Exercícios de topologia geral, espaços métricos e espaços vetoriais

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1 Exercícios de topologia geral, espaços métricos e espaços vetoriais 9 de Dezembro de 2009 Resumo O material nestas notas serve como revisão e treino para o curso. Estudantes que nunca tenham estudado estes tópicos aprenderão aqui, através de exercícios guiados, o material necessário para o restante do curso. 1 Topológia geral 1.1 Elementos básicos Seja S um conjunto. Uma topologia S sobre S é um conjunto de subconjuntos de S, chamados de abertos tais que:, S S; para todo {A α } α I com A α S para todo α I, α I A α S (qualquer união de abertos também é aberta); para todo {A α } α I com A α S para todo α I com I finito, α I A α S (qualquer união de abertos também é aberta). Os conjuntos F S com F c S\F S são ditos fechados. A dupla (S, S) é dita um espaço topológico. Exercício 1.1 Use as regras ( α A α ) c = α A c α para mostrar que a a interseção finita de fechados é fechada e a união finita de fechados é fechada. 1

2 Exercício 1.2 Mostre que a noção usual de abertos e fechados na reta R conrresponde a uma topologia sobre R. Exercício 1.3 Dado X S, defina S X {X A : A S}. Mostre que S X é uma topologia sobre X (chamada de topologia induzida por S). Exercício 1.4 Mostre que {, S} e todos os subconjuntos de S são topologias de S (a segunda é chamada de tolopogia discreta). 1.2 Fecho, interior e fronteira Seja (S, S) espaço topológico. Dado C S, defina o fecho C = F, o interior e a fronteira C = C\C o. C o = F C fechado de S A C aberto de S Exercício 1.5 Prove que as três definições coincidem com as costumeiras em R. Exercício 1.6 Prove que o fecho é sempre fechado e está contido em qualquer outro fechado que contem C. Da mesma forma, prove que C o é aberto e contem qualquer outro aberto que está contido em C. Exercício 1.7 Mostre que (C) c = (C c ) o. 1.3 Compacidade Dizemos que o espaço topológico (S, S) se para toda coleção de abertos {A α } α I com S = α I A α existe um J I finito tal que S = α J A α. K S é subconjunto compacto se (K, S K ) é compacto, onde S K é a topologia induzida. Exercício 1.8 Mostre que K S é subconjunto compacto sse para toda coleção de abertos {A α } α I de S com K α I A α existe um J I finito tal que K α J A α. 2 A,

3 Exercício 1.9 Mostre que (S, S) é compacto sse tem a propriedade da interseção finita: para qualquer coleção {F α } α I de fechados de S, α I F α = J I finito com α J F α =. Exercício 1.10 Exiba uma família de fechados {F n } n N da reta tal que n J F n para todo J N finito, mas n N F n =. 1.4 Continuidade Sejam (S, S) e (R, R) espaços topológicos. Dizemos que f : S R é contínua se: A R, f 1 (A) S. Exercício 1.11 Reformule como qualquer aberto de R tem imagem inversa aberta em S. Exercício 1.12 Mostre que isto coincide com a noção usual de continuidade se S = R d, R = R n e as topologias usadas são as padrão. Exercício 1.13 Mostre que f é contínua se e somente se a imagem inversa de fechados de R é fechada em S. Exercício 1.14 Suponha f contínua. qualquer K S compacto. Mostre que f(k) é compacto para Exercício 1.15 Suponha f contínua, S compacto e R = R com a topologia usual. Mostre que existem s, s + S com f(s ) = inf s S f(s) e f(s + ) = sup s S f(s). Exercício 1.16 Mostre que, se f é contínua, então para todo X S a restrição f X é contínua na topologia induzida sobre X. 1.5 Conexidade topológica e por caminhos Continuamos com a notação da seção anterior. Chame (S, S) de desconexo se existem A, B X disjuntos, não vazios e ambos abertos e fechados com S = A B. Um espaço é conexo se não é desconexo [C S é conexo se é conexo na topologia induzida.] 3

