Topologia Geral. Ofelia Alas Lúcia Junqueira Marcelo Dias Passos Artur Tomita

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1 Topologia Geral Ofelia Alas Lúcia Junqueira Marcelo Dias Passos Artur Tomita

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3 Sumário Capítulo 1. Alguns conceitos básicos 5 Capítulo 2. Espaços topológicos 9 1. Espaços topológicos. Conjuntos abertos e fechados Subespaços Vizinhanças. Bases Fecho, interior e fronteira. Conjuntos densos Axiomas de enumerabilidade Funções contínuas Axiomas de separação Homeomorfismos. Funções abertas e fechadas. Topologia mais fina. Topologias geradas por funções 32 Capítulo 3. Operações sobre espaços topológicos Subespaços Produtos Cartesianos Espaços quocientes e funções quocientes 47 Capítulo 4. Espaços conexos 51 Capítulo 5. Espaços compactos Introdução Espaços compactos O Teorema de Tychonoff Espaços localmente compactos Espaços de Lindelöf Espaços enumeravelmente compactos Famílias localmente finitas e paracompacidade 72 Capítulo 6. Espaços métricos Espaços métricos Espaços métricos compactos e completos 81 3

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5 CAPíTULO 1 Alguns conceitos básicos Neste capítulo introduziremos alguns conceitos básicos e notações da teoria dos conjuntos que serão usados ao longo desta apostila. Definição 1.1. Sejam A e B dois conjuntos. (i) Diremos que A é um subconjunto de B, denotado por A B, se todo elemento de A é também um elemento de B. (ii) Diremos que A e B são iguais, A = B, se A B e B A. (iii) O conjunto vazio é o único conjunto que não possui nenhum elemento e será denotado por. E 1.1. Diga precisamente o que significa dois conjuntos serem diferentes. E 1.2. Mostre que, para todo conjunto A, A. Usaremos o símbolo para indicar que um elemento pertence a um conjunto. Note que este elemento pode ser um outro conjunto. Por exemplo, se X é um conjunto, {X} é o conjunto cujo único elemento é X. É importante não confundir com. A B diz que todos elementos de A também são elementos de B, ou seja, se x A, então x B. E 1.3. Diga se cada afirmação abaixo é verdadeira ou falsa e justifique: (a) { }; (b) ; (c) ; (d) {a} {{a}}; (e) a {b} se e só se a = b. Definição 1.2. O conjunto de todos os subconjuntos de um conjunto X é chamado conjunto das partes de X. Este conjunto será denotado por P(X). E 1.4. Como é o conjunto P({1, 2, 3})? E 1.5. Quantos elementos você acha que tem o conjunto P({1, 2, 3, 4})? E o conjunto P({1, 2,...,n}), onde n é um número inteiro? E 1.6. Diga se cada uma das afirmações abaixo é verdadeira ou falsa e justifique: (a) x X se e só se {x} P(X). (b) {x} P(X) se e só se {x} X. (c) {x} P(X) se e só se x X. E 1.7. Mostre que P(X) e que X P(X), para todo conjunto X. 5

6 6 1. ALGUNS CONCEITOS BÁSICOS É comum vermos famílias de conjuntos que estejam indexadas pelos inteiros positivos, algo do tipo {A 1,A 2,A 3,...}. Mas podemos também usar outros conjuntos (que serão chamados conjuntos de índices) para indexar famílias de conjuntos. Por exemplo, o conjunto {]p,q[ R : p,q Q} é o conjunto de todos intervalos abertos de R com extremos racionais. E 1.8. Escreva explicitamente os conjuntos: (a) {2n + 1 : n N, 1 n < 9}; (b) {2r : r R}; (c) {rq : r R e q Q}; (d) { n : n,m N,n 0}; m (e) {i : i {j}}. Recordamos que dados dois conjuntos A e B, a união de A e B, denotada por A B, é o conjunto {x : x A ou x B}. A intersecção de A e B, denotada por A B, é o conjunto {x : x A e x B}. De modo geral podemos definir: Definição 1.3. Seja C = {A i : i I} uma família de conjuntos. (i) A união de C é o conjunto {x : x A i para algum i I}. Este conjunto será denotado por C, ou {A i : i I}, ou ainda i I A i. (ii) Se C, a intersecção de C é o conjunto {x : x A i para todo i I}. Este conjunto será denotado por C, ou {A i : i I}, ou ainda i I A i. Quando tomamos uma união (ou intersecção) de uma coleção finita de conjuntos, é comum dizermos simplesmente união (ou intersecção) finita. E 1.9. Mostre que para quaisquer conjuntos X e Y : (a) {X} = X; (b) {X,Y } = X Y ; (c) {X,Y } = X Y (d) P(X) = X; (e) P(X) = ; (f) X {Y } se e só se Y X. E Em cada um dos ítens abaixo, diga quem é C e C: (a) C = {[ n,n] : n N,n 0}. (b) C = {( 1, 1 ) : n N,n 0}. n n (c) C = {( 1 + 1, 1 1 ) : n N,n 0}. n n (d) C = {(a,b) : a,b Q,a < b}. (e) C = {[r, + ) : r R}. E Seja C = {A i : i I} uma família de conjuntos. Mostre que C A i C, para todo i I.

7 1. ALGUNS CONCEITOS BÁSICOS 7 Definição 1.4. Sejam A e B dois conjuntos. O complemento de A em relação a B, denotado por B \ A, é o conjunto {x : x B e x / A}. E Prove as seguintes afirmações abaixo: (a) Se A X, então X \ (X \ A) = A. (b) Se A,B X, então A B se e só se X \ A X \ B. (c) Se A,B X, então A = B se e só se X \ A = X \ B. (d) Se A,B X, então A \ B = A (X \ B). Teorema 1.5. (Leis de De Morgan) Seja C uma família de subconjuntos de X. Então (1) X \ C = {X \ A : A C} e (2) X \ C = {X \ A : A C}. Demonstração: Exercício. E Sejam A e B dois conjuntos. Mostre que: (a) A B = A se e só se A B. (b) A B = A se e só se B A. (c) A B = A e A B = A se e só se A = B. E Se A B e C D são conjuntos, mostre que: (a) A C B D e (b) A C B D. E (Propriedade distributiva) Seja C uma coleção de subconjuntos de um conjunto X e B X. Mostre que: (a) B ( C) = {B A : A C} e (b) B ( C) = {B A : A C}. E Seja C uma coleção não vazia de subconjuntos de X e B X. Mostre que: (a) B ( C) = {B A : A C} e (b) B ( C) = {B A : A C} E Dados A = {x P(N) : 2 x} {x P(N) : 3 x} e B = {x P(N) : pelo menos um divisor de 6 pertence a x}. (a) Mostre que se {x i : i I} é uma família qualquer de elementos de A, então {x i : i I} é um elemento de A. O mesmo vale para intersecção? (b) Determine A B e A B. E Escreva explicitamente o conjunto P(X), onde X é: (a) X = {, { }}; (b) X = {3, {1, 4}}; (c) X = {a, {a}, {a, {a}}}; (d) X = P({a}); (e) X = P({a,b}). E Mostre ou dê contraexemplo: (a) A (B \ C) = (A B) \ C; (b) A B C se e só se A B e A C; (c) A B C implica A B ou A C; (d) B C C implica que B A ou C A. (e) A B = A e A B = A se e só se A = B.

