Grupos livres e apresentações, grupos hopfianos e grupos residualmente finitos

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1 Grupos livres e apresentações, grupos hopfianos e grupos residualmente finitos Bárbara Lopes Amaral Professora Ana Cristina Vieira Tópicos Especiais em Teoria de Grupos Belo orizonte Dezembro de 2010

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3 Grupos livres e apresentações Um dos exemplos mais comuns de uma apresetação é o grupo diedral: D 3 = a, b a 2 = 1, b 3 = 1, a 1 ba = b 1. Os elementos a, b são chamados geradores e as equações r 1 : a 2 = 1, r 2 : b 3 = 1, a 1 bab 1 = 1 são chamadas relações definidoras. Queremos generalizar esse exemplo e mostrar que podemos fazer uma construção parecida para todos os grupos. Grupos livres Definição: Um subconjunto S de um grupo F é chamado uma base livre para F se toda função φ : S G de S em um grupo G qualquer pode ser estendida a um único homomorfismo φ : F G. S i φ F φ G Um grupo F é chamado livre se existe uma base livre para F. Exemplo: O grupo cíclico infinito C = {..., a 2, a 1, 1, a, a 2,...} é um grupo livre com bases {a} e {a 1 }. Dado um grupo G e uma função φ : S = {a} G a g podemos definir a extensão de φ a C fazendo φ(a i ) = g i e essa é a única extensão que é um homomorfismo. Para mostrar que {a 1 } também é uma 1

4 base procedemos de maneira semelhante. Se um subconjunto S C possui um elemento da forma a n com n ±1, então ele não pode ser base. De fato, uma função qualquer φ : S C a n a não pode ser estendida a um homorfismo φ uma vez que se φ(a) = x teríamos x n = a, o que não acontece para nenhum x C. Teorema: Dado um conjunto qualquer S existe um grupo livre F S para o qual S é uma base livre. Demonstração: Para construir esse grupo tomamos o conjunto W de palavras em S S 1 em que S 1 = {s 1 s S}. Definimos que (s 1 ) 1 = s. Duas palavras em W são equivalentes se uma pode ser levada à outra eliminando-se subpalavras da forma aa 1, a S S 1. Temos então uma relação de equivalência em W e definimos F S = W/, que é um grupo com a justaposição de palavras. Uma palavra em W é chamada reduzida se nenhuma eliminação de subpalavras do tipo aa 1 pode ser feita. Cada classe em F S possui uma única palavra reduzida. Vamos representar os elementos de F S utilizando as palavras reduzidas. Dada uma função φ : S G Podemos definir a extensão s φ(s). φ : F S G s ɛ 1 1 s ɛ s ɛn n φ(s 1 ) ɛ 1 φ(s 2 ) ɛ 2... φ(s n ) ɛn. em que ɛ i = ±1. Essa é a única maneira de obter um homomorfismo. Corolário: Todo grupo é o quociente de um grupo livre, ou seja, para todo grupo G existe um grupo livre F e um subgrupo normal N F tais que G = F/N. 2

