Generalizações do Teorema de Wedderburn-Malcev e PI-álgebras. Silvia Gonçalves Santos

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1 Generalizações do Teorema de Wedderburn-Malcev e PI-álgebras Silvia Gonçalves Santos Definição 1 Seja R um anel com unidade. O radical de Jacobson de R, denotado por J(R), é o ideal (à esquerda) dado pela interseção de todos os ideais à esquerda maximais de R. Observação 2 Pode-se provar que o radical de Jacobson (à direita) coincide com o radical de Jacobson (à esquerda), e assim o radical de Jacobson é bilateral e chamaremos apenas de radical de Jacobson. Teorema 3 Se A é uma F-álgebra unitária de dimensão finita então J(A) é o maior ideal nilpotente de A. Exemplo 4 Considere o conjunto das matrizes triangulares superiores com entradas em um corpo F, UT n (F ). O radical de Jacobson é dado pelas matrizes estritamente triangulares superiores. Definição 5 Sejam W um espaço vetorial de dimensão finita, e W 1,..., W j subespaços de W tais que W = W W j. Dizemos que essa soma é direta se para cada 2 k j vale: Neste caso, escrevemos W = W 1 W j. W k (W W k 1 ) = {0}. Definição 6 Sejam A 1,..., A m F-álgebras de dimensão finita, tais que para cada 2 k m vale: A k (A A k 1 ) = {0}. A soma direta de A 1,..., A m, a qual denotaremos por A 1 A m, é a soma direta destes espaços vetoriais com a seguinte operação de multiplicação: (x x m )(y y m ) = x 1 y x m y m ; x i, y i A i, i {1,, m}. Definição 7 A é simples se A 2 0 e esta não possui ideais bilaterais próprios. A é semissimples se esta pode ser escrita como a soma direta de álgebras simples. Observação 8 Toda álgebra simples é semissimples. Exemplo 9 M n (F ) é uma álgebra simples. Prova: Seja J um ideal bilateral de M n (F ). Vamos mostrar que se J (0) então J = M n (F ). De fato, se J (0), podemos encontrar uma matriz A J de tal modo que há pelo menos uma entrada, por exemplo a hk, de A diferente de zero. Defina B i = E ih AE ki, onde E ij são as matrizes elementares. Então, todas as entradas de B i são 0, exceto a entrada (i, i) que é igual a a hk. 1

2 Assim, B i = a hk E ii J, i. Agora, B = B B n J. Então B é a matriz diagonal onde todos os elementos são a hk 0 e portanto B é invertível. Teorema 10 (Teorema de Wedderburn-Artin) Seja A um anel. Então 1. A é artiniano simples se, e somente se, A = M k (D) para algum anel de divisão D, k 1; 2. A é artiniano semissimples se, e somente se, A = I 1 I n onde I 1,..., I n são anéis artinianos simples e são todos ideais minimais bilaterais de A. Teorema 11 Se A é uma F-álgebra unitária de dimensão finita então A é semissimples se e somente se J(A) = {0}. Definição 12 Dizemos que B é uma F-subálgebra maximal de A se para qualquer F-subálgebra A tal que B A A tivermos que B = A ou A = A. Teorema 13 (Teorema de Wedderburn-Malcev) Sejam A uma álgebra de dimensão finita sobre um corpo F de característica zero e J(A) o seu radical de Jacobson. Então existe uma subálgebra maximal semissimples B tal que: A = B J(A). Além disso, se B e B são subálgebras semissimples maximais tais que A = B J(A) = B J(A), então existe x J(A) tal que B = (1 + x)b(1 + x) 1. Definição 14 Uma aplicação : A A de uma F-álgebra A é uma involução se é uma F-aplicação linear e para quaisquer a, b A valem as seguintes propriedades: (ab) = b a ; (a ) = a. Exemplo 15 Considere a álgebra G 2 = F F. Para x, y G 2 com x = x 1 + x 2 e y = y 1 + y 2, temos que xy = x 1 y 1 + x 1 y 2 + x 2 y 1 + x 2 y 2 onde x 1 y 2 = x 2 y 1 = 0 já que G 2 é soma direta como álgebras. Assim, chamando x = (x 1, x 2 ) e y = (y 1, y 2 ), temos A aplicação xy = (x 1, x 2 )(y 1, y 2 ) = (x 1 y 1, x 2 y 2 ). G 2 G 2 (x, y) (y, x) é uma involução em G 2. Demonstração: De fato, sejam (x, y) e (x, y) pertencentes a G 2. Então [(x, y)(x, y)] = (xx, yy) = (yy, xx) = (yy, xx) = (y, x)(y, x) = (x, y) (x, y) ; 2

