f(xnyn) = f(xyn) = f(xy) = f(x)f(y) = f(xn)f(yn).

Transcrição

1 Teoremas de isomorfismo. Teorema (Teorema de Isomorfismo). Seja f : A B um homomorfismo de grupos. Então A/ ker(f) = Im(f). Demonstração. Seja N := ker(f) e seja f : A/N Im(f), f(xn) := f(x). Mostramos que f é um isomorfismo de grupos. f é uma função bem definida. De fato, se xn = yn então y 1 x N = ker(f), isto é, f(y 1 x) = 1, que pode ser escrito f(y) 1 f(x) = 1 e multiplicando a esquerda por f(y) obtemos f(x) = f(y), em outras palavras f(xn) = f(yn). f é um homomorfismo. Se xn, yn A/N temos f(xnyn) = f(xyn) = f(xy) = f(x)f(y) = f(xn)f(yn). f é sobrejetivo. Se b Im(f) então b = f(x) para algum x A logo b = f(x) = f(xn). f é injetivo. Se f(xn) = 1 então f(x) = 1, isto é, x ker(f) = N, em outras palavras xn = N. Isso mostra que ker(f) = {N}, em outras palavras f é injetivo. Isso conclui a demostração. Por exemplo considere os grupos A = R {0} = R e B = R >0. A é o grupo dos números reais não nulos com a operação de multiplicação, B é o grupo dos números reais positivos com a operação de multiplicação. Se trata de grupos abelianos! Seja f : A B definida por f(x) := x 2. Se trata de um homomorfismo pois B é abeliano, de fato f(xy) = (xy) 2 = xyxy = xxyy = x 2 y 2. O núcleo de f é dado pelos elementos x A tais que f(x) = 1, isto é, x 2 = 1, logo ker(f) = {1, 1}. Além disso, f é sobrejetiva pois se b B então b = f( b), logo Im(f) = B. O teorema de isomorfismo implica que A/{ 1, 1} = B, em outras palavras R /{ 1, 1} = R >0. A interpretação intuitiva é que {1, 1} representa o sinal de um número e se não tivesse o sinal todos os números seriam positivos (em algum sentido). Alguns exemplos de aplicação do teorema de isomorfismo. 1

2 1. O sinal sgn : S n {1, 1} é um homomorfismo cujo núcleo é A n, o grupo alternado. Como existem permutações pares e impares, sgn é sobrejetivo, logo, pelo teorema de isomorfismo, S n /A n = {1, 1} = C2. Observe que {1, 1} é isomorfo a C 2 = {1, x} (sendo x 2 = 1) porque C 2 {1, 1} que leva x k para ( 1) k é um isomorfismo (em geral se x e y são dois grupos cíclicos da mesma ordem então a função x y que leva x k para y k é um isomorfismo). 2. Seja C o corpo dos numeros complexos e seja S 1 := {a + ib C : a 2 + b 2 = 1} o círculo de centro 0 que passa por 1 = 1 + i0. Observe que se f(a + ib) = a 2 + b 2 então para x = a + ib, y = c + id temos f(xy) = f(x)f(y), de fato f(xy) = f((a + ib)(c + id)) = (ac bd) 2 + (ad + bc) 2, f(x)f(y) = (a 2 + b 2 )(c 2 + d 2 ) são iguais. Isso mostra que f respeita o produto então escolhendo bem o domínio e o codomínio de f conseguimos um homomorfismo de grupos multiplicativos. Seja f : C R >0, f(a + ib) := a 2 + b 2, sendo C o grupo multiplicativo dos números complexos não nulos e R >0 é o grupo multiplicativo dos números reais positivos. Observe que ker(f) = S 1. Além disso, f é sobrejetivo pois se α R >0 então f( α) = ( α) 2 = α. Pelo teorema de isomorfismo C /S 1 = R >0. A ideia geometrica é que dado g C e N = S 1, a classe lateral gn é o círculo de centro 0 e que passa por g, e entender o grupo quociente C /S 1 significa escolher de forma inteligente um representante de cada classe lateral. Tem um único número real positivo r que pertence a gn: escolhendo tal r como representante, rn = gn e o conjunto dos r forma exatamente R >0. Essa é a ideia geometrica do grupo quociente. Agora queremos fazer uma família de exemplos importantes. Sejam A, B dois grupos (notação multiplicativa), e seja A B (produto cartesiano) o conjunto dos pares ordenados (a, b) sendo que a A e b B. A B é um grupo (dito produto direto entre A e B) com a operação (a, b)(c, d) := (ac, bd). O elemento neutro é (1, 1) e o inverso de (a, b) é (a 1, b 1 ). Observe que A {1} = {(a, 1) : a A} é um subgrupo de A B. Vamos mostrar que ele é normal e que A B A {1} = B. Para fazer isso queremos construir um homomorfismo sobrejetivo A B B cujo núcleo seja H = A {1}. Seja f : A B B, (a, b) b. 2