5 Demostração: Basta fazer S = G na construção acima e considerar o homomorfismo ĩ : F G G que é a extensão da identidade i : G G. Esse homomorfismo é sobrejetivo e portanto G = F G /er( φ). Proposição: Se S é um subgrupo de G, S é a imagem da extensão φ : F S G da aplicação inclusão i : S G, denotada por I( φ). Demostração: Suponhamos que g S. Então g = s ɛ 1 1 s ɛ s ɛn n = φ(s 1 ) ɛ 1 φ(s 2 ) ɛ 2... φ(s n ) ɛn = φ(s 1 ) ɛ 1 φ(s2 ) ɛ 2... φ(s n ) ɛn = φ(s ɛ 1 1 s ɛ s ɛn n ) I( φ). Supondo que g I( φ) então g = φ(s ɛ 1 1 s ɛ s ɛn n ) e a mesma sequência de igualdades acima mostra que g S. Definição: O posto de um grupo livre é a cardinalidade de sua base livre S. Se G é um grupo qualquer, o posto de G é o posto do menor grupo livre F tal que existe uma aplicação sobrejetiva ϕ : F G. O posto de um grupo livre é tudo que precisamos saber para caracterizá-lo. Proposição: Sejam F 1 e F 2 dois grupos livres com bases S 1 e S 2. Então F 1 e F 2 são isomorfos se e somente se S 1 e S 2 têm a mesma cardinalidade. Demostração: Suponhamos que exista uma bijeção ψ : S 1 S 2. Podemos considerar ψ : S 1 F 2 e ψ 1 : S 2 F 1 que podem ser estendidas a homomorfismos ψ : F 1 F 2 e ψ 1 : F 2 F 1. Vamos mostrar que (ψ 1 ) = ( ψ) 1. Quando restrita a S 2, ψ ψ 1 : F 2 F 2 é a inclusão de S 2 em F 2. Como a identidade I : F 2 F 2 também é uma extensão dessa inclusão, temos pela unicidade que ψ ψ 1 = I. De maneira análoga provamos que ψ 1 ψ é a identidade em F 1. Logo F 1 e F 2 são isomorfos. Vamos mostrar agora que o grupo livre F determina a cardinalidade da base S. Seja N o subgrupo de F gerado por todos os quadrados. N é normal em F uma vez que f(f 2 1 f f 2 n)f 1 = ff 1 f 1 ff 1 f 1 ff 2 f 1 ff 2 f 1... ff n f 1 ff n f 1 = (ff 1 f 1 ) 2 (ff 2 f 1 ) 2... (ff n f 1 ) 2. O grupo quociente F/N é abeliano, pois todos os seus elementos tem ordem dois. Assim cada classe em F/N é determinada escolhendo um número finito 3

6 de elementos distintos de S, ou seja, um subconjunto finito de S. Desse modo, existe uma bijeção entre os elementos de F/N diferentes da identidade e o conjunto dos subconjuntos finitos de S. Logo a cardinalidade da base S é determinada unicamente pelo grupo F e dois grupos isomorfos devem possuir bases com a mesma cardinalidade. Teorema(Caracterização dos Grupos Livres): Seja G um grupo e S um subconjunto de G. Então G é um grupo livre com base S se e somente se valem: 1. S gera G; 2. Se w é uma palavra em S com w = 1, então w não é uma palavra reduzida. Demostração: Suponhamos que existe w = s ɛ 1 1 s ɛ s ɛn n reduzida tal que w = 1 em G. Seja i : S F S a inclusão. Essa aplicação não pode ser estendida a ĩ : G F S pois ĩ(w) deveria ser igual à identidade mas ĩ(w) = ĩ(s ɛ 1 1 s ɛ s ɛn n ) = i(s 1 ) ɛ 1 i(s 2 ) ɛ 2... i(s n ) ɛn = s ɛ 1 1 s ɛ s ɛn n que é diferente da identidade em F S pois w é uma palavra reduzida. Suponhamos agora que não exista tal w. Então a extensão da inclusão i : S G a F S é injetiva. Como S = G essa estensão também é sobrejetiva e portanto é um isomorfismo entre F S e G. Apresentação por geradores e relações A maneira como definimos o grupo diedral D 3 mostrada no primeiro exemplo da seção anterior é chamada uma apresentação para D 3. Queremos generalizar essa construção para outros grupos e estudar como podemos usar uma dada apresentação para obter informações sobre o grupo. A ideia é encontrarmos um conjunto de geradores para o grupo e um conjunto de relações entre esses geradores a partir das quais possamos obter toda a tabela de multiplicação. G = a 1, a 2,... u 1 = v 1, u 2 = v 2,..., G = a 1, a 2,... r 1 = 1, r 2 = 1,... em que r i = u i v 1 i. Definição: Uma apresentação P = S D é dada por um conjunto de geradores S e um conjunto de palavras em S S 1, chamadas relações de 4