3 [(x, y) ] = (y, x) = (x, y). Definição 16 Uma álgebra A com involução é dita - simples se A 2 0 e A não tem - ideais (ou ideais - estáveis) não nulos, isto é, não existe 0 I A ideal de A tal que I = I. Exemplo 17 A álgebra G 2 definida no exemplo 15 é uma álgebra simples. De fato, seus únicos ideais são os subálgebras I = 0 F e J = F 0. E temos I = J e J = I. Portanto G 2 é simples. Lema 18 Sejam A uma álgebra de dimensão finita sobre um corpo F, B uma subálgebra de A e J(B) seu radical de Jacobson. Se n é o índice de nilpotência de J:=J(A) e J n 1 B, então, J (B/J n 1 ) = J(B)/J n 1. Teorema 19 Seja A uma F-álgebra de dimensão finita com involução. Então: 1. J(A) é um - ideal de A; 2. Se A é uma álgebra - simples, então A é simples ou A = B B, para alguma subálgebra simples B; 3. Se A é semissimples, então A é soma direta finita de álgebras - simples; 4. Se charf = 0, então existe uma subálgebra semissimples maximal B de A tal que B = B. Demonstração 1. Para mostrar que J é -simples, temos que mostrar que J = J. Sabemos que J é o maior ideal nilpotente de A, isto é, existe n N tal que J n = 0. Para mostrar que J J, basta mostrar que J é nilpotente. Seja J nilpotente de expoente n dados j 1,..., j n J, temos que j 1 j n = 0. Agora sejam j 1,..., j n J, temos: j 1 j n = (j 1 j n ) = 0 = 0 J é nilpotente J J. Assim, Logo J é um -ideal de A. J J (J ) J J J e portanto, J = J 2. Suponha que A é -simples, mas A não é simples. Do item 1, J = J(A) é um -ideal de A. Como A é -simples, J = 0 ou J + A. Afirmação 1: J A De fato, suponha J = A J 2 = A 2 0. Então 0 J 2 J (J 2 ) = J 2. Absurdo! 3

4 Logo, J = 0 e do teorema 11, A é semissimples. Seja B um ideal minimal de A. Como A não é simples, 0 B A. Assim, 0 B A e B B. Agora, 0 B B é um ideal de A. Afirmação 2: B B é -invariante. De fato, sejam b+c B B c = b 1, b 1 B. Assim (b+c) = b+(b 1) = b +b 1 B B. Como A é -simples, temos que A = B B. 3. Seja A semissimples, A = A 1 A n sua decomposição onde os A is são todos os ideais minimais bilaterais de A. Como A i também é ideal minimal bilateral de A, segue que A i = A j para algum j {1,..., n}. Se i = j escreva C i = A j e temos que C i é -simples. Se i j escreva C i = A i A j. Temos então C i = (A i A j ) = A i A j = A j A i = C i. Como A i e A j são os únicos ideais não triviais de C i e estes não são -invariantes, segue que A = C 1 C m, onde cada C i, com i {1,..., m}, é -simples. 4. Se J = 0 então A = B e pelo item anterior temos que B = B 1 B m onde cada B i é simples. Logo B é subálgebra semissimples maximal e B = B. Considere agora A = B J onde B é subálgebra semissimples maximal de A e suponha J 0 e J 2 = 0. Como B também é uma subálgebra maximal semissimples de A, pelo Teorema de Wedderburn-Malcev existe y J tal que B = (1 x)b(1 + x). Isto é, dado b 1 B, existe b 2 B tal que b 1 = (1 x)b 2 (1 + x). Assim, se b 3 B é tal que b 1 = (1 x)b 3 (1 + x), então b 1 = (b 1) = (1 + x )b 2(1 x ) = (1 + x )(1 x)b 3 (1 + x)(1 x ) = b 3 + b 3 x b 3 x + xb 3 x b 3 }{{} J Assim, b 1 = b 3 + j, com j J. Portanto b 1 b 3 B J = {0}, o que implica que b 1 = b 3. Seja b = b 1 = b 3. Assim, desde que J 2 = 0, segue que b = (1 + x )(1 x)b(1 + x)(1 x ) = (1 x + x )b(1 + x x ) = b + b(x x ) (x x )b (x x )b(x x ) }{{} 0 4