8 8 1. ALGUNS CONCEITOS BÁSICOS E Se A e B são dois conjuntos, a diferença simétrica entre A e B é o conjunto A B = (A \ B) (B \ A). Mostre: (a) A B = B A; (b) (A B) C = A (B C); (c) A (B C) = (A B) (A C); (d) A B = (A B) (A B).

9 CAPíTULO 2 Espaços topológicos O objetivo deste capítulo é introduzir várias noções básicas de topologia. 1. Espaços topológicos. Conjuntos abertos e fechados. Definição 2.1. Um espaço topológico é um par (X, T ), onde X é um conjunto e T é uma coleção de subconjuntos de X satisfazendo as seguintes propriedades: (1) O conjunto vazio e o conjunto X são elementos de T. (2) A intersecção finita (não vazia) de elementos T é um elemento de T. (3) A união qualquer de elementos de T é um elemento de T. Neste caso dizemos que T é uma topologia sobre X (ou que X está munido da topologia T ) e que X é o suporte do espaço topológico (X, T ). Os elementos de X são chamados de pontos do espaço. Por abuso de notação, quando estiver claro qual é a topologia, denotaremos o espaço topológico simplesmente por X. Definição 2.2. Os elementos de T são chamados de abertos de X. Como consequência da definição de topologia temos que os abertos satisfazem as seguintes propriedades: (i) o conjunto vazio e o espaço todo são conjuntos abertos; (ii) a intersecção finita de abertos é aberta; (iii) a união qualquer de abertos é um aberto. Definição 2.3. Seja X um espaço topológico. Dizemos que um subconjunto F de X é fechado se e somente se X \ F é um conjunto aberto. Usando as leis de De Morgan, podemos ver que as seguintes propriedades estão satisfeitas: Proposição 2.4. Para um espaço topológico X temos: (1) O espaço todo e o conjunto vazio são subconjuntos fechados. (2) A união finita de conjuntos fechados é um conjunto fechado. (3) A intersecção de qualquer coleção de conjuntos fechados é um conjunto fechado. Demonstração: Vamos verificar, por exemplo, que (3) está satisfeita. Seja F uma coleção de subconjuntos fechados de X. Por definição, para mostrar que {F : F F} = F é um conjunto fechado precisamos mostrar que X \ F é um conjunto aberto. Usando as leis de De Morgan, temos X \ {F : F F} = {X \ F : F F}. Então, como para cada F F, X \ F é um conjunto aberto, temos que X \ {F F} é uma união de abertos, e portanto é um aberto pela propriedade (3). Antes de prosseguirmos com a teoria, daremos vários exemplos de espaços topológicos: 9

10 10 2. ESPAÇOS TOPOLÓGICOS Exemplo 2.5. Topologia discreta. Seja X um conjunto e seja T a coleção de todos os subconjuntos de X, i.e. T = P(X). É facil verificar que T satisfaz as condições (1)-(3) da definição 2.1. Dizemos que X está munido da topologia discreta ou que (X, T ) é o espaço topológico discreto. Exemplo 2.6. Topologia caótica. Seja X um conjunto e seja T o conjunto cujos dois únicos elementos são e X, i.e. T = {,X}. Claramente T é uma topologia sobre X. Note que se X é um conjunto contendo mais de um ponto, então a topologia discreta e a topologia caótica são distintas. Note, também, que qualquer topologia sobre X contém a topologia caótica e está contida na topologia discreta. E 2.1. Seja X = {0, 1}. Quais são as possíveis topologias em X? Passaremos agora a alguns exemplos menos triviais de espaços topológicos: Exemplo 2.7. Topologia cofinita. Seja X um conjunto infinito e defina T = { } {V X : X \ V é finito }. E 2.2. Mostre que T do exemplo anterior é uma topologia sobre o conjunto X. E 2.3. Se X um conjunto infinito e T = { } {V X : V é finito }, então T é uma topologia sobre X? Justifique. Para o próximo exemplo precisaremos da seguinte definição: Definição 2.8. Um conjunto X é enumerável se X é finito ou se existe um bijeção entre X e o conjunto dos números naturais N. Exemplo 2.9. Topologia coenumerável. Seja X um conjunto não-enumerável e defina T = { } {V X : X \ V é enumerável }. E 2.4. Mostre que a topologia T do exemplo anterior é uma topologia sobre o conjunto X. E 2.5. Seja X um conjunto não-enumerável e seja T 1 a topologia discreta sobre X, T 2 a topologia caótica sobre X, T 3 a topologia cofinita sobre X e T 4 a topologia coenumerável sobre X. Compare as topologias duas a duas com relação a inclusão. Exemplo A reta real com a topologia usual. Vamos denotar este espaço topológico por R. Um subconjunto A será aberto nesta topologia se e somente se para cada ponto x de A existe um ǫ > 0 tal que ]x ǫ,x + ǫ[ está contido em A. E 2.6. Verifique que a topologia usual é de fato uma topologia sobre a reta real. O próximo espaço topológico aparecerá diversas vezes como contra-exemplo: Exemplo A reta de Sorgenfrey A reta de Sorgenfrey tem como suporte o conjunto dos números reais, mas a topologia é diferente da topologia usual da reta. Um subconjunto A nesta topologia será aberto se e somente se para cada ponto x em A existe um ǫ > 0 tal que [x,x + ǫ[ está contido em A. Iremos denotar a reta de Sorgenfrey por R S.