7 definição. Um grupo é dito apresentado por P se é isomorfo ao quociente F S /N D, em que N D é o menor subgrupo normal de F S que contém D. Exemplos: 1. Grupo cíclico infinito: C = a, S = {a}, D =. 2. Grupo abeliano livre: a, b ab = ba. Cada elemento é representado por uma palavra da forma a i b j. 3. Grupo diedral D n = a, b a 2 = 1, b n = 1, a 1 ba = b Mostraremos em breve que a, b ababa = 1 é uma outra apresentação para C. Esse exemplo mostra que um grupo pode possuir várias apresentações diferentes. 5. Grupo trivial: a, b a 1 ba = b 2, b 1 ab = a 2. Para mostrar que o grupo dado pela apresentação acima é trivial usamos as relações mostradas na apresentação para ver que b 1 a 1 ba = b, a 1 b 1 ab = a. Assim ab = a 1 b 1 abb 1 a 1 ba = 1 e a = b 1. Substituindo nas relações temos b = b 2 e a = a 2 e portanto a = b = 1. Lema: Todo grupo finito possui uma apresentação finita (ou seja, em que S é um conjunto finito). Dada uma apresentação S D de um grupo G queremos saber quais palavras de F S são iguais à identidade em G. Teorema (Caracterização de palavras triviais): Seja G = S D Então w = 1 em G se e somente se em F S, em que cada r i D. w = u 1 r 1 u 1 1 u 2 r 2 u u k r k u 1 k Demostração: Basta mostrarmos que w N D se e somente se é dessa forma. Como N D é um subgrupo normal que contém as palavras r i, claramente todas as palavras dessa forma estão em N D. Por outro lado, é fácil mostrar que o conjunto de todas as palavras dessa forma é um subgrupo normal que 5

8 contém as palavras r i, já que o produto de palavras dessa forma também o é e que v(u 1 r 1 u 1 1 u 2 r 2 u u k r k u 1 k )v 1 = (vu 1 )r 1 (vu 1 ) 1 (vu 2 )r 2 (vu 2 ) 1... (vu k )r k (vu k ) 1. Como N D é o menor subgrupo com essas propriedades, temos o desejado. omomorfismos Queremos saber quando uma função f : S, em que é um grupo, pode ser estendida a um homomorfismo φ : G = S D. Como G = F S /N D, isso acontece quando N D ker f, em que f é a extensão de f a F S. Como S é um conjunto de geradores é claro que a extensão é única. Teorema: Seja G = S D e f : S uma função de S em um grupo. Então f se estende a um homomorfismo φ : G se e somente se f(r) = 1 r D, em que f : F S é a extensão de f a F S. Exemplo: G = a, b ababa = 1 e C = t, o grupo cíclico infinito. A função de {t} em G definida por φ(t) = ab se estende a um homomorfismo de C em G, uma vez que {t} é base livre de C. A função de {a, b} em C definida por ψ(a) = t 2 e ψ(b) = t 3 se estente a um homomorfismo de G em C, uma vez que ψ(ababa) = t 2 t 3 t 2 t 3 t 2 = 1. É fácil mostrar que esses homomorfismos são isomorfismos inversos já que ψ(φ(t)) = ψ(a)ψ(b) = t φ(ψ(a)) = (ab) 2 = a, φ(ψ(b)) = (ab) 3 = b. Logo G é uma outra apresentação do grupo C. Proposição: Seja G = S D uma apresentação de G e seja E um conjunto de palavras em F S. Então o grupo apresentado por S D E é um quociente de G e todo quociente de G é isomorfo a um quociente dessa forma. Demostração: As afirmações seguem do fato de que N D N E = N D E e de que G/ N D N E = (G/N D ) /N E. 6