5 Assim, b(x x ) = (x x )b. Temos ainda que x = x+x + x x. Como J 2 = 0, temos 2 2 que b 1 = (1 x+x )b 2 2 (1 + x x ). Portanto, B = (1 s)b(1 + s) onde s = s = x+x é um 2 2 elemento simétrico em J. Defina C = ( ( 1 + 2) s B 1 s 2). Vamos mostrar que C é a álgebra que procuramos. Seja c C. Então existe b B tal que c = ( ( 1 + 2) s b 1 s 2) e assim c = ( 1 2) ( s b 1 + s 2 = ( 1 2) ( ) s b 1 + s 2 = ( 1 2) s (1 + s)b1 (1 s) ( ) ( ) ( 1 + s 2 ) = 1 + s s s2 b s s s2 2 2 = ( ( 1 + 2) s b1 1 s 2) C Logo, C = C. A maximalidade e semissimplicidade de C segue do fato de termos C = B e o teorema está provado quando J 2 = 0. Suponha agora que J n = 0 e J n 1 0, n > 2. Como J = J temos que (J n 1 ) = J n 1. Assim A/J n 1 possui uma estrutura de álgebra com involução induzida. Além disso, J(A/J n 1 ) = J(A)/J n 1 o que implica que J(A/J n 1 ) n 1 = 0. Por indução em n, temos que A/J n 1 pode ser escrito como A/J n 1 = B/J n 1 J/J n 1, onde B/J n 1 é subálgebra semissimples maximal de A/J n 1 que é -invariante. Além disso, J(B/J n 1 ) = 0 e desta forma J(B) = J n 1. Assim, podemos escrever B = C J n 1, onde C é subálgebra semissimples de B. Como (J n 1 ) 2 J 2(n 1) = 0 voltamos no caso anterior e podemos assumir que C = C. Portanto, A = B + J = (C J n 1 + J = C J e concluímos que C é subálgebra semissimples maximal de A que é -invariante. Definição 20 Seja A uma F-álgebra. Dado f = f(x 1,..., x n ) F X dizemos que f é uma identidade ordinária de A se f(a 1,..., a n ) = 0 para quaisquer a 1,..., a n A, e denotamos por f 0 em A. Uma F-álgebra que satisfaz uma identidade não trivial é chamada PI-álgebra. O conjunto de todas as identidades de A é denotado por Id(A), ou seja, ) Id(A) = {f F X f 0 em A} Observação 21 O conjunto das identidades de A, Id(A), é um T-ideal de F X. Exemplo 22 Qualquer F-álgebra comutativa é uma PI-álgebra. Definição 23 P n = span { x σ(1) x σ(n) σ S n } é o espaço vetorial dos polinômios multilineares nas variáveis x 1,..., x n na álgebra F X. 5