3 Se trata de um homomorfismo pois f((a, b)(c, d)) = f((ac, bd)) = bd = f(a, b)f(c, d). Ele é sobrejetivo pois se b B logo f((1, b)) = b. É claro que ker(f) = H. Obtemos então pelo teorema de isomorfismo que A B A {1} = B. Lema (Produto direto interno). Sejam A, B subgrupos normais de um grupo G tais que AB = G e A B = {1}. Então G = A B. Demonstração. Seja f : A B G = AB definida por f((a, b)) = ab. Vamos mostrar que se trata de um isomorfismo de grupos. É claro que f é sobrejetiva. Agora, f((a, b)(c, d)) = f((ac, bd)) = acbd, f((a, b))f((c, d)) = abcd. Então para mostrar que f é um homomorfismo precisamos mostrar que se a, c A e b, d B então acbd = abcd (observe que isso é obvio se G é abeliano). Temos abcd = ac(c 1 bcb 1 )bd logo basta mostrar que c 1 bcb 1 = 1. Mas c A, b B e A, B são subgrupos normais, logo c 1 bc B e bcb 1 A, logo c 1 bcb 1 A B. Mas por hipótese A B = {1} logo c 1 bcb 1 = 1. Falta mostrar que f é injetivo, isto é, que ker(f) = {(1, 1)}. Seja (a, b) ker(f) e mostramos que (a, b) = (1, 1). Temos f((a, b)) = 1, isto é, ab = 1, então b = a 1. Mas B b = a 1 A, logo b = a 1 A B = {1}, isto é, b = a 1 = 1 e isso implica (a, b) = (1, 1). Se A, B são subgrupos de G com AB = G e A G, A B = {1} dizemos que G = AB = A B é o produto semidireto interno entre A e B. O segundo teorema de isomorfismo Sejam G um grupo, H um subgrupo de G e N um subgrupo normal de G. Seja HN = {hn : h H, n N}. Então HN G, H N H e H/H N = HN/N. Primeiro vamos mostrar que HN G. É claro que 1 HN pois 1 = 1 1 e 1 H e 1 N. Sejam h 1 n 1, h 2 n 2 HN (sendo h 1, h 2 H e n 1, n 2 N). Mostramos que h 1 n 1 h 2 n 2 HN. Temos h 1 n 1 h 2 n 2 = h 1 h 2 (h 1 2 n 1h 2 )n 2 HN pois h 1 h 2 H e h 1 2 n 1h 2 N (sendo N normal). Agora seja hn HN e mostramos que (hn) 1 HN. Temos (hn) 1 = n 1 h 1 = h 1 hn 1 h 1 HN pois h 1 H e hn 1 h 1 N. Agora mostramos que H/H N = HN/N usando o teorema de isomorfismo. Seja H HN/N a função definida por f(h) := hn. Observe que hn HN/N pois h HN (de fato, h = h 1 e h H, 1 N), logo f é bem definida. Mostramos que é um homomorfismo sobrejetivo e que ker(f) = H N. 3