9 Construção de novos grupos Produto direto Uma maneira conhecida de construirmos um novo grupo a partir de dois grupos e é através do produto direto. é um grupo com a operação (h 1, k 1 )(h 2, k 2 ) = (h 1 h 2, k 1 k 2 ). Se os grupos são dados por apresentações = S D, = T E, temos que, considerando S e T disjuntos, é isomorfo ao grupo apresentado da seguinte forma: G = S, T D, E, st = ts s S, t T. Os elementos de S comutam com os elementos de T, e por isso qualquer elemento de G pode ser escrito na forma s 1 s 2... s m t 1 t 2... t n, s i S, t j T. Para mostrar que G é isomorfo a definimos a função φ : S T s (s, 1), t (1, t). Para que φ possa ser estentida a um homomorfismo devemos verificar se φ(r) = 1 r D E. Essas igualdades são verificadas, uma vez que φ(r) = (r, 1) = (1, 1), se r D e φ(r) = (1, r) = (1, 1), se r E. Além disso, se φ(s 1 s 2... s m t 1 t 2... t n ) = (s 1 s 2... s m, t 1 t 2... t n ) = (1, 1) então s 1 s 2... s m = 1, t 1 t 2... t n = 1 o que implica que s 1 s 2... s m N D e t 1 t 2... t n N E e portanto s 1 s 2... s m t 1 t 2... t n N D E. Logo φ é inejtiva. Como φ é claramente sobrejetiva, temos um isomorfismo entre G e, como queríamos mostrar. Outra definição do produto direto: Um grupo G é dito o produto direto de dois grupos e se existem homomorfismos p : G e p : G tais que para todo grupo G e homomorfismos α : G e β : G existe um único homomorfismo γ : G G tal que α = p γ e β = p γ. α G β γ p G p. 7

10 satisfaz a propriedade acima, com p (h, k) = h, p (h, k) = k e γ(h, k) = α(h)β(k). Proposição: O produto direto como definido acima é único a menos de isomorfismo. Demosntração: Suponhamos que G 1 e G 2 sejam dois grupos que satisfaçam as condições da definição. G α γ 1 β p1 p G 1 1 Consideremos G = G 2 e α = p 2 e β = p2 G α γ 2 β p2 p G 2 2 no primeiro diagrama. G 2 p 2 γ 1 p 2 p1 p G 1 1 e G = G 1 e α = p 1 e β = p1 no segundo diagrama G 1 p 1 γ 2 p 1. p2 p G 2 2 Obtemos assim homomorfismos γ 1 : G 2 G 1 e γ 2 : G 1 G 2. Vamos mostrar que eles são isomorfismos inversos. De fato, concatenando os diagramas acima temos G 1 p 1 γ 2 p 1 p2 G 2 p 2 p 1 γ 1 p 1 G 1 G 1 p 1 γ1 γ 2 p 1 p1 p G 1 1. Como a identidade de G 1 também faz o último diagrama comutar, temos pela unicidade que γ 1 γ 2 = id G1. De maneira análoga mostramos que γ 2 γ 1 = id G2, o que mostra que G 1 e G 2 são isomorfos. 8

11 Produto Livre Definição: Um grupo L é dito o produto livre de dois grupos e se existem homomorfismos i : L e i : L tais que para todo par de homomorfismos α : G e β : G, sendo G um grupo qualquer, existe um único homomorfismo γ : L G tal que α = γ i e β = γ i. α i G γ L β. i Proposição: O produto livre é único a menos de isomorfismo. Demosntração: A demosntração é semelhante à que fizemos para o produto direto. Supondo que L 1 e L 2 satisfazem a propriedade acima, construimos o diagrama L 1 i 1 γ 2 i 1 i2 i L 2 2 L 1 i 1 γ2 γ 1 i 1. i 1 γ 1 i 1 L 1 i1 i L 1 1 Novamente pela unicidade temos que γ 2 γ 1 = id G1. De maneira análoga mostramos que γ 1 γ 1 = id G2 o que mostra que L 1 e L 2 são isomorfos. Apresentação para o produto livre: Se = S D e = T E então = S, T D, E. i e i são os homomorfismos induzidos pelas inclusões de geradores. Dados α e β, temos γ(s) = α(s) s S e γ(t) = β(t) t T, o que define um homomorfismo uma vez que as relações de definição são preservadas. Teorema( Forma normal): Todo elemento de é igual a uma única expressão do tipo h 1 k 1... h n k n, em que algum h i ou k i pode não aparecer no início ou no final, com h i 1 em e k i 1 em, ou seja, se então m = n e h i = h i e k i = k i i. h 1 k 1... h n k n = h 1k 1... h mk m 9