6 Definição 24 Seja A uma PI-álgebra e Id(A) o T-ideal das suas identidades. Denote por: P n (A) = P n P n Id(A) A n-ésima codimensão de A, c n (A), é a dimensão de P n (A), isto é, c n (A) = dim F P n (A) Exemplo 25 Se A é uma álgebra comutativa, então c n (A) 1, n Definição 26 Uma sequência de codimensões de uma álgebra A é polinomialmente limitada se existem cons tantes a e t tais que c n (A) an t para todo n. Definição 27 Seja F X, = F x 1, x 1, x 2, x 2,... a álgebra livre com involução, isto é, dado x a i 1 i 1 x a i 2 i 2 x a i k 1 i k 1 x a i k i k F X, onde a ij {1, } temos que ( ) x a i 1 i 1 x a i 2 i 2 x a i k 1 i k 1 x a i k ( a ik ) ( ) i k = x i k x a i k 1 ( a i k 1 x i2 ) ( a i 2 x i1 ) i 1 onde (x a ij ij ) = { x ij, se a ij = 1 x ij, se a ij =. Definição 28 Dado f = f(x 1, x 1,..., x n, x n) F X, dizemos que f é uma -identidade de uma álgebra A com involução se f(a 1, a 1,..., a n, a n) = 0 para quaisquer a 1,..., a n A. Neste caso, escrevemos f 0 em (A, ). Exemplo 29 Considere a álgebra G 2 = F F. Temos que G 2 é uma álgebra comutativa e assim, [x 1, x 2 ], [x 1, x 2] são -identidades em G 2. Definição 30 Dada uma álgebra A definimos Id(A, ) = {f F X, f 0 em (A, )} o conjunto das -identidades de A. Este é um -ideal de F X, dito o -ideal de A. } Definição 31 P n ( ) = span F {x α 1 σ(1) xαn σ(n) σ S n, α i {1, } é o espaço vetorial dos -polinômios multilineares nas variáveis x 1, x 1,..., x n, x n na álgebra F X,. Definição 32 Seja A uma PI-álgebra e Id(A, ) o -ideal das suas identidades. Denotamos: P n (A, ) = P n ( ) P n ( ) Id(A, ) 6

7 A dimensão de P n (A, ) é denominada de n-ésima -codimensão e denotada por c n (A, ). Definição 33 Seja A uma álgebra munida de uma involução. O elemento a A é dito simétrico se a = a e é dito anti-simétrico se a = a. Denotamos por A + o conjunto dos elementos simétricos e por A o conjunto dos elementos anti-simétricos de A. Observação 34 A = A + A. Assim, podemos escrever cada elemento de A como uma soma de um elemento simétrico com um anti-simétrico. Defina y i = x i + x i e z i = x i x i. Desde que a característica de F seja diferente de 2, temos P n ( ) = Span F { wσ(1) w σ(n) σ S n, w i = y i ou w i = z i, i = 1,..., n }. Definição 35 Para r = 0,..., n, definimos P r,n r = Span { w σ(1) w σ(n) σ S n, w i = y i para i = 1,..., r e w i = z i para i = r + 1,..., n } O conjunto definido acima é o espaço dos polinômios multilineares nas variáveis y 1,..., y r, z r+1,..., z n. Definição 36 Seja A uma F-álgebra e Id(A, ) o -ideal das suas identidades. Denotamos: P r,n r (A, ) = P r,n r P r,n r Id(A, ) A dimensão de P r,n r (A, ) é denotada por c r,n r (A, ). Teorema 37 Seja A uma álgebra munida de uma involução. Então, para todo n, n ( ) n c n (A, ) = c r,n r (A, ) r r=0 Proposição 38 Seja A uma F-álgebra. Então c n (A) c n (A, ). Teorema 39 Seja A uma álgebra de dimensão finita sobre um corpo F algebricamente fechado e denote por J o radical de Jacobson de A. Então a sequência de -codimensões {c n (A, )} n 1 é polinomialmente limitada se, e somente se, 1. A sequência de codimensões {c n (A)} n 1 é polinomialmente limitada; 2. A = B J, onde B é uma álgebra semissimples maximal de A e b = b para todo b B. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS [1] GIAMBRUNO, A., ZAICEV, M.,A Characterization of Algebras with Polinomial Growth of the Codimensions. Proc. AMS. Vol 129, N 1, p (2000). [2] GIAMBRUNO, A., ZAICEV, M., Polynomial Identities and Asymptotic methods. AMS. First Edition,