11 1. ESPAÇOS TOPOLÓGICOS. CONJUNTOS ABERTOS E FECHADOS. 11 E 2.7. Verifique que de fato foi definida uma topologia no exemplo acima. Verifique que se A é um conjunto aberto na topologia usual da reta, então A é um conjunto aberto na topologia de Sorgenfrey. Segue abaixo mais exercícios sobre conjuntos abertos e conjuntos fechados. E 2.8. Mostre que se X é um espaço topológico com a topologia discreta, então todo subconjunto de X é aberto e fechado. No exercício anterior vimos um exemplo de espaço topológico no qual todos os subconjuntos são abertos e fechados. De modo geral, em um espaço topológico qualquer podemos ter subconjuntos abertos e fechados (por exemplo o ), conjuntos que são só abertos ou só fechados e podem existir conjuntos que não são nem abertos e nem fechados. Um conjunto que é aberto e fechado ao mesmo tempo será chamado de conjunto abertofechado. E 2.9. Mostre que os intervalos da forma [a,b[ e da forma ]a,b] (a,b reais, a < b) não são nem abertos e nem fechados em R. E Considere os espaços topológicos (R, I), (R, D), (R, T ), (R, F) e R S, onde I é a topologia caótica, D é a topologia discreta, T é a topologia usual em R e F é a topologia cofinita. (a) Se x R, {x} é aberto em algum desses espaços? Quais? (b) Se x R, {x} é fechado em algum desses espaços? Quais? (c) Em quais desses espaços o conjunto ]a,b[ é aberto? Em quais é fechado? E os conjuntos [a, b[, ]a, b] e [a, b]? (d) O conjunto {x R : x 1 } é aberto em algum desses espaços? É fechado? n (e) O conjunto {x R : x 1 e x 0} é aberto em algum desses espaços? É fechado? n E Seja X um conjunto e T 1 e T 2 duas topologias distintas sobre X. (a) T 1 T 2 é uma topologia sobre X? Justifique. (b) T 1 T 2 é uma topologia sobre X? Justifique Espaços métricos. Uma classe especial de espaços topológicos são os espaços métricos. Vamos primeiro recordar a definição destes espaços: Definição Um espaço métrico é um par (M,d), onde M é um conjunto e d é uma função do conjunto M M em R + (o conjunto dos reais não negativos) satisfazendo as seguintes propriedades: (M1) para todos x, y M, d(x,y) = 0 se e somente se x = y. (M2) para todos x, y M temos que d(x, y) = d(y, x). (M3) para todos x, y e z em M, d(x,z) d(x,y) + d(y,z). Lembramos que a propriedade (M3) é chamada de desigualdade triangular. A função d é chamada de métrica ou distância sobre M. Por abuso de notação, quando estiver claro qual a métrica, denotaremos o espaço métrico simplesmente por M.

12 12 2. ESPAÇOS TOPOLÓGICOS Definição Seja (M,d) um espaço métrico, x um elemento de M e ǫ um número real positivo. Chamamos de bola aberta de centro x e raio ǫ ao conjunto { y M : d(x, y) < ǫ}, o qual denotaremos por B d (x,ǫ) (ou simplesmente por B(x,ǫ) quando estiver claro qual é a métrica utilizada). Chamamos de bola fechada de centro x e raio ǫ ao conjunto {y M : d(x,y) ǫ}, ao qual denotaremos por B d [x,ǫ] (ou simplesmente por B[x,ǫ] quando não houver ambiguidade). Lembramos que a reta real é um espaço métrico com a seguinte distância: para todos x,y R, d(x,y) = x y, onde é a função módulo. Nesta métrica, B(x,ǫ) =]x ǫ,x+ǫ[. Assim como no caso da topologia usual na reta, para cada espaço métrico podemos definir uma topologia utilizando as bolas abertas: Definição Seja (M,d) um espaço métrico e T d a coleção de subconjuntos de M definida por: T d = {U M : para cada x U existe ǫ > 0 tal que B(x,ǫ) U}. Dizemos que T d é a topologia associada a métrica d. E Verifique que de fato T d é uma topologia sobre M. Mostre que toda bola aberta é um conjunto aberto do espaço (M, T d ). E Seja X o espaço topológico associado a uma métrica d.verifique que as bolas fechadas são conjuntos fechados. E Seja (M,d) um espaço métrico. Defina as funções d e d do seguinte modo: para cada x,y M, d (x,y) = min{d(x,y), 1} e d (x,y) = 2d(x,y). Verifique que d e d são métricas sobre M e que T d = T d = T d. Observação Note que nem toda topologia está associada a uma métrica. Um exemplo simples é a topologia caótica num conjunto com mais de um ponto. Aliás, como veremos futuramente, o caso em que a topologia está associada a uma métrica é um caso especial. E Seja X um conjunto e defina uma métrica d em X por d(x,y) = 0 se x = y e d(x,y) = 1 se x y. Mostre que a topologia associada a métrica d é a topologia discreta. E Considere as seguintes métricas em R 2 : d((x 1,y 1 ), (x 2,y 2 )) = (x 1 x 2 ) 2 + (y 1 y 2 ) 2 (métrica euclidiana), d ((x 1,y 1 ), (x 2,y 2 )) = x 1 x 2 + y 1 y 2 e d ((x 1,y 1 ), (x 2,y 2 )) = max{ x 1 x 2, y 1 y 2 }, para todos (x 1,y 1 ), (x 2,y 2 ) R 2. Verifique se as topologias associadas a essas métricas são iguais ou não. 2. Subespaços Lema Se (X, T ) é um espaço topológico e Y um subconjunto de X, então a família O = {Y U : U T } forma uma topologia sobre Y.

13 3. VIZINHANÇAS. BASES 13 Demonstração: Exercício. Podemos então dar a seguinte definição: Definição Seja (X, T ) um espaço topológico e Y um subconjunto de X. Se O = {Y U : U T }, então dizemos que (Y, O) é um subespaço de X, e que O é a topologia induzida por X. Definição Dado um subespaço Y de um espaço topológico X, diremos que Y é um subespaço fechado se Y é um subconjunto fechado de X. De forma análoga, definimos subespaço aberto. E Seja X um espaço topológico infinito com a topologia cofinita. Se Y é um subconjunto infinito de X, como é a topologia em Y induzida por X? Proposição Seja X um espaço topológico e M um subespaço de X. Um conjunto A M é fechado em M se e somente se existe um fechado F de X tal que F M = A. Demonstração: ( ) Se A M é fechado em M, então M \ A é aberto em M, portanto existe um aberto U em X tal que U M = M \ A. Então F = X \ U é um fechado tal que F M = (X \ U) M = M \ (M U) = M \ (M \ A) = A. ( ) Seja F um fechado de X. Então X \ F é um aberto de X. Logo, M (X \ F) = M \(M F) é um aberto de M. Portanto, M \(M \(M F)) = M F é um fechado de M. Fica a cargo do leitor verificar a seguinte proposição: Proposição Seja X um espaço topológico e M um subespaço de X. Então, dado um subconjunto L de M, as topologias induzidas em L por X e M coincidem. Proposição Seja (M,d) um espaço métrico e Y um subconjunto de M. Se restringirmos a métrica d ao conjunto Y Y, temos uma métrica sobre Y. Podemos então definir em Y a topologia induzida por essa métrica. Essa topologia coincide com a topologia de subespaço induzida por M. Demonstração: Exercício. Exemplo O intervalo [0, 1] com a topologia induzida pela métrica usual é um subespaço fechado da reta real R com a topologia usual. Note que o intervalo ]a, 1] (onde 0 < a < 1) é aberto em [0, 1] (verifique!), mas não é aberto em R. E Mostre que Z, o conjunto dos números inteiros, é um subespaço discreto de R, isto é, a topologia induzida por R é a topologia discreta. Mostre que o subespaço A = { 1 n : n N \ {0}} também é discreto. A {0} também é discreto? 3. Vizinhanças. Bases Definição Seja X um espaço topológico e x um elemento de X. Dizemos que um subconjunto A de X é uma vizinhança de x se existe um aberto U tal que x U A. Quando a vizinhança é um conjunto aberto, dizemos que é uma vizinhança aberta. Observação Segue imediatamente da definição, que todo aberto é uma vizinhança dos seus pontos, ou seja, se U é aberto e x U, então U é uma vizinhança de x.