12 Teorema (Caracterização de produtos livres): G é o produto livre dos seus subgrupos e se e somente se valem 1. e geram G, ou seja, todo g G é da forma h 1 k 1... h n k n ; 2. Se h 1 k 1... h n k n = 1 em G então para algum i h i = 1 ou k i = 1 em G. Exemplo: = a a 2 = 1 e = b b 3 = 1 = a, b a 2 = 1, b 3 = 1. Apesar de ser um grupo gerado por dois elementos de ordem finita, G não é finito e possui elementos de ordem infinita. De fato o elemento ab tem ordem infinita, uma vez que se (ab) n = abab... ab = 1 teríamos elo teorema acima a = 1 ou b = 1 o que não é verdade. Teorema: Em um produto livre, todo elemento de ordem finita é conjugado a um elemento de ou de. Se e são não triviais, possui elementos de ordem infinita. De fato, toda palavra alternada reduzida de comprimento par tem ordem infinita. Teorema:. O posto do produto livre é a soma dos postos de e 10

13 Grupos opfianos e residualmente finitos Definição: Um grupo é chamado hopfiano se dado um quociente de G por um subgrupo normal N temos G/N = G N = 1. Equivalentemente, G é hopfiano se todo homomorfismo sobrejetivo de G em G é um isomorfismo. Exemplos: Todo grupo finito é hopfiano. De fato, se G é finito e N é um grupo normal não trivial temos que G/N = G / N de modo que G/N tem menos elementos que G. Um grupo livre com base infinita não é hopfiano. Para vermos isso, tomamos um conjunto enumerável {α i } i N de elementos da base. Podemos definir um homomorfismo φ de G sobre G fazendo φ(α 1 ) = 1, φ(α i ) = α i 1 se i 1 e φ(β) = β se β é um elemento da base diferente dos α i. Definição : Seja P uma propriedade de grupos. Dizemos que G é residualmente P se para cada g 1 em G existe um subgrupo normal N, com g / N tal que G/N possui a propriedade P. Equivalentemente, G é residualmente P se para todo g 1 em G existe um grupo G com a propriedade P e um homomorfismo sobrejetivo φ : G G com φ(g) 1. Exemplo: C = {..., a 2, a 1, 1, a, a 2,...}, grupo cíclico infinito, é residualmente finito. Seja a n 1 C. O grupo C/ a 2n é finito e a n 1. 11