4 Exercício 1.17 Mostre que as imagens de conjuntos conexos por funções conínuas são sempre conjuntos conexos. Deduza que se (S, S) é tal que para todos x, y [0, 1] existe γ : [0, 1] S contínua com γ(0) = x e γ(1) = y, então S é conexo. Exercício 1.18 Mostre que todos os intervalos da reta e todas as bolas de R n são conexas. Exercício 1.19 Mostre que os conjuntos abertos conexos de R d (com a topologia usual) são todos conexos por caminhos: isto é, se C R d é conexo e aberto, então para todos x, y C existe γ : [0, 1] C contínua com γ(0) = x e γ(1) = y. Exercício 1.20 Chame um espaço topológico (S, S) de localmente conexo por caminhos se todo ponto x S tem uma vizinhança aberta V x tal que para cada z V há um caminho contínuo γ : [0, 1] V com γ(0) = x e γ(1) = z. Mostre que S é conexo sse é conexo por caminhos. Exercício 1.21 Dê um exemplo de um espaço conexo que não é conexo por caminhos. 2 Espaços métricos Um par (M, d) é dito um espaço métrico se M é um conjunto e d : M M [0, + ) é uma função que satisfaz: 1. Para todos x, y M, d(x, y) = d(y, x). 2. Para todos x, y, z M, d(x, z) d(x, y) + d(y, z). 3. Para todos x, y M, d(x, y) 0 e d(x, y) = 0 y = x. Uma função d : M M [0, + ) satisfazendo estas três propriedades é dita uma métrica sobre M. Se 1. e 2. são satisfeitas, d é uma pseudo-métrica. Exercício 2.1 Seja (M, d) espaço métrico. Mostre que (M, T d ) é um espaço topológico onde T d {A M : a A, r > 0 : B(a, r) A} 4

5 e B(a, r) é a bola aberta de raio r centrada em a: B(a, r) {x M d(x, a) < r}. [T d é a topologia sobre M que é induzida induzida por d.] Mostre ainda que duas métricas d 1, d 2 induzem a mesma topologia se e somente cada bola de d 1 centrada em dado a contem uma bola de d 2 centrada no mesmo a, e vice-versa. Exercício 2.2 Prove que o interior C o na topologia T d de um conjunto C M é dado por: C o = {x M : r > 0, B(x, r) C}. Exercício 2.3 Mostre que o fecho de uma bola aberta B(x, r) está contido na bola fechada B[x, r] {y M : d(x, y) r}. Dê um exemplo de (M, d) em que B(x, 1) B[x, 1] para todo x M. Exercício 2.4 Mostre que a fronteira C na topologia T d de um subconjunto C M é dada por: C = {x M : r > 0, B(x, r) C e B(x, r) C c }. Exercício 2.5 Seja φ : x [0, + ) x/(1 + x) [0, 1). Mostre que, se (M, d) é espaço métrico, então (M, φ d) também o é, e que além disso as topologias induzidas são iguais. 2.1 Seqüências convergentes e de Cauchy Seja (M, d) espaço métrico. Uma seqüência {x n } n N M é dita Cauchy se para todo ε > 0 existe n ε N tal que para todo n, m N maiores que n ε, d(x n, x m ) < ε. A mesma seqüência converge a x M se lim n N d(x n, x) = 0. Exercício 2.6 Prove que toda seqüência convergente é Cauchy. Exiba (M, d) onde a recíproca não é verdadeira. Exercício 2.7 Dado (M, d), prove que os conjuntos fechados na topologia T d são precisamente aqueles F M tais que para qualquer seqüência convergente {x n } n N, tem-se lim x n F. 5