14 14 2. ESPAÇOS TOPOLÓGICOS Definição Seja X um espaço topológico e seja x um ponto de X. Dizemos que uma coleção V x de subconjuntos de X é um sistema fundamental de vizinhanças de x se (i) cada V em V x é uma vizinhança de x; (ii) cada vizinhança de x contém algum elemento de V x. Definição Se V x é um sistema fundamental de vizinhanças de um ponto x em X e se os elementos de V x são conjuntos abertos, então dizemos que V x é uma base (local) para o ponto x ou que é um sistema fundamental de vizinhanças abertas de x. O próximo resultado pode ser muito útil para mostrarmos que um conjunto é aberto: Proposição As seguintes afirmações são equivalentes: (i) U é um conjunto aberto; (ii) para cada x U existe uma vizinhança V x de x contida em U; (iii) para cada x U existe um aberto V x contido em U e tal que x V x. Demonstração: O fato que (i) implica (ii) segue da observação feita acima: se U é aberto e x U, então U é uma vizinhança de x e U U. Suponha agora que vale (ii). Fixe x U e uma vizinhança V x de x contida em U. Pela difinição de vizinhaça temos que existe um aberto W x tal que x W x V x e então temos (iii). Resta apenas mostrar que (iii) implica (i). Seja U satisfazendo (iii). Para cada x U fixe um aberto V x U tal que x V x. Teremos então que U = {V x : x U}. Logo U é aberto, pois é uma união de abertos. Corolário Para cada x em um espaço topológico X, seja V x o conjunto de todas as vizinhanças de x. Então U X é aberto se e somente se U V x para todo x U. Demonstração: Exercício. Os seguintes exemplos são deixados como exercício: Exemplo Seja X o espaço topológico associado a uma métrica d. Então para cada x X, o conjunto das bolas de centro x e raio 1, onde n = 1, 2,..., forma uma base de n abertos para o ponto x. Exemplo Seja x um ponto da reta de Sorgenfrey. Então, o conjunto dos intervalos semi-abertos [x,x + 1 [, onde n = 1, 2,..., forma uma base de abertos para o ponto x. n Definição Seja (X, T ) um espaço topológico. Dizemos que uma coleção B de conjuntos abertos de X é uma base de abertos para o espaço topológico X se todo aberto pode ser escrito como a união de uma subcoleção de elementos de B, i.e., para todo V T, existe B B tal que V = B. Proposição Seja B uma coleção de abertos de X. Então B é uma base da topologia se e somente se, para todo aberto V e todo ponto x de V, existe U B tal que x U V. Demonstração: Exercício. E Seja X um espaço topológico associado a uma métrica d. Mostre que o conjunto de todas as bolas abertas forma uma base para X.

15 3. VIZINHANÇAS. BASES 15 E Mostre que cada intervalo semi-aberto [x,x+ǫ[ é um conjunto aberto na reta de Sorgenfrey. Mostre também que o conjunto dos intervalos semi-abertos forma uma base de abertos para este espaço. E (a) Mostre que se B é uma base de um espaço topológico X, então, para cada x em X, a família B(x) = {B B : x B} é uma base para o ponto x. (b) Mostre também que, por outro lado, se para cada x X, B(x) é uma base para o ponto x, então a união B = {B(x) : x X} é uma base para X. Diversas propriedades de um espaço topológico que estudaremos dependerão apenas de uma base de abertos ao invés do conjunto de todos os abertos. Em particular, no caso de propriedades envolvendo um ponto x, muitas delas dependerão apenas de uma base de abertos no ponto x. Por isso, em muitos casos, fica mais conveniente (e mais claro) definir a topologia em função de uma base de abertos ou dos sistemas fundamentais de vizinhanças de cada ponto do espaço. Vejamos primeiro quais propriedades são necessárias para que possamos definir uma topologia a partir de uma família de subconjuntos de modo que esta família seja uma base. Definição Seja B uma coleção de subconjuntos de um conjunto X e seja B a coleção de todos os subconjuntos de X que são uniões de elementos de B (inclusive a união vazia). Se B é uma topologia sobre X, então B é chamada de topologia gerada por B, e B é uma base para a topologia B. Olhando a definição acima é natural perguntar quais propriedades a coleção B precisa ter para que possamos garantir que B é uma topologia sobre X. O exercício seguinte mostra que essa pergunta faz sentindo, ou seja, não é verdade que B é sempre uma topologia: E Seja B a coleção de todos os intervalos fechados [a,b] da reta real tais que a < b. Mostre que a coleção B, de todas as possíveis uniões de elementos de B, não é uma topologia sobre os reais. A seguinte proposição nos dá uma condição nescessária e suficiente sobre a coleção B para que B seja uma topologia: Proposição Sejam X um conjunto e B uma coleção de subconjuntos de X satisfazendo as seguintes propriedades: (1) Para cada U 1,U 2 B e cada x U 1 U 2, existe U B tal que x U U 1 U 2. (2) Para cada x X, existe U B tal que x U. Então, a coleção B, formada pelas uniões de subcoleções de B é uma topologia sobre X e B é uma base para o espaço topológico (X, B ). Demonstração: Para verificarmos que B, basta tomar a união da subcoleção vazia. Temos que X é um elemento de B, pois, X = B, por (2). Vamos mostrar apenas que a intersecção de dois elementos de B está em B (para intersecção finita qualquer é análogo ou segue por indução). Sejam U,V B e x U V qualquer. Pela definição de B, temos que existe B B tal que U = B. Como x U, temos que existe U B tal que x U U. Como B B, U B. Analogamente, existe V B tal que x V V. Sendo assim, x U V, e por (1), posso fixar W x B tal que x W x U V. Portanto, W x U V. Podemos então, para todo x U V achar W x