14 Proposição : O produto direto de dois grupos residualmente P é residualmente P. Demonstração: Suponhamos que e sejam residualmente P. Dado (h, k) 1 temos h 1 ou k 1. Se h 1 existe um subgrupo N tal que /N é residualmente P e h 1 em /N. Tomamos N, que é normal em, e então (h, k) 1 em ( )/(N ) = /N. Procedemos de maneira análoga se k 1. Proposição Se um grupo é residualmente abeliano então ele é abeliano. Demonstração: Suponhamos G não abeliano. Então existem x, y G tais que xyx 1 y 1 1. Se G for residualmente abeliano deve existir um N G tal que G/N é abeliano e xyx 1 y 1 = xȳ x 1 ȳ 1 1, o que é uma contradição. Proposição Se um grupo é residualmente residualmente P então ele é residualmente P. Demonstração: Se G é residualmente residualmente P então para cada x G existe um homomorfismo sobrejetivo de φ : G G 1 com φ(x) 1 em que G 1 é residualmente P. Como φ(x) 1, existe um homomorfismo sobrejetivo ψ : G 1 G 2 com ψ(φ(x)) 1 em que G 2 é P. Logo ψ φ é um homomorfismo sobrejetivo de G sobre um grupo P com ψ φ(x) 1 o que mostra que G é residualmente P. Queremos estudar grupos residualmente finitos e sua conexão com grupos hopfianos. Vamos precisar de alguns resultados sobre subgrupos de índice finito, que serão apresentados a seguir. Lema: Seja G um grupo e e subgrupos de G com índice finito. Então também possui índice finito. Demonstração: Definimos φ : G/( ) G/ G/ g( ) (g, g). φ está bem definida pois se g( ) = g ( ) então g 1 g e portanto g = g e g = g. Além disso, φ é injetiva, pois se (g, g) = 12

15 (1, 1) então g e g de modo que g( ) = 1. Dessa maneira construímos uma função injetiva do conjunto de classes laterais de no conjunto finito G/ G/ o que mostra que tem índice finito. Lema: Seja G um grupo e um subgrupo de G com índice finito. Então contém um subgrupo N que é normal em G e que também possui índice finito. Demonstração: Basta tomarmos N = g G gg 1. A interseção é finita uma vez que tem índice finito. Lema: Se G é um grupo finitamente gerado e 1 k então existe um número finito de subgrupos de G com índice k. Demonstração: Suponhamos que s 1,..., s n sejam geradores de G. Seja um subgrupo de índice k. Podemos definir uma ação de G no conjunto das classes laterias C = {, x 1,..., x k }. Desse modo, a cada g G está associada uma permutação P (g) de C. Como s 1,..., s n geram G e P (g 1 g 2 ) = P (g 1 )P (g 2 ), P (g) é completamente definida se soubermos P (s 1 ),..., P (s n ). Por outro lado, h se e somente se P (h) fixa. Assim se soubermos P (s 1 ),..., P (s n ) sabemos quais permutações fixam e portanto sabemos qual é o subgrupo. Como temos um número finito de escolhas para P (s 1 ),..., P (s n ), temos um número finito de possibilidades para, de modo que o número de subgrupos de índice k é finito. Lema: Se existe um subgrupo de índice finito com g / então existe um quociente G/N finito em que g 1. Demonstração: Basta tomar N igual ao subgrupo normal de índice finito contido em. O fato de N ter índice finito garante que G/N é finito. Lema: Um grupo G é residualmente finito se e somente se a interseção de todos os subgrupos de índice finito é trivial. Demonstração: Se G/N é finito então N tem índice finito. Se G é residualmente finito, para cada g 1 existe um subgrupo normal N g com g / N g. Logo a interseção de todos os grupos N g é trivial e como a interseção de todos os subgrupos de índice finito está contida nela, também deve ser 13