6 Um espaço métrico em que todas as seqüências de Cauchy têm limite é dito completo. Exercício 2.8 Seja (M, d) espaço métrico completo e = F M fechado. Mostre que (F, d F F ) é completo. Exercício 2.9 Mostre que completude não é uma propriedade topológica. Mais concretamente, mostre que é possível dotar M = [0, 1) de duas métricas que induzem as mesmas topologias, mas tais que há uma seqüência de Cauchy em uma métrica que não é Cauchy na outra métrica. Exercício 2.10 Mostre que o fecho C na topologia T d de um subconjunto C M é dado por: C = {x M : {x n } n N C com lim x n = x}. 2.2 Compacidade: coberturas vs. seqüências (M, d) é dito sequencialmente compacto se toda seqüência em M possui subseqüência convergente. Um subconjunto K M é sequencialmente compacto se (K, d K K ) é sequencialmente compacto. O principal objetivo desta seção é mostrar que (M, d) é sequencialmente compacto se e somente se o espaço topológico (M, T d ) é compacto no sentido visto acima. Exercício 2.11 Mostre que, se (M, d) é topologicamente compacto (com a topologia T d acima), então é sequencialmente compacto. [Roteiro: 1. Use a compacidade de M para mostrar que para qualquer seqüência {x n } n N em M e qualquer r > 0 existe uma bola fechada B[y, r] e uma subseqüência {x n } n N N contida em B[y, r]. A ideia é mostrar que existe um subconjunto Y M finito tal que M = y Y B(y, r) e deduzir que alguma das bolas B(y, r) tem de conter infinitos elementos da seqüência. 2. Iterando este resultado, mostre que há uma família N 0 N N 1 N 2 N 3... de subconjuntos infinitos de N tal que para todo j N, {x n } n Nj está contida em uma bola B[y j, 1/j]. 6

7 3. Tome a seqüência de fechados: F j j i=1 B[y j, 1/j]. Note que F 1 F 2 F Mostre que esta família tem a propriedade da interseção finita (cada F j é não-vazio, posto que contem {x n } n Nj B[y i, 1/i] para todo 1 i j). Deduza que F j F j. 4. Mostre que, de fato, F = {y} para um único elemento y M (o diâmetro de F j é 2/j). 5. Agora tome uma seqüência diagonal n 1 N 1 e (recursivamente) n j N j com n j > n j 1. Mostre que d(x nj, y) 2/j, dado que x nj, y B[y j, 1/j], e portanto x nj y. Isso mostra que {x n } n N tem subsequência convergente.] Exercício 2.12 Suponha que (M, d) é sequencialmente compacto. Mostre que para todo r > 0 existe um P (r) N tal que qualquer conjunto X M tal que: x, y X : x y d(x, y) r tem cardinalidade P (r) [Dica: um X infinito com essa cara conteria uma seqüência {x n } n de pontos a distância r uns dos outros. Nenhuma subseqüência de {x n } n seria Cauchy.]. Mostre ainda que M = x X B(x, r) para algum conjunto X de cardinalidade P (r). Exercício 2.13 Suponha que (M, d) é sequencialmente compacto. Mostre que para todo r > 0 existe um P (r) N tal que qualquer conjunto X M tal que: x, y X : x y d(x, y) r tem cardinalidade P (r). Mostre que M = x X B(x, r) para algum conjunto X de cardinalidade = P (r) [Dica: tome um X satisfazendo a propriedade acima que tenha tamanho máximo.] Deduza que (M, d) é separável. Exercício 2.14 Suponha que (M, d) é sequencialmente compacto. Prove que (M, T d ) é topologicamente compacto. Roteiro: Seja M = α I A α uma dada cobertura de M por abertos. Defina r(x) = sup{r > 0 : B(x, r) A αx Mostre que r : M R satisfaz: para algum aberto α x I}(x M). 7

8 r é contínua; de fato, para todos x, y M, r(x) r(y) d(x, y); r(x) > 0 para todo x M; para qualquer x M existe α x I tal que B(x, r(x)/2) A αx. Use a compacidade sequencial para mostrar que x M com r(x ) = inf r e deduza que c = inf r > 0, logo r(x) > c para todo x M. Pelo exercício anterior, existe X M finito com: M = x X B(x, c/2) x X B(x, r(x)/2) x X A αx. Isto mostra que a cobertura {A α } α I possui uma subcobertura finita {A αx } x X. 8