conjunto dos elementos invertíveis de A. Mostre que U, é um grupo. 79. Construa a tabela da multiplicação do grupo multiplicativo dos elementos invertíveis de Z Diga, justificando, quais das afirmações seguintes são verdadeiras e (a) Se p é um número primo, então o anel Z p tem divisores de zero. (b) Se n > 1 é um inteiro positivo não primo, então o anel Z n tem divisores de zero. (c) É possível um subconjunto de um corpo ser um anel e não ser um subcorpo com as operações induzidas. (d) Os grupos 2Z e 3Z são isomorfos. (e) Os anéis 2Z e 3Z são isomorfos.

13 Álgebra (Ciência de Computadores) (f) Um subanel de um anel com elemento identidade 1 pode ter elemento identidade Mostre que o conjunto dos números reais {a + b 2 a, b Q} munido da soma e produto usuais de números reais constitui um corpo. 82. Um elemento a de um anel A diz-se idempotente se a 2 = a. Determine todos os idempotentes do anel das matrizes 2 2 de entradas inteiras. 83. Encontre todos os ideais I de Z 12. Para cada caso, determine Z 12 /I (i.e., para cada I determine um anel (conhecido) ao qual o anel quociente Z 12 /I é isomorfo). 84. Seja A um anel e I um ideal de A. Mostre que A/I é comutativo se e só se (rs sr) I para quaisquer r, s A. 85. Diga, justificando, quais das afirmações seguintes são verdadeiras e (a) Q é um ideal de R. (b) Z é um ideal de Q. (c) 2Z é um ideal de Z. (d) Todo ideal de um anel é um subanel desse anel. (e) Um subanel de um anel A é um ideal de A. (f) Um anel quociente de um anel comutativo é um anel comutativo. (g) Um ideal I de um anel A com elemento um 1 é o próprio A se e só se 1 I. (h) Se um anel A tem divisores de zero, qualquer anel quociente de A tem divisores de zero. 86. Mostre que são isomorfos os anéis Z[ 2] = {a + b {( ) } 2 a, b Z} e a 2b A = a, b Z, com as operações usuais. b a 87. (a) Considere a aplicação ϕ : Z 5 Z 30 dada por ϕ(x) = 6x, x Z 5. Mostre que ϕ é um homomorfismo de anéis. (b) Dê exemplo de um homomorfismo de anéis ϕ : A B onde A tem elemento um, 1 A, tal que ϕ(1 A ) 0, mas ϕ(1 A ) não é o elemento um de B.

14 Álgebra (Ciência de Computadores) Mostre que a imagem de um idempotente por um homomorfismo de anéis é um idempotente. 89. Determine todos os homomorfismos de anéis Z Z. 90. Determine a forma reduzida e o inverso da forma reduzida de cada uma das seguintes palavras: (a) a 2 b 1 b 3 a 3 c 1 c 4 b 2 ; (b) a 2 a 3 b 3 a 4 c 4 c 2 a Quantos homomorfismos existem de um grupo livre em dois geradores em (a) Z 4? (b) Z 6? (c) S 3? 92. Diga, justificando, quais das afirmações seguintes são verdadeiras e (a) Todo o grupo tem uma apresentação. (b) Todo o grupo com uma apresentação finita tem ordem finita. (c) Todo o grupo cíclico tem uma apresentação com um único gerador. 93. Seja G = a, b a 2 = b 4 = 1, ab = b 3 a. (a) Exprima a 3 b 2 abab 3 na forma a i b j. (b) Exprima b 3 abab 3 a na forma b j a i. 94. Mostre que a, b, c a 2 = c 3 = b 5 = 1, ab 1 = c 3, a 1 ba = c é uma apresentação do grupo trivial (com um único elemento). 95. Mostre que a, b a 3 = b 2 = 1, ba = a 2 b é uma apresentação de S Mostre que, a menos de isomorfismo, existe um único grupo não abeliano de ordem 6, logo isomorfo a S 3.