16 16 2. ESPAÇOS TOPOLÓGICOS coma acima e assim U V = {W x : x U V }. Como {W x : x U V } B, temos que U V B. Falta apenas verificarmos que a união qualquer de elementos de B é um elemento de B. Seja U uma subcoleção de B. Para cada U U, existe uma subcoleção B(U) de B tal que U = B(U). Então U = {B(U) : U U}. Basta agora notar que {B(U) : U U} é uma subcoleção de B. Pela definição de base temos que B é uma base para a topologia B. Observação Se X é um espaço topológico e B é uma família de subconjuntos abertos de X satisfazendo as propriedades (1) e (2) da proposição acima, então a topologia gerada por B não precisa ser a topologia original, porém, claramente qualquer aberto da topologia gerada por B será um aberto da topologia original. E Seja X um conjunto não enumerável e fixemos um ponto x 0 de X. Seja B = {{x} : x X \ {x 0 }} {A X : x 0 A e X \ A é enumerável }. Verifique que B satisfaz as condições (1) e (2) da proposição Veremos agora como definir a topologia a partir dos sitemas fundamentais de vizinhanças de cada ponto. Usando a difinição de vizinhança é fácil mostrarmos: Proposição Seja X um espaço topoloógico e para cada x X denotemos por V x o conjunto de todas as vizinhançasde x. Então vale que: (I) x V, para todo V V x ; (II) se V 1 e V 2 pertencem a V x, então V 1 V 2 também pertence a V x ; (III) se V V x e V U X, então U V x ; (IV) se V V x, então existe U V x tal que U V e U V y, para todo y U. Teorema Seja X um conjunto não vazio e suponhamos que para cada x X está associado um conjunto V x de subcojuntos de X de modo que as condições I, II, III e IV acima estejam verificadas. Então existe uma única topologia T sobre X de modo que cada V x seja o conjunto das vizinhanças de x em (X, T ). Demonstração: Com efeito, seja T = {U X : U V x para todo x U}. Então T é uma topologia sobre X. É imediato que o e X pertencem a T e que a intersecção finita e a reunião qualquer de elementos de T pertence a T. Note que o conjunto U em IV será aberto em T. Em vista disso, em (X, T ) cada V x será o conjunto de todas as vizinhanças de x, para todo x X. Mostremos agora a unicidade da topologia. Suponhamos que T fosse uma topologia sobre X tal que V x é o conjunto das vizinhanças de x em (X, T ), para todo x X. Então, se U T, U V x, para todo x U e U pertenceria a T. Por outro lado, se U T, então U V x, para todo x U e U seria aberto em T. Exemplo O plano de Niemytzki. Seja L o conjunto de todos os pontos do plano com a segunda coordenada maior ou igual a zero, ou seja, L = { (x,y) R 2 : y 0 }. Denotemos por L 1 a reta y = 0 e seja L 2 = L \ L 1. Para cada x L 1 e r > 0, seja U(x,r) o conjunto de todos os pontos em L no interior da bola de raio r tangente a L 1 no ponto

17 4. FECHO, INTERIOR E FRONTEIRA. CONJUNTOS DENSOS 17 x e seja U i (x) = U(x, 1 i ) {x} para i = 1, 2,... Para cada x L 2 e r > 0, seja V (x,r) o conjunto de todos os pontos de L dentro do círculo de raio r e centro x e seja U i (x) = V (x, 1 i ) para i = 1, 2... Para cada x L, seja B x = {U i (x)} i=1. É fácil verificar que a coleção B = {B x : x L} satisfaz as condições 1) e 2) da proposição O conjunto L 1 é fechado com respeito à topologia gerada pelo sistema de vizinhanças abertas {B x } x L. O espaço L é chamado de Plano de Niemytzki. E Mostre que no exemplo acima, L 1 com a topologia de subespaço é discreto. 4. Fecho, interior e fronteira. Conjuntos densos Seja (X, T ) um espaço topológico. Definição Um ponto x A é ponto interior de A se existe V T tal que x V A. Ao conjunto dos pontos interiores chamamos interior de A e denotamos por Å. E Mostre que A é aberto se e somente se Å = A. Definição Um ponto x X é ponto aderente (ou ponto de clausura, ou ponto de fecho) de A se para todo V T tal que x V tem-se que V A. Definição Um ponto x X é ponto de acumulação de A se para todo V T tal que x V tem-se (V \{x}) A. Ao conjunto dos pontos de acumulação de A chamamos derivado de A. E Mostre que nas definições de ponto aderente e ponto de acumulação poderíamos substituir para todo V T por para todo V calv x, onde calv x é um sistema fundamental de vizinhanças de x qualquer. E Seja X = {1, 2, 3} e T = {, {1}, {1, 2},X}. Mostre que 3 é ponto de acumulação de {1} e de {1, 2} e que 1 não é ponto de acumulação de {1, 2}. E Sobre o conjunto dos números reais R considere a topologia T abaixo definida: um subconjunto V de R pertence a T se e somente se para cada x V \ Q existe ǫ x > 0 tal que ]x ǫ x,x + ǫ x [ V. Mostre que qualquer que seja A R, A não tem pontos de acumulação racionais. Por outro lado, se x R é ponto de acumulação de um subconjunto A nesta topologia T, também será ponto de acumulação de A na topologia habitual de R. E Na reta de Sorgenfrey mostre que 1 não é ponto de acumulação de [0, 1]; no entanto, é ponto de acumulação na reta real. Veremos agora o conceito de fecho de um conjunto, que está relacionado com o conceito de ponto aderência, como veremos a seguir. Definição Seja (X, T ) um espaço topológico e seja A um subconjunto de X. O fecho (ou aderência ou clausura) de A é a intersecção de todos os fechados que contém A e será denotado por A T ou cl T (A). Quando estiver claro qual a topologia, denotaremos por A X ou cl X (A), ou simplesmente por A ou cl(a). O operador fecho é a função que associa a cada subconjunto de X o seu fecho. Como vimos anteriormente, a interseçcão de conjuntos fechados é um conjunto fechado. Segue então da definição de fecho a seguinte proposição, cuja demonstração fica como exercício.

18 18 2. ESPAÇOS TOPOLÓGICOS Proposição Seja X um espaço topológico e A X. Então: (i) A é um conjunto fechado; (ii) A A; e (iii) A é o menor fechado contendo A, i.e., se F é conjunto fechado e A F, então A F. A seguinte caracterização de fecho é muito útil e relaciona fecho com pontos aderentes: Proposição Para cada A X as seguintes condições são equivalentes: (i) o ponto x pertence a A. (ii) para cada vizinhança V de x temos V A. (iii) para todo sistema fundamental de vizinhanças V x do ponto x, para cada V V x temos que V A. Demonstração: Para mostrar que (i) (ii), suponhamos que x A e seja V uma vizinhança de x. Pela definição de vizinhança, existe um aberto U tal que x U V. Como V A U A, basta mostrar que U A. De fato, se U A =, então A X \U. O conjunto U é aberto, logo, o conjunto X \ U é fechado por definição. Portanto, pela proposição acima, temos que A X \ U, ou seja, U A =, contradição, pois x U A. Com isto mostramos que U A. É fácil ver que (ii) (iii). Só resta mostrar que (iii) (i). Suponha que (i) não esteja satisfeita, ou seja, que x / A. Então, pela definição de fecho, existe um fechado F contendo A tal que x / F. Logo X \F é uma vizinhança aberta de x e portanto existe V V x tal que V X \F, ou seja, V F =. Como A F, isso implica que V A =, contradizendo (iii). Corolário O fecho de um conjunto A é o cojunto dos pontos aderentes de A. E Calcule os fechos dos seguintes subconjuntos da reta dos reais com relação às diferentes topologias dadas no exercício 2.10: (a) (0, 1); (b) [0, 1]; (c) [0, 1); (d) (0, 1]; (e) {0}; (f) Q; (g) { 1 n : n Z \ {0}}; (h). E Sejam X = {a,b,c,d} e T = {,X, {a}, {a,b}, {c,d}, {a,c,d}} uma topologia sobre X. Calcule {a, d} e {b, d}. E Mostre que um conjunto é fechado se, se somente se, ele é igual ao seu fecho E Mostre que o interior de um conjunto A é o maior aberto (com relação a inclusão) que está contido em A. E Mostre que x é um ponto de acumulação de A se e somente se x A \ {x}. Definição Um ponto x X é ponto de fronteira de A se para todo V T tal que x V tem-se V A e V (X \ A). Ao conjunto dos pontos de fronteira de A chamamos fronteira de A e denotamos por Fr(A).