16 trivial. Se G não é residualmente finito, então existe algum g 1 G tal que g N para todo N normal de índice finito. Como todo subgrupo de índice finito contém um subgrupo normal de índice finito, g. Logo g está na interseção de todos os subgrupos de índice finito. Teorema: Se e são residualmente finitos então também é. Demonstração: Primeiro observamos que podemos reduzir ao caso em que e são finitos. De fato, se w = h 1 k 1 h 2 k 2... h n k n 1 é uma palavra reduzida então podemos tomar N de índice finito em tal que h i / N i e M de ínidice finito em tal que k i / i. A classe w é uma palavra reduzida em /N /M e tem o mesmo comprimento e portanto é diferente da identidade. /N e /M são finitos, e se mostrarmos que /N /M é residualmente finito também será. Vamos agora mostrar que o produto livre de grupos finitos é residualmente finito. Seja w = h 1 k 1 h 2 k 2... h n k n 1 palavra reduzida de tamanho n e Ω n o conjunto de todas as palavras de tamanho até n, que é finito. Vamos definir uma ação de em Ω n. Se u é uma palavra de comprimento menor que n definimos h u = hu (justaposição de palavras) e se u tem comprimento m definimos h u = u. De maneira análoga definimos uma ação de em Ω n. Sabemos que uma ação de um grupo em um conjunto gera um homomorfismo entre esse grupo e o grupo de permutações do conjunto. Desse modo temos dois homomorfismos α : S Ωn e β : S Ωn, que por definição do produto livre podem ser estendidos a γ : S Ωn. Como w agindo na identidade é igual à própria w, w age não trivialmente de modo que γ(w) 1. Logo é residualmente finito. Corolário: Grupos livres finitamente gerados são residualmente finitos. Teorema: Todo grupo residualmente finito finitamente gerado é hopfiano. Demonstração: Suponhamos que G seja residualmente finito e finitamente gerado. Seja ψ : G G uma aplicação sobrejetiva. Nossa tarefa é mostrar que ψ também é injetiva. Seja um subgrupo de índice n. Então ψ 1 () também é um grupo de índice n que contém o núcleo de ψ (para vermos isso basta notar que a associação aψ 1 () ψ(a) é uma bijeção entre as classes laterais dos dois subgrupos). Além disso, se é outro subgrupo de índice finito, então 14

17 ψ 1 () ψ 1 () de modo que a associação ψ 1 () é uma função injetiva do conjunto θ n dos subgrupos de índice n nele mesmo, em que todo elemento da imagem é um subgrupo de índice n que contém o núcleo de ψ. Como G é finitamente gerado, θ n é finito, e essa função deve ser uma bijeção de modo que o núcleo de ψ está contido em todos os subgrupos de índice n. Como n é arbitrário, o núcleo de ψ está contido na interseção de todos os grupos de índice finito que é vazia uma vez que G é residualmente finito. Logo ψ é injetiva, como queríamos mostrar. Alguns resultados relacionados: Teorema: Todo grupo abeliano finitamente gerado é hopfiano. Teorema: Todo grupo linear finitamente gerado é hopfiano. Mostramos que todo grupo residualmente finito finitamente gerado é hopfiano. Vamos mostrar mais adiante que não podemos omitir a hipótese de G ser residualmente finito, ou seja, nem todo grupo finitamente gerado é hopfiano. Para construir um contra-exemplo, vamos falar um pouco de extensões NN. Extensões NN (igman, Neumann, Neumann) Seja G um grupo com apresentação S D e A e B subgrupos isomorfos, com isomorfismo φ : A B. Queremos construir um grupo que contenha uma cópia de G de maneira que o isomorfismo seja dado por conjugação. Além disso queremos que a construção seja feita da maneira mais livre possível. Fazemos G = S, p D, pap 1 = φ(a). Lema de Britton: Seja w uma palavra de G que envolve p. Se w = 1 em G então existe uma subpalavra do tipo pap 1, com a A, ou do tipo p 1 bp, com b B. Exemplo: O grupo apresentado por não é hopfiano. Definimos o homomorfismo G = a, t t 1 a 2 t = a 3 ψ : G G a a 2 15

18 t t. ψ é de fato um homomorfismo, uma vez que ψ(t 1 a 2 t) = t 1 a 4 t = a 6 = ψ(a 3 ). Além disso, como a = t 1 a 2 ta 2 = ψ(tata 1 ), ψ é sobrejetiva. Pelo lema de Briton, temos que mas [t 1 at, a] = t 1 a 1 ta 1 t 1 ata 1 ψ([t 1 at, a]) = [t 1 a 2 t, a 2 ] = [a 3, a 2 ] = 1 o que mostra que ψ não é injetiva e que G não é hopfiano. Bibliografia Combinatorial Group Theory, Charles F. Miller III. Combinatorial group theory,roger C. Lyndon, Paul E. Schupp. http : // a subgroup of f inite index by intersecting 16