4 f é um homomorfismo: por definição de produto no grupo quociente, f(h 1 h 2 ) = h 1 h 2 N = h 1 Nh 2 N = f(h 1 )f(h 2 ). f é sobrejetivo: se hnn é um qualquer elemento de HN/N (sendo h H e n N) então como nn = N (pois n N) temos hnn = hn logo hnn = f(h). ker(f) = H N: O núcleo de f consiste dos h H tais que f(h) = N, isto é, hn = N, isto é, h N. Então ker(f) = {h H : h N} = H N. Vamos mostrar que se H S n então H A n ou então H A n = 1 2 H, ou seja ou todas as permutações em H são pares ou exatamente a metade das permutações em H são pares. Para fazer isso observe que sendo A n S n temos A n HA n S n. Segue que 2 = S n : A n = S n A n = S n HA n HA n = S n : HA n HA n : A n, A n e sendo 2 um número primo e S n : HA n e HA n : A n números inteiros obtemos que S n : HA n = 1 ou HA n : A n = 1, ou seja S n = HA n ou HA n = A n. No segundo caso H A n logo todas as permutações em H são pares. Agora suponha HA n = S n. Pelo segundo teorema de isomorfismo C 2 = Sn /A n = HA n /A n = H/H An logo H/H A n = 2 ou seja H / H A n = 2. Isso implica H A n = H /2. Seja G um grupo e seja X G. O subgrupo de G gerado por X é X := H, X H G a interseção dos subgrupos de G contendo X. Se trata do menor subgrupo de G que contem X. Se X = {x} então X é também indicado por x (grupo cíclico gerado por x), mas cuidado: se X 2 em geral X não é cíclico. Por exemplo o grupo simétrico S 3 é gerado por X = {(12), (123)}. De fato se H S 3 contem X então pelo teorema de Lagrange 2 divide H porque (12) H tem ordem 2, e 3 divide H porque (123) H tem ordem 3, logo 6 divide H e sendo S 3 = 6 concluimos que H = S 3. O grupo alternado A 3 é gerado por (123), ou seja A 3 = {1, (123), (132)} = (123). Lema. A n é gerado pelos 3-cíclos. Demonstração. Seja X o conjunto de todos os 3-cíclos em S n. Obviamente X A n, isso implica X A n. Agora seja g A n, mostraremos que g X. Sendo g um produto de um número par de transposições (2-cíclos) para mostrar que g X basta mostrar que cada produto de duas transposições é um produto de 3-cíclos. Isso é verdade porque (ij)(ik) = (ikj) e (ik)(jl) = (ijl)(ikl). 4

5 Exercícios. 1. Seja G um grupo e seja X G tal que se x X e g G então gxg 1 X. Mostre que X G. 2. Seja G um grupo e seja H G. Mostre que se G : H = 2 então H G. 3. Seja G um grupo e seja H G. Mostre que se todo elemento de G H = {g G : g H} tem ordem 2 então H é abeliano, H G e G/H é abeliano. [Dica: dado g G H e h H temos g, gh G H logo g 2 = 1 e (gh) 2 = 1; mostre que H H, h h 1 é um homomorfismo.] 4. Seja H um subgrupo de um grupo finito G. Mostre que se G : H é um número primo então H é um subgrupo maximal de G, ou seja os únicos subgrupos K de G tais que H K G são H e G. 5. Seja f : A B um homomorfismo injetivo de grupos e seja x A. Mostre que o(x) = o(f(x)). 6. Sejam A, B subgrupos de um grupo G. Mostre que AB G se e somente se AB = BA. 7. Seja G um grupo e sejam A, B subgrupos normais de G tais que AB = G. Mostre que G/A B = G/A G/B. 8. Seja p um primo e seja X = {x 2 : x Z/pZ}. Mostre que X = (p + 1)/2. [Dica: H = X {0} é um subgrupo do grupo multiplicativo G = Z/pZ {0}. Considere f : G H, f(x) = x 2.] 9. Mostre que R/Z = {a + ib C : a 2 + b 2 = 1}. 10. Seja G = U(Z/23Z). Encontre g G tal que G = g. 11. Sejam a, n inteiros positivos coprimos. Mostre que a ϕ(n) 1 mod n (teorema de Euler-Fermat). [Dica: use o fato que U(Z/nZ) = ϕ(n) e o teorema de Lagrange.] 12. Mostre o terceiro teorema de isomorfismo: Se A B G são subgrupos normais de um grupo G então G/A B/A = G/B. 5