19 4. FECHO, INTERIOR E FRONTEIRA. CONJUNTOS DENSOS 19 E Mostre que: (i) Fr(A) = A X \ A e (ii) A é aberto-fechado se e somente se Fr(A) =. No próximo teorema temos as principais propriedades do operador fecho: Teorema O operador fecho em um espaço topológico X tem as seguintes propriedades: (1) =. (2) (A) = A. (3) Para todo A,B X, temos A B = A B. Demonstração: As propriedades (1) e (2) seguem diretamente da definição de fecho e do fato de A ser um conjunto fechado. Vamos mostrar agora que a propriedade (3) é válida. : Pela proposição 2.43, temos que A A B A B, e que isso implica que A A B. Analogamente, temos que B A B e portanto temos que A B A B. : Por outro lado, temos que A A e B B, e portanto, temos que A B A B. Como o último conjunto é uma união de dois conjuntos fechados, ele é um conjunto fechado. Utilizando a proposição 2.43 novamente, segue então que A B A B. Com isto, mostramos que a igualdade em (3) está satisfeita. E É verdade que para quaisquer subconjuntos A e B de um espaço topológico X (i)a B = A B e (ii) A \ B = A \ B? Prove ou dê contraexemplos. E Seja X um espaço topológico e M um subespaço de X. Mostre que se A é um subconjunto de M, então A M = A X M. Definição Seja X um espaço topológico. Dizemos que um subconjunto D de X é denso em X se o fecho de D é igual a X. Claramente X é denso em X. Vamos dar alguns outros exemplos menos triviais: Exemplo O conjunto Q dos racionais é um conjunto denso na reta de Sorgenfrey. Exemplo Se X é um espaço discreto, então X é o único subconjunto denso de X. Exemplo Se X é um espaço caótico, então qualquer subconjunto não-vazio é denso em X. E Mostre as afirmações feitas nos exemplos acima. E Mostre que as seguintes afirmações são equivalentes para um espaço topológico X: (i) D é denso em X; (ii) D U, para todo aberto não-vazio U em X; (iii) para qualquer base B de X, D B, para todo B B. E (i) Seja X um conjunto infinito com a topologia cofinita. Mostre que um subconjunto D de X é denso se, e somente se, D é infinito. (ii) Seja X um conjunto não-enumerável com a topologia coenumerável. Mostre que um subconjunto D de X é denso se, e somente se, D é não-enumerável.

20 20 2. ESPAÇOS TOPOLÓGICOS E Mostre que D é denso em R se, e somente se, D é denso em R S. E Seja X um espaço topológico e D X. Prove que D é denso em X se, e somente se, D V = V, para todo aberto V. 5. Axiomas de enumerabilidade. Definição Seja X um espaço topológico. (a) Se cada ponto do espaço X possui um sistema fundamental de vizinhanças que é enumerável, dizemos que ele satisfaz o primeiro axioma de enumerabilidade. (b) Quando X possui uma base enumerável, dizemos que X satisfaz o segundo axioma de enumerabilidade. (c) Dizemos que X é separável ou que satisfaz o terceiro axioma de enumerabilidade, se possui um conjunto denso enumerável. Exemplo Seja (X,d) um espaço métrico. Para todo ponto x de X, temos que {B d (x, 1 ) : n = 1, 2,...} é um sistema fundamental de vizinhanças de x, logo X satisfaz o n primeiro axioma de enumerabilidade. Exemplo Considere a reta real com a topologia usual. Facilmente tem-se que Q é denso em R, logo a reta real é separável. Além disso, {]r 1,r + 1 [: r Q,n = 1, 2,...} é n n uma base que é enumerável. Portanto R satisfaz também o primeiro e o segundo axioma de enumerabilidade. Note que {]a,b[: a < b e a,b Q} também é uma base enumerável de R. Exemplo Seja X um conjunto não-enumerável com a topologia cofinita. Então nenhum ponto de X tem sistema fundamental de vizinhanças enumerável. E Mostre a afirmação do exemplo anterior. X é separável? O que acontece quando X é um conjunto enumerável? E Considere o espaço definido no exercício Prove que somente o ponto x 0 não tem sistema fundamental de vizinhanças que seja enumerável. E Prove que todo espaço que satisfaz o segundo axioma de enumerabilidade satisfaz também o primeiro. E Mostre que se X é enumerável e satisfaz o primeiro axioma de enumerabilidade, então X também satisfaz o segundo axioma da enumerabilidade. Proposição Todo espaço topológico X satisfazendo o segundo axioma de enumerabilidade é separável. Demonstração: Por hipótese, existe uma base de abertos B de X que é enumerável. Podemos assumir, sem perda de generalidade, que cada elemento de B é não vazio. Logo, para cada U B, podemos fixar um ponto x U pertencente a U. Claramente D = {x U : U B} é um subconjunto enumerável de X e, para cada aberto U B, x U U D. Logo, segue do exercício 2.39, que D é um subconjunto denso. Veremos agora que a recíproca da Proposição 2.56 vale no caso dos espaços métricos: Proposição Seja X um espaço topológico associado a uma métrica d. Então X satisfaz o segundo axioma de enumerabilidade se e somente se X é separável.

21 5. AXIOMAS DE ENUMERABILIDADE. 21 Demonstração: ( ) Segue da Proposição ( ) Suponhamos que X é separável e seja D um subconjunto enumerável denso de X. Vamos mostrar que a família B = {B d (x, 1 ) : x D e n = 1, 2,...} é uma base de abertos n de X. Seja y X e U uma vizinhança aberta de y. Como as bolas abertas de centro y formam uma base para o ponto y, existe um ǫ > 0 tal que B d (y,ǫ) U. Seja m um inteiro positivo tal que 2 < ǫ. Como D é denso, existe um ponto x D tal que x B m d(y, 1 ). m Como d(x,y) = d(y,x), temos que y B d (x, 1 ). Além disso, se z B m d(x, 1 ), então m d(y,z) d(y,x) + d(x,z) < < ǫ, ou seja z B m m d(y,ǫ). Logo B d (x, 1 ) B m d(y,ǫ). Então y B d (x, 1 ) B m d(y,ǫ) U. Como y e U eram arbitrários temos que B é uma base de abertos de X. Como B é enumerável (pois D é enumerável), temos que X satisfaz o segundo axioma de enumerabilidade. Vimos anteriormente que o conjunto dos racionais é denso na reta de Sorgenfrey e portanto ela é separável. Temos também que ela satisfaz o primeiro axioma de enumerabilidade pois, para cada x R S, a família {[x,x + 1 n [} n=1 é uma base enumerável para o ponto x. Veremos agora que a reta de Sorgenfrey não satisfaz o segundo axioma de enumerabilidade. Isto mostra que a proposição acima não vale para espaços topológicos arbitrários, mesmo que estes satisfaçam o primeiro axioma de enumerabilidade. Teorema A reta de Sorgenfrey não satisfaz o segundo axioma de enumerabilidade. Demonstração: Suponhamos por contradição que B seja uma base enumerável para R S. Como B é uma base, para cada x R S, podemos fixar um aberto U x B tal que x U x [x,x + 1[. Note que U x U y, sempre que x y. De fato, se x y, sem perda de generalidade, podemos assumir que x < y. Como U y [y,y + 1[, teremos que x / U y. Portanto, U x \ U y. Podemos então construir uma função injetora do conjunto dos reais no conjunto B, o que é uma contradição, pois não existe uma função injetora de um conjunto não enumerável num conjunto enumerável. Teorema Para um espaço topológico X satisfazendo o segundo axioma de enumerabilidade, cada base B contém uma subcoleção enumerável que forma uma base. Demonstração: Como X satisfaz o segundo axioma de enumerabilidade, podemos fixar uma base enumerável B 0 para X. Seja B uma base qualquer para X. Seja D o conjunto de todos os pares ordenados (U,V ) tais que U e V são elementos de B 0 e existe um aberto W B tal que U W V. Para cada par (U,V ) D, fixemos um aberto W(U,V ) B tal que U W(U,V ) V. Como D é enumerável, claramente a família W = {W(U,V ) : (U,V ) D} é um conjunto enumerável. Para terminarmos a demonstração, é suficiente mostrar que W é uma base de abertos para X. Seja x X e V uma vizinhança aberta de x. Como B 0 é uma base, existe V 0 B 0 tal que x V 0 V e como B é uma base, existe W 0 B tal que x W 0 V 0. Usando novamente que B 0 é uma base, temos que existe U 0 B 0 tal que x U 0 W 0 V 0. Portanto, (U 0,V 0 ) D e x U 0 W(U 0,V 0 ) V 0 V. Mostramos então que existe W W tal que x W V. Como x e V eram arbitrários, concluímos que W é uma base de X. Definição Uma sequência em X é uma enumeração {x n : n N} tal que x n X, para cada n N. Dizemos que uma sequência {x n : n N} converge para x, se, para cada vizinhança V de x, o conjunto {n N : x n / V } é finito.

22 22 2. ESPAÇOS TOPOLÓGICOS E Verifique que uma sequência {x n : n N} converge para x se, e somente se, para cada vizinhança V de x, existe n 0, tal que x n V, para todo n n 0. E Verifique que se X é a reta real, então a definição de convergência de sequências coincide com a definição dada nos cursos de Cálculo. E Seja X um espaço topológico que satisfaz o primeiro axioma de enumerabilidade. Mostre que, para cada ponto x X, existe uma base {B n : n N} no ponto x tal que B n+1 B n, para todo n N. Proposição Sejam X um espaço topológico que satisfaz o primeiro axioma de enumerabilidade e A um subconjunto de X. Mostre que, se x A, então existe uma sequência {x n : n N} em A (i.e., x n A, para todo n N) convergindo para x. Demonstração: Seja x A. Fixemos B = {B n : n N} uma base de abertos no ponto x dada pelo exercício anterior. Pela proposição 2.44, temos que B n A, sempre que n N. Fixemos x n B n A, para cada n N. Vejamos que {x n : n N} converge para x. Seja V uma vizinhança de x. Como B é base de abertos no ponto x, temos que B n0 V, para algum n 0 N. Logo x n B n B n0 V, para todo n n 0. E Mostre que a recíproca da proposição anterior vale, mesmo quando o espaço não satisfaz o primeiro axioma de enumerabilidade, ou seja, se A X e {x n : n N} é uma sequência em A convergindo para x, então x A. 6. Funções contínuas. A noção de função contínua de R em R ou em espaços métricos é definida em termos de ǫ s e δ s, logo, pode parecer que esta noção não tenha um análogo em espaços topológicos. Vamos definir agora a continuidade de uma função para espaços topológicos arbitrários e veremos que esta noção é equivalente à noção já conhecida para espaço topológico associado a uma métrica. Definição Sejam X e Y espaços topológicos e seja f uma função de X em Y. Dizemos que f é contínua no ponto x se para cada vizinhança V de f(x) existe uma vizinhança U de x tal que f(u) V. Dizemos que f é contínua (em um conjunto A) se f é contínua em todo ponto x X (em todo x A). A demonstração da seguinte proposição fica como exercício: Proposição Sejam X e Y espaços topológicos e seja f uma função de X em Y. São equivalentes: (i) f é contínua em x; (ii) para cada vizinhança aberta V de f(x) existe uma vizinhança aberta U de x tal que f(u) V ; (iii) se B x e D f(x) são bases para os pontos x e f(x), respectivamente, então, para cada V D f(x) existe um U B x tal que f(u) V. O próximo exemplo mostra que a definição de continuidade, dada acima, coincide com a de espaços métricos, quando X é um espaço métrico.

23 6. FUNÇÕES CONTÍNUAS. 23 Exemplo Sejam (X,d) e (Y,d ) dois espaços métricos e sejam T e T as topologias associadas à d e d respectivamente. Para cada x X, seja B x o conjunto de todas as bolas abertas de centro x e para cada y Y, seja D y o conjunto de todas as bolas abertas de centro y. Pela equivalência da proposição anterior, uma função f de X em Y é uma função contínua do espaço topológico (X, T ) no espaço topológico (Y, T ) se e somente se para cada x X e para cada bola de centro f(x) e raio ǫ > 0, existe uma bola de centro x e raio δ > 0 tal que f(b d (x,δ)) B d (f(x),ǫ). Isto equivale a dizer que para cada ponto x X e para cada ǫ > 0 existe δ > 0 tal que para cada y X se d(x,y) < δ então d (f(x),f(y)) < ǫ. Proposição Seja (X, T ) e (Y, T ) dois espaços topológicos. Uma função f de X em Y é contínua se e somente se f 1 (U) T, para cada U T, isto é, a imagem inversa de um aberto de Y é um conjunto aberto de X. Demonstração: ( ) Seja U T. Dado x f 1 (U), temos que existe V x T, vizinhança de x, tal que f(v x ) U, já que f é contínua em x. Portanto V x f 1 f(v x ) f 1 (U) e então segue que f 1 (U) = {V x : x f 1 (U)}. Logo f 1 (U) T. ( ) Sejam x X e U T, tais que f(x) U. Então x f 1 (U) e f 1 (U) T. Logo f 1 (U) é um vizinhança aberta de x e f(f 1 (U)) U. A proposição acima nos fornece uma equivalência de continuidade que em geral é mais fácil de lembrar e que é frequentemente usada. Note que ela trata diretamente da continuidade global, ou seja não precisamos primerio definir a continuidade num ponto particular para depois definir a continuidade da função no domínio. Proposição Para uma função f de um espaço topológico X num espaço topológico Y, as seguintes condições são equivalentes: (i) a função f é contínua. (ii) a imagem inversa de cada aberto em uma base B de Y é aberta em X. (iii) a imagem inversa de cada fechado de Y é um fechado de X. E Demonstre a proposição anterior. E Seja f : X Y. Mostre que as seguintes afirmações são equivalentes: (i) a função f é contínua; (ii) para cada A X temos f(a) f(a); (iii) para cada B Y temos f 1 (B) f 1 (B). Exemplo Se X é um espaço topológico munido da topologia discreta então para todo espaço topológico Y, qualquer função f de X em Y é contínua. Exemplo Se Y é um espaço topológico munido da topologia caótica, então para cada espaço topológico X, toda função f de X em Y é contínua. Exemplo Seja R a reta real com a topologia usual e R S a reta de Sorgenfrey. Defina a função f de R S em R por f(x) = [x], para todo x R S, onde [x] é o maior inteiro x. Temos então que f é uma função contínua. E Mostre que a função f do exemplo acima é contínua. E Seja X o espaço definido no exercício 2.23 e f uma função contínua qualquer de X em R. Mostre que existe um subconjunto enumerável X 0 de X tal que para cada

24 24 2. ESPAÇOS TOPOLÓGICOS x X \ X 0, temos f(x) = f(x 0 ), ou seja, a menos de um conjunto enumerável, a função f é igual a função constante de valor f(x 0 ). (Dica: A imagem inversa por f de um ponto é fechada) Teorema Seja f uma função contínua sobrejetora de um espaço topológico X em um espaço topológico Y. Então se D é um subconjunto denso de X, o conjunto f(d) é um subconjunto denso de Y. Demonstração: Seja D um subconjunto denso de X. Para mostrarmos que f(d) é denso em Y, é suficiente mostrar que para cada aberto não vazio V de Y, o conjunto f(d) V é não vazio. Seja V um aberto não vazio de Y. Como f é contínua, temos que f 1 (V ) é um aberto de X. Temos ainda que f 1 (V ), pois f é sobrejetora. Portanto, como D é denso em X, temos que existe x D f 1 (V ). Então f(x) f(d) f(f 1 (V )) f(d) V e portanto f(d) V é não vazio. Como V era um aberto arbitrário de Y, f(d) é denso em Y. Corolário Seja f uma função contínua sobrejetora de X em Y. Se X é separável, então Y também é separável. Note que o mesmo tipo de resultado não é verdade em geral para os outros axiomas de enumerabilidade. Tente achar exemplos. E Sejam T 1 e T 2 duas topologias em um conjunto X. Mostre que a função identidade id X (x) = x do espaço topológico (X, T 1 ) no espaço topológico (X, T 2 ) é contínua se, e somente se, T 2 T 1. E Mostre que a composta de funções contínuas é contínua. E Seja X um conjunto infinito com a topologia cofinita. Mostre que se f é uma função sobrejetora de X em X, então f é contínua se, e só se, f 1 ({x}) é finito, para todo x X. 7. Axiomas de separação. A definição de espaço topológico é muito geral e isso leva a ter poucos resultados de interesse que valem para todos os espaços topológicos. Por outro lado, assumir que o espaço topológico está associado a uma métrica, por exemplo, é uma restrição muito grande. Os axiomas de separação consideram diferentes possibilidades para separar pontos e fechados. Definição Um espaço topológico X é chamado de espaço T 0 se para cada dois pontos x 1,x 2 X distintos, existe um aberto que contém apenas um desses pontos. A topologia caótica num conjunto com mais de um ponto é um exemplo de uma topologia que não é T 0. E Seja X um espaço topológico. Mostre que X é T 0 se, e somente se, para cada x,y X distintos e para cada B x e B y, bases de abertos dos pontos x e y respectivamente, temos B x B y. E Mostre que um espaço topológico X é T 0 se, e somente se, {x} = {y}, sempre que x y.

25 7. AXIOMAS DE SEPARAÇÃO. 25 Definição Seja X um espaço topológico. Dizemos que X é um espaço T 1 se para cada dois pontos x,y X distintos, existe uma vizinhança de x que não contém y. Note que na definição de espaço T 0 era suficiente que um dos pontos tivesse uma vizinhança que não contivesse o outro ponto. No caso de espaço T 1 cada um dos dois pontos deve ter uma vizinhança que não contém o outro ponto. Exemplo Seja X um conjunto com mais de um ponto e fixemos um ponto x 0 em X. Para cada x X \ {x 0 } definimos B x = {{x}} e para o ponto x 0, definimos B x0 = {X}. Temos que {B x } x X satisfaz as propriedades (1) e (2) da proposição 2.34 e portanto gera uma topologia em X. Na topologia gerada pela família {B x } x X, o espaço X é T 0 mas não é T 1. E Mostre as afirmações feitas no exemplo acima. A seguinte caracterização de espaços T 1 é muito usada: Proposição Seja X um espaço topológico. Então as seguintes afirmações são equivalentes: (i) X é um espaço T 1. (ii) para cada ponto x de X, o conjunto {x} é fechado. Demonstração: (i) (ii). Seja x um ponto de X e vamos mostrar que X \ {x} é um conjunto aberto. De fato, se y X \ {x}, então y é um ponto distinto de x. Pela definição de T 1, temos que existe um aberto U que contém y mas não contém x. Logo, y U X \ {x}. Como o ponto y era arbitrário, o conjunto X \ {x} é aberto e portanto {x} é fechado. (ii) (i). Sejam x e y dois pontos distintos de X. Como {x} e {y} são fechados, X \{x} e X \ {y} são conjuntos abertos. Portanto existe uma vizinhança de x não contendo y e existe uma vizinhança de y não contendo x. E Seja X um espaço topológico. Mostre que as seguintes afirmações são equivalentes: (i) X é um espaço T 1. (ii) para cada ponto x de X existe uma família U x de vizinhanças abertas de x tal que Ux = {x}. (iii) para cada ponto x de X e para cada base B x de x, temos B x = {x}. Definição Um espaço topológico X é T 2, ou de Hausdorff, se para cada par de pontos distintos x,y X existem vizinhanças U de x e V de y tais que U V =. É fácil ver que todo espaç de Hausdorff é T 1. Exemplo Seja X um conjunto infinito com a topologia cofinita. exercício verificar que T é uma topologia T 1 que não é T 2. Fica como E Verifique que um espaço topológico X é de Hausdorff se, e somente se, para cada ponto x de X, a intersecção de todas as vizinhanças fechadas de x é o conjunto {x}. E Seja X um espaço métrico com a topologia associada a métrica. Mostre que X é um espaço